EP15 ED 2009 1 gab

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Equações Diferenciais - Exercícios Programados 15
Soluções
Exercício 1 Achar a solução geral de cada sistema de equações proposto.
a)
−→
X ′ =
(
2 −1
3 −2
)−→
X +
(
et
t
)
b) {
x′ = −x+ y + 1
y′ = −2x+ y + cotg(t)
c) {
x′ = x+ y
y′ = y − et
Solução:
a)
−→
X ′ =
(
2 −1
3 −2
)−→
X +
(
et
t
)
A equação dos autovalores da matriz do sistema é λ2 − 1 = 0, que tem como
raízes λ1 = −1 e λ2 = 1.
Resolvendo o sistema (λI −A)−→V = −→O com λ = λ1 = −1 e λ = λ2 = 1, calcula-
se que, por exemplo,
−→
V1 =
(
1
3
)
e
−→
V2 =
(
1
1
)
são autovetores associados
respectivamente a λ1 = −1 e λ2 = 1, respectivamente.
Portanto a solução geral do sistema homogêneo associado é
−−→
XH(t) = c1
(
e−t
3e−t
)
︸ ︷︷ ︸
−→
X1(t)
+c2
(
et
et
)
︸ ︷︷ ︸
−→
X2(t)
O determinante da matriz cujas colunas são
−→
X1(t) e
−→
X2(t) é
det ( col[
−→
X1(t)
−→
X2(t)] ) = det
(
e−t et
3e−t et
)
= −2
Conforme vimos na Aula 19, existe uma solução particular da forma
−→
Xp(t) = u(t)
−→
X1(t) + v(t)
−→
X2(t),
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sendo que
u′(t) =
det
(
et et
t et
)
−2 e v
′(t) =
det
(
e−t et
3e−t t
)
−2
Isto é
u′(t) =
tet − e2t
2
e v′(t) =
3− te−t
2
Portanto (integrando por partes)
u(t) =
tet
2
− e
t
2
− e
2t
4
e v(t) =
3t
2
+
te−t
2
+
e−t
2
Assim
−→
Xp(t) =
(
tet
2
− e
t
2
− e
2t
4
)−→
X1(t) +
(
3t
2
+
te−t
2
+
e−t
2
)−→
X2(t),
e consequentemente a solução geral do sistema não-homogêneo é
−→
X (t) =
[
c1 +
(
tet
2
− e
t
2
− e
2t
4
)](
1
3
)
e−t+
[
c2 +
(
3t
2
+
te−t
2
+
e−t
2
)](
1
1
)
et ¥
b) {
x′ = −x+ y + 1
y′ = −2x+ y + cotg(t)
A forma matricial do sistema é
−→
X ′ =
( −1 1
−2 1
)−→
X +
(
1
cotg(t)
)
,
sendo portanto um sistema não-homogêneo, cuja solução geral é da forma
−→
X (t) =
−→
Xh(t) +
−→
Xp(t),
onde
−→
Xh(t) é a solução geral do sistema homogêneo associado e
−→
Xp(t) uma
solução particular, que vamos calcular pelo método de variação de parâmetros.
Cálculo da solução geral do sistema homogêneo associado:
−→
X ′ =
( −1 1
−2 1
)−→
X
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Os autovalores da matriz do sistema são ±i
Trabalhando com o autovalor +i obtém-se, por exemplo, o autovetor
−→
VC =
(
1
1 + i
)
Temos então a solução complexa
−→
XC(t) =
(
1
1 + i
)
eit
Usando a fórmula de Euler (eit = cos(t) + i sen(t)), temos que
−→
XC(t) =
(
cos(t) + i sen(t)
cos(t)− sen(t) + i [sen(t) + cos(t)]
)
A partir daí obtemos a solução geral real
−→
Xh(t) = c1
(
cos(t)
−sen(t)
)
︸ ︷︷ ︸
−→
X1(t)
+ c2
(
sen(t)
cos(t)
)
︸ ︷︷ ︸
−→
X2(t)
Cálculo de uma solução particular do sistema não homogêneo
A solução particular (conforme aula 19) pode ser calculada pela fórmula
−→
Xp(t) = c1(t)
−→
X1(t) + c2(t)
−→
X2(t),
com
c′1(t) =
det
(
1 sen(t)
cotg(t) cos(t)
)
det col [
−→
X1(t),
−→
X2(t)]
,
c′2(t) =
det
(
cos(t) 1
−sen(t) cotg(t)
)
det col [
−→
X1(t),
−→
X2(t)]
e
det col [
−→
X1(t),
−→
X2(t)] = det
(
cos(t) sen(t)
−sen(t) cos(t)
)
= 1
Assim
c′1(t) =
1/sen(t)
1
∴ c1(t) = −ln(cossec(t) + cotg(t)),
c′2(t) =
0
1
∴ c2(t) = K (constante)).
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Portanto temos a solução particular
−→
Xp(t) = [−ln(cossec(t) + cotg(t))]
(
cos(t)
−sen(t)
)
+K
(
sen(t)
cos(t)
)
e a solução geral do sistema proposto é
−→
X (t) =
(
x(t)
y(t)
)
= c1
(
cos(t)
−sen(t)
)
+ c2
(
sen(t)
cos(t)
)
+
+[−ln(cossec(t) + cotg(t))]
(
cos(t)
−sen(t)
)
+K
(
sen(t)
cos(t)
)
¥
c) {
x′ = x+ y
y′ = y − et
A forma matricial do sistema é
−→
X ′ =
(
1 1
0 1
)−→
X +
(
0
−et
)
,
que é um sistema não-homogêneo.
A equação dos autovalores do sistema é det(A − λI) = 0, que tem como
soluções λ1 = λ2 = 1. por O vetor
(
1
0
)
é um autovetor associado a λ = 1
Portanto uma primeira solução do sistema homogêneo é
−→
X1(t) =
(
et
0
)
.
Uma segunda solução do sistema homogêneo associado, linearmente indepen-
dente de
−→
X1(t), é dada por
−→
X2(t) =
[
t
(
1
0
)
+
(
w1
w2
)]
et,
sendo
(
w1
w2
)
, uma solução do sistema
(A− I)
(
w1
w2
)
=
(
1
0
)
.
Podemos escolher, por exemplo,(
w1
w2
)
=
(
0
−1
)
.
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Uma segunda solução do sitema homogêneo associado é
−→
X2(t) =
(
t
−1
)
et
O determinante det[col{−→X1(t),−→X2(t)}] é
det
(
et tet
0 −et
)
= −e2t
Uma solução particular, pelo método da variação dos parâmetros, é da forma
−→
Xp(t) = u(t)
−→
X1(t) + v(t)
−→
X2(t,
sendo que as derivadas de u e v são determinadas por
u′(t) =
det
(
0 t et
−et −et
)
−e2t e v
′(t) =
det
(
et 0
0 −et
)
−e2t
Isto é
u′(t) = −t e v′(t) = 1
Portanto
u(t) = − t
2
2
e v(t) = t
e uma solução particular do sistema dado é
−→
XP (t) = (
−t2
2
)
−→
X1(t) + t
−→
X2(t) =
Finalmente, a solução geral do sistema não-homogêneo é
−→
X (t) =
[
c1 − t
2
2
](
e−t
0
)
+ [c2 + t]
(
tet
−et
)
¥
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