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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Equações Diferenciais - Exercícios Programados 08/09
(semanas de 25/10 a 07/11/2010)
Exercício 1
Calcule a solução geral de
−→
Y ′ =
(
10 −5
8 −12
)
−→
Y
Exercício 2
Sejam
−→
K1 e
−→
K2 os autovetores associados respectivamente aos autovalores
λ1 e λ2 do Exercício 1.
a) Construa a matriz P = col [
−→
K1
−→
K2]
b) Mostre que P−1 A P = diag (λ1λ2), onde P
−1 designa a matriz inversa
de P e diag (λ1λ2) é a matriz diagonal formada pelos elementso λ1 e λ2
c) Calcule soluções
−→
Z 1(t) e
−→
Z 2(t) do sistema
−→
Z ′ = diag (λ1λ2)
−→
Z
d) Mostre que
−→
Y 1(t) = P
−→
Z 1(t) e
−→
Y 2(t) = P
−→
Z 2(t) são soluções do sistema
−→
Y ′ = A ·
−→
Y .
Exercício 3
Dado um sistema bidimensional auntônomo{
x′ = ax + by
y′ = cx+ dy
mostre que os coeficientes da equação característica deste sistema são o traço(com
sinal negativo) e o determinante da matriz
A =
(
a b
c d
)
.
Exercício 4 Resolva o sistema de equações diferenciais abaixo.{
x′ = x− y
y′ = 2x+ y.
Exercício 5 Considere o problema de valor incial:


x′ = x+ y
y′ = y
x(0) = 0
y(0) = 1
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Plano de Fase e órbita pelo ponto (0,1)
y
4
2
0
-2
-4
x
543210-1-2
a) Sem resolver o PVI explicitamente, marque na figura (de modo aproxi-
mado) o ponto P que corresponde ao menor valor que x(t) assume sobre
a órbita desenhada
b) Determine, através de um exame visual da órbita, os comportamentos de
x(t) e de y(t) quando t→ ±∞
Observação: Lembre-se que, ao desenhar o retrato de fase de um sistema por meio de
setas, o sentido das setas indica o sentido de crescimento do parâmetro, ou -de modo
mais explícito - o sentido de percurso de uma partícula que percorre a órbita seguindo
os valores crescentes do parâmetro.
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c) Verifique que as soluções do PVI dado são
{
x(t) = t et
y(t) = et
( ObsVoce vai aprender a calculá-las pelo método dos autovalores e auto-
vetores na Aula 18)
d) Calcule, usando as expressões obtidas para x(t) e y(t),
lim
t→−∞
x(t), lim
t→+∞
x(t), lim
t→−∞
y(t), lim
t→+∞
y(t)
e) Existe algum valor t = t∗ tal que (x(t∗), y(t∗)) = (0, 0)?
f) Qual é a abcissa do ponto de retorno?
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