Aula 6 equilibrio 2d

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS
DISCIPLINA MECÂNICA I – EEA212
AULAS 6 – EQUILÍBRIO EM DUAS DIMENSÕES
Prof. Ana Beatriz Gonzaga e Silva
anabeatrizgonzaga@poli.ufrj.br
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Elementos gráficos, tabelas e gráficos
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Aula 6 – Equilíbrio em duas dimensões
Equilíbrio de corpos rígidos
- Diagrama de corpo livre
- Condições de equilíbrio
- Categorias de equilíbrio
- Restrições e indeterminação estática
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Introduza cada um dos principais tópicos.
Para fornecer um roteiro para o público, você pode repita este slide de Visão Geral por toda a apresentação, realçando o tópico específico que você discutirá em seguida.
Equilíbrio de corpos rígidos
Em muitas aplicações em mecânica, o corpo encontra-se em estado de equilíbrio.
Na figura, o equipamento é projetado para manter um carro em equilíbrio em uma vasta faixa 
de orientações durante a fabricação do veículo
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Diagrama de corpo livre
• Isolamento do sistema e diagrama de corpo livre
Para aplicar as equações de equilíbrio – representação clara de todas as forças que atuam no 
corpo
Sistema mecânico – corpo ou grupo de corpos que podem ser conceitualmente isolados de 
todos os outros corpos, podendo ser único corpo ou combinação de corpos interligados; rígidos 
ou não rígidos, massa fluida identificável ou combinação de fluidos e sólidos 
Diagrama de corpo livre – representação esquemática do sistema como um único corpo isolado
de todos os outros corpos vizinhos
O diagrama de corpo livre deve conter:
- todas as forças aplicadas ao sistema por contato mecânico com outros corpos;
- Força da gravidade ou atração magnética, quando apreciáveis
O diagrama de corpo livre é o passo mais importante na solução de problemas em mecânica
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Diagrama de corpo livre
• Tipos comuns de aplicação de forças em sistemas mecânicos em análises bidimensionais
Tipo de contato: Ação sobre o corpo:
Atenção: A força exercida no corpo por um elemento de contato ou de apoio é sempre no 
sentido de se opor ao movimento do corpo isolado!
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Diagrama de corpo livre
• Tipos comuns de aplicação de forças em sistemas mecânicos em análises bidimensionais
Tipo de contato: Ação sobre o corpo:
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Diagrama de corpo livre
• Tipos comuns de aplicação de forças em sistemas mecânicos em análises bidimensionais
Tipo de contato: Ação sobre o corpo:
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Diagrama de corpo livre
• Construção do Diagrama de Corpo Livre
1º decidir qual sistema deve ser isolado;
2º isolar o sistema escolhido, desenhando um diagrama que represente completamente seu contorno 
externo;
3ֻº Identificar todas as forças que atuam no sistema isolado, devido a corpos removidos, que façam 
contato ou exerçam atração, representando suas posições adequadas no sistema. Identificar forças 
conhecidas por vetores com módulo, direção e sentido adequados e forças incógnitas por vetor com 
módulo ou direção desconhecida indicada por um símbolo. Se o sentido for desconhecido, atribuir 
sentido arbitrário (a resolução do sistema fornecerá valor positivo se o sentido estiver correto e 
negativo se estiver incorreto);
4º Mostrar a escolha dos eixos coordenados no diagrama e as dimensões pertinentes, sem carregá-lo 
com informação excessiva.
Atenção: não omitir forças que, à primeira vista, podem parecer desnecessárias aos cálculos. 
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Diagrama de corpo livre
• Exemplos de Diagramas de Corpo Livre
Sistema mecânico Diagrama de Corpo Livre do Corpo Isolado
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Diagrama de corpo livre
• Exemplos de Diagramas de Corpo Livre
Sistema mecânico Diagrama de Corpo Livre do Corpo Isolado
Bx
y
0
mg
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Diagrama de corpo livre
• Exercícios: 
1. Desenhe o diagrama de corpo livre de cada um dos corpos 
descritos a seguir;
2. os pesos dos corpos são significativos apenas se a massa for 
dada;
3. todas as forças, conhecidas ou incógnitas, devem ser 
identificadas;
4. quando o sentido da força não for conhecido, o mesmo 
deve ser arbitrado
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Diagrama de corpo livre
1. Barra uniforme horizontal de massa m, suspensa por um cabo vertical 
em A e sustentada por uma superfície inclinada rugosa em B.
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2. Treliça carregada, sustentada por conexão com pino em A e por um cabo 
em B.
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Diagrama de corpo livre
3. Barra uniforme de massa m e rolete de massa mo considerados em 
conjunto, submetidos a um momento M e sustentados como mostrado. O 
rolete é livre para girar.
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4. Roda uniforme de massa m sustentada por uma superfície rugosa e pela 
ação de um cabo horizontal.
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5. Placa uniforme e pesada, de massa m, sustentada por um cabo C e pela 
dobradiça A.
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Diagrama de corpo livre
6. Conjunto de armação, polias e cabo, que deve ser isolado como um único 
corpo. 
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Condições de equilíbrio
Corpo em equilíbrio = a resultante de todas as forças atuando nele é nula
Força resultante R = ∑F= 0
Momento resultante M = ∑M= 0
Quando as forças as quais o corpo está submetido atuam em um único plano ou 
podem ser projetadas em um único plano – pode-se considerar o problema 
bidimensional
Condições necessárias e 
suficientes para o equilíbrio
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• Condições de equilíbrio
Um corpo está em equilíbrio se todas as forças e momentos aplicados nele estiverem em 
equilíbrio. 
Equações escalares de equilíbrio em duas dimensões:
∑Fx= 0 ∑Fy= 0 ∑Mo = 0
Equilíbrio completo – todas as três equações devem ser satisfeitas
são condições independentes - uma pode ser satisfeita sem que a outra seja, ex.: corpo que 
desliza ao longo de uma superfície horizontal com velocidade crescente – somatório de forças 
na direção vertical será satisfeito.
Somatório nulo dos momentos de 
todas as forças em relação a qualquer
ponto O sobre o corpo ou fora dele
Condições de equilíbrio
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• Categorias de equilíbrio
Categoria 1 – equilíbrio de forças colineares
Categoria 2 – forças no plano concorrentes em um ponto 0
Categorias de equilíbrio
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• Exemplo 1
Determinar os módulos das forças C e T, que juntamente com as outras três forças 
mostradas atuam no nó de uma treliça de uma ponte
2 – utilizando eixos x’-y’:
∑Fy’=0
-C cos 20o – 3 cos 40o – 8 sen 40o + 16 sen 40o = 0
C = 3.03 kN
∑Fx’=0
T + 8 cos 40o – 16 cos 40o – 3 sen 40o –3.03 sen 20o = 0
T = 9.09 kN
1 - Forças concorrentes – equação de momentos não é necessária
Categorias de equilíbrio
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Equilíbrio de corpos rígidos em duas dimensões
• Categorias de equilíbrio
Categoria 3 – equilíbrio de forças paralelas em um plano
Categoria 4 – equilíbrio de um sistema geral de forças em um plano
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• Exemplo 2
A viga em I uniforme, com 100 kg, está inicialmente apoiada por rolete, em suas 
extremidades A e B, sobre um plano horizontal. Por meio de um cabo em C deseja-se 
levantar a extremidade B para uma posição 3 m acima da extremidade A. Determine 
a força trativa necessária P, a força de reação em A e o ângulo θ feito pela viga com a 
horizontal quando estiver na posição elevada
Categorias de equilíbrio
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• Exemplo 2 – Resolução
1 – Equilíbrio de forças paralelas
Diagrama de corpo livre
2 – Somatório de momento com relação a A elimina a reação R:
P(6 cos θ ) – 981 (4 cos θ ) =0 P = 654 N
3 – Equilíbrio de forças verticais: 
654 + R – 981 = 0 R = 327 N
4 – Ângulo θ depende apenas da geometria dada: 
sen t θ = 3/8 θ = 22o
Categorias de equilíbrio
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• Equilíbrio de um corpo sob ação de apenas duas forças
Para um elemento de duas forças estar em equilíbrio 
elas devem ser iguais, opostas e colineares
• Equilíbrio de um corpo sob ação de três forças
As linhas de ação das forças devem ser concorrentes
(ou paralelas – plano de concorrência no infinito)
Solução gráfica das equações de força: o polígono de 
forças é um circuito fechado
Categorias de equilíbrio
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• Equações de equilíbrio alternativas
Se ΣMA = 0 – a resultante, se existir
deve ser uma força R passando por A.
Se Σ Fx = 0 – sendo x eixo arbitrário, R, se existir, 
deve ser perpendicular a x.
Se Σ MB = 0 – B ponto arbitrário desde que a linha AB 
não seja perpendicular a x, R tem que ser zero – o 
corpo está em equilíbrio
Σ Fx= 0 Σ MA= 0 Σ MB = 0
(linha entre A e B não pode ser perpendicular a x).
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• Equações de equilíbrio alternativas
Se Σ MA = 0 – a resultante, se existir
deve ser uma força R passando por A.
Se Σ MB = 0 – a resultante, se houver, deve passar 
por B.
Se Σ MC = 0 – sendo C não colinear com A e B, R tem 
que ser zero – o corpo está em equilíbrio
Σ M A= 0 Σ MB= 0 Σ MC = 0
(A, B e C três pontos que não estejam na mesma 
linha reta).
Categorias de equilíbrio
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• Deve-se escolher as equações de equilíbrio que contenham somente uma
incógnita, quando possível – elimina a necessidade de resolver equações
simultâneas
Por exemplo:
- somando-se os momentos em relação ao ponto de interseção da linha de ação das 
forças desconhecidas
- somando-se as componentes na direção perpendicular a duas forças desconhecidas
paralelas
Categorias de equilíbrio
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Diagrama de corpo
livre
- Elimina-se as reações em A e B somando-se 
as componentes horizontais
- Elimina-se as reações em A e D somando-se 
os momentos em relação a C
- Elimina-se as reações em B e D somando-se 
os momentos em relação a D
Categorias de equilíbrio
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Restrições e determinação estática
Se as equações de equilíbrio não forem suficientes para determinar todas as forças 
incógnitas que podem atuar sobre o corpo – corpo estaticamente indeterminado
Se as três condições escalares de equilíbrio não fornecem informações suficientes 
para determinar todas as incógnitas, tem-se restrições adicionais além daquelas 
necessárias para sustentar uma configuração de equilíbrio sem liberdade de 
movimento
Se fosse conexão com 
pinos como em A
Quatro reações incógnitas:
Duas componentes de força em A;
Duas componentes de força em B;
Três equações de equilíbrio para quatro
incógnitas!
Não há informação suficiente para o 
cálculo de todas as incógnitas
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Restrições e determinação estática
Apoios redundantes - podem ser removidos sem destruir a condição de equilíbrio do 
corpo
Grau de indeterminação estática = número de elementos de apoio redundantes
Grau de indeterminação estática = (número total de forças externas incógnitas) –
(número de equações de equilíbrio independentes)
Estruturas estaticamente determinadas - Corpos apoiados pelo número mínimo de 
restrições necessário para assegurar uma configuração de equilíbrio
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Restrições e determinação estática
Atenção – três restrições não garantem uma configuração de equilíbrio estável
Três restrições adequadas –
completamente imóvel
Ponto A não pode se mover
Previne rotação em torno de A
Ponto A não pode se mover
Força transmitida passa por A – não oferece
restrição á rotação em A
Preso de modo incompleto sob 
restrições parciais
Preso de modo incompleto sob 
restrições parciais
Vínculos não oferecem resistência a um 
movimento vertical do corpo
Restrição redundante
Corpo estaticamente
indeterminado
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Equilíbrio de corpos rígidos em duas dimensões
• Para resolver problemas de equilíbrio:
1. Identificar as variáveis que são conhecidas e as incógnitas;
2. Isolar o corpo ( ou sistema)e desenhar o diagrama de corpo livre;
3. Escolher um sistema de eixos de referência conveniente, de forma a 
simplificar os cálculos;
4. Identificar as equações de força e momentos aplicáveis, que governam 
as condições de equilíbrio;
5. Equiparar o número de equações independentes com o número de 
incógnitas do problema;
6. Solucionar e verificar os resultados
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Equilíbrio de corpos rígidos em duas dimensões
• Exemplo 3
Calcule a força trativa T no cabo que sustenta a massa de 500 kg, com o arranjo de polias 
mostrado abaixo. Cada polia pode girar livremente em torno de seu mancal e os pesos de todas 
as peças são pequenos em comparação com a carga. Ache as componentes x e y da força total 
no mancal da polia C
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• Exemplo 3 - resolução
1 – Equilíbrio dos momentos em relação ao seu
centro O ( sendo r o raio da polia):
T1 r – T2 r = 0 T1 = T2
2 – Equilíbrio de forças verticais:
T1 + T2 - 500 (9.81) = 0 2T1 = 500 (9.81) 
T1 = T2 =2450 N 
3 – Por inspeção:
T3 = T4 =T2 /2 = 1226 N 
Polia A
Polia B
Polia C
4 – Por equilíbrio de momentos:
T = T3 1226 N 
5 – Somatório de forças horizontais:
1226 cos 30o – Fx = 0 Fx = 1062 N 
6 – Somatório de forças verticais:
Fy + 1226 sen 30o – 1226 = 0 Fy = 613 N 
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• Exemplo 4
Determine a força P necessária para manter o motor de 200 kg na posição para a qual θ=30o. O 
Diâmetro da polia em B é desprezível.
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• Exemplo 4 - resolução
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• Exemplo 5
O centro de massa G do carro de motor traseiro e com 1400 kg está localizado como mostrado
na figura. Determine a força normal sob cada pneu quando o carro está em equilíbrio.
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• Exemplo 5 - resolução
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Resumo
• Equilíbrio de corpo rígido: Somatório de forças e momentos em relação a um 
ponto = 0
• Traçados de diagrama de corpo livre:
- Definição do sistema;
- Isolamento do sistema;
- Identificação de todas as forças que agem no sistema ( tanto de contato como de 
atração);
- Identificação dos eixos de referência;
- Verificar a adequação das restrições
- Resolução das equações de equilíbrio pertinentes para obtenção das incógnitas
- Se houver mais apoios do que o necessário para manter o equilíbrio – corpo 
estaticamente indeterminado
- Resoluções algébricas podem ser simplificadas pela escolha de um eixo de 
momentos que elimine o máximo de incógnitas possível 
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	Universidade Federal do Rio de Janeiro�Escola Politécnica��Departamento de Estruturas�Disciplina Mecânica I – EEA212�Aulas 6 – Equilíbrio em duas dimensões
	Aula 6 – Equilíbrio em duas dimensões
	Equilíbrio de corpos rígidos
	Diagrama de corpo livre
	Diagrama de corpo livre
	Diagrama de corpo livre
	Diagrama de corpo livre
	Diagrama de corpo livre
	Diagrama de corpo livre
	Diagrama de corpo livre
	Diagrama de corpo livre
	Diagrama de corpo livre
	Diagrama de corpo livre
	Diagrama de corpo livre
	Diagrama de corpo livre
	Diagrama de corpo livre
	Diagrama de corpo livre
	Condições de equilíbrio
	Slide Number 19
	Slide Number 20
	Slide Number 21
	Equilíbrio de corpos rígidos em duas dimensões
	Slide Number 23
	Slide Number 24
	Slide Number 25
	Slide Number 26
	Slide Number 27
	Slide Number 28
	Slide Number 29
	Restrições e determinação estática
	Restrições e determinação estática
	Restrições e determinação estática
	Equilíbrio de corpos rígidos em duas dimensões
	Equilíbrio de corpos rígidos em duas dimensões
	Equilíbrio de corpos rígidos em duas dimensões
	Equilíbrio de corpos rígidos em duas dimensões
	Equilíbrio de corpos rígidos em duas dimensões
	Equilíbrio de corpos rígidos em duas dimensões
	Equilíbrio de corpos rígidos em duas dimensões
	Resumo