Lista de lgebra Linear Espao Vetorial

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Universidade Federal do Oeste da Bahia-UFOB
Lista de Exercício de Álgebra Linear- Espaço Vetorial
1) Seja V = R2. Nos itens abaixo diga por que as operações definidas em cada item
não fazem de R2 um espaço vetorial
a) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 0) e λ(x, y) = (λx, λy)
b) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e λ(x, y) = (λx, 0)
c) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e λ(x, y) = (x, λy)
d) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1) e λ(x, y) = (λx, λy)
e) (x1, y1) + (x2, y2) = (2x1 − 2y1,−x1 + y1) e λ(x, y) = (3λx,−λy)
2) Verifique se V = M2(R) e F = R é um espaço vetorial com as operações: soma
usual e a multiplicação por escalar dada por
λ�
[
a11 a12
a21 a22
]
=
[
λ.a11 a12
a21 λ.a22
]
3) Mostre que os seguintes subconjuntos do R4 são subespaços:
a) W = {(x, y, z, t) ∈ R4|x+ y = 0 e z − t = 0}.
b) U = {(x, y, z, t) ∈ R4|2x+ y − t = 0 e z = 0}.
4) Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial V .
a) V = C([a, b]) e U = {f ∈ C([a, b]); f(a) = 1}.
b) V = P3(R) e U = {p(t) ∈ P3(R); p(2) = 0 e p′(−1) = 0}.
c) V =Mn(R) e U = {A ∈Mn(R);A2 = A}
d) V = C([a, b]) e
U = {f ∈ C([a, b]); f(−x) = f(x), ∀x ∈ [−a, a]}
W = {f ∈ C([a, b]); f(−x) = −f(x),∀x ∈ [−a, a]}
1
e) V = R3 e S = {v ∈ R3; v = α(1,−1, 1) + (2, 1, 3)}
5) Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços deM2(R). Em caso afirma-
tivo exiba geradores.
a) V = {
[
a b
c d
]
com a,b,c,d ∈ R e b = c} .
b) W = {
[
a b
c d
]
com a,b,c,d ∈ R e b = c+ 1}
6) Considere o subespaço de R4, S = [(1, 1,−2, 4), (1, 1,−1, 2), (1, 4,−4, 8)]
a) O vetor (23 , 1,−1, 2) pertence a S?
b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S?
7) Em cada um dos casos abaixo, obtenha o subespaço U ∩W e verifique se a soma
é direta.
a) V = R4 com U = {(x, y, z, w) ∈ R4;x+ y = 0 e z − w = 0} e W = {(x, y, z, w) ∈
R4;x− y − z + w = 0}
b) V = P3(R) com U = {p(t) = a0 + a1t + a2t2 + a3t3 ∈ P3(R); a3 = −a1} e
W = {p(t) ∈ P3(R); p(−1) = p′(−1) = 0}
8) Nos casos abaixo verifique se S é L.I ou L.D:
a) V = R3 e S = {(1,−1, 3), (−2, 3,−5), (0, 1, 1)}
b) V = F(R) e S = {1, cos2 x, sin2 x}
c) V =M2(R) e S = {
[
0 0
0 0
]
,
[
pi
√
2√
3 0
]
,
[
1 332
41 90
]
}
d) V = P2(R) e S = {1, t, t2}.
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