4 flexýo pura

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1 
RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS 
CAPITULO 
Notas de Aula: 
Prof. Gilfran Milfont 
 
As anotações, ábacos, tabelas, fotos e 
gráficos contidas neste texto, foram 
retiradas dos seguintes livros: 
-RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-
Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw 
Hill-4ª edição-2006 
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R. 
C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição-
2004 
-MECÂNICA DOS MATERIAIS-James 
M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003 
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel 
C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009 
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley, 
Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003 
 
4 Flexão Pura 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Flexão Pura 
1 - 2 
Flexão Pura: quando em uma barra prismática só atuam momentos fletores, 
dizemos que esta barra está submetida a flexão pura. 
2 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Outros Tipos de Carregamento 
1 - 3 
• Principío da Superposição: a tensão 
normal devido à flexão pura pode ser 
combinada com a tensão normal devido 
à carga axial e com a tensão de 
cisalhamento devida à força cortante, 
para encontrar o estado real de tensão 
em um ponto. 
• Carregamento Excêntrico: Carga axial 
que não passa através do centróide da 
seção, produz forças internas, 
equivalentes a uma força axial e um 
momento 
• Carregamento Transversal: cargas 
concentradas ou distribuídas atuando 
transversalmente à barra, produzem 
forças internas, equivalentes a uma força 
cortante e um momento fletor. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Barra Prismática em Flexão Pura 
1 - 4 
 
 
 
MdAyM
dAzM
dAF
xz
xy
xx



0
0
• Estas exigências podem ser aplicadas para o 
elento interno da barra. 
• Se as forças internas em qualquer seção é 
equivalente a um momento, o momento interno 
resistente é igual ao momento externo, que é 
chamado de momento fletor. 
• A soma das componetes das forças em qualquer 
direção deve ser zero 
• O momento em relação a qualquer eixo 
perpendicular a seu plano, é sempre o mesmo; 
o momento em relação a qualquer eixo contido 
no seu plano, é nulo. 
3 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Deformação Devida à Flexão 
1 - 5 
Vigas com um plano de simetria sob flexão pura: 
• A viga permanece simetrica. 
• Flete uniformemente formando um arco circular. 
• Os planos que contêm as seções transversais 
passam pelo centro do arco e permanecem planos 
• Para a viga da figura, o comprimento das fibras do 
topo diminuem e o comprimento das fibras da base 
aumentam. 
• Existe um conjunto de fibras, formando uma 
superfície, onde não há variação no comprimento 
das fibras, chamada superfície neutra. 
• As tensões e deformações são negativas 
(compressão) acima da superficie neutra e positivas 
(tração) acima desta, para o caso em estudo. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Deformação Devida à Flexão 
1 - 6 
Considere uma viga de comprimento L. 
Após a deformação, o comprimento da 
superfície neutra permanece igual L. 
 Para uma outra superfíce, distante de y da 
superfície neutra, 
y 
máx x 
c 
e e   
 máx 
máx 
c 
ρ 
c 
e r 
e   ou 
( ) 
( ) 
x 
y y 
L 
y y L L 
y L 
r rq 
q d 
e 
q rq q r d 
q r 
     
        
   
 
A deformação máxima ocorre na 
superfície da viga: 
4 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Tensão Devida à Flexão 
1 - 7 
• Para o material elástico, 
y 
 (a tensão varia linearmente) máx 
máx x x 
c 
y 
E 
c 
E 
 
e e  
  
   
• Para o equilíbrio estático, 




dAy
c
dA
c
y
dAF
máx
máxxx


0
0
O momento estático da seção em 
relação a linha neutra é nulo. Isto 
significa que a linha neutra passa 
pelo centróide da seção. 
• Para o equilíbrio estático, 
c 
I 
dA y 
c 
M 
dA 
c 
y 
y dA y M 
máx máx 
máx x 
  
 
 
 
 
 
 
     
 
  
  
  
2 
I 
My 
x    
c 
y 
máx x     Substituindo: => 
W 
M 
I 
Mc 
máx    
A tensão normal máxima ocorre na 
superfície da viga e é dada por: 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Propriedades da Seção da Viga 
1 - 8 
M Mc 
Módulo de resistência 
 Momento de inércia da seção 
  
 
  
c 
I 
W 
I 
W I 
máx  
• Tensão normal máxima devido à flexão: 
Quanto maior o módulo de resistência, menor será a 
tensão na viga, para um determinado momento fletor 
Ah bh 
h 
bh 
c 
I 
W 
6 
1 2 
6 
1 
3 
12 
1 
2 
    
• Considere uma viga de seção retangular, 
Entre duas vigas com a mesma área da seção 
transversal, a viga com maior momento de 
inércia será a mais efetiva em resistir a flexão. 
• Perfis altos, com uma relação h/b muito 
elevada, estão sujeitos a instabilidade lateral 
(flambagem). 
5 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Exemplo 4.1 
mKNmNM
c
I
M
I
Mc
mmm
bh
I
máxmáx
.3.300010250
1030
10360
1036010360
12
6020
12
6
3
9
4943
33












1 - 9 
20mm 
60mm 
A barra de aço da figura, está submetida a 
dois conjugados iguais e de sentido 
contrários, que agem em um plano vertical 
de simetria. Determinar o valor do 
momento M que provoca escoamento no 
material da barra. Adotar σY=250MPa 
SOLUÇÃO: 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Exemplo 4.2 
mmyrcmm
r
y 91,609,5
3
124
3
4 __


 
)(3,1422,193
91,6
09,5
:
)(2,1931076,21070
:
1076,2
2500
91,6
_
39
3
traçãoMPa
c
y
serátraçãodetensãoae
compressãoMPaE
HookedeleiaAplicando
c
máx
máxmáx
máx






e
r
e
1 - 10 
Uma barra de alumínio tem seção transversal em forma 
de semi-círculo, com raio r=12mm. A barra é flexionada 
até se deformar em um arco de circunferência de raio 
médio ρ=2,5m. Sabendo-se que a face da curva da barra 
fica voltada para o centro de curvatura do arco, 
determinar a máxima tensão de tração e de compressão 
na barra. Adotar E=200GPa. 
SOLUÇÃO: Encontramos inicialmente a ordenada do centróide C: 
Como: 
6 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Deformações em Uma Seção Transversal 
1 - 11 
• A deformação devido ao momento fletor é 
quantificada pela curvatura da superfície neutra, 
EI
M
I
Mc
EcEcc
máxmáx


11 e
r
• Embora os planos da seção transversal 
permaneçam planos quando submetidos a um 
momento fletor, no plano, as deformações não são 
nulas, 
r
eer
ee yy xzxy 
• Expansão acima da Superfície Neutra e contração 
abaixo, causam uma curvatura no plano. 
 curvatura anticlástica 
1 
  
 r 
 
r 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Problema Resolvido 4.2 
1 - 12 
Uma peça de máquina de ferro 
fundido é submetida a um 
momento fletor M=3KN.m. 
Sabendo que E=165GPa e 
desprezando a concentração de 
tensões, determine: 
 (a)a tensão normal máxima de 
tração e de compressão, 
(b) O raio de curvatura da peça 
fletida. 
7 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Problema Resolvido 4.2 
1 - 13 
SOLUÇÃO: 
Baseado na geometria da seção, calcule a 
localização do centróide da seção e o seu 
momento de inércia. 
mm 38
3000
10114 3






A
Ay
Y
 


3
3
3
32
101143000
104220120030402
109050180090201
mm ,mm ,mm Area,
AyA
Ayy
( ) ( )
( ) ( )
49-3
23
12
123
12
1
23
12
12
m10868 mm10868
18120040301218002090


  
I
dAbhdAIIx
( ) 


 
2dAII
A
Ay
Y x
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Problema Resolvido 4.2 
1 - 14 
• Aplique a equação para tensão normal devido 
à flexão e calcule as tensões: 
49
49
mm10868
m038.0mkN 3
mm10868
m022.0mkN 3









I
cM
I
cM
I
Mc
B
B
A
A
m



MPa 0.76A
MPa 3.131B
• Calcule a curvatura: 
( )( )49- m10868GPa 165
mkN 3
1




EI
M
r
m 7,47
m1095,20
1 1-3

 
r
r
8 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Flexão de Barras Constituídas Por Vários Materiais 
1 - 15 
• Considere uma viga composta de dois 
materiais com E1 e E2. 
• A tensão normal varia linearmente. 
r
e
y
x 
• Logo, a tensão normal em cada material: 
rere
yE
E
yE
E xx
2
22
1
11 
• A linha neutra não passa através do 
centróide da seção composta. 
• As forças elementares na seção são: 
dA
yE
dAdFdA
yE
dAdF rr 222111 
( )
( )
1
211
2
E
E
ndAn
yE
dA
ynE
dF  rr
• A seção transformada é definida por: 
xx
x
n
I
My




21
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Exemplo 4.3 
1 - 16 
Uma barra constituída de aço (Ea = 200GPa) e latão (El = 
100GPa) tem a seção indicada na figura. Determine a tensão 
normal máxima no aço e no latão, quando a barra fica sujeita 
à flexão pura com um momento de 2KN.m. 
10mm 
5mm 
Aço 
Latão 
5mm 
40mm 
Latão 
40mm 
30mm 
5mm 5mm 
20mm 
20mm 
SOLUÇÃO: 
• Transforme a barra em uma seção equivalente, feita 
inteiramente de bronze. 
2
100
200

l
a
E
E
n
A barra transformada terá uma largura, bT=2x10+5+5=30mm 
• Calcule o I da seção tranformada: 
( )( ) 49123
12
13
12
1 1016010]4030[ mhbI T
 
• Calcule as tensões máximas: 
( )( )
MPa
I
Mc
m 250
10160
1020102
9
33






( )
( ) MPan
MPa
ma
ml
5002502
250
max
max




( )
( ) MPa
MPa
máxs
máxl
005
250




9 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Vigas de Cocreto Armado 
1 - 17 
• O concreto suporta bem o esforço de compressão, 
mas não o de tração. Por isto, se constroem vigas de 
concreto, reforçadas com barras de aço, que serão 
responsáveis por suportar os esforços de tração. 
• Na seção transformada, a área do aço, Aa , é 
substituída pela área equivalente nAa onde: 
 n = Ea/Ec. 
• Para determinação da linha neutra, temos que Q=0 
( ) ( )
0
0
2
2
2
1 

dAnxAnxb
xdAn
x
bx
aa
a
• A tensão normal no aço e no concreto é dada por: 
xaxc
x
n
I
My




RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Concentração de Tensões 
1 - 18 
Concentrações de tensão ocorrem: 
• Nas proximidades dos pontos de 
variação brusca de seção. I
Mc
Kmáx 
• Nas barras com entalhes. 
K=fator de concentração de tensões 
10 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Deformações Plásticas 
1 - 19 
• Para qualquer peça submetida a flexão pura, temos: 
máxx
c
y
ee 
a deformação varia linearmente através da seção. 
• Se a peça é feita de um material linearmente elástico, 
a linha neutra passa através do centróide da seção 
I
My
x 
e 
• Para materiais com a curva tensão-deformação não 
linear, a localização do eixo neutro é encontrado, 
satisfazendo as equações: 
   dAyMdAF xxx  0
• Para um elemento com simetria vertical e horizontal 
e mesma relação de tensão de tração e de 
compressão, o eixo neutro passa pelo centróide da 
seção e a relação tensão-deformação pode ser usada 
para a distribuição das deformações a partir da 
distribuição das tensões. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Deformações Plásticas 
1 - 20 
• Quando a tensão atinge o valor da Tensão Última 
do material, ocorre a falha, e o correspondente 
momento fletor MU é chamado de momento fletor 
último. 
• Na prática, a tensão última, σU, é determinado 
experimentalmente, encontrando-se MU e 
adotando-se uma distribuição de tensão linear 
fictícia. 
I
cMU
U 
• σU é chamado de módulo de ruptura na flexão 
e pode ser usado para na determinação do MU 
de uma barra do mesmo material do corpo de 
provas. A figura ao lado mostra a distribuição 
fictícia e a distribuição real de tensões em uma 
barra retangular. 
11 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Barras de Material Elastoplástico 
1 - 21 
c 
• Barra retangular de material elastoplástico 
 máximo momento elástico    
  
Y Y Y m 
m Y x 
I 
M 
I 
Mc 
   
   
• Se o momento é aumentado acima do máximo 
momento elástico, surgem zonas plásticas. 
 altura elástica, acima da L.N. 1 
2 
2 
3 
1 
2 
3  
 
 
 
 
 
 
 
 
  Y 
Y 
Y y 
c 
y 
M M 
• Se o momento continua a aumentar, a altura elástica se 
torna zero e toda a seção entra na zona plástica. 
 fator de forma 
Momento plástico 
2 
3 
  
  
Y 
p 
Y p 
M 
M 
k 
M M 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Deformações Plásticas de Membros Com Um Plano de Simetria 
1 - 22 
• Deformação plástica total de vigas com um único 
plano de simetria vertical. 
• As resultantes R1 e R2 das forças de compressão e 
de tração formam um momento. 
YY AA
RR
 21
21


A linha neutra divide a seção em áreas iguais. 
• O momento plástico total para o membro é: 
( )dAM Yp 2
1
• O eixo neutro não pode ser assumido passar pelo 
centróide da seção. 
12 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Tensões Residuais 
1 - 23 
• Zonas plásticas são desenvolvidas em um 
membro de um material elastoplástico se o 
momento for grande o suficiente para tal. 
• No descarregamento, existe uma relação linear 
entre a tensão e a deformação, assumindo que 
nesta fase o membro é totalmente elástico. 
• As tensões residuais são obtidas pela 
superposição do efeito da tensão durante o 
carregamento (deformação elastoplástica) e a 
tensão durante o descarregamento (deformação 
elástica). 
• A tensão final em um ponto, após o 
desgarregamento, em geral não é nula. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Exemplo 4.05, 4.06 
1 - 24 
• Um membro de seção retangular uniforme é 
submetido a um momentoM = 36.8 kN-m. O 
material de sua construção é considerado 
elastoplástico, com tensão de escoamento de 240 
MPa e módulo de elasticidade de 200 
GPa.Determine: 
 (a) a altura da zona elástica, 
 (b) o raio de curvatura da superfície neutra. 
Após o carregamento ser reduzido a zero, 
determine: 
(c) A distribuição das tensões residuais, 
 (d) o raio de curvatura. 
13 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Exemplo 4.5, 4.6 
1 - 25 
( )( )
( )( )
mkN 8.28
MPa240m10120
m10120
10601050
36
36
233
3
22
3
2







YY
c
I
M
mmbc
c
I

• Máximo momento elástico : 
• a) Altura da zona elástica: ( )
666.0
mm60
1mkN28.8mkN8.36
1
2
2
3
1
2
3
2
2
3
1
2
3



















YY
Y
Y
Y
y
c
y
c
y
c
y
MM
mm802 Yy
• b) Raio de curvatura: 
3
3
3
9
6
102.1
m1040
102.1
Pa10200
Pa10240











Y
Y
Y
Y
Y
Y
y
y
E
e
r
r
e

e
m3.33r
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Exemplo 4.5, 4.6 
1 - 26 
• M = 36.8 kN-m 
MPa240
mm40
Y 


Yy
• M = -36.8 kN-m 
Y
36
2MPa7.306
m10120
mkN8.36






I
Mc
m
• d) M = 0 
 
m225r
6 
3 
6 
9 
6 
10 5 . 177 
m 10 40 
10 5 . 177 
Pa 10 200 
Pa 10 5 . 35 
 
 
 
 
 
   
   
 
  
  
x 
Y 
x 
x 
y 
E 
e 
r 
 
e 
c) 
14 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Carregamento Excêntrico 
1 - 27 
• A tensão devido ao carregamento excêntrico é 
encontrada pela superposição da tensão causada 
pela carga P com a tensão causada pelo momento 
fletor M: 
( ) ( ) 
I 
My 
A 
P 
x x x 
  
  
flexão centrada 
   
• Carregamento excêntrico 
PdM
PF


• A equação acima é válida para tensões abaixo 
do limite de proporcionalidade. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Exemplo 4.7 
1 - 28 
Um elo aberto de corrente é obtido pelo dobramento de uma 
barra de aço de baixo teor de carbono, conforme mostrado 
na figura ao lado. Para uma carga de 800N, determine: 
(a) A tensão normal máxima de tração e de compressão, 
(b) A distância entre o centróide da seção e o eixo neutro. 
• Carregamento equivalente: P=800N e M=P.d=12N.m 
SOLUÇÃO: 
• Tensão normal devido à carga centrada: 
( ) 0,006 
2 
2 m 113,1x10-6 
2    c A 
7,07 MPa 
113,1x10-6 
800 
0    
A 
P 
 
  
• Tensão normal devido ao momento fletor 
70,7 MPa   
I 
Mc 
m  
m 10 1,018  
4 9 
 
 
( ) 0,006 4 
4 
1 4 
4 
1   c I   
15 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Exemplo 4.7 
1 - 29 
• Tensão normal máxima de tração e 
de compressão: 
70,7 7,1 
70,7 7,1 
0 
0 
  
  
  
  
m c 
m t 
   
   
 t  77,8 MPa 
63,6 MPa  c  
mmy 60,0
12
10018,1
07,7
9
0 



• Localização do eixo neutro: 
0  
M 
I 
A 
P 
y 
My 
0 0   
I A 
P 
x
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Exemplo 4.8 
1 - 30 
A tensão máxima admissível para a 
peça de ferro fundido da figura é de 30 
MPa para tração e 120 MPa para 
compressão. Determine a maior carga 
P que pode ser aplicada na peça. 
Propriedades da seção: 
49
23
m10868
m038,0
m103





I
Y
A
16 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Exemplo 4.8 
1 - 31 
• Determine a carga e o momento equivalentes. 
 momento fletor 028 . 0, 
 carga centrada 
m 028 . 0, 010 , 0 038 . 0, 
   
 
   
P Pd M 
P 
d 
• Iguale as tensões encontradas em função de 
P com as tensões admissíveis: 
B kN 0 , 77 MPa 120 1226 
kN 6 , 79 MPa 30 377 
     
    
P P 
P P A 
 
 
kN 0,77P
• A carga máxima é o menor dos 
valores encontrados: 
• Calcule as tensões por superposição de efeitos: 
( )( )
( )( )
P
PP
I
Mc
A
P
P
PP
I
Mc
A
P
A
B
A
A
1226
10868
038,0028,0
103
377
10868
022,0028,0
103
93
93














RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Flexão Fora do Plano de Simetria 
1 - 32 
• Até agora, nos limitamos a análise de 
membros submetidos a momentos atuando 
em um plano de simetria. 
• Iremos agora, considerar situações em que 
o momento não atua em um plano de 
simetria. 
• Não podemos assumir que o membro irá 
fletir no plano de atuação dos momentos. 
• Estes membros permanecem simétricos em 
relação ao plano de atuação dos momentos, 
e se flexionam nesse plano, conforme 
mostrado na figura ao lado. 
17 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Flexão Fora do Plano de Simetria 
1 - 33 
Desejamos determinar sob que 
condições a L.N. da seção transversal, 
de uma área qualquer, coincide com o 
eixo dos momentos, conforme figura ao 
lado. 
• 
 
 o vetor de momento precisa estar 
direcionado ao longo de um eixo 
principal centroidal. 
produto de inércia I dA yz 
dA 
c 
y 
z dA z M 
yz 
m x y 
    
  
 
 
 
 
 
     
0 ou 
0   
• A resultante das forças e 
momentos na seção precisam 
satisfazer: 
momento aplicado M M M F z y x     0 
• 
 
 a linha neutra passa através do 
centróide. 

 






dAy
dA
c
y
dAF mxx
0or 
0 
• 
 
 define a distribuição de tensões 
momento de inércia I I 
c 
I σ 
dA 
c 
y 
y M M 
z 
m 
m z 
   
  
 
 
 
 
 
    
M ou 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Flexão Fora do Plano de Simetria 
1 - 34 
A superposição é aplicada para determinar as 
tensões, em casos de momentos assimétricos. 
• Decompondo o vetor de momento sobre os eixos 
principais centroidais. 
qq sincos MMMM yz 
• Superpondo as componentes de tensões: 
y
y
z
z
x
I
yM
I
yM

• Ao longo da L.N., temos: 
( ) ( )
q
qq
tantan
sincos
0
y
z
yzy
y
z
z
x
I
I
z
y
I
yM
I
yM
I
yM
I
yM


18 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Exemplo 4.08 
1 - 35 
46
3
46
3
1048,0
12
)040,0(090,0
1043,2
12
)090,0(040,0
mI
mI
y
z








mNsenM
mNM
y
z
.10030200
.2,17330cos200
0
0


Um momento de 200 N.m é aplicado em uma viga de 
madeira, em um plano que forma 30º com a vertical. 
Determine: 
(a) a tensão normal máxima de tração na viga, 
(b) o ângulo que a linha neutra forma com a horizontal. 
• Decomponha o momento em suas componentes e calcule os 
momentos de inércia: 
SOLUÇÃO: 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Exemplo 4.8 
1 - 36 
• A tensão normalmáx.de tração, devido a superposição 
de efeitos, ocorre em A. 
MPa38,717,421,321max   MPa38,7max 
A tensão de tração máxima devido a Mz ocorre ao longo 
da aresta AD e vale: 
• Determine o ângulo da linha neutra com a horizontal:. 
92,230tan
1048,0
1043,3
tantan 0
6
6






q
y
z
I
I
o1,71
MPa
I
yM
z
z 21,3
1043,2
045,02,173
61








A tensão de tração máxima devido a My ocorre ao longo 
da aresta AD e vale: 
MPa
I
zM
y
y
17,4
1048,0
020,0100
62








19 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Caso Geral de Carregamento Axial Excêntrico 
1 - 37 
• Considere uma barra submetida a duas forças 
iguais e opostas, porém excêntricas. 
• Este carregamento é equivalente ao mostrado 
na figura inferior. 
Pb M Pa M 
P 
z y   
 carga centrada 
• Pelo princípio da superposição, a tensão 
combinada é: 
y
y
z
z
x
I
zM
I
yM
A
P

• A L. N. pode ser encontrada aplicando a 
equação abaixo: 
0 z
I
M
y
I
M
A
P
y
y
z
z
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Exemplo 4.9 
1 - 38 
Um bloco de seção retangular, recebe uma carga de 
4,80KN, aplicada excentricamente. Pede-se: 
a)Determinar as tensões nos pontos A, B, C e D. 
b)Determinar a posição da L.N. na seção transversal. 
SOLUÇÃO: O carregamento dado é equivalente ao da fig. abaixo: 
4 6 3 
4 6 3 
2 3 
3 3 
3 3 
10 52 , 11 ) 120 , 0 )( 80 , 0 ( 
12 
1 
10 12 , 5 ) 80 , 0 )( 120 , 0 ( 
12 
1 
10 60 , 9 120 , 0 80 , 0 
: Pr 
. 120 10 25 10 80 , 4 
. 192 10 40 10 80 , 4 
m I 
m I 
m A 
seção da opriedades 
m N M 
m N M 
z 
x 
z 
x 
 
 
 
 
 
   
   
    
     
     
20 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Exemplo 4.9 
MPa
I
xM
MPa
I
zM
MPa
A
P
z
máxz
x
máxx
625,0
1052,11
)1060(120
5,1
1012,5
)1040(192
5,0
1060,9
80,4
6
3
2
6
3
1
30




















1 - 39 
Tensão devido à carga P: 
Tensão devido ao momento Mx: 
Tensão devido ao momento Mz: 
MPa
MPa
MPa
MPa
D
C
B
A
375,0625,05,15,0
625,1625,05,15,0
375,1625,05,15,0
625,2625,05,15,0








a) Tensão em cada ponto: 
b) Posição da L.N.: 
mmHA
HA
mmBG
BG
70
375,0625,2
625,2
80
7,36
375,1625,1
375,1
80






Distribuição das tensões: 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Flexão de Barras Curvas 
qd
qqq
qqd
qqd
qq






y
Fazendo
yRyR
Logo
yRreyRr
figdaTemos
rr
RR
'
''
''
''
''
:
)()(
:
.
r
rRE
yR
yE
E
Logo
yR
y
r
y
r
xx
x










q
q
q
q
e
q
q
q
q
q
d
e
..
:
1 - 40 
Considere a barra curva de seção transversal uniforme indicada na figura. Sua 
seção transversal é simétrica em relação ao eixo “y”. 
Tomando o arco JK, distante 
de y acima da Sup. Neutra: 
A tensão não varia linearmente com a 
distância y da fibra estudada à S.N. 
21 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Flexão de Barras Curvas 
1 - 41 




rdA
A
r
r
dA
A
R
1_
  
 





00
00
dA
r
dA
RdA
r
rR
dA
r
rRE
dAx q
q
A relação abaixo deve ser satisfeita: 
Distância do centro de 
curvatura C até a S.N. 
O eixo neutro não passa pelo 
centróide da seção da barra curva 
Outra relação que devemos satisfazer é: 
Ae
M
RrA
ME
MArRARA
E
MrdARA
r
dA
R
E
MdA
r
rRE
MydA
r
rRE
MdAy z



















 

 
)(
)2(
2
)(
(
_
_
2
2
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q

Encontramos, então: 
reA
RrM
yReA
yM
x
..
).(
)(.
. 



RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Flexão de Barras Curvas 
ReAE
M
RR
eAE
M
RRR
Como
RR
...
11
..
1
1
1
11
:
11
'
'
'
'
'












 



q
q
qqq
q
q
1 - 42 
Distância R do centro de curvatura C até a S.N. para seções usuais: 
Mudança na curvatura da S.N. causada pelo momento fletor M: 
22 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Exemplo 4.10 
mmRre
mmR
mm
h
rr
mm
h
rr
r
r
h
r
dr
h
r
drb
hb
r
dA
A
R
r
r
r
r
r
r
523,0477,99100
477,99
5,87
5,112
ln
25
5,1125,12100
2
5,875,12100
2
ln.
.
_
_
2
_
1
1
2
2
1
2
1
2
1






1 - 43 
Uma barra retangular de eixo curvo tem raio 
mmr 100
_

e uma seção tranversal de largura b=50mm e altura 
h=25mm. Determinar a distância “e” entre o centróide 
e o eixo neutro da seção. 
SOLUÇÃO: Inicialmente determinamos 
o raio R da S.N.: 
99,477mm 100mm 
0,523mm 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT 
Exemplo 4.11 
MPa
reA
RrM
MPa
reA
RrM
mmhbA
mNM
máx
5,104
)105,87)(10523,0)(101250(
10)48,995,87(500
..
)(
5,88
)105,112)(10523,0)(101250(
10)48,995,112(500
..
)(
12502550.
.500
336
3
1
1
min
336
3
2
2
2




















MPa
I
cM
máx 0,96
10])25()50[(
12
1
105,12500.
123
3
min, 






1 - 44 
Determinar para a barra do Ex. 4.10, os valores máximos das tensões de tração e 
compressão, sabendo-se que o momento fletor na barra é M=500 N.m 
SOLUÇÃO: 
Se usássemos a expressão da tensão para uma barra reta, teríamos: 
O que diverge dos valores reais obtidos.