17417 Geometria Anal tica 1 Aula 18 Vol1

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Elipse
MO´DULO 1 - AULA 18
Aula 18 – Elipse
Objetivos
• Descrever a elipse como um lugar geome´trico.
• Determinar a equac¸a˜o reduzida da elipse no sistema de coordenadas
com origem no ponto me´dio entre os focos e eixo x como o eixo focal.
• Esboc¸ar o gra´fico da elipse, a partir da equac¸a˜o reduzida, e fazer
translac¸o˜es.
• Identificar os paraˆmetros a,b e c e a sua excentricidade.
• Determinar as coordenadas dos focos e dos ve´rtices, a partir da
equac¸a˜o reduzida.
Conceitos:
Sistemas de coordenadas e
distaˆncias no plano.
Refereˆncias:
Aulas 13 e 14.
Como acabamos de mencionar na aula anterior, ha´ muitas aplicac¸o˜es
para a para´bola, sendo esta curva plana encontrada em va´rias situac¸o˜es na
pra´tica cotidiana. A elipse, curva plana que vamos descrever nesta aula,
na˜o e´ ta˜o facilmente encontrada na natureza. Pore´m, observe as seguintes
figuras:
Figura 18.1: Vemos uma
elipse olhando um c´ırculo
de lado.
Figura 18.2: Elipse na
superf´ıcie da a´gua num
copo inclinado.
Figura 18.3: Elipse no
telhado do planeta´rio Ty-
cho Brahe em Copenha-
gen, Dinamarca.
Kepler, 1571-1630.
Nasceu perto de Stuttgart.
Obteve o modelo para o
movimento dos planetas,
usando os dados observados
pelo astroˆnomo Tycho
Brahe.
Embora os gregos ja´ conhecessem as coˆnicas, apenas em 1609 o astroˆnomo
alema˜o Johann Kepler descobriu que as o´rbitas dos planetas eram elipses.
Consideremos fixados no plano dois pontos F1 e F2.
A elipse e´ o lugar geome´trico dos pontos do plano cuja soma das
distaˆncias aos pontos F1 e F2 e´ constante. Escrevendo esta constante como
2a, temos
elipse= {P | d(P, F1) + d(P, F2) = 2a}.
Os pontos F1 e F2 sa˜o chamados focos da elipse.
Foi Kepler quem introduziu
o nome foco.
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Elipse
Figura 18.4: Vista da o´rbita que a Terra faz ao redor do Sol.
Figura 18.5: A soma das distaˆncias de um ponto da elipse a F1 e F2 e´ constante: d1+d2 =
2a.
Voceˆ ja´ deve ter observado que os jardineiros, preferencialmente, cons-
troem canteiros circulares e el´ıpticos. E´ muito fa´cil desenhar na terra ou no
papel c´ırculos e elipses. O jardineiro amarra cada ponta de um barbante em
um graveto, fixa os dois gravetos, na terra, a uma distaˆncia menor que o
comprimento do barbante e, com um terceiro graveto, estica o barbante. Os
pontos na terra descritos pelo terceiro graveto formam a elipse.
Voceˆ pode desenhar uma elipse no papel, prendendo as extremidades
do barbante com tachas e usando um la´pis para esticar o barbante. As tachas
sera˜o os focos da elipse. Observe que a distaˆncia entre os focos e´, obviamente,
menor do que o comprimento do barbante.
Figura 18.6: Desenhando uma elipse no papel.
Seja 2c a distaˆncia entre F1 e F2. Note que 2c < 2a, isto e´, c < a.
Para encontrar a equac¸a˜o de uma elipse, vamos fixar um sistema de
coordenadas. Consideramos o eixo x como a reta passando por F1 e F2, com
a origem O situada no ponto me´dio do segmento F1F2, e o eixo y sendo a
reta perpendicular a este segmento passando por O. A orientac¸a˜o do eixo x
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Elipse
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e´ de O para F2. O eixo y tem a sua orientac¸a˜o, forc¸osamente, fixada (para
relembrar o conceito de orientac¸a˜o, reveja a Aula 13).
Figura 18.7: Construc¸a˜o do sistema de coordenadas.
Nesse sistema de coordenadas, temos F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), onde c
e´ um nu´mero real positivo. Enta˜o, P = (x, y) e´ um ponto da elipse
⇐⇒ 2a = d(P, F1) + d(P, F2)
⇐⇒ 2a = d((x, y), (−c, 0)) + d((x, y), (c, 0))
⇐⇒ 2a = √(x− (−c))2 + (y − 0)2 +√(x− c)2 + (y − 0)2
⇐⇒ 2a = √(x + c)2 + y2 +√(x− c)2 + y2
⇐⇒ 2a−√(x− c)2 + y2 =√(x + c)2 + y2.
Elevando ao quadrado ambos os membros da u´ltima igualdade, obtemos
4a2 − 4a√(x− c)2 + y2 + (x− c)2 + y2 = (x + c)2 + y2.
Desenvolvendo os quadrados, temos
4a2 − 4a√(x− c)2 + y2 + x2 − 2cx + c2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2.
Cancelando as parcelas iguais e somando −4a2 +2cx a ambos os mem-
bros da igualdade, obtemos
−4a√(x− c)2 + y2 = 4cx− 4a2.
Cancelando o fator comum, temos
−a√(x− c)2 + y2 = cx− a2.
Elevando ao quadrado ambos os membros desta igualdade, temos
a2((x− c)2 + y2) = c2x2 − 2a2cx + a4.
Desenvolvendo o lado esquerdo desta igualdade, obtemos
a2x2 − 2a2cx + a2c2 + a2y2 = c2x2 − 2a2cx + a4.
Somando −c2x2 + 2a2cx − a2c2 a ambos os membros desta igualdade,
reescrevemos a equac¸a˜o como
(a2 − c2)x2 + a2y2 = a4 − a2c2 = a2(a2 − c2).
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Como a > c > 0, temos que a2 > c2. Assim, a2 − c2 e´ um nu´mero real
positivo e podemos escreveˆ-lo como o quadrado de um nu´mero real b > 0,
logo b2 = a2 − c2. Observe que b < a. A equac¸a˜o anterior se reescreve como
b2x2 + a2y2 = a2b2 que, dividindo por a2b2 6= 0, e´ equivalente a
x2
a2
+
y2
b2
= 1, onde c2 = a2 − b2.
Esta equac¸a˜o e´ chamada equac¸a˜o reduzida da elipse.
A interpretac¸a˜o geome´trica para a e b pode ser vista a partir da equac¸a˜o
reduzida. Fazendo y = 0 nesta equac¸a˜o, obtemos
x2
a2
= 1, que e´ equivalente
a x2 = a2. Portanto, x = ±a e os pontos A1 = (−a, 0) e A2 = (a, 0) sa˜o
pontos da elipse, chamados ve´rtices. O eixo maior da elipse e´ o segmento de
reta A1A2, que tem comprimento 2a. Fazendo agora x = 0, obtemos
y2
b2
= 1,
que da´ y = ±b. Logo, os pontos B1 = (0,−b) e B2 = (0, b) sa˜o os pontos de
intersec¸a˜o da elipse com o eixo y e sa˜o as extremidades do eixo menor, cujo
comprimento e´ 2b. A origem O e´ o centro da elipse. Observe que os focos
esta˜o situados no eixo maior da elipse.
Figura 18.8: Eixos maior e menor da
elipse.
Figura 18.9: Relac¸a˜o dos paraˆmetros:
a2 = b2 + c2.
O gra´fico da elipse e´
Graf =
{
(x, y)
∣∣ x2
a2
+
y2
b2
= 1
}
.
Ilustramos, nas Figuras 18.10 e 18.11, os gra´ficos de
x2
4
+
y2
1
= 1 e
x2
9
+
y2
4
= 1.
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Figura 18.10: Elipse x
2
4 +
y2
1 = 1. Figura 18.11: Elipse
x2
9 +
y2
4 = 1.
Note que:
(1) um ponto P = (x, y) esta´ na elipse ⇐⇒ (x,−y) tambe´m esta´ na elipse.
(2) um ponto P = (x, y) esta´ na elipse ⇐⇒ (−x, y) tambe´m esta´ na elipse.
(3) um ponto P = (x, y) esta´ na elipse ⇐⇒ (−x,−y) tambe´m esta´ na elipse.
As propriedades anteriores sa˜o consequ¨eˆncia das varia´veis x e y apare-
cerem ao quadrado na equac¸a˜o da elipse e significam, respectivamente, que:
(1) o gra´fico da elipse e´ sime´trico com respeito ao eixo x.
(2) o gra´fico da elipse e´ sime´trico com respeito ao eixo y.
(3) o gra´fico da elipse e´ sime´trico com respeito a` origem O.
Figura 18.12: Visualizac¸a˜o das simetrias dos pontos da elipse.
A excentricidade da elipse e´ o nu´mero real
e =
c
a
, 0 < e < 1.
A excentricidade da elipse e´ responsa´vel pela forma da elipse.
Elipses com excentricidade pro´xima de zero teˆm os semi-eixos com com-
primentos pro´ximos. Elas sa˜o aproximadamente um c´ırculo, pois
e =
c
a
≈ 0 =⇒ c ≈ 0 =⇒ c2 ≈ 0 =⇒ b2 = a2 − c2 ≈ a2 =⇒ b ≈ a. o s´ımbolo ≈ significa
aproximadamente.
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Elipse
Elipses com excentricidade pro´xima de um teˆm uma forma alongada,
com o semi-eixo menor de comprimento pro´ximo de zero, pois
e =
c
a
≈ 1 =⇒ c ≈ a =⇒ c2 ≈ a2 =⇒ b2 = a2 − c2 ≈ 0 =⇒ b ≈ 0.
Os planetas teˆm o´rbitas el´ıpticas em torno do Sol, um dos focos, com
excentricidade pro´xima de zero. O Cometa Halley leva 76 anos para dar uma
volta em torno do Sol, com o´rbita el´ıptica com excentricidade 0, 96, enquanto
a excentricidade da o´rbita da Terra e´ 0, 02.
Exemplo 18.1
Qual e´ o subconjunto do plano E = {(x, y)| 4x2 − 8x + 9y2 + 36y = −4}?
Para responder vamos tentar reescrever a equac¸a˜o anterior, tomando como
modelo a equac¸a˜o reduzida da elipse. Temos:
−4 = 4x2 − 8x + 9y2 + 36y, isolando os polinoˆmios em x e em y,
= (4x2− 8x) + (9y2 + 36y), colocando 4 e 9 em evideˆncia, na primeira
e segunda parcelas, respectivamente,
= 4(x2 − 2x) + 9(y2 + 4y), completando os quadrados dos polinoˆmios
em x e y, respectivamente,
= 4(x2 − 2x + 1− 1) + 9(y2 + 4y + 4− 4), reescrevendo,
= 4(x2 − 2x + 1)− 4 + 9(y2 + 4y + 4)− 36, escrevendo os quadrados,
= 4(x− 1)2 + 9(y + 2)2 − 40.
Esta igualdade e´ equivalente a
4(x− 1)2 + 9(y + 2)2 = 36.
Dividindo ambos os membros desta igualdade por 36, obtemos
(x− 1)2
9
+
(y + 2)2
4
= 1,
Figura 18.13: Elipses x
2
9 +
y2
4 = 1 e
(x−1)2
9 +
(y+2)2
4 = 1.
que e´ a equac¸a˜o de uma elipse obtida pela translac¸a˜o de 1 unidade, horizon-
talmente, e de −2 unidades, verticalmente, dos pontos da elipse com equac¸a˜o
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Elipse
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x2
9
+
y2
4
= 1. O centro (0, 0) desta u´ltima elipse e´ transladado para (1,−2).
De modo geral, a elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 tem centro (0, 0) e eixos de simetria
x = 0 e y = 0. Quando esta elipse e´ transladada de h unidades, horizontal-
mente, e de k unidades, verticalmente, uma elipse congruente e´ obtida tendo
equac¸a˜o
(x− h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1.
O centro (0, 0) e´ transladado para o ponto (h, k) e os focos, os ve´rtices,
as extremidades do eixo menor e os eixos de simetria sa˜o transladados como
indicado a seguir:
x2
a2
+
y2
b2
= 1
(x− h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1
centro: (0, 0) −→ (h, k)
focos: (c, 0) e (−c, 0) −→ (c + h, k) e (−c + h, k)
ve´rtices: (a, 0) e (−a, 0) −→ (a + h, k) e (−a + h, k)
extremidades
do eixo menor : (0, b) e (0,−b) −→ (h, b + k) e (h,−b + k)
eixos de simetria: x = 0 e y = 0 −→ x = h e y = k
Atenc¸a˜o:
A translac¸a˜o na˜o afeta a excentricidade, porque a translac¸a˜o na˜o de-
forma a figura.
Figura 18.14: Elipses x
2
a2
+ y
2
b2
= 1 e (x−h)
2
a2
+ (y−k)
2
b2
= 1, com a > b.
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Elipse
Resumo
Voceˆ aprendeu a descrever a elipse como um lugar geome´trico; a deter-
minar os paraˆmetros a, b e c da elipse, a partir da equac¸a˜o reduzida obtida
no sistema de coordenadas onde o eixo x e´ o eixo focal e a origem e´ o centro
de simetria da elipse ; a fazer translac¸o˜es; a determinar as coordenadas dos
focos, dos ve´rtices e do eixo menor; a determinar a excentricidade da elipse
e o seu significado.
Exerc´ıcios
1. Esboce o gra´fico das elipses:
(a)
x2
16
+
y2
9
= 1
(b)
x2
4
+
y2
1
= 1
(c)
x2
25
+
y2
16
= 1
(d) 8x2 + 9y2 = 72
(e) x2 + 9y2 = 36
(f)
(x− 1)2
9
+
(y + 2)2
4
= 1
(g) 9(x− 3)2 + 16(y − 2)2 = 144
(h) 4(x + 2)2 + 9(y − 3)2 = 36
(i) 9x2 + 25y2 = 225
2. Considere as elipses do exerc´ıcio anterior. Determine:
(a) as coordenadas dos focos e dos ve´rtices. (b) a excentricidade.
3. Determine a equac¸a˜o reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade
dada:
(a) Centro (0, 0), eixo maior horizontal de comprimento 8 e eixo menor
de comprimento 6.
(b) Focos (±3, 0) e ve´rtices (±5, 0).
(c) Os pontos limitantes dos eixos maior e menor sa˜o, respectiva-
mente, (3, 1), (9, 1) e (6,−1), (6, 3).
(d) Focos (−2, 4) e (6, 4), eixo menor de comprimento 8.
4. Determine as coordenadas do centro, ve´rtices e focos das elipses:
4x2 − 8x + 9y2 − 36y + 4 = 0 e 16y2 + 64y + x2 − 4x + 52 = 0.
5. O Sputnik, primeiro sate´lite lanc¸ado da Terra em 1957, descrevia uma
o´rbita el´ıptica, sendo o centro da Terra um dos focos. Determine a
equac¸a˜o da sua o´rbita, sabendo que, aproximadamente, a sua maior
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altitude foi de 840 km, a sua menor altitude foi de 189 km e o raio da
Terra e´ de 570 km.
Auto-avaliac¸a˜o
Se voceˆ sabe determinar a equac¸a˜o reduzida da elipse, a partir das
propriedades geome´tricas; esboc¸ar o gra´fico da elipse, usando a sua equac¸a˜o
reduzida; determinar as coordenadas dos ve´rtices, dos focos e das extremi-
dades do eixo menor, a partir da equac¸a˜o reduzida, enta˜o pode passar para
a pro´xima aula. Na Aula 22 continuaremos a estudar a elipse e veremos a
sua interessante propriedade reflexiva!
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