A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
25 pág.
aula 10

Pré-visualização | Página 1 de 5

Mais regularidades...
os números notáveis
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta 
aula, você seja capaz de:
 Revisar a defi nição de regularidade.
 Identifi car e analisar regularidades em tarefas 
envolvendo os números notáveis (fi gurados).
 Entender a diferença entre iteração 
e recursividade.
 Utilizar diferentes atividades para trabalhar 
regularidades variadas.
Pré-requisitos 
Para o desenvolvimento desta aula, é necessário que você tenha 
compreendido a defi nição de regularidade e de padrão (Aula 9). 
ob
jet
ivo
s
Meta da aula 
Instrumentalizar o trabalho com 
regularidades.
10AULA
Aula_10.indd 229 2/1/2005, 6:55:51 PM
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Mais regularidades... os números notáveis
C E D E R J230
Na última aula, exploramos atividades que ajudam a desenvolver o pensamento 
algébrico e aritmético mediante a análise de regularidades numéricas. Como 
você estudou, regularidade envolve comportamento obedecendo a certas 
leis e normas. Em Matemática, é comum nos referirmos ao termo padrão 
quando determinamos uma unidade para medir (comparar) certa grandeza 
ou analisamos pavimentações e estamparias variadas.
INTRODUÇÃO
Dentre os educadores que defendem essas idéias, vale mencionar 
Antonio José Lopes, o famoso Bigode. É um reconhecido educador 
matemático e autor de livros didáticos. Dentre eles, destacamos 
Matemática Hoje é Feita Assim da Editora FTD. Em cada volume da 
coleção você encontrará idéias para desenvolver atividades com os 
números fi gurados. Acesse a página do autor e conheça seus trabalhos: 
http://www.matematicahoje.com.br 
Lembre-se de que
estamos utilizando 
padrão e regulari-
dade como sinôni-
mos.
!
O pensamento algébrico está, muitas vezes, distante das idéias que o aluno 
consegue concretizar no Ensino Fundamental. O trabalho do professor deve 
levar o aluno a compreender as características desse pensamento e aprender 
a pensar algebricamente. Uma das maneiras de fazer isso consiste em trabalhar 
conjuntamente a álgebra e a geometria na descoberta de regularidades. 
Dessa forma, os padrões ou regularidades geométricas favorecem a visualização 
e a conexão com a álgebra. 
Falando mais especificamente, é importante que o aluno amplie os 
procedimentos de cálculo, compreenda as propriedades das operações, 
faça conjecturas e busque validar seus resultados através da argumentação. 
Para atingir esse objetivo, ao longo do Ensino Fundamental, a exploração das 
regularidades é um importante aliado à prática docente. Nesta aula, veremos 
que este objetivo também deve ser contemplado no Ensino Médio e para que 
você verifi que, na prática, essa afi rmação, estudaremos padrões em números 
fi gurados, também denominados números notáveis.
Aula_10.indd 230 2/1/2005, 6:55:54 PM
A
U
LA
 
10
 
C E D E R J 231
CONSTRUINDO NÚMEROS TRIANGULARES
Vamos formar uma seqüência de números triangulares usando 
círculos.
Figura 10.1: Números triangulares.
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Figura 5
O número de círculos de cada fi gura da seqüência de fi guras forma 
a seqüência de números triangulares. 
ATIVIDADE 
1.Volte à Figura 10.1, observe-a e preencha a tabela a seguir com o número 
de círculos dos números triangulares.
 COMENTÁRIO 
Para preencher a tabela até o quinto número triangular, basta que você conte 
o número de círculos de cada fi gura. Para encontrar o sexto número triangular, 
você deve visualizar a próxima fi gura com esse mesmo padrão. Caso ainda 
não tenha percebido como obtê-la, acompanhe o processo de construção 
dos números triangulares e volte à atividade.
Nessa atividade, não buscamos, ainda, a generalização. Da primeira à quinta 
fi gura você precisa apenas contar os círculos. Para a sexta fi gura, você poderá 
ter generalizado ou simplesmente desenhado a fi gura correspondente.
Número 
triangular
Figura Número de 
círculos
1º 1 1
2º 2
3º 3
4º 4
5º 5
6º 6
Você pode conferir 
suas respostas da 
Atividade 1 na últi-
ma coluna da Tabe-
la 10.1. 
!
Aula_10.indd 231 2/1/2005, 6:55:55 PM
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Mais regularidades... os números notáveis
C E D E R J232
Vamos construir a seqüência dos números triangulares. Para formar 
essa seqüência, comece com uma fi gura inicial, pode ser qualquer uma; no 
caso, vamos utilizar um círculo e considerá-lo a Figura 1 desse processo. 
Figura 1
Essa fi gura representa o número 1, pois nela temos um único círculo.
Primeiramente, vamos construir os números triangulares, 
utilizando um triângulo equilátero. Para construir um triângulo são 
necessários três pontos; precisamos de mais dois círculos que, junto 
com o primeiro, farão o papel de “vértices”. Essa fi gura será a Figura 2 
do padrão que estamos formando. Observe:
Figura 2
Ela está associada ao número 3, que corresponde ao número total 
de círculos.
Continuando o processo, a Figura 3 será formada pelos círculos 
da Figura 2 com mais três círculos. Para obter esses novos círculos 
construiremos um triângulo equilátero com o dobro da medida do lado 
do triângulo da Figura 1, de forma que dois de seus lados, contenham o 
lado do triângulo anterior. Veja:
Dois dos três círculos que desejamos obter são os vértices desse 
triângulo.
Aula_10.indd 232 2/1/2005, 6:55:56 PM
A
U
LA
 
10
 
C E D E R J 233
O terceiro é o ponto médio do lado que não contém círculos. 
Assim, formamos a Figura 3 dessa seqüência:
Figura 3
De forma semelhante, na Figura 4, o objetivo é construir um triângulo 
equilátero com o triplo da medida do lado do triângulo feito na Figura 2, 
de forma que dois de seus lados contenham os dois triângulos anteriores.
No lado que não contém os outros dois lados dos triângulos 
anteriores, vamos marcar quatro círculos. Dois são vértices e outros dois 
são os pontos que dividem o segmento, agora, em três partes iguais.
Figura 4
Mantendo esse padrão, a Figura 5 será:
Figura 5
Aula_10.indd 233 2/1/2005, 6:55:57 PM
Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Mais regularidades... os números notáveis
C E D E R J234
Assim, no total de círculos de cada fi gura da seqüência formada, 
temos, os números triangulares:
Podemos também explorar os números triangulares, através de “pilhas”.
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5
Entretanto, essa visualização não é possível para os números 
pentagonais em diante por causa das características dos polígonos.
Você já tinha feito alguma observação a respeito do número das bolas do um 
jogo de bilhar e de sua organização? A confi guração da Figura 5 na seqüência dos 
números triangulares está presente na arrumação de bolas do jogo de bilhar.
!
NÚMEROS QUADRADOS
Com base na mesma idéia, passaremos aos números quadrangulares 
ou quadrados. Sendo que, neste caso, a partir do círculo inicial, formaremos 
um quadrado e os círculos que correspondem aos vértices darão origem ao 
segundo número quadrangular; você encontra essa formação na Figura 2 
da seqüência dos números quadrados.
A partir daí formaremos quadrados com o dobro, o triplo, 
o quádruplo, ..., da medida do lado do quadrado da Figura 2. 
O número correspondente a cada fi gura é o total de círculos que ela 
contém. Observe:
Aula_10.indd 234 2/1/2005, 6:55:57 PM
A
U
LA
 
10
 
C E D E R J 235
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5
Figura 10.2: Números quadrados.
Dispondo os números quadrados em pilhas temos:
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5
ATIVIDADE 
2. Complete a última linha da tabela a seguir com o número de círculos 
dos números quadrados.
 COMENTÁRIO 
Esta atividade