AD1 gabarito

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Professor: Juan L´ımaco
AD1 de Equac¸o˜es Diferenciais e Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias -
Gabarito
Questa˜o 1:
Resolva as seguintes equac¸o˜es lineares de primeira ordem:
(a)
dy
dx
− 1
2x
y =
3x
2
b)
dy
dx
− 2xy = 2xex2
Soluc¸a˜o:
(a) A soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o linear de primeira ordem da forma
dy
dx
+ p(x)y = q(x)
e´ dada por
y(x) = e−
∫
p(x) dx
[∫
q(x)e
∫
p(x) dx dx + c
]
.
Neste caso, p(x) = − 1
2x
, q(x) =
3x
2
. Assim,
e
∫
p(x) dx = e
∫ − 1
2x
dx = e−
1
2
ln(x) = (eln(x))−1/2 = x−1/2,
e−
∫
p(x) dx = x1/2.
Logo,
y(x) = x1/2
[∫
x−1/2
(
3x
2
)
dx + c
]
= x1/2
[∫
3x1/2
2
dx + c
]
= x1/2
(
x3/2 + c
)
= x2 + c
√
x
(b) Neste caso, p(x) = −2x, q(x) = 2xex2 . Assim,
e
∫
p(x) dx = e
∫ −2x dx = e−x2 ,
2
e−
∫
p(x) dx = ex
2
.
Logo,
y(x) = ex
2
[∫
e−x
2
(
2xex
2
)
dx + c
]
= ex
2
[∫
2x dx + c
]
= ex
2 (
x2 + c
)
= x2ex
2
+ cex
2
.
Questa˜o 2:
Resolva a seguinte equac¸a˜o de Bernoulli
dy
dx
+
1
1 + x
y = −1
2
(x + 1)3y2.
Soluc¸a˜o:
(a) Uma equac¸a˜o de Bernoulli e´ uma equac¸a˜o da forma
dy
dx
+ p(x)y = q(x)yn,
onde n e´ um nu´mero real qualquer.
Fazendo a mudanc¸a z = y1−n, a equac¸a˜o de Bernoulli se transforma na seguinte
equac¸a˜o linear de 1a ordem:
dz
dx
+ (1− n)p(x)z = (1− n)q(x).
Neste caso, p(x) =
1
1 + x
, q(x) = −1
2
(x + 1)3 e n = 2.
Logo, fazendo a mudanc¸a z = y1−2 = y−1, tem-se
dz
dx
+ (1− 2)
(
1
1 + x
)
z = (1− 2)
(
−1
2
(x + 1)3
)
,
isto e´,
dz
dx
− 1
1 + x
z =
1
2
(x + 1)3,
3
que e´ uma equac¸a˜o linear de primeira ordem com p˜(x) = − 1
1 + x
, q˜(x) =
1
2
(x + 1)3.
Logo,
e
∫
p˜(x) dx = e
∫ − 1
1+x
dx = e− ln(1+x) = (eln(1+x))−1 = (1 + x)−1,
e−
∫
p˜(x) dx = 1 + x.
de onde
z(x) = (1 + x)
[∫
(1 + x)−1
(
1
2
(x + 1)3
)
dx + c
]
= (1 + x)
[∫
(x + 1)2
2
dx + c
]
= (1 + x)
[
(x + 1)3
6
+ c
]
=
(x + 1)4
6
+ c(x + 1)
Assim, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Bernoulli e´
1
y
=
(x + 1)4
6
+ c(x + 1) .
Questa˜o 3:
Considere a equac¸a˜o de Ricatti
dy
dx
= 2x2 +
1
x
y − 2y2
sendo y1(x) = x uma soluc¸a˜o particular. Determine uma soluc¸a˜o que satisfac¸a y(1) =
2.
Soluc¸a˜o:
Uma equac¸a˜o de Ricatti e´ uma equac¸a˜o diferencial na˜o linear da forma
dy
dx
= a0(x) + a1(x)y + a2(x)y
2.
Se y1(x) e´ uma soluc¸a˜o particular , enta˜o a soluc¸a˜o e´ dada por
y(x) = y1(x) +
1
v(x)
,
onde v(x) e´ soluc¸a˜o equac¸a˜o linear de primeira ordem
dv
dx
+ (a1(x) + 2y1(x)a2(x))v = −a2(x)
4
Neste caso, a0(x) = 2x
2, a1(x) =
1
x
, a2(x) = −2 e y1(x) = x. Seja v soluc¸a˜o
da seguinte equac¸a˜o
dv
dx
+
(
1
x
+ 2x(−2)
)
v = 2,
isto e´,
dv
dx
+
(
1
x
− 4x
)
v = 2,
que e´ uma equac¸a˜o linear de primeira ordem com p(x) =
1
x
− 4x, e q(x) = 2.
Assim,
e
∫
p(x) dx = e
∫
1
x
−4x dx = eln(x)−2x
2
= (eln(x))e−2x
2
= xe−2x
2
,
e−
∫
p(x) dx = x−1e2x
2
.
Logo,
v(x) = x−1e2x
2
[∫
(2)xe−2x
2
dx + c
]
= x−1e2x
2
[∫
2xe−2x
2
dx + c
]
.
Fazendo a mudanc¸a
{
u = −2x2
du = −4x dx , tem-se∫
2xe−2x
2
dx = −1
2
∫
eu du = −1
2
eu = −1
2
e−2x
2
Assim, v(x) = x−1e2x
2
[
−1
2
e−2x
2
+ c
]
= − 1
2x
+
c
x
e2x
2
.
Logo, a soluc¸a˜o e´ y(x) = x +
1
− 1
2x
+
c
x
e2x
2
, isto e´, y(x) = x +
x
−1
2
+ ce2x
2
.
Como y(1) = 2, tem-se
2 = y(1) = 1 +
1
−1
2
+ ce2
de onde −1
2
+ ce2 = 1. Logo, c =
3
2e2
.
Assim finalmente, a soluc¸a˜o desejada e´ y(x) = x +
x
−1
2
+
3
2
e2x
2−2
5
Questa˜o 4:
Resolva as seguintes equac¸o˜es em varia´veis separa´veis:
(a) x
√
1 + y2dx + y
√
1 + x2dy = 0 b)
{
y ln(y)dx + xdy = 0
y(1) = e
Soluc¸a˜o:
(a) Dividindo a equac¸a˜o por (
√
1 + y2)(
√
1 + x2), tem-se
x√
1 + x2
dx +
y√
1 + y2
dy = 0.
Integrando, tem-se∫
x√
1 + x2
dx +
∫
y√
1 + y2
dy = c.
Fazendo a mudanc¸a
{
u = 1 + x2
du = 2x dx
, tem-se
∫
x√
1 + x2
dx =
1
2
∫
1√
u
du =
1
2
× 2√u =
√
1 + x2
Analogamente,
∫
y√
1 + y2
dy =
√
1 + y2
Assim, a soluc¸a˜o e´ dada por
√
1 + x2 +
√
1 + y2 = c.
(b) Dividindo a equac¸a˜o por xy ln(y), tem-se
1
x
dx +
1
y ln(y)
dy = 0.
Integrando, tem-se ∫
1
x
dx +
∫
1
y ln(y)
dy = c.
6
Fazendo a mudanc¸a
{
u = ln(y)
du = 1
y
dy
, tem-se
∫
1
y ln(y)
dy =
∫
1
u
du = ln(u) = ln(ln(y))
Assim, a soluc¸a˜o e´
ln(x) + ln(ln(y)) = c,
de onde ln(x ln(y)) = c.
Aplicando exponencial na u´ltima igualdade, obtemos que
x ln(y) = eln(x ln(y)) = ec = c1.
Como y(1) = e, temos 1 ln(e) = c1, isto e´, c1 = 1.
Logo, a soluc¸a˜o e´ x ln(y) = 1.