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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Equações Diferenciais - Exercícios Programados 02
Soluções
Exercício 1 Calcule uma equação para a curva plana C : y = f(x) que passa
pelo ponto (0, 2), e tal que em cada ponto (x, y) a inclinação de sua reta tangente
é igual a 2x− y.
Solução:
A notação C : y = f(x) indica que a curva procurada é o gráfico de uma função
y = f(x). Portanto a inclinação da reta tangente em cada ponto (x, y) ∈ C é
dada por f ′(x), isto é y′.
Devemos então calcular C : y = f(x) tal que
∀ (x, y) y′ = 2x− y,
e - além disso - tal que quando x = 0, y também é igual a 2.
Em outras palavras, devemos resolver o PVI{
y′ = 2x− y
y(0) = 2
Temos
y′ = 2x− y ⇐⇒ y = e−
∫
dx
(∫
e
∫
dx 2x dx+ c
)
⇐⇒ y = e−x[2ex(x− 1) + c]
⇐⇒ y = 2(x− 1) + c e−x.
Utilizando a informação (valor inicial) y(0) = 2 obtemos
2 = y(0) = 2(0− 1) + c e−0 = −2 + c
Portanto c = 4, e a curva é o gráfico da função
y = 2(x− 1) + 4 e−x.
Exercício 2 Determine a solução da equação
x′ + x/y = y2
que passa pelo ponto (1,2).
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Solução:
Observando que, se trocarmos os papéis de x e y, a equação assume o formato
de uma equação diferencial linear não-homogênea de primeira ordem. Isto sug-
ere considerar x como funçãode y e adaptar a fórmula de solução da equação
diferencial linear não-homogênea, simplesmente �trocando� os papéis de x e y.
Obtemos
x(t) = e−
∫
(1/y) dy
[∫
e
∫
(1/y) dy y2 dy + c
]
,
cujo resultado é
x(t) =
y3
4
+
c
y
.
Finalmente, como x = 1 quando y = 2, temos
1 = x(2) =
23
4
+
c
2
,
e portanto c = −2.
A resposta do problema é
x(t) =
y3
4
− 2
y
.
Também seria possível pensar em ambos x e y como funções de uma outra
variável independente t, mas isto implicaria que estaríamos querendo calcular
duas funções x(t) e y(t) dispondo de somente uma equação relacionado-as entre
si e/ou com suas derivadas. O problema estaria com dados incompletos e não
poderia ser resolvido.
Exercício 3 Calcule todas as funções cujas derivadas em cada ponto são
iguais aos quadrados das próprias funções.
Solução:
Em termos matemáticos, estamos querendo calcular as funções y = f(x) tais
que ∀ x f ′(x) = [f(x)2], i.é, queremos resolver a equação
y′ = y2
Podemos reconhecer a equação y′ = y2 como uma equação de Bernoulli y′ +
p(x)y = q(x)yn, com p = 0, q = 1 e n = 2.
Aplicando a mudanção de variáveis habitual das equações de Bernoulli: z =
y1−n , a equação se reescreve como
−z′ = 1,
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cuja solução geral é z = −x+ c.
Voltando à variável y, obtemos y(x) =
1
z(x)
, e a resposta do problema é
y(x) =
1
−x+ c .
Exercício 4 Calcule a solução geral da equação �logística�
x′ = 2x(1− x) .
Solução:
A equação x′ = 2x(1 − x) pode ser reescrita sob a forma x′ − 2x = −2x2, a
partir da qual é imediato reconhecê-la como sendo uma equação de Bernoulli.
A mudança de variáveis z = x1−2 transforma a equação x′ − 2x = −2x2 em
−z′−2z = −2, uma equação diferencial linear de primeira ordem não-homogênea,
cuja solução é
z(t) = e−
∫
2 dt
(∫
e
∫
2 dt 2 dt+ c
)
.
Assim z(t) = e−2t(e2t + c) = 1 + c e−2t.
A solução da equação proposta é
x(t) =
1
1 + c e−2t
.
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