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Mais regularidades... os números notáveis Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: Revisar a defi nição de regularidade. Identifi car e analisar regularidades em tarefas envolvendo os números notáveis (fi gurados). Entender a diferença entre iteração e recursividade. Utilizar diferentes atividades para trabalhar regularidades variadas. Pré-requisitos Para o desenvolvimento desta aula, é necessário que você tenha compreendido a defi nição de regularidade e de padrão (Aula 9). ob jet ivo s Meta da aula Instrumentalizar o trabalho com regularidades. 10AULA Aula_10.indd 229 2/1/2005, 6:55:51 PM Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Mais regularidades... os números notáveis C E D E R J230 Na última aula, exploramos atividades que ajudam a desenvolver o pensamento algébrico e aritmético mediante a análise de regularidades numéricas. Como você estudou, regularidade envolve comportamento obedecendo a certas leis e normas. Em Matemática, é comum nos referirmos ao termo padrão quando determinamos uma unidade para medir (comparar) certa grandeza ou analisamos pavimentações e estamparias variadas. INTRODUÇÃO Dentre os educadores que defendem essas idéias, vale mencionar Antonio José Lopes, o famoso Bigode. É um reconhecido educador matemático e autor de livros didáticos. Dentre eles, destacamos Matemática Hoje é Feita Assim da Editora FTD. Em cada volume da coleção você encontrará idéias para desenvolver atividades com os números fi gurados. Acesse a página do autor e conheça seus trabalhos: http://www.matematicahoje.com.br Lembre-se de que estamos utilizando padrão e regulari- dade como sinôni- mos. ! O pensamento algébrico está, muitas vezes, distante das idéias que o aluno consegue concretizar no Ensino Fundamental. O trabalho do professor deve levar o aluno a compreender as características desse pensamento e aprender a pensar algebricamente. Uma das maneiras de fazer isso consiste em trabalhar conjuntamente a álgebra e a geometria na descoberta de regularidades. Dessa forma, os padrões ou regularidades geométricas favorecem a visualização e a conexão com a álgebra. Falando mais especificamente, é importante que o aluno amplie os procedimentos de cálculo, compreenda as propriedades das operações, faça conjecturas e busque validar seus resultados através da argumentação. Para atingir esse objetivo, ao longo do Ensino Fundamental, a exploração das regularidades é um importante aliado à prática docente. Nesta aula, veremos que este objetivo também deve ser contemplado no Ensino Médio e para que você verifi que, na prática, essa afi rmação, estudaremos padrões em números fi gurados, também denominados números notáveis. Aula_10.indd 230 2/1/2005, 6:55:54 PM A U LA 10 C E D E R J 231 CONSTRUINDO NÚMEROS TRIANGULARES Vamos formar uma seqüência de números triangulares usando círculos. Figura 10.1: Números triangulares. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 O número de círculos de cada fi gura da seqüência de fi guras forma a seqüência de números triangulares. ATIVIDADE 1.Volte à Figura 10.1, observe-a e preencha a tabela a seguir com o número de círculos dos números triangulares. COMENTÁRIO Para preencher a tabela até o quinto número triangular, basta que você conte o número de círculos de cada fi gura. Para encontrar o sexto número triangular, você deve visualizar a próxima fi gura com esse mesmo padrão. Caso ainda não tenha percebido como obtê-la, acompanhe o processo de construção dos números triangulares e volte à atividade. Nessa atividade, não buscamos, ainda, a generalização. Da primeira à quinta fi gura você precisa apenas contar os círculos. Para a sexta fi gura, você poderá ter generalizado ou simplesmente desenhado a fi gura correspondente. Número triangular Figura Número de círculos 1º 1 1 2º 2 3º 3 4º 4 5º 5 6º 6 Você pode conferir suas respostas da Atividade 1 na últi- ma coluna da Tabe- la 10.1. ! Aula_10.indd 231 2/1/2005, 6:55:55 PM Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Mais regularidades... os números notáveis C E D E R J232 Vamos construir a seqüência dos números triangulares. Para formar essa seqüência, comece com uma fi gura inicial, pode ser qualquer uma; no caso, vamos utilizar um círculo e considerá-lo a Figura 1 desse processo. Figura 1 Essa fi gura representa o número 1, pois nela temos um único círculo. Primeiramente, vamos construir os números triangulares, utilizando um triângulo equilátero. Para construir um triângulo são necessários três pontos; precisamos de mais dois círculos que, junto com o primeiro, farão o papel de “vértices”. Essa fi gura será a Figura 2 do padrão que estamos formando. Observe: Figura 2 Ela está associada ao número 3, que corresponde ao número total de círculos. Continuando o processo, a Figura 3 será formada pelos círculos da Figura 2 com mais três círculos. Para obter esses novos círculos construiremos um triângulo equilátero com o dobro da medida do lado do triângulo da Figura 1, de forma que dois de seus lados, contenham o lado do triângulo anterior. Veja: Dois dos três círculos que desejamos obter são os vértices desse triângulo. Aula_10.indd 232 2/1/2005, 6:55:56 PM A U LA 10 C E D E R J 233 O terceiro é o ponto médio do lado que não contém círculos. Assim, formamos a Figura 3 dessa seqüência: Figura 3 De forma semelhante, na Figura 4, o objetivo é construir um triângulo equilátero com o triplo da medida do lado do triângulo feito na Figura 2, de forma que dois de seus lados contenham os dois triângulos anteriores. No lado que não contém os outros dois lados dos triângulos anteriores, vamos marcar quatro círculos. Dois são vértices e outros dois são os pontos que dividem o segmento, agora, em três partes iguais. Figura 4 Mantendo esse padrão, a Figura 5 será: Figura 5 Aula_10.indd 233 2/1/2005, 6:55:57 PM Instrumentação do Ensino da Aritmética e da Álgebra | Mais regularidades... os números notáveis C E D E R J234 Assim, no total de círculos de cada fi gura da seqüência formada, temos, os números triangulares: Podemos também explorar os números triangulares, através de “pilhas”. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Entretanto, essa visualização não é possível para os números pentagonais em diante por causa das características dos polígonos. Você já tinha feito alguma observação a respeito do número das bolas do um jogo de bilhar e de sua organização? A confi guração da Figura 5 na seqüência dos números triangulares está presente na arrumação de bolas do jogo de bilhar. ! NÚMEROS QUADRADOS Com base na mesma idéia, passaremos aos números quadrangulares ou quadrados. Sendo que, neste caso, a partir do círculo inicial, formaremos um quadrado e os círculos que correspondem aos vértices darão origem ao segundo número quadrangular; você encontra essa formação na Figura 2 da seqüência dos números quadrados. A partir daí formaremos quadrados com o dobro, o triplo, o quádruplo, ..., da medida do lado do quadrado da Figura 2. O número correspondente a cada fi gura é o total de círculos que ela contém. Observe: Aula_10.indd 234 2/1/2005, 6:55:57 PM A U LA 10 C E D E R J 235 Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 10.2: Números quadrados. Dispondo os números quadrados em pilhas temos: Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 ATIVIDADE 2. Complete a última linha da tabela a seguir com o número de círculos dos números quadrados. COMENTÁRIO Esta atividade
