Servomecanismo para Engenharia da Computação UFPE - AULA 8. Lugar das raízes

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Lugar das Raízes
Servomecanismo 
Prof. Adriano L. I. Oliveira
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Introdução
■ Lugar das raízes é um método de análise e projeto 
para estabilidade e resposta de transiente 
■ É uma representação gráfica dos polos de um sistema de 
malha fechada à medida que os parâmetros do sistema 
variam 
■ A técnica dá uma visão qualitativa do desempenho 
de um sistema de controle e também serve como 
uma ferramenta quantitativa que dá mais 
informações do que os métodos já discutidos 
■ A técnica pode ser usada para descrever 
qualitativamente o desempenho de um sistema quando 
vários parâmetros são mudados
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Introdução
■ Os polos de sistemas de malha aberta são 
facilmente encontrados; o mesmo não acontece 
com sistemas de malha fechada
Os polos de KG(s)H(s) são fáceis de 
serem encontrados, mas os polos de 
[1 + KG(s)H(s)] dependem da fatoração 
do denominador e variam com K
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Introdução
■ Representação de números complexos como 
vetores
a) s = σ + jω; 


b) (s + a) = (σ + a) + jω; 


c) Representação 
alternativa para (s + a); 


d) (s + 7)|s→5 + j2
σ+a
σ+a
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Introdução
■ No caso mais geral, considere a função:
Magnitude de F(s) em 
qualquer ponto s
Ângulo θ de F(s) em 
qualquer ponto s
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Introdução
■ Exemplo 1: 
■ Dado F(s) = (s + 1)/[s(s + 2)] 
■ Encontre F(s) no ponto s = -3 + j4 
■ Solução gráfica: Traçamos vetores das raízes dos 
polinômios (tanto zeros quanto polos) até o ponto dado 
no plano complexo....
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Introdução
■ Exemplo 1 (cont.): 
■ F(s) = (s + 1)/[s(s + 2)] 
■ s = -3 + j4 
■ V1: 
■ |V1| = √20 
■ ∠V1 = 180 - tg-1(4/2) = 116º 
■ V2: 
■ |V2| = √25=5 
■ ∠V2 = 180 - tg-1(4/3) = 127º 
■ V3: 
■ |V3| = √17 
■ ∠V3 = 180 - tg-1(4/1) = 104º
V1
V2
V3
∠V1
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Introdução
■ Exemplo 1 (cont.):
= √20 
 5√17
= 116º - (127º + 104º) = -115º
Assim, F(s) = 0,2169∠-115º no ponto s = -3 + j4
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Introdução
■ Exemplo 2: Dado 
!
!
■ encontre F(s) para s = -7 + 9j
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Definindo o Lugar das Raízes

O que é o Lugar das Raízes?
■ Considere o exemplo abaixo:
Variando K...
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Definindo o Lugar das Raízes

O que é o Lugar das Raízes?
■ Considere o exemplo abaixo:
Plotagem dos polos da Tabela anterior Lugar das raízes
Em geral, vamos considerar o ganho positivo, ou seja, K ≥ 0.
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Definindo o Lugar das Raízes

O que é o Lugar das Raízes?
■ O lugar das raízes mostra as mudanças na 
resposta de transiente com a variação de K 
■ Nesse exemplo, os polos são reais para ganhos 
menores que 25 
■ Sistema Sobreamortecido 
■ No ganho 25, o sistema tem polos reais iguais 
■ Sistema Criticamente Amortecido 
■ Acima de ganho 25, o sistema é Subamortecido 
■ Observe que, nesse caso, a parte real do polo 
permanece constante
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Definindo o Lugar das Raízes

O que é o Lugar das Raízes?
■ Como a parte real do polo permanece constante, o 
tempo de amortecimento também é constante 
■ Lembrando que ele é inversamente proporcional à parte real 
do polo 
■ Ao aumentarmos o ganho, a taxa de amortecimento 
diminui e a porcentagem sobressinal aumenta 
■ O tempo de pico diminui com o aumento do ganho 
■ Nesse exemplo, como o lugar das raízes nunca cruza 
para o semi-plano direito, o sistema é sempre estável, 
independente do valor do ganho 
■ A análise também é aplicável a sistemas com ordem 
maior que 2
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Propriedades do Lugar das Raízes
■ A partir das propriedades do lugar das raízes, é 
possível fazer seu rascunho para sistemas de alta 
ordem sem precisar fatorar o polinômio do 
denominador 
■ Considere um sistema de controle de malha 
fechada geral que tem função de transferência:
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Propriedades do Lugar das Raízes
■ Para tal sistema, um polo s existe quando o 
polinômio no denominador é igual a zero, ou: 
■ KG(s)H(s) = -1 = 1∠(2k + 1)180º , k = 0, ±1, ±2, ±3, ... 
■ Onde -1 está representado em sua forma polar 
■ Isso significa que um valor de s em KG(s)H(s) gera um 
número complexo e, se o ângulo desse número for um 
múltiplo ímpar de 180º, aquele valor de s é um polo para 
algum valor de K 
■ Se: |KG(s)H(s)| = 1 e ∠KG(s)H(s) =∠(2k + 1)180º 
■ Então: K = 1/(|G(s)||H(s)|)
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Propriedades do Lugar das Raízes
■ Vamos considerar novamente o exemplo anterior e 
a tabela associada ao valor de K:
Pela tabela, quando o ganho é 5, temos polos em -9,47 e -0,53. 
KG(s)H(s) = K/[s(s + 10)] 
Para s = -9,47, temos KG(s)H(s) = 5/(-9,47.(-9,47 + 10)) = -1 
K = 10 => polos em -8,87 e -1,13 => KG(s)H(s) = -1 
K = 35 => KG(s)H(s) = -1 
....
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Propriedades do Lugar das Raízes
■ Exemplo 1: Considere o sistema abaixo 
!
!
!
!
■ A função de malha aberta é: 
!
!
■ A função de malha fechada é:
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Propriedades do Lugar das Raízes
■ Exemplo 1 (cont.): Considere o ponto -2+3j 
■ ∠ = (θ1 + θ2) – (θ3 + θ4) = -70,55º 
■ Assim, -2 + 3j não faz parte do lugar das raízes 
■ Ou ainda, -2+3j não é polo de T(s) para qualquer K 
■ Para o ponto -2 + j√2/2 
■ θ1 = 19,47º 
■ θ2 = 35,26º 
■ θ3 = 90º 
■ θ4 = 144,73º 
■ ∠=(θ1 + θ2) - (θ3 + θ4) = -180º 
■ Assim, -2+j√2/2 faz parte do 
lugar das raízes
-2+3j
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Propriedades do Lugar das Raízes
■ Exemplo 1 (cont.): Para o ponto -2 + j√2/2, o ganho 
K é: 
■ K = L1L2/(L3L4) = (3/√2)(√3/√2)/[(√2/2)(√3/√2)] = 3 
■ Assim, o ponto -2 + j√2/2 é um ponto do lugar das 
raízes para um ganho de 3
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Propriedades do Lugar das Raízes
■ Exemplo 2: dado um sistema com re-alimentação 
unitária que tem a seguinte função à frente: 
!
!
■ Calcule o ângulo de G(s) para o ponto (-3 + j0) 
■ Determine se o ponto está no lugar das raízes 
■ Se sim, ache o ganho K
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Propriedades do Lugar das Raízes
■ Exemplo 2 (cont.):
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Esboçando o Lugar das Raízes
■ O lugar das raízes pode ser obtido varrendo-se 
todo ponto no plano s para localizar os pontos 
cujos ângulos são múltiplos ímpares de 180 
■ Obviamente, essa tarefa é muito custosa 
■ Podemos simplificar o processo com algumas 
regras: 
■ 1) Número de ramos: Cada ponto em malha fechada se 
desloca à medida que o ganho é variado. Se definimos 
um ramo como sendo o caminho que um polo atravessa, 
então haverá um ramo para cada polo em malha fechada 
■ O número de ramos do lugar das raízes é igual ao 
número de polos em malha fechada
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Esboçando o Lugar das Raízes
■ Regras: 
■ 2) Simetria: O lugar das raízes é simétrico em relação ao 
eixo real 
■ Os polos complexos sempre aparecem com seus 
conjugados 
■ 3) Segmentos do Eixo Real: Usamosa propriedade que 
o ângulo deve ser um múltiplo ímpar de 180º para 
determinar onde existem segmentos do eixo real que 
fazem parte do lugar das raízes 
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Esboçando o Lugar das Raízes
■ Regras: 
■ 3) Segmentos do Eixo Real: 
■ Considere a contribuição dos polos e zeros nos pontos 
P1, P2, P3 e P4 abaixo 
!
!
!
!
■ A contribuição de um par de polos ou zeros complexos é 
nula (são simétricos, então seus ângulos se anulam) 
■ A contribuição de polos ou zeros reais à esquerda do 
respectivo ponto é zero (o ângulo é de zero grau) 
■ Assim, a única contribuição é de polos e zeros reais à 
direita do respectivo ponto (forma um ângulo de 180º)
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Esboçando o Lugar das Raízes
■ Regras: 
■ 3) Segmentos do Eixo Real: No eixo real, para K > 0, o 
lugar das raízes existe à esquerda de um número ímpar 
de polos ou zeros finitos em malha aberta sobre o eixo 
real 
■ O número ímpar de polos ou zeros garante que o múltiplo 
de 180º seja ímpar 
■ No exemplo anterior, os segmentos do eixo real do lugar 
das raízes ficam entre -1 e -2 e entre 3 e -4
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Esboçando o Lugar das Raízes
■ Regras: 
■ 4) Pontos de Início e Término: 
■ Início do lugar das raízes: ganho zero 
■ Término do lugar das raízes: ganho infinito 
■ O lugar das raízes começa nos polos finitos ou infinitos de 
G(s)H(s) e termina nos zeros finitos ou infinitos de G(s)H(s) 
■ Considere o sistema abaixo:
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Esboçando o Lugar das Raízes
■ Regras: 
■ 4) Pontos de Início e Término: 
■ Considerando: 
!
!
!
■ Temos: 
!
!
■ Quando K → 0: 
!
■ Quando K → ∞:
N = Numerador 
D = Denominador
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Esboçando o Lugar das Raízes
■ Regras: 
■ 4) Pontos de Início e Término: 
■ Quando K → 0: 
!
!
!
■ Com isso, concluímos que o lugar das raízes começa nos 
polos de G(s)H(s), a função de transferência de malha 
aberta 
■ Quando K → ∞, os polos se aproximam à combinação dos 
zeros de G(s) e H(s). O lugar das raízes, então, termina nos 
zeros de G(s)H(s) 
■ Observe que são os polos e zeros da função de malha 
aberta!!
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Esboçando o Lugar das Raízes
■ Regras: 
■ 4) Pontos de Início e Término: 
■ No exemplo anterior, o lugar das raízes começa nos 
polos -1 e -2 e termina nos zeros -3 e -4 
■ O lugar começa em -1 e -2 e se move no eixo real no 
espaço entre esses polos indo de um para o outro 
■ Eles se encontram em algum lugar entre -1 e -2 e partem 
como números complexos conjugados até se 
encontrarem em algum ponto entre -3 e -4, onde eles 
caminham em direção a esses zeros
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Esboçando o Lugar das Raízes
■ Regras: 
■ 4) Pontos de Início e Término:
11
2
3
3
4
55
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Esboçando o Lugar das Raízes
■ Regras: 
■ 5) Comportamento no Infinito: O lugar das raízes tende 
a retas assintóticas quando o lugar tende a infinito. A 
equação das assíntotas é dada pela interseção com o 
eixo real em σa com ângulo θa, como segue:
k = 0, ±1, ±2, ±3, ...
# = Número de....
Observe que não faz sentido o número de polos ser igual 
ou menor que o número de zeros
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Esboçando o Lugar das Raízes
■ Exemplo: esboçar o lugar das raízes para o 
sistema: 
!
!
■ Polos: 0, -1, -2, -4 
■ Zeros: -3 
■ Primeiro, calculamos as assíntotas: 
■ σa = [(0 – 1 – 2 – 4) – (-3)]/(4 – 1) = -4/3 
!
■ θa = (2k + 1)π/(4 – 1) = (2k + 1)π/3 = 
π/3, para k = 0 
π, para k = 1 
5π/3, para k = 2 
A partir daqui, os ângulos 
se repetem....
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Esboçando o Lugar das Raízes
■ Exemplo (cont.): 
■ O número de linhas é igual à diferença entre o número 
de polos finitos e o número de zeros finitos
-4/3
Polos e zeros Assíntota
Assíntota
Assíntota
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Esboçando o Lugar das Raízes
■ Exemplo (cont.): 
■ Pela regra 4, o lugar começa nos polos de malha aberta 
e termina nos zeros de malha aberta 
■ Existem mais polos do que zeros 
■ Assim, devem existir zeros no infinito 
■ As assíntotas dizem como chegar nesses zeros no infinito 
■ A forma final pode ser vista a seguir....
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Esboçando o Lugar das Raízes
■ Exemplo (cont.): Forma final
Assíntota
Assíntota
Assíntota
Inicia nos polos e termina nos zeros: 
• Começa entre -1 e 0 e segue para infinito 
• Começa em -2 e termina em -3 
• Começa em -4 e termina em infinito
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Esboçando o Lugar das Raízes
■ Exemplo 2: Esboce o lugar das raízes para o 
sistema de re-alimentação unitária com função de 
transferência à frente:
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Esboçando o Lugar das Raízes
■ Exemplo 2 (cont.):
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Refinando o Esboço
■ Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real
Ponto de Saída Ponto de Entrada
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Refinando o Esboço
■ Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real 
■ Nos pontos de entrada e saída, os ramos fazem um 
ângulo de 180º/n com o eixo real, onde n é o número de 
polos de malha fechada partindo do ponto de saída ou 
chegando no ponto de entrada 
■ Na figura anterior, os ramos formam um ângulo de 180º/2 
= 90º com o eixo real 
■ Como o ganho cresce a partir dos polos (como em -1 e 
-2) até o ponto de saída, o ganho será máximo nesse 
ponto 
■ O ganho pode ser maior à medida que o lugar das raízes 
caminha pelo plano complexo, mas ele será máximo nesse 
ponto em relação ao eixo real apenas
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Refinando o Esboço
■ Pontos de Entrada e Saída sobre o Eixo Real 
■ Analogamente, o ganho no ponto de entrada é o ganho 
mínimo encontrado sobre o eixo real entre os dois zeros 
■ Para encontrar os pontos: 
■ Três soluções possíveis...
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Refinando o Esboço
■ Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída sobre 
o Eixo Real 
■ Solução 1: Derivar K = -1/[G(σ)H(σ)] em relação a σ 
■ Exemplo: 
!
!
■ Para todos os pontos no lugar das raízes: 
!
!
■ Resolvendo para K: 
σ1=-1,45 
σ2 = 3,82
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Refinando o Esboço
■ Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída sobre 
o Eixo Real 
■ Solução 2: Os pontos de entrada e saída satisfazem a 
relação: 
!
!
■ Exemplo: Considerando o exemplo anterior:
σ1=-1,45 
σ2 = 3,82
zi e pi são os negativos 
dos zeros e polos!!!
Polos: -1 e -2 
Zeros: 3 e 5
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Refinando o Esboço
■ Para encontrar os Pontos de Entrada e Saída sobre 
o Eixo Real 
■ Solução 3: O terceiro método é a busca pelo máximo e 
mínimo ganho através de recursos computacionais
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Refinando o Esboço
■ Interceptação com o Eixo jω 
■ Considere um exemplo anterior: 
■ Como os polos estão no semi-
plano esquerdo, o ponto de 
interceptação com o eixo 
imaginário indica no lugar das 
raízes o ponto que separa uma 
operação estável do sistema de 
uma operação instável do 
sistema
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Refinando o Esboço
■ Interceptação como Eixo jω 
■ Para encontrar o ponto de interceptação com o eixo jω, 
podemos usar o critério de Routh-Hurwitz da seguinte 
maneira: Forçando uma linha de polinômio ímpar ser 
nula na Tabela de Routh obtém-se o ganho; retornando 
uma linha para a equação de polinômios par e buscando 
as raízes obtém-se a frequência de cruzamento com o 
eixo imaginário
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Refinando o Esboço
■ Interceptação com o Eixo jω 
■ Exemplo: Na função abaixo, encontre a frequência e o 
ganho K para o qual o lugar das raízes cruza o eixo 
imaginário
Tabela Routh:
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Refinando o Esboço
■ Interceptação com o Eixo jω 
■ Exemplo (cont.): A única linha de polinômio ímpar que 
pode ser completamente anulada é a de s1 
■ No caso, temos: -K2 – 65K + 720 = 0 
■ K = -74,65 e 9,65 
■ Se usarmos K = -74,65, então provocamos mudança de 
sinal com o último elemento da Tabela (21K). Assim, vamos 
usar K = 9,65 
■ Considerando esse valor de K e retornando para s2: 
■ (90 – K)s2 + 21K = 80,35s2 + 202,7 = 0 
■ s = ±j1,59 
■ Assim, o lugar das raízes corta o eixo jω em ±j1,59 para 
um ganho 9,65
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Refinando o Esboço
■ Ângulos de Chegada e Partida 
■ É possível também calcular os ângulos de chegada e de 
partida dos polos e zeros 
■ Nesse caso, o uso de uma ferramenta computacional é 
mais apropriado
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Resumo
■ Regras Básicas para Esboçar o Lugar das Raízes 
■ Número de ramos é igual ao número de polos em malha 
fechada 
■ O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real 
■ No eixo real, para K > 0, o lugar das raízes existe à 
esquerda de um número ímpar de polos e/ou zeros 
finitos em malha aberta sobre o eixo real 
■ O lugar das raízes se inicia nos polos finitos e infinitos 
de G(s)H(s) e termina nos zeros finitos e infinitos de 
G(s)H(s) 
■ O lugar das raízes tende a retas assintóticas quando o 
lugar tende a infinito. As equações das assíntotas são 
definidas por:
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Resumo
■ Regras Adicionais para Refinar o Esboço 
■ O lugar das raízes sai do eixo real no ponto onde o 
ganho é mínimo e entra no eixo real no ponto onde o 
ganho é máximo 
■ O lugar das raízes cruza o eixo imaginário no ponto onde 
∠G(s)H(s) = (2k + 1)180º. O critério de Routh-Hurwitz 
pode ser usado para determinar esse ponto de 
cruzamento 
■ Ângulos de partida e de chegada podem ser calculados 
precisamente 
■ Todos os pontos do lugar das raízes satisfazem à relação 
∠G(s)H(s) = (2k + 1)180º. O ganho é dado por:
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Exemplo 1
■ Considere o sistema abaixo: 
!
!
!
!
■ Esboce o lugar das raízes e encontre: 
■ a) O ponto exato e ganho onde o lugar cruza o eixo jω 
■ b) O ponto de saída do eixo real 
■ c) A faixa de K na qual o sistema é estável
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Exemplo 1 (cont.)
!
!
!
■ Polos: -2 e -4 
■ Zeros: 2 ± j4
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Exemplo 1 (cont.)
!
!
!
■ Polos: -2 e -4 
■ Zeros: 2 ± j4
O lugar começa entre os 
polos e termina nos zeros 
sendo simétrico em relação 
ao eixo real 
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Exemplo 1 (cont.)
!
!
!
■ Polos: -2 e -4 
■ Zeros: 2 ± j4
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55
Exemplo 1 (cont.)
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56
Exemplo 1 (cont.)
!
!
!
■ a) Cruzamento com o eixo imaginário
s2 
!
s1 
!
s0
(K + 1) (20K + 8)
(6 – 4K) 0 Essa linha pode ser anulada com K = 3/2
Tabela de Routh:
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Exemplo 1 (cont.)
!
!
!
■ a) Cruzamento com o eixo imaginário 
■ Considerando a linha anterior de equação par para o 
ganho definido, temos:
Assim, o cruzamento com o eixo imaginário se 
dá em ±j3,9 com ganho K = 3/2
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Exemplo 1 (cont.)
!
!
!
■ b) Pontos de entrada e saída 
■ Polos: -2 e -4 
■ Zeros: 2 ± j4
σ1 = 5,28 
!
σ2 = -2,88
Pelo esboço do lugar 
das raízes, só pode 
ser esse valor
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59
Exemplo 1 (cont.)
!
!
!
■ c) A faixa de K na qual o sistema é estável 
■ Pela letra (b) e considerando K > 0, a faixa é 0 < K < 1,5
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60
Lugar das Raízes para Sistema de Re-
Alimentação Positiva
■ Considere o sistema abaixo:
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61
Lugar das Raízes para Sistema de Re-
Alimentação Positiva
■ Regras: 
■ 1. Número de ramos: Mesmo que antes 
■ 2. Simetria: Mesmo que antes 
■ 3. Segmentos no Eixo Real: O lugar das raízes para 
sistemas de re-alimentação positiva existem à esquerda 
de um número par de polos e/ou zeros finitos de malha 
aberta 
■ 4. Pontos de Início e Término: Mesmo que antes 
■ 5. Comportamento no Infinito: Assíntotas:
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62
Exercícios Sugeridos (Nise)
■ Cap. 8, Problemas: 
■ 1, 2, 3, 4, 7, 10, 11, 12, 14, 19, 21 (menos a letra d)
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63
A Seguir....
■ Projeto Através do Lugar das Raízes