Servomecanismo para Engenharia da Computação UFPE - AULA 2. Modelagem no domínio da frequência

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Prof. Adriano L. I. Oliveira
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Transformada de Laplace
■ O que são Transformadas? 
■ Quais as mais comuns: 
■ Laplace 
■ Fourier 
■ Cosseno 
■ Wavelet 
■ .....
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Transformada de Laplace
■ A transf. de Laplace representa entrada, saída e 
sistema como entidades separadas 
■ A relação entre elas é algébrica 
■ Transformada de Laplace: 
!
!
!
■ onde s = σ + jω é uma variável complexa 
■ F(s) é dita a transformada de Laplace de f(t)
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Transformada de Laplace
■ Transformada Inversa de Laplace 
!
!
!
!
!
!
!
■ Em geral, o cálculo da transformada inversa é bastante 
custoso, pois envolve o cálculo de integrais complexas, 
mas o conjunto de funções importantes para a área de 
controle é pequeno, permitindo o uso de tabelas que 
fazem o mapeamento dessas funções e de suas 
transformadas
na qual:
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Transformada de Laplace
■ Algumas transformadas conhecidas
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Transformada de Laplace
■ Propriedades
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Transformada de Laplace
■ Exemplo 1:
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Transformada de Laplace
■ Exemplo 2: Transformada Inversa 
!
!
!
■ Pelo teorema do deslocamento em frequência e pela 
transformada de Laplace de f(t) = t.u(t): 
■ Se: F(s) = 1/s2 → f(t) = t.u(t) 
■ e: F(s + a) = 1/(s + a)2 → f(t) = e-att.u(t) 
■ Então: F1(s) = 1/(s + 3)2 → f(t) = e-3tt.u(t)
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Transformada de Laplace
■ Transformada Inversa: Expansão em Frações 
Parciais 
■ A Expansão em Frações Parciais é uma ferramenta 
matemática bastante útil no cálculo da transf. de Laplace 
■ Objetivo matemático: Simplificar uma função, 
expandindo-a em funções de menor grau 
■ Objetivo para controle: Facilitar o cálculo da transf. de 
Laplace 
■ Métodos: 
■ Clearing Fractions 
■ Heaviside Cover-Up (ou Resíduos)
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Transformada de Laplace
■ Expansão em Frações Parciais (Clearing Fractions) 
■ Exemplo:
Fonte: aula de Sinais e 
Sistemas do prof. Aluízio 
Ribeiro.
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Transformada de Laplace
■ Expansão em Frações Parciais (Heaviside Cover-
Up ou Resíduos) 
■ Exemplo:
Fonte: aula de Sinais e 
Sistemas do prof. Aluízio 
Ribeiro.
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Transformada de Laplace
■ Expansão em Frações Parciais (Uso dos dois 
métodos) 
■ Exemplo:
Fonte: aula de Sinais e 
Sistemas do prof. Aluízio 
Ribeiro.
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Transformada de Laplace
■ Expansão em Frações Parciais 
■ Caso 1: Raízes do denominador são reais e distintas 
!
!
■ Caso 2: Raízes do denominador são reais e repetidas 
!
!
■ Caso 3: Raízes do denominador são complexas
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Transformada de Laplace
■ Uso de Transf. de Laplace: 
■ Resolução de Equações Diferenciais: Resolva a seguinte 
equação diferencial para y(t) com todas as condições 
iniciais nulas 
!
!
■ A transformada de Laplace para y(t) é: 
!
■ que leva a:
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Transformada de Laplace
■ Uso de Transf. de Laplace: 
■ Resolução de Equações Diferenciais (cont): 
■ Por expansão em frações parciais:
ou
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Função de Transferência
■ A função de transferência retrata a relação entre a 
saída e a entrada de um sistema 
■ Geralmente, as funções de entrada e saída se 
relacionam através de uma equação diferencial 
linear e invariante no tempo de n-ésima ordem:
na qual y(t) é a saída e x(t) é a entrada do sistema
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Função de Transferência
■ Dada a equação diferencial linear e invariante no 
tempo de n-ésima ordem: 
!
■ Calculando a transf. de Laplace: 
!
!
■ Se as condições iniciais forem nulas: 
!
■ Ou seja:
G(s) é a Função de Transferência
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Função de Transferência
■ Função de Transferência como diagrama de bloco: 
!
!
!
!
■ E podemos encontrar a saída de um sistema dada 
a entrada e sua função de transferência: 
■ Y(s) = G(s).X(s)
X(s) Y(s)
G(s)
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Função de Transferência
■ A FT de um sistema é um modelo matemático 
■ Método operacional de expressar a equação diferencial 
que relaciona a entrada à saída do sistema 
■ A FT é uma propriedade do sistema 
■ Independe do sinal de entrada 
■ A FT relaciona a entrada à saída, mas não fornece 
qualquer informação quanto à estrutura física do 
sistema 
■ Diferentes sistemas podem ter a mesma função de 
transferência
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Função de Transferência
■ Se a função de transferência de um sistema for 
conhecida, a saída pode ser estudada para várias 
formas de entrada a fim de entender a natureza do 
sistema 
■ Se a função de transferência for desconhecida, ela 
pode ser inferida experimentalmente introduzindo-
se sinais de entrada conhecidos e analisando o 
sinal de saída
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Função de Transferência
■ Quando a entrada é a função impulso, temos: 
■ Y(s) = G(s).X(s) 
■ X(s) = 1 ⇒ Y(s) = G(s) 
■ cuja transformada inversa daria g(t) 
■ Essa é a chamada resposta impulsional do sistema e 
também sua função de transferência 
■ Portanto, é possível obter informação completa sobre as 
características de um sistema excitando-o com um 
impulso unitário e medindo a sua resposta 
■ Na prática, seria um pulso de duração bastante curta
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Função de Transferência
■ Diagrama de blocos 
■ Representação gráfica das funções desempenhadas por 
cada um dos componentes de um sistema e do fluxo de 
sinais entre eles 
■ Todas as variáveis são ligadas umas às outras através 
de blocos funcionais 
■ O bloco traz a representação matemática da operação aplicada 
sobre a entrada que leva à saída 
■ A representação em diagramas de bloco de um sistema 
não é única
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Função de Transferência
■ Diagrama de blocos 
■ Elementos:
G(s)X+ -
X(s) E(s) Y(s)
Ponto de 
Soma
Ponto de 
Ramificação
Sistema de malha fechada
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Função de Transferência
■ Diagrama de blocos 
■ Outros tipos:
G(s)X+ -
X(s) E(s) Y(s)
H(s)
B(s)
Y(s) = E(s)G(s) = [X(s) – B(s)]G(s) = [X(s) – Y(s)H(s)]G(s) 
Y(s) + Y(s)H(s)G(s) = X(s)G(s) 
Y(s)/X(s) = G(s)/[1 + H(s)G(s)] (Função de Transferência do sistema)
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Função de Transferência
■ Diagrama de blocos 
■ Outros tipos:
G1(s)X+ -
X(s) Y(s)
H(s)
G2(s)X+ +
Perturbação 
D(s)
B(s)
Se D(s) = 0: 
Y(s)/X(s) = G1(s)G2(s)/[1 + G1(s)G2(s)H(s)] (Função de Transferência do sistema)
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Função de Transferência
■ Exemplo 1: Ache a função de transferência do 
sistema representado por: 
■ dy(t)/dt +2y(t) = x(t) 
■ Solução: Tomando a transf. de Laplace: 
■ sY(s) + 2Y(s) = X(s) 
■ (s + 2)Y(s) =X(s) 
■ G(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s + 2)
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Função de Transferência
■ Exemplo 2: Dada a função de transferência 
anterior, ache a resposta do sistema para um 
degrau unitário; considere nulas as condições 
iniciais: 
■ x(t) = u(t) 
■ G(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s + 2) 
■ X(t) = u(t) ⇒ X(s) = 1/s 
■ Logo: Y(s) = G(s).X(s) 
■ Y(s) = 1/[s.(s + 2)] 
■ Y(s) = 0,5/s – 0,5/(s + 2) 
■ Expansão em Frações Parciais 
■ y(t) = 0,5 – 0,5e-2t
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Função de Transferência
■ Exemplo 2 (cont.): 
■ Solução total pelo MatLab
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Função de Transferência
■ Exercício 1: Ache a função de transferência da 
equação diferencial: 
!
!
■ Solução: Tomando a transf. de Laplace: 
■ Y(s)(s3 + 3s2 + 7s + 5) = X(s)(s2 + 4s + 3) 
■ Logo: 
■ G(s) = Y(s)/X(s) = (s2 + 4s + 3)/(s3 + 3s2 + 7s + 5)
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Função de Transferência
■ Exercício 2: Ache a equação diferencial 
correspondente à seguinte função de transferência: 
■ G(s) = (2s + 1)/(s2 + 6s + 2) 
■ Solução: 
■ G(s) = Y(s)/X(s) = (2s + 1)/(s2 + 6s + 2) 
■ Logo: 
■ Y(s)(s2 + 6s + 2) = X(s)(2s + 1) 
■ s2Y(s) + 6sY(s) + 2Y(s) = 2sX(s) + X(s) 
■ ⇒ d2y/dt2 + 6dy/dt + 2y = 2dx/dt + x
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Função de Transferência
■ Exercício 3: Ache a resposta a uma rampa para um 
sistema cuja função de transferência é: 
■ G(s) = s/[(s + 4)(s + 8)] 
■ Solução:
Logo:
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Modelagem matemática de circuitos elétricos 
■ Resistores, capacitores e indutores 
■ Componentes são combinados em circuitos e 
encontramos a função de transferência
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Rede RLC 
■ Problema: Encontrar a função de transferência que 
relaciona a voltagem do capacitor (Vc(s)) com a voltagem 
de entrada (V(s))
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Rede RLC 
■ Somando as voltagens no laço e considerando nulas as 
condições iniciais, temos a seguinte equação diferencial 
para essa rede:
Considerando:
Temos:
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Rede RLC
A voltagem de um capacitor é dada por: 
Temos assim:
Ou seja: 
Calculando a Transformada de Laplace:
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Rede RLC
Ou: 
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Para simplificar, vamos considerar a transf. de 
Laplace das equações de voltagem da tabela 
anterior (assumindo nulas as condições iniciais): 
■ Capacitor: 
!
■ Resistor: 
!
■ Indutor: 
!
■ Definimos, assim, a seguinte função de transferência:
Impedância
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Rede RLC: 
!
!
■ Podemos entender Z(s) como a soma das impedâncias e 
V(s) como a soma das voltagens. Assim: 
■ [Soma das Impedâncias].I(s) = [Soma das Voltagens]
Circuito 
transformado
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Rede RLC: 
■ Resolvendo o problema anterior usando impedâncias: 
■ Temos: 
!
■ Logo: 
!
!
■ Como: 
!
!
■ Assim: 
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Rede RLC: 
■ Ou:
Como encontrado anteriormente....
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Análise de Malha 
■ Substitua elementos passivos por funções de impedância 
■ Substitua fontes e variáveis de tempo por suas transf. de 
Laplace 
■ Assuma uma corrente transformada e uma direção de 
corrente em cada malha 
■ Aplique a lei de Kirchhoff para cada malha 
■ Resolva as equações simultâneas para a saída 
■ Forme a função de transferência
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Análise de Malha 
■ Exemplo:
Malha 1 Malha 2
G(s) = I2(s)/V(s) = ?
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Análise de Malha 
■ Exemplo (cont.): Passo 1: Impedâncias
Malha 1 Malha 2
Malha 1:
Malha 2:
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Análise de Malha 
■ Exemplo (cont.): Temos: 
!
!
!
!
■ De (2): 
!
■ Substituindo em (1):
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Análise de Malha 
■ Exemplo (cont.): Ou:
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Análise de Malha 
■ Exemplo (cont.): Observe que as equações paras as 
malhas 1 e 2 seguiram um mesmo padrão usado 
anteriormente. Ou seja:
Malha 1: I1(s) - I2(s) = 
Soma das 
Impedâncias 
da Malha 1
Soma das 
Impedâncias 
comuns
Soma das 
Voltagens da 
Malha 1
Malha 2: − I1(s) + I2(s) = 
Soma das 
Impedâncias 
comuns
Soma das 
Impedâncias 
da Malha 2
Soma das 
Voltagens da 
Malha 2
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Análise de Nós: 
■ Exemplo: Encontrar a função de transferência Vc(s)/V(s) 
para o circuito abaixo, usando análise de nós: 
!
!
!
!
!
!
■ Nesse caso, usamos a soma das correntes nos nós ao 
invés da soma das voltagens nas malhas
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Análise de Nós: 
■ Exemplo (cont.): Da figura anterior, as somas das 
correntes nos nós VL(s) e VC(s) são, respectivamente: 
!
!
!
!
■ Expressando as resistências em termos de condutância 
■ G1 = 1/R1 e G2 = 1/R2
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Análise de Nós: 
■ Exemplo (cont.): Assim:
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Análise de Nós: 
■ Substitua elementos passivos por funções de admitância 
■ Y(s) = 1/Z(s) = I(s)/V(s) 
■ Substitua fontes e variáveis de tempo por suas transf. de 
Laplace 
■ Substitua as fontes de voltagem transformadas por fontes de 
corrente transformadas 
■ Aplique a lei de Kirchhoff para cada nó 
■ Resolva as equações simultâneas para a saída 
■ Forme a função de transferência 
■ Teorema de Norton 
■ Uma fonte de tensão V(s) em série com uma impedância ZS(s) 
pode ser substituída por uma fonte de corrente I(s) = V(s)/
ZS(s), em paralelo com YS(s)
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Análise de Nós: Exemplo: 
■ Ache a função de transferência VC(s)/V(s) usando análise 
de nós e circuito transformado com fontes de corrente
Circuito Original: 
Circuito Transformado: 
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos■ Análise de Nós: Exemplo (cont.): 
■ Todas as impedâncias são convertidas para admitâncias 
■ Todas as fontes de tensão são convertidas para fontes 
de corrente colocadas em paralelo com admitância de 
acordo com o teorema de Norton
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Análise de Nós: Exemplo (cont.): 
■ Como Y(s) = I(s)/V(s) ⇒ I(s) = Y(s)V(s) 
■ Somando as correntes no nó VL(s) temos: 
!
!
■ Somando as correntes no nó VC(s) temos: 
!
■ Combinando essas equações, encontramos, como antes:
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Análise de Nós: Exemplo (cont.): 
■ Como antes, também temos um padrão:
Nó 1: VL(s) - VC(s) = 
Soma das 
Admitâncias 
conectadas 
no Nó 1
Soma das 
Admitâncias 
comuns aos 
Nós
Soma das 
Correntes 
aplicadas no 
Nó 1
Nó 2: − VL(s) + VC(s) = 
Soma das 
Admitâncias 
comuns aos 
Nós
Soma das 
Admitâncias 
conectadas 
ao Nó 2
Soma das 
Correntes 
aplicadas no 
Nó 2
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Exemplo:
Malha 1 Malha 2
Malha 3
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Exemplo (cont.):
Malha 1:
Malha 2:
Malha 3:
Soma das 
Impedâncias 
na Malha 1
I1(s) - I2(s) - I3(s) = 
Soma das 
Impedâncias 
comuns às 
Malhas 1 e 2
Soma das 
Impedâncias 
comuns às 
Malhas 1 e 3
Soma das 
voltagens 
aplicadas à 
Malha 1
Soma das 
Impedâncias 
comuns às 
Malhas 1 e 2
- I1(s) + I2(s) - I3(s) = 
Soma das 
Impedâncias 
na Malha 2
Soma das 
Impedâncias 
comuns às 
Malhas 2 e 3
Soma das 
voltagens 
aplicadas à 
Malha 2
Soma das 
Impedâncias 
comuns às 
Malhas 1 e 3
- I1(s) - I2(s) + I3(s) = 
Soma das 
Impedâncias 
comuns às 
Malhas 2 e 3
Soma das 
Impedâncias 
na Malha 3
Soma das 
voltagens 
aplicadas à 
Malha 3
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Exemplo (cont.): 
■ Malha 1: (2s + 2)I1(s) – (2s + 1)I2(s) – I3(s) = V(s) 
■ Malha 2: -(2s + 1)I1(s) + (9s + 1)I2(s) – 4sI3(s) = 0 
■ Malha 3: -I1(s) – 4sI2(s) + (4s + 1 + 1/s)I3(s) = 0 
■ As 3 equações devem ser resolvidas simultaneamente 
para encontrarmos as funções de transferência 
desejadas (como I3(s)/V(s), por exemplo)
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Exemplo (cont.): 
(2s + 2)I1 – (2s + 1)I2 – I3 = V (1) 
-(2s + 1)I1 + (9s + 1)I2 – 4sI3 = 0 (2) 
-I1 – 4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 = 0 (3) 
De (3): 
I1 = -4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 (4) 
Substituindo (4) em (2): 
(2s + 1)[4sI2 - (4s + 1 + 1/s)I3] + (9s + 1)I2 – 4sI3 = 0 
I2 = -I3(8s2 + 10s + 3 + 1/s)/(8s2 + 13s + 1) (5) 
!
Substituindo (5) em (4), achamos I1 em função apenas de I3. Assim, temos 
em (1), I1 e I2 em função de I3 e podemos isolar I3 e calcular a função de 
transferência I3/V.
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
■ Exemplo (cont.): No MatLab 
(2s + 2)I1 – (2s + 1)I2 – I3 = V 
-(2s + 1)I1 + (9s + 1)I2 – 4sI3 = 0 
-I1 – 4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 = 0
MatLab Symbolic Toolbox
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■ Amplificador Operacional 
■ Os amplificadores operacionais são amplificadores de 
acoplamento direto, de alto ganho, que usam 
realimentação para controle de suas características
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
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■ Amplificador Operacional
Amplificador 
operacional
Amplificador 
operacional 
inversor
Amplificador 
operacional 
como função 
de transferência
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
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■ Amplificador Operacional 
■ Características: 
■ Entrada diferencial: v2(t) – v1(t) 
■ Alta impedância de entrada: Zi → ∞ (ideal) 
■ Baixa impedância de saída: Zo → 0 (ideal) 
■ Alta constante de ganho de amplificação: A → ∞ (ideal) 
■ A saída é dada por: vo(t) = A(v2(t) – v1(t))
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
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■ Amplificador Operacional Inversor 
■ Se v2(t) está aterrado, o amplificador é chamado de 
inversor porque passamos a ter: vo(t) = -Av1(t) 
■ Na configuração da figura c anterior, a função de 
transferência do amplificador operacional inversor é:
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
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■ Exemplo: Ache a função de transferência Vo(s)/Vi(s) 
para o circuito abaixo:
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
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■ Exemplo (cont.): 
■ Como a admitância de componentes paralelos se 
somam, Z1(s) é o inverso da soma das admitâncias ou: 
!
!
!
■ Para Z2(s) as impedâncias se somam: 
!
!
■ Assim: 
Compensador PID
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
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■ Amplificador Operacional Não Inversor
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
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■ Amplificador Operacional Não Inversor: Exemplo: 
■ Ache Vo(s)/Vi(s)
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
Prof. Adriano Lorena I. de Oliveira – alio@cin.ufpe.br 68
■ Amplificador Operacional
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
Prof. Adriano Lorena I. de Oliveira – alio@cin.ufpe.br 69
■ Amplificador Operacional
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
Prof. Adriano Lorena I. de Oliveira – alio@cin.ufpe.br 70
Exercícios Sugeridos (Nise)
■ Cap. 2, Problemas: 
■ 1, 2, 7, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 20a 
!
■ No MatLab: 
■ 5, 6, 14, 20b
Prof. Adriano Lorena I. de Oliveira – alio@cin.ufpe.br 71
A Seguir....
■ Modelagem no Domínio do Tempo