Servomecanismo para Engenharia da Computação UFPE - AULA 6. Estabilidade

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Estabilidade
Servomecanismo 
Prof. Adriano L. I. Oliveira 
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Introdução
■ Já vimos que existem três requisitos fundamentais 
para projetar um sistema de controle: 
■ Resposta Transiente 
■ Estabilidade 
■ Erros de Estado Estacionário 
■ Estabilidade é a mais importante especificação de 
sistema 
■ Se o sistema é instável, a resposta em transiente e 
os erros de estado estacionário são irrelevantes
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Introdução
■ Um sistema linear e invariante no tempo é estável 
se a resposta natural se aproxima de zero quando 
o tempo tende a infinito 
■ Um sistema linear e invariante no tempo é instável 
se a resposta natural cresce sem limites quando o 
tempo tende a infinito 
■ Um sistema linear e invariante no tempo é 
marginalmente estável se a resposta natural nem 
cai e nem cresce mas permanece constante ou 
oscila quando o tempo tende a infinito
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Introdução
■ Assim, a definição de estabilidade implica que 
apenas a resposta forçada permanece à medida 
que a resposta natural se aproxima de zero 
■ Um sistema é dito estável se toda entrada limitada 
leva a uma saída limitada 
■ BIBO – Bounded-Input, Bounded-Output 
■ Ou, um sistema é instável se qualquer entrada 
limitada leva a uma saída ilimitada 
■ Um sistema é marginalmente estável se o sistema 
for estável para algumas entradas limitadas e 
instável para outras
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Introdução
■ Lembrando nosso estudo sobre polos, polos no 
semi-plano esquerdo produzem respostas naturais 
de decaimento exponencial puro ou senóides 
amortecidas 
■ Essas respostas naturais tendem a zero à medida 
que o tempo tende a infinito 
■ Assim, se os polos de um sistema de malha 
fechada estiverem no semi-plano esquerdo (ou 
seja, têm parte real negativa), o sistema será 
estável
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Introdução
■ Assim, sistemas estáveis possuem funções de 
transferência em malha fechada com polos apenas 
no semi-plano da esquerda 
■ Polos no semi-plano direito produzem respostas 
naturais na forma de exponenciais crescentes ou 
senóides exponencialmente crescentes 
■ Essas respostas naturais tendem a infinito quando o 
tempo tende a infinito também 
■ Também, polos com multiplicidade maior que 1 no 
eixo imaginário levam à soma de respostas da 
forma Atncos(ωt+ φ), onde n = 1, 2, ..., que também 
tendem a infinito quando o tempo tende a infinito
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Introdução
■ Logo, sistemas instáveis possuem funções de 
transferência em malha fechada com pelo menos 
um polo no semi-plano da direita ou polos com 
multiplicidade maior que 1 no eixo imaginário 
■ Por último, sistemas que têm polos no eixo 
imaginário com multiplicidade 1 geram oscilações 
senoidais puras como resposta natural 
■ Assim, sistemas marginalmente estáveis possuem 
funções de transferência em malha fechada com 
apenas polos no eixo imaginário com multiplicidade 
1 e polos no semi-plano esquerdo
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Introdução
■ Exemplo 1:
Observe que 
são os polos 
do sistema 
completo!
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Introdução
■ Exemplo 1 (cont.):
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Introdução
■ Exemplo 1 (cont.): Sistema equivalente 
!
!
!
!
■ Cujos polos são: 
■ >> p = [1 3 2 3]; 
■ >> r = roots (p) 
■ r = 
■ -2.6717 
■ -0.1642 + 1.0469i 
■ -0.1642 - 1.0469i
R(s) C(s)
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Introdução
■ Exemplo 2:
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Introdução
■ Exemplo 3:
Sistema original
Sistema equivalente
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Introdução
■ Exemplo 3 (cont.):
>> p = [1 28 284 1232 1930 20]; 
>> r = roots (p) 
r = 
 -9.7992 
 -8.4517 
 -5.6186 
 -4.1200 
 -0.0104
Sistema Estável! Polos no 
semi-plano esquerdo.
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Introdução
■ Exemplo 3 (cont.):
>> num = [10 20]; 
>> den = [1 28 284 1232 1930 20]; 
>> sys = tf(num, den); 
>> ltiview ({'pzmap'; 'step'}, sys);
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Introdução
■ Analisando o polinômio do denominador, algumas 
pistas podem dar dicas sobre a instabilidade do 
sistema: 
■ Se os sinais dos coeficientes do denominador forem 
diferentes (houver sinais positivos e negativos), então o 
sistema é instável 
■ Se há algum sinal negativo, ele só pode ter sido gerado por um 
produto do tipo (s + a)(s – a) 
■ Se potências de s forem perdidas (coeficiente igual a 
zero), o sistema é instável 
■ Se alguma potência tem coeficiente zero, isso quer dizer que ela 
foi anulada, ou seja, houve um a.sx – a.sx, o que implica que 
houve troca de sinal (caso anterior)
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Garante informação sobre a estabilidade do 
sistema sem precisar encontrar os polos do 
sistema 
■ Através dele, sabemos quantos polos existem no 
semi-plano direito, semi-plano esquerdo e eixo 
imaginário 
■ Passos: 
■ Gerar a Tabela de Routh 
■ Analisar a Tabela de Routh
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Geração da Tabela de Routh Básica 
■ Considere o sistema abaixo, um sistema equivalente a 
função de transferência de um sistema de malha 
fechada: 
!
!
!
■ Como estamos interessados nos pólos, vamos nos 
concentrar no polinômio do denominador e vamos 
criando a tabela...
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Geração da Tabela de Routh Básica 
■ Polinômio: a4s4 + a3s3 + a2s2 + a1s + a0 
■ Começamos legendando as linhas com as potências de s 
da maior para a menor 
■ Em seguida, comece com o coeficiente da maior 
potência de s e atribua ele à primeira posição da tabela 
(posição onde está sua potência correspondente) 
■ A próxima linha recebe o segundo maior coeficiente e as 
colunas vão sendo completadas alternando assim entre 
linhas.... 
■ Adicione zero na última posição, se necessário
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Geração da Tabela de Routh Básica 
■ Polinômio: a4s4 + a3s3 + a2s2 + a1s + a0
s4
s3
s2
s1
s0
a4
a3
a2
a1
a0
0
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Geração da Tabela de Routh Básica 
■ Polinômio: a4s4 + a3s3 + a2s2 + a1s + a0 
■ A terceira linha deve ter o mesmo número de elementos 
que a linha anterior 
■ Cada elemento será uma divisão onde: 
■ O denominador é o primeiro elemento da linha anterior (fixo para 
todos os elementos dessa linha) 
■ O numerador é o determinante das entradas das linhas 
anteriores, onde a primeira coluna é sempre a primeira coluna 
anterior; as próximas colunas seguem a sequência: 
!
!
!
■ Acrescentando zeros se necessário....
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Geração da Tabela de Routh Básica 
■ Polinômio: a4s4 + a3s3 + a2s2 + a1s + a0
s4
s3
s2
s1
s0
a4
a3
a2
a1
a0
0
= 0
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Geração da Tabela de Routh Básica 
■ Polinômio: a4s4 + a3s3 + a2s2 + a1s + a0 
■ E assim por diante....
s4
s3
s2
s1
s0
a4
a3
a2
a1
a0
0
= 0
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Geração da Tabelade Routh Básica 
■ Exemplo 1:
Linhas podem ser 
simplificadas, mas 
com cuidado..... 
Uma linha pode ser 
toda multiplicada por 
uma constante 
(nesse caso, 1/10). 
MAS preserve o 
sinal do elemento 
da primeira coluna!
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Geração da Tabela de Routh Básica 
■ Exemplo 1 (cont.): Observação:
Observe que essa 
coluna foi necessária 
para podermos montar a 
segunda matriz da linha 
3. 
Observe que esse elemento é 
necessário porque temos que 
ter o mesmo número de 
elementos em todas as linhas.
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Interpretando a Tabela de Routh Básica 
■ Exemplo 1 (cont.):
O número de raízes do 
polinômio que estão no 
semi-plano direito é igual 
ao número de mudanças 
de sinal da primeira 
coluna da tabela de 
Routh. Neste exemplo, 
temos duas mudanças 
(de 1 para -72 e de -72 
para 103), assim, o 
sistema é instável já que 
existem polos no semi-
plano direito.
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Interpretando a Tabela de Routh Básica 
■ Exemplo 2: 
■ P(s) = 3s7 + 9s6 + 6s5 + 4s4 + 7s3 + 8s2 + 2s + 6
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Interpretando a Tabela de Routh Básica 
■ Exemplo 2 (cont.):
Ex: 
-det[3 9; 6 4]/9
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Interpretando a Tabela de Routh Básica 
■ Exemplo 2 (cont.):
Ex: 
-det[4.667 0; -4.357 6]/(-4.357)
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Interpretando a Tabela de Routh Básica 
■ Exemplo 2 (cont.):
Análise: Número de mudanças de sinal: 4 
⇒ Há 4 polos no semi-plano direito e três 
no esquerdo
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Casos Especiais 
■ 1) A tabela de Routh tem zero apenas na primeira coluna 
de uma linha 
■ Pode gerar uma divisão por zero na próxima linha 
■ Solução 1: adicionar um bias (ε): um valor muito baixo, próximo 
de zero, usado apenas para evitar a divisão por zero 
■ O sinal do bias pode ser positivo ou negativo; isso precisa ser 
analisado depois 
■ Solução 2: Uso de coeficientes reversos
Fazendo s = 1/d (as raízes de d serão recíprocas às de s):
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Casos Especiais 
■ 1) A tabela de Routh tem zero apenas na primeira coluna 
de uma linha 
■ Exemplo:
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Casos Especiais 
■ 1) A tabela de Routh tem zero apenas na primeira coluna 
de uma linha 
■ Exemplo (cont.):
Para ε positivo, temos duas mudanças 
de sinal, assim, o sistema tem dois 
polos no semi-plano direito sendo 
instável; Para ε negativo, temos duas 
mudanças de sinal também, assim, o 
sistema tem dois polos no semi-plano 
direito sendo instável.
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Casos Especiais 
■ 1) A tabela de Routh tem zero apenas na primeira coluna 
de uma linha 
■ Exemplo (cont.): 
!
■ Por coeficientes reversos: D(s) = 3s5 + 5s4 + 6s3 + 3s2 + 2s + 1
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Casos Especiais 
■ 2) A tabela de Routh tem toda uma linha igual a zero 
■ Exemplo:
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Casos Especiais 
■ 2) A tabela de Routh tem toda uma linha igual a zero 
■ Exemplo (cont.):
Solução: Voltamos à linha anterior à 
linha nula e criamos um polinômio 
auxiliar formado por seus coeficientes 
apenas. No caso, P(s) = 1s4 + 6s2 + 8. 
Derivamos esse polinômio: 
dP(s)/ds = 4s3 + 12s + 0 
e usamos esses coeficientes como 
entradas da tabela. No caso, podemos 
simplificá-los, dividindo por 4, ficando 
com 1s3 + 3s + 0. 
Depois, prosseguimos normalmente....
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Casos Especiais 
■ 2) A tabela de Routh tem toda uma linha igual a zero 
■ Exemplo (cont.):
Como não há mudanças de sinal, o sistema não tem 
polos no semi-plano direito. Nada pode ser dito sobre 
a estabilidade ainda (veremos a seguir..).
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Casos Especiais 
■ 2) A tabela de Routh tem toda uma linha igual a zero 
■ Exemplo (cont.): 
!
■ Por que isso aconteceu? Vamos olhar novamente o primeiro 
passo da Tabela:
Se considerarmos a linha acima da linha nula como um polinômio, teríamos: s4 + 
6s2 + 8. Esse polinômio divide o polinômio original (ou seja, é um de seus fatores). 
Isso acontece porque há um polinômio par que divide o polinômio original. Nesse 
caso, acontece a linha nula. O polinômio da linha s4 é ainda um polinômio par (só 
possui potências pares de s), enquanto o polinômio da linha s5 é dito um 
polinômio ímpar (só possui potências ímpares de s).
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Casos Especiais 
■ 2) A tabela de Routh tem toda uma linha igual a zero 
■ Exemplo 2: Denominador é 
■ s8 + s7 + 12s6 + 22s5 + 39s4 + 59s3 + 48s2 + 38s + 20
(s4 + 3s2 +2) divide o polinômio: 
s8 + s7 + 12s6 + 22s5 + 39s4 + 59s3 + 48s2 + 38s + 
20, gerando a linha nula.
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Projeto de Sistema Estável via Routh-Hurwitz 
■ Exemplo: 
■ Considere o sistema abaixo e sua função de transferência 
equivalente: 
!
!
!
!
!
!
■ Encontre o valor de K para que o sistema seja estável, instável 
ou marginalmente estável. 
■ Considere K > 0
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Projeto de Sistema Estável via Routh-Hurwitz 
■ Exemplo (cont.): 
■ Tabela de Routh:
• Se K > 1386, teremos uma mudança de sinal 
por causa da terceira linha, gerando um 
sistema instável; 
• Se K < 1386, todos os termos da primeira 
coluna serão positivos, não havendo 
mudança de sinal. Assim, o sistema será 
estável; 
• Se K = 1386, teremos a terceira linha como 
nula. Isso leva à necessidade de voltar à linha 
anterior, derivar seu polinômio e considerá-lo 
assim (considerando K=1386).
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Projeto de Sistema Estável via Routh-Hurwitz 
■ Exemplo (cont.): 
■ Nesse último caso, como não há mudanças de sinal do polinômio 
par (linha s2) para baixo, o polinômio par tem suas duas raízes 
no eixo imaginário apenas (do contrário, por simetria, haveria 
raízes no semi-plano direito) 
■ Como não há mudanças de sinal acima do polinômio par 
também, as raízes restantes estão no semi-plano esquerdo 
■ Assim, o sistema é marginalmente estável
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Estabilidade na Representação Estado-Espaço 
■ Nesse caso, como já vimos, o polinômio do denominador 
é dado por: det(sI – A), onde A é a matriz do sistema 
■ Assim, a Tabela de Routh deve ser aplicada sobre o 
polinômio gerado por esse determinante 
■ Exemplo:
Sistema:
Tabela de Routh
Uma mudança de sinal ⇒ Um polo no 
semi-plano direito ⇒ Sist. Instável
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Exemplo 1: s5 + 3s4 + 5s3 + 4s2 + s + 3
s5 1 5 1 
!
s4 3 4 3 
!
s3 11/3 0 0 
!
s2 4 3 0 
!
s1 -11/40 0 
!
s0 3 0 0
Duas mudanças de sinal ⇒ 2 polos no SPD e, por consequência, 3 no SPE
Polos: -1.6, -0.9±1.5j, 0.2±0.7j
+ ⇒ -
- ⇒ +
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Exemplo 2: s5 + 6s3 + 5s2 + 8s + 20
s5 1 6 8 
!
s4 0 5 20 
!
s3 
!
s2 
!
s1 
!
s0
Zero na primeira coluna: Uso do polinômio reverso.... !
1 0 6 5 8 20 !!
20 8 5 6 0 1
Polos: 0.6±1.8j, 2j, -2j, -1.3
Obs: Já sabemos que é instável por ter um coeficiente nulo.
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Exemplo 2.1: s5 + 6s3 + 5s2 + 8s + 20
s5 20 5 0 
!
s4 8 6 1 
!
s3 -10 -5/2 0 
!
s2 4 1 0 
!
s1 0 0 0 
!
s0 1 0 0
4s2 + 1 = 0 ⇒ 8s
Linha nula
1) De s5 até s2, temos duas mudanças de sinal, logo, temos dois polos no SPD. Há ainda mais um 
polo que deve estar no SPE. 
2) De s2 até s0, a partir do polinômio par, não houve mudanças de sinal. Logo, não há polos no SPE 
e nem no SPD. Temos então dois polos no eixo imaginário.
Polos: 0.6±1.8j, ±2j, -1.3
8
I
II
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Exemplo 3: s5 – 2s4 + 3s3 - 6s2 + 2s - 4
s5 1 3 2 
!
s4 -2 -6 -4 
!
s3 0 0 0 
!
s2 -3/2 -4/2 0 
!
s1 -1/3 0 0 
!
s0 -4 0 0
-s4 – 3s2 - 2 = 0 ⇒ -4s3 – 6s
Linha nula
1) De s5 até s4, temos uma mudança de sinal, logo, temos um polo no SPD. 
2) De s4 até s0, temos nenhuma mudança de sinal. Logo, não há polos no SPD e nem no SPE. Isso 
implica que temos 4 polos no eixo imaginário (obviamente, temos que ter 2 pares).
Polos: 2, ±1.4j, ±j
-1 -3 -2
-4 -6-2 -3
x2
I
II
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Critério de Routh-Hurwitz
■ Exemplo 4: s6 + 3s5 + 4s4 + 6s3 + 5s2 + 3s + 2
s6 1 4 5 2 
!
s5 3 6 3 0 
!
s4 2 4 2 0 
!
s3 0 0 0 0 
!
s2 1 1 0 0 
!
s1 0 0 0 0 
!
s0 1 0 0 0
I
II
III
1 2 1
11 2
s4 + 2s2 + 1 = 0 ⇒ 4s3 + 4s
4 41 1
2 1
s2 + 1 = 0 ⇒ 2s
Linha nula
Linha nula
I: Nenhuma mudança de sinal e duas raízes (no SPE) 
II: Nenhuma mudança de sinal; raízes nem no SPE, nem no SPD ⇒ duas no eixo imaginário 
III: Mesmo que o anterior. Como houve duas linhas nulas ⇒ multiplicidade dupla nas raízes do eixo
Polos: -1, -2, -j, +j, -j,+j
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Exercícios Sugeridos (Nise)
■ Cap. 6, Problemas: 
■ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12 
!
■ No MatLab: 
■ 7, 10
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A Seguir....
■ Erros de Estado Estacionário