UIA1 Aula 01 02 03 04 Sequencias e Series 2017 2

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UNIDADE DE INTERAÇÃO E APRENDIZAGEM 1 | UIA 1 
SEQUÊNCIAS E SÉRIES 
 Aula 01 | Sequências 
 Aula 02 | Séries numéricas 
 Aula 03 | Teste de convergência parte I 
 Aula 04 | Teste de convergência parte II 
 Aula 05 | Séries de Taylor 
 Aula 06 | Séries de Fourier 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Buscamos desde a antiguidade, regularidades e padrões de seqüências, números e figuras. No nosso dia a dia, o 
termo sequência significa uma sucessão de coisas ou acontecimentos em uma ordem determinada (cronológica, de 
tamanho ou lógica). 
O que o matemático faz é examinar “padrões” abstratos – padrões numéricos, padrões de 
forma, padrões de movimento, padrões de comportamento, etc. Esses padrões tanto podem 
ser reais como imaginários, visuais ou mentais, estáticos ou dinâmicos, qualitativos ou 
quantitativos, puramente utilitários ou assumindo um interesse pouco mais recreativo. 
Podem surgir a partir do mundo à nossa volta, das profundezas do espaço e do tempo, ou 
das atividades mais ocultas da mente humana (DEVLIN, 2002, p. 9). 
 
É comum percebermos em nosso dia a dia conjuntos cujos elementos estão dispostos em certa ordem, obedecendo 
a uma sequência. 
 
Exemplos 
 
 Padrões de figuras semelhantes 
 
 
 
 Padrões numéricos 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 01 | SEQUÊNCIAS 
 Padrão de movimento dos planetas 
 
 
 
Outros exemplos onde podemos observar padrões no nosso dia a dia 
 
 Dias da semana, meses do ano. 
 A relação de nomes de alunos de uma sala de aula. 
 Os números das casas de uma rua. 
 A relação das notas musicais (dó ré mi fá sol lá si). 
 Mercado financeiro, onde se observa as variáveis que regem determinado mercado, para elaborar uma 
estratégia de vendas, de marketing, etc, baseada nos padrões que se repetem. 
 
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 
 
No estudo da matemática estudamos um tipo de sequência: a sequência numérica. Essa sequência é composta por 
números que estão dispostos em uma determinada ordem preestabelecida. Essa ordem é determinada por uma lei 
ou função, cujo domínio é o conjunto dos números naturais. 
 
DEFINIÇÃO 1 – Uma sequência é uma lista infinita de números ordenados na forma 
 
1 2 3 4, , , ,....., ,.....na a a a a
 
em que cada um dos 
'sna
 é um número real. 
 
Ou seja, uma sucessão ou sequência é uma relação cujo domínio é um conjunto dos números naturais e os 
números da imagem da relação são chamados de elementos da sucessão. Desta forma, podemos dizer que uma 
sequência é uma função 
:
, ( )n n
f IN IR
n a onde f n a


 
 
 
Uma sequência infinita é denotada por 
na
, 
na
ou 
na
 e representada por 
 
{
na
}= {
1 2 3 4, , , ,....., ,.....na a a a a
} 
(
na
) = (
1 2 3 4, , , ,....., ,.....na a a a a
) 
1 2 3 4, , , ,....., ,.....n na a a a a a
 
 
onde 
 
1a
 é chamado de primeiro termo, e 
 
na
é o termo geral. 
 
n IN
 
 
Veja alguns exemplos de sequências numéricas infinitas. 
 
1. {
na
} = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ..., 2n, .... } é uma sequência de números pares positivos 
2. {
na
} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11..., n, ....} é uma sequência de números naturais. 
3. {
na
} = {10, 20, 30, 40, 50..., 10n, .....} é uma sequência de números múltiplos de 10. 
4. 
 { } 3,4,5,6,..., 3,.....na n 
 é uma sequência de números naturais a partir de 3. 
5. 
10 10 10 10 10
{ } , , , ,..., ,.....
1 2 3 4
na
n
 
 
 
 é uma sequência de frações cujo numerador é a constante 10 e o 
denominador, os naturais. 
6. 
 { } 2,2,2,2,...,2,.....na 
é uma sequência constante de valor 2. 
7. 
 { } 1, 1, 1, 1,..., ( 1) ,.....nna    
é uma sequência alternada. 
8. 
1 1 1 1 ( 1)
{ } , , , ,..., ,.....
2 4 8 16 2
n
n n
a
   
 
 
que também é uma sequência alternada. 
 
SEQUÊNCIA DE FIBONACCI 
 
Umas das sequências mais famosas da matemática. Esta sequência é uma sucessão de números que, 
misteriosamente, aparece em muitos fenômenos da natureza. Descrita no final do século 12 pelo italiano Leonardo 
Fibonacci, ela é infinita e começa com 0 e 1. Os números seguintes são sempre a soma dos dois números 
anteriores. Portanto, depois de 0 e 1, vêm 1 
 
(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ... ) 
 
Ao transformar esses números em quadrados e dispô-los de maneira geométrica, é possível traçar uma espiral 
perfeita, que também aparece em diversos organismos vivos. 
 
 
 
Outra curiosidade é que os termos da sequência também estabelecem a chamada “proporção áurea”, muito usada 
na arte, na arquitetura e no design por ser considerada agradável aos olhos. Seu valor é de 1,618 e, quanto mais 
você avança na sequência de Fibonacci, mais a divisão entre um termo e seu antecessor se aproxima desse 
número. Isso é o que faz dessa ordem de números, uma descoberta especial, é a sua ligação com os fenômenos da 
natureza e o valor aproximado da constante 1,6 a partir do número 3. Observe: 
 
 5/3 = 1,666 
 8/5 = 1,6 
 13/8 = 1,625 
 21/13 = 1,615 
 E continua. 
Esta razão foi muito usada por Phidias, um escultor grego e em função das primeiras letras de seu nome usamos 
Phi para representar o valor numérico da razão de ouro. 
 
 
 
 
Exemplos na natureza em que a sequência ou a espiral de Fibonacci aparece 
 
CONCHA DO CARAMUJO 
Cada novo pedacinho tem a dimensão da somados dois antecessores 
 
CAMALEÃO 
Contraído, seu rabo é uma das representações mais perfeitas da espiral de Fibonacci 
 
ELEFANTE 
Se suas presas de marfim crescessem sem parar, ao final do processo, adivinhe qual seria o formato? 
 
GIRASSOL 
Suas sementes preenchem o miolo dispostas em dois conjuntos de espirais: geralmente, 21 no sentido horário e 34 
no anti-horário 
 
PINHA 
As sementes crescem e se organizam em duas espirais que lembram a de Fibonacci: oito irradiando no sentido 
horário e 13 no anti-horário 
 
POEMA CONTADINHO 
Acharam o “número de ouro” até na razão entre as estrofes maiores e menores da Ilíada, épico de Homero sobre 
os últimos dias da Guerra de Troia 
 
A BELEZA DESCRITA EM NÚMEROS 
A “Proporção de ouro” aparece tanto em seres vivos quanto em criações humanas. Na matemática, a razão 
dourada é representada pela letra grega phi: φ 
 
PARTENON 
Os gregos já conheciam a proporção, embora não a fórmula para defini-la. A largura e a altura da fachada deste 
templo do século V a.C. estão na proporção de 1 para 1,618 
 
ARTES 
Esse recurso matemático também foi uma das principais marcas do Renascimento. A Mona Lisa, de Leonardo da 
Vinci, usa a razão na relação entre tronco e cabeça e entre elementos do rosto 
 
AS GRANDES PIRÂMIDES 
Mais um mistério: cada bloco é 1,618 vezes maior que o bloco do nível imediatamente acima. Em algumas, as 
câmaras internas têm comprimento 1,618 vezes maior que sua largura 
 
OBJETOS DO COTIDIANO 
Vários formatos de cartão de crédito já foram testados. O que se sagrou favorito do público têm laterais na razão 
de ouro. Fotos e jornais também costumam adotá-la 
 
ROSTO 
Dizem que, nas faces consideradas mais harmoniosas, a divisão da distância entre o centro da boca e o “terceiro 
olho” pela distância entre esse ponto e uma das pupilas bate no 1,618 
CORPO 
Se um humano “mediano” dividir sua altura pela distância entre o umbigo e a cabeça, o resultado será algo em 
torno de 1,618 
Phi = = 1.618033988749895 
MÃOS 
Com exceção do dedão, em todos os outros dedos as articulações se relacionam na razão áurea 
 
FONTES Roberto Jamal, professor do cursinho Anglo, Claudio Possani,professor do Instituto de Matemática e 
Estatística da USP, e livro Do Not Open, vários autores (http://mundoestranho.abril.com.br/materia/o-que-e-a-
sequencia-de-fibonacci) 
TERMO GERAL DA SEQUÊNCIA DE FIBONACCI 
A sequência de Fibonacci possui o numeral 1 como o primeiro e o segundo termo da ordem, e os elementos 
seguintes são originados pela soma de seus dois antecessores. Os Números de Fibonacci são uma sequência 
numérica definida recursivamemente pela fórmula abaixo: 
 
1 , 1
( )
( 1) ( 2), 1
sen
F n
F n F n se n


   
 
 
Esta sequência numérica aparece em diversas situações. Por exemplo, 
 
1. Estudo genealógico de coelhos 
2. Estudo genealógico de abelhas 
3. Comportamento da luz 
4. Comportamento de átomos 
5. Crescimento de plantas 
6. Ascenção e queda em bolsas de valores 
7. Probabilidade e Estatística 
8. Curvas com a forma espiralada como: Nautilus (marinho), galáxias, chifres de cabras da montanha, 
marfins de elefantes, filotaxia, rabo do cavalo marinho, onda no oceano, furacão, etc. 
 
Os gregos criaram o retângulo de ouro e os egípcios construíram suas pirâmides. O retângulo obedecia a uma 
relação entre o comprimento e a largura, sendo a divisão entre eles, igual a 1,6. Esse quociente também era 
registrado entre as pedras utilizadas na construção das pirâmides, considerando que a pedra inferior seria maior 
que a superior. Nesse caso, a divisão entre elas também seria 1,6, pois esse valor era considerado um símbolo de 
perfeição nas construções, chegando a receber o nome de divina proporção. 
 
Fibonacci surge por volta do ano de 1200 estabelecendo a famosa sequência, a partir de observações feitas na 
evolução da população de um casal de coelhos. Ao observar a beleza da natureza, descobriu a divina proporção 
em várias plantas, como por exemplo, a espiral da folha de uma bromélia. A espiral cresce na mesma medida que 
o retângulo de ouro, obedecendo a proporção de 1,618. Veja esquema na ilustração da evolução da espiral: 
 
 Folha da bromélia Espiral 
 
 
Os retângulos aumentam suas áreas de acordo com a sequência de Fibonacci. Todos eles possuem medidas 
exatas de acordo com a divina proporção. 
 
 
 
A proporção entre as abelhas fêmeas e machos de uma colmeia, também é respeitada a proporção de ouro. 
 
Os artistas Michelangelo e Leonardo da Vinci aplicaram em suas obras a proporção de ouro, enfatizando em suas 
artes o número constante 1,6. Da Vinci observou a presença do número de ouro no corpo humano, realizando as 
seguintes medições: 
 
1- Altura da pessoa dividida pela altura do umbigo em relação ao solo. 
2- Medida inteira da perna dividida pela altura do joelho até o solo. 
3- Medida do braço inteiro dividida pelo tamanho do cotovelo até o dedo. 
4- Medida do dedo inteiro dividida pelo tamanho da dobra central até a ponta. 
 
Outras medições realizadas no corpo humano satisfazem a constante do número de ouro. Em virtude dessa 
descoberta, clínicas de estéticas realizam cirurgias plásticas faciais em pacientes que desejam enquadrar suas 
medidas, visando à busca pela perfeição. 
 
SEQUÊNCIAS CONVERGENTES 
 
Umas das principais questões levantadas no estudo de sequências numéricas é obervar se uma sequência atinge 
um valor limitante máximo ou mínimo, ou seja, queremos verificar se uma sequência se aproxima de um 
determinado valor quando aumentamos o valor de n. 
 
Por exemplo, vamos supor que o crescimento diário de uma linhagem de suínos é dado em função do crescimento 
total pela sequência 
{ }
13
n
n
a
n
 
 
 
 
onde n corresponde ao número de dias de vida do suíno e 
na
o tamanho de um suíno adulto. Assim, o conjunto 
 
1 2 3 4 5
{ } , , , , ,....., ,.....
14 15 16 17 18 13
n
n
a
n
 
 
 
 representa o tamanho final diário do suíno em relação ao tamanho 
final. 
 
Graficamente, podemos observar a curva de crescimento, cujo limite é representado pela assíntota y = 1. 
 
 
 
Como podemos observar a assíntota y = 1 representa o limite de crescimento do suíno. Isso significa que podemos 
levantar questões como por exemplo, qual o número mínimo de dias que o suíno deve ficar em tratamento para 
atingir, pelo menos, 80% de seu tamanho final? 
 
No gráfico abaixo podemos observar uma estimativa em torno de 50 dias. 
 
 
Quando uma sequência se aproxima de um determinado valor numérico, à medida que n cresce infinitamente, 
dizemos que a sequência converge para esse valor numérico. Caso contrário, ou seja, não se aproxima de nenhum 
valor, dizemos que a sequência diverge. 
 
A questão agora é como fazer uma estimativa em termos matemáticos? A resposta será dada pela definição de 
limite de uma sequência. 
 
DEFINIÇÃO 2 – SEQUÊNCIAS CONVERGENTES 
 
Uma sequência {
na
} é dita convergente para um número L
IR
 se 
 
lim n
n
a L


 
Ou seja, a sequência se aproxima de um número L, à medida que aumentamos o valor de n. Caso contrário a 
sequencia é dita divergente. 
 
Exemplos – Verifique se as sequências são convergentes. 
 
(a) 
{ }
13
n
n
a
n
 
 
 
 
 
1
13lim limn n
n n
n n 
 

 
 
Logo, {
na
} converge para 1. 
 
(b) 
1
{ }
2
na
n
 
 
 
 
 
1
0
2limn n

 
 
Logo, {
na
} converge para 0. 
 
(c) 2
2
4
{ }
2 1
n
n
a
n
 
 
 
 
 
2 2
2 2
4 4
2
2 1 2
lim lim
n n
n n
n n 
 

 
 
Logo, {
na
} converge para 2. 
(d) 
 { } ( 1)nna  
 
 
Temos duas situações para analisar, considerando que n pertence aos naturais. 
 
1- se n é par 
 
( 1)lim
n
n

 = 1 
 
2- se n é impar 
 
( 1)lim
n
n

 = -1 
 
Logo, {
na
} diverge. 
 
Esta sequencia é chamada sequencia alternada, pois para cada valor de n, o resultado é sempre -1 ou 1. 
 
(e) 2 1
{ }n
n
a
n
 
 
 
 
 
2 21
lim lim lim
n n n
n n
n
n n  

  
 
Logo, {
na
} diverge. 
 
SEQUENCIAS CRESCENTES E DECRESCENTES 
 
DEFINIÇÃO 3 - Dizemos que uma sequencia {
na
} é dita: 
 
(i) crescente, se 
1 , ;n na a n 
 
(ii) decrescente, se 
1 , ;n na a n 
 
 
Uma sequencia que seja sempre crescente ou sempre decrescente ou sempre constante é chamada sequencia 
monótona. 
 
 
 
 
 
SEQUÊNCIAS LIMITADAS 
 
DEFINIÇÃO 4 - Uma sequência {
na
} é limitada superiormente se existir N real tal que
,na N n 
. 
 
 
DEDINIÇÃO 5 - Uma sequência {
na
} é limitada inferiormente se existir M real tal que 
,nM a n 
. 
 
 
DEFINIÇÃO 6 - Uma sequência {
na
} é limitada se ela é limitada inferiormente e superiormente, ou seja, se 
existir M, N reais tal que 
,nM a N n  
. 
 
 
Exemplo – A sequência 
{ }
1
n
n
a
n
 
 
 
é limitada, pois possui limite inferior e superior. 
De fato, pois 
1
1,
2
na n  
. 
 
A sequência
 { }na n
é limitada inferiormente apenas, pois 
0 ,na n 
. 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL SOBRE SEQUÊNCIAS 
 
(i) Toda sequência crescente e limitada superiormente é convergente. 
(ii) Toda sequência decrescente e limitada inferiormente é convergente. 
(iii) Toda sequência monótona e limitada superiormente é convergente. 
 
Exemplos 
(a) A sequência 
 { }na n
é limitada inferiormente apenas, pois 
0 ,na n 
, mas não superiormente. 
Portanto 
{ }na
é divergente, pois
lim
n
n

 . 
(b) A sequência 
{ }
1
n
n
a
n
 
 
 
é limitada, pois possui limite inferior e superior, já que 
1
1,
2
na n  
. 
Portanto é convergente e converge para 1, pois 
 
1 1
1lim lim limn n n
n n
n n  
  

 
 
Pergunta-se: 
 Toda sequência limitada é convergente? 
Não, pois a sequência alternada 
 { } ( 1)nna  
 é limitada, pois 
1 1,na n   
, mas é divergente. 
TEOREMA DO CONFRONTO OU DO SANDUICHE 
Se 
0,n n na b c n n   
 e 
lim limn n
n n
a c L
 
 
, então 
lim n
n
b L


. 
Ou seja, se 
{ } { }n na e c
convergem para o mesmo valor L, então necessariamente
{ }nb
também tem que convergir 
para o mesmo valor L. 
Exemplo – Considere a sequência 
2 ( )
{ }
3
n n
sen n
a
 
 
 
 
Considerando a imagem da função sen(n), temos que
20 ( ) 1,sen n n  
. Dividindo todos os termos por 
3n
, 
temos: 
2 20 ( ) 1 ( ) 1
0
3 3 3 3 3n n n n n
sen n sen n
    
 
Aplicando limites em todos os termos, temos: 
2 2( ) 1 ( ) 1
0 0
3 3 3 3
lim lim lim lim limn n n n
n n n n n
sen n sen n
    
    
 
Sabemos que o 
1
0
3
lim n
n

. Logo, pelo Teorema do Confronto 2 ( )
0
3
lim n
n
sen n


 
 
 
As séries infinitas de termos constantes representam um tópico muito importante em engenharia porque muitas 
funções matemáticas usadas em engenharia podem ser representadas como uma soma de infinitos termos, isto é, 
como uma série infinita de termos constantes. Estamos particularmente interessados em provar se uma série 
infinita de termos constantes é convergente ou divergente. Também devemos conhecer algumas séries muitos 
especiais e suas características de convergência. 
SÉRIES NUMÉRICAS 
 
DEFNIÇÃO 1 – Seja 
{ }na
uma sequência infinita. A soma dos termos dessa sequência é dada por 
1 2 3 4
1
, ..... .....n n
n
a a a a a a


     
 
 
que é chamada série infinita do termo geral
na
. 
 
A pergunta que se faz é a seguinte: 
 
 Seria possível encontrar uma soma finita para a série infinita acima? Ou seja. É possível encontrar um 
valor numérico somando infinitos termos? 
 
Se S for esse valor numérico, escrevemos 
 
1 2 3 4
1
, ..... .....n n
n
a a a a a a


     
 = S 
 
Caso contrário, escrevemos 
 
 
1 2 3 4
1
, ..... .....n n
n
a a a a a a


     
 = 

 
Neste caso, um exemplo claro é a série que soma os números naturais. 
 
 
1
1 2 3 4 ..... .....
n
n n


      
 = 

 
 
À medida que somamos os termos da sequência 
 { }na n
obtemos um valor cada vez maior, tendendo a uma 
soma infinita. 
 
Assim, o objetivo será verificar se uma série possui uma soma finita ou infinita. 
 
 
AULA 02 | SÉRIES NUMÉRICAS 
SOMAS PARCIAIS 
 
Verificar se a soma dos termos sequência 
{ }na
possui uma soma finita nem sempre é uma tarefa fácil. Para 
facilitar o cálculo, definimos somas parciais. 
 
Considere a sequência 
{ }na
e a partir dela, vamos somar apenas os n primeiros termos. Assim, vamos construir a 
seguinte nova sequência 
{S }n
 
 
1 1
2 1 2 1 2
3 1 2 3 2 3
4 1 2 3 4 3 4
1 2 3 4 1 1 1 2 3 4 1, ( )n n n n n n
S a
S a a S a
S a a a S a
S a a a a S a
S a a a a a S a onde S a a a a a I  

   
    
     
             

 
 
 
A sequência
1 2 3 4{S } {S ,S ,S ,S ,....., S }n n
obtida dessa maneira da sequência 
{ }na
é chamada de sequência de 
somas parciais da série infinita dada. Essa sequência de somas parciais pode ou não ter um limite. A definição 2 a 
seguir permite encontrar uma soma, caso ela exista. 
 
Uma observação importante é que a n-ésima soma 
Sn
dada em (I) é definida por 
 
 
 
 
Esta fórmula serve de base para encontrar a fórmula para 
Sn
, em termos de n. 
 
DEFINIÇÃO 2 – Dada uma série 
1 2 3 4
1
, ..... .....n n
n
a a a a a a


     
, considere 
Sn
sua e-ésima soma parcial, 
ou seja, 
 
1 2 3 4 .....n nS a a a a a     
 
 
Se a sequência de somas parciais
{S }n
convergir para uma soma S, escrevemos: 
 
1 2 3 4 ..... na a a a a S     
 
Então a série 
1
n
n
a



também converge para S. 
Em outras palavras, se a sequência
{S }n
 for convergente e 
lim n
n
S S


, então a série 
1
n
n
a



também é convergente 
e tem soma S, ou seja, 
1
n
n
a S



. 
Se a sequência 
{S }n
é divergente, então a série 
1
n
n
a



é divergente. 
Exemplo – Suponhamos que se saiba que a soma dos primeiros n termos da série 
1
n
n
a



seja 
1 2 3 4
2
.....
3 5
n n
n
S a a a a a
n
      

 
Pela definição anterior, 
 
2 2 2 2
3 5 3 3 3
lim lim lim
n n n
n n
n n  
  

 
 
1Sn n nS a 
 
Logo, como a sequência de somas parciais converge para 2/3, a série também converge para 2/3. 
 
Exemplo – Dada a série infinita 
1 1
1
( 1)
n
n n
a
n n
 
 


 
, 
 
(a) Determine os quatro primeiros termos da sequência das somas parciais 
{S }n
. 
1 1
2 1 2
3 2 3
4 3 4
1
2
1 1 1 1 2
2 2(2 1) 2 6 3
2 1 2 1 3
3 3(3 1) 3 12 4
3 1 3 1 4
4 4(4 1) 4 20 5
S a
S S a
S S a
S S a
 
      

      

      

 
 
Logo, os quatro primeiros termos são 
1 2 3 4
, ,
2 3 4 5
e
. 
 
(b) Determine a fórmula para
Sn
, em termos de n. 
 
Observe que 
1 1 1
( 1) 1
na
n n n n
  
 
, por frações parciais. 
Logo, 
 
1
2
3
4
1
1
1
2
1 1
2 3
1 1
3 4
1 1
4 5
1 1
1
1 1
1
n
n
a
a
a
a
a
n n
a
n n

 
 
 
 
 

 


 
 
Assim, 
 
1 2 3 4 .....n nS a a a a a     
 = 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2 2 3 3 4 4 5 1 1n n n n
          
                     
            

 
 
Eliminando os parênteses e combinando os termos positivos e negativos, obtemos
1
1
1 1
n
n
S
n n
  
 
 
Portanto, a fórmula para 
nS
é dada por
1
n
n
S
n


 
(c) Verifique se a série 
1
1
( 1)n n n

 

 tem uma soma. 
 
Pela definição 2, a série tem soma 1, pois 
 
1
1
11
1
lim lim limn
n n n
n
S
n
n
  
  


 
Logo, 
1
1
1
( 1)n n n





. 
Exemplo – Determine a série infinita que tem a sequência de somas parciais
1
2
n n
S 
. 
-Solução- 
 
Como 
1Sn n nS a 
, temos: 
 
1
1
1
1 1
2 2
1 1
2 2 .2
1 1
12
2 .
2
1 2 1
2 2 2
n n n
n n
n n
n
n
nn n n
a S S
a



 
 
 
 
   
 
 
Observe que se n = 1, então
1
1
2
a 
. Se n > 1, temos: 
 
2 3 4
1 1
.....
2 2
n n
S a a a
 
       
 
, onde 
1
2
n n
a  
 
 
2
1 1
2 2nn


 
  
 

 
 
Logo, a série infinita é dada por
2
1 1
2 2nn


 
  
 

. 
 
TEOREMA DE CONVERGÊNCIA DE UMA SÉRIE 
 
Condição necessária de convergência.OBSERVAÇÃO: 
O inverso deste teorema é falso, isto é, se 
na lim
n 
= 0, então não é necessariamente verdadeiro que a série seja 
convergente. 
Exemplo 
A série harmônica 
 

 n
 
n
 
n
1
4
1
3
1
2
1
1
1
1
 
1- Se a série 
1
n
n
a



for convergente, então 
0lim n
n
a


. 
 
 
1
0lim limn
n n
a
n 
 
, mas a série harmônica é divergente. 
 
De fato, 
 
TESTE DE DIVERGÊNCIA 
 
 
 
 
 
 
Exemplos – Mostre que as séries são divergentes. 
 
(a) 2
2
1 5 4n
n
n

 

 
2
2
2
1 1
0
4 55 4 5
lim lim limn
n n n
n
a
n
n
  
   
 
 
 
Logo, pelo teste da divergência, a série diverge. 
 
(b) 
1
1
n
n
n




 
 
Se 
lim n
n
a

não existir ou se 
0lim n
n
a


, então a série 
1
n
n
a



é divergente. 
 
111
1 0
1
lim lim limn
n n n
n na
n  

   
 
 
Logo, pelo teste da divergência, a série diverge. 
 
(c) 
1 2 5n
n
n





 
 
1 1
0
52 5 22
lim lim limn
n n n
n
a
n
n
  
 
   
 
 
 
Logo, pelo teste da divergência, a série diverge. 
 
(d) 
2
1n
n



 
 
2
lim limn
n n
a n
 
 
 
 
Logo, pelo teste da divergência, a série diverge. 
 
(e) 
1
1
( 1)n
n




 
 
Diverge, pois 
1( 1)lim
n
n



não existe. 
 
SÉRIE GEOMÉTRICA 
 
DEFINIÇÃO 3 - A série
 
1 2 3 1
1
. ... ...
n n
n
a r a ar ar ar ar

 

      
é denominada série geométrica. 
 
A série geométrica 
 Converge se |r| < 1 e sua soma é dada por 
1
a
r
, ou seja, 
 
1
1
.
1
n
n
a
a r
r






 
 Diverge se
1r 
. 
 
Observação - Consideremos a sequência das somas parciais 
 ns
: 
 
1n32
n ar...arararas

 ( I ) 
n1n32
n arar...arararrs 

 ( II ) 
 
Subtraindo (II) de (I): 
 
n
n ns rs a ar (1 ) (1 )
n
ns r a r      
 n
n
a(1 r )
s
1 r

 

 
 
Calculando o limite obtemos: 
n
n
n n
a
; se r 1a(1 r )
1 rlim s lim
1 r
; se r 1
 

 
  
  
 
 
Exemplos – Diga se cada série geométrica converge ou diverge. Caso convirja, determine sua soma. 
 
(a) 1
1
1
3.
2
n
n


 
 
 

 
 
-Solução- 
 
Observe que a = 3 e r = 1/2. 
 
 Teste de convergência 
 
 
1
1
2
r  
 . Logo, a série converge. 
 Como a série converge, ela tem uma soma finita, dada por 
 
 
3 3
6
1 11
1
2 2
a
r
  


 
Logo, 1
1
1
3. 6
2
n
n


 
 
 

. 
 
(b) 1
1
3
5
n
n


 
 
 

 
 
-Solução- 
 
Observe que a = 1 e r = 3/5. 
 Teste de convergência 
 
 
3
1
5
r  
 . Logo, a série converge. 
 Como a série converge, ela tem uma soma finita, dada por 
 
 
1 1 5
3 21 2
1
5 5
a
r
  


 
Logo, 1
1
3 5
5 2
n
n


 
 
 

. 
 
(c) 1
1 2
n
n



 
 
 

 
 
-Solução- 
 
Observe que a = 1 e r = 
/ 2
. 
 
 Teste de convergência 
 
 
1
2
r

 
 . Logo, a série diverge. Nesse caso, a série tem soma infinita. 
 
 
(d) 
1
1
4
2nn




 
 
-Solução- 
 
Aqui temos que deixar a série segundo a definição de série geométrica 
 
1
1 1
1 1 1
4 1 1
4. 4.
22 2
n
n n
n n n
  
 
  
 
   
 
  
 
 
Logo, a = 4 e r = 1/2. 
 
 Teste de convergência 
 
 
1
1
2
r  
 . Logo, a série converge. 
 Como a série converge, ela tem uma soma finita, dada por 
 
 
4 4
8
1 11
1
2 2
a
r
  


 
Logo, 
 
1
1
4
8
2nn




. 
 
Teorema - Se 
1
n
n
a



 e 
1
n
n
b



 são duas séries convergindo a S e R respectivamente, então 
(i) A série 
 n n
1
a b
n



 converge a S  R. 
(ii) A série 
1
. n
n
k a



 converge a k.S, k  R 
 (iii) Se
1
n
n
a



 é convergente e 
1
n
n
b



é divergente, então 
 n n
1
a + b
n



 é divergente. 
 (iv) Se 
1
n
n
a



 é divergente e k 
0
, então 
1
. n
n
k a



é divergente. 
Observação: Se
1
n
n
a



 e 
1
n
n
b



 são duas séries divergentes nada se pode afirmar sobre
 n n
1
a + b
n



. 
Exemplo - As séries 
1
2n
n



 e 
1
2n
n



 divergem, mas 
 
1
2 2 0n n
n


 
, ou seja, converge a 0. 
Exemplo – Verifique se a série é convergente. 
 
(a) 1
1
1
3 1
6
n
n
n





 
 
 
-Solução- 
 
Aqui temos que deixar a série segundo a definição de série geométrica. 
 
1 1 1 11 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1
3 1 3 1 3 1 1 1
6 6 2 66 6 6
n n n nn n
n n n
n n n n n n
         
  
     
         
              
        
     
 
 
Observe que as duas séries formadas são convergentes, pois na primeira,
1
1
2
r  
 e na segunda
1
1
6
r  
. 
Podemos aplicar o teorema acima, (i). 
Vamos calcular a soma de cada série separadamente. 
 
 1
1
1
2
n
n


 
 
 

 
 
Observe que a = 1 e r = 1/2. 
 
 Teste de convergência 
 
 
1
1
2
r  
 . Logo, a série converge. 
 Como a série converge, ela tem uma soma finita, dada por 
 
 
1 1
2
1 11
1
2 2
a
r
  


 
Logo, 
 
1
1
1
2
2
n
n


 
 
 

 
 
 1
1
1
6
n
n


 
 
 

 
 
 Teste de convergência 
 
 
1
1
6
r  
 . Logo, a série converge. 
 Como a série converge, ela tem uma soma finita, dada por 
 
 
1 1 6
1 51 5
1
6 6
a
r
  


 
Logo, 
 
1
1
1 6
6 5
n
n


 
 
 

 
 
Logo, pelo Teorema (i) acima, temos: 
 
1 11
1
1 1 1
3 1 1 1 6 4
2
2 6 5 56
n nn
n
n n n
   

  
    
       
   
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA PARA SÉRIES NUMÉRICAS 
 
Em geral é difícil decidir através do estudo das sequências das somas parciais se uma série é convergente ou 
divergente, principalmente porque nem sempre é possível estabelecer uma expressão geral para
nS
. 
 
Abaixo serão apresentados alguns testes que permitem verificar a convergência de uma série infinita, mesmo que 
não se saiba o valor da soma no caso da série convergente. Neste caso, podemos aproximar a soma por uma soma 
parcial com termos suficientes para atingir o grau de precisão desejado. 
 
1- p-SÉRIES E A SÉRIE HARMÔNICA 
 
DEFINIÇÃO 1 - Uma série do tipo
1
1
p
n n


é chamada p- série. 
 
 Convergência 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
1- A p-série 
1
1
p
n n



 é também chamada de série hiper-harmônica 
2- A série harmônica 
1
1
n n



 é um caso particular de uma p-série (p = 1) e como já tínhamos 
colocado, diverge. 
3- O resultado acima pode ser demonstrado através de um critério chamado de Critério da Integral 
 
Exemplos 
 
(1) 
1
1
n n



 diverge (p = 1) 
 
(2) A série 
2
1
1
n n



 converge (p = 2) 
 
(3) A série 
1
1
n n



 diverge (p = ½) 
 
2- TESTE DA COMPARAÇÃO 
 
Dadas as séries 
1
n
n
a



 e 
1
n
n
b



, com 
0na 
, 
0nb 
e 
n na b
, n, temos que: 
 
 
 
AULAS 03 E 04 | TESTES DE CONVERGÊNCIA PARTES I E II 
 
 
A p-série 
1
1
p
n n



 ( p > 0 ) 
 converge se p > 1 
 diverge se 0 < p  1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações 
 
1- Este teste é também chamado teste do confronto ou comparação simples. 
2- Se
n na b
 e 
1
n
n
b



diverge nada podemos afirmar sobre
1
n
n
a



. 
3- Se
n na b
 e
1
n
n
a



converge nada podemos afirmar sobre
1
n
n
b



. 
4- Se 
1
n
n
a



 e 
1
n
n
b



 são séries de termos positivos e suponha que 
lim
n
n n
a
C
b

. 
Se C > 0, então ambas as séries convergem ou ambas divergem. 
 
5- O teste também se aplica se temos 
n na b
, n > no. 
6- Vamos utilizar séries geométricas e p-séries para servirem de comparação 
 
Exemplo- Analise o comportamento das seguintes séries usando o teste da comparação simples 
 
(1) 
2
1
n 1n

 

 
 
-Solução- 
 
1n
1
n
1
1nn


. 
 
Como a série
1
1
n n



 diverge, então pelo teste da comparação a série
2
1
n 1n

 

 também diverge. 
 
(2) 
2
1
 sen(n) 
nn



 
 
-Solução- 
 
2 2
sen n 1
sen (n) 1
n n
  
 
Como a série
2
1
1
n n



 converge, então pelo teste da comparação a série temos que
2
1
 sen(n) 
nn



 também converge. 
 
3- SÉRIES ALTERNADAS 
 
DEDINIÇÃO 2 - Uma série alternada é uma série que se apresenta numa das formas 
 
 
...aaaa)1( 4321
1n
1 



n
n a
 
0na 
; n ou 
 
...aaaa-)1( 4321
1n



n
n a
 
0na 
; n 
 Se 
1
n
n
b



 converge, então
1
n
n
a



 converge. 
 Se
1
n
n
a



 diverge, então
1
n
n
b



 diverge. 
 
Exemplos 
 
(a) 
...
4
1
3
1
2
1
1
)1(
)1(
1n
1
1 






n
n
n
 
(b) 
...
8
1
4
1
2
1
2
)1(
)1(
1n
1 





n
n
n
 
 
O resultado a seguir nos dá um teste para analisar a convergência das séries alternadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação - A desigualdade 
n n 1S aS  
 significa que se uma série alternada satisfaz as hipóteses do Teste de 
Leibniz, o erro que resulta em aproximar S por 
nS
é menor que o primeiro termo que não foi incluído na soma 
parcial 
 
Exemplo - Estude quanto à convergência as seguintes séries 
 
(1) n 1
1
( 1)
nn




; 
 
-Solução- 
 
(i) 
0
n
1
lim
n


 
(ii) A sequência 






n
1
 é decrescente, ou seja, 
n aa n1n 
 
 
Portanto, pelo teste de Leibniz a série converge. 
 
Observações: 
 
1- Observemos que esta série é a série harmônica (que diverge) alternada. 
2- Se considerarmos, por exemplo, a soma 
4
1 1 1
1
2 3 4
S    
= 0,58333... o erro cometido é menor que a5 = 
1/5 = 0,2. 
 
De fato, veremos mais tarde que esta série tem por soma ln(2). Se calcularmos ln(2) = 0,69314718... e 
tomarmos a diferença 0,69314718...  0,58333.... = 0,1098... que é menor que 0,2. 
 
 
Teste de Leibniz 
Se a série alternada
...aaaa)1( 4321
1n
1 



n
n a
 (
0na 
; n ) é tal que 
 (i)
0alim n
n


 
(ii) 
n aa n1n 
 (ou seja, a sequência é decrescente) 
Então a série dada é convergente. 
Além disso, se S é a soma da série temos que 
1nn asS 
 
(2) 
2
π
( 1) sen
n
n
n



 
 
-Solução- 
(i) 
0
n
π
senlim
n


; 
(ii) Para mostrar que a sequência 






n
π
sen
 é decrescente, consideramos a função 
x
π
senf(x)
 e calculamos a sua 
derivada. 
 
Do cálculo I, temos: 
 
(i) se 
'(x)f
 > 0 
),( bax
, então f é crescente em [a, b]. 
(ii) se 
'(x)f
 < 0 
),( bax
, então f é decrescente em [a, b]. 
 
Assim, 
2
π
f (x) cos
xx

 
 < 0, o que garante que a função é decrescente para x > 2. De fato, pois 
se
2
π
x
π
02x 
. 
 
O arco está no 1
o
 quadrante e o cosseno é positivo 
 
 4- TESTES DA RAZÃO E DA RAIZ 
 
Para enunciar os testes da Razão e da Raiz vamos introduzir o conceito de séries absolutamente convergentes 
 
Analisando exemplos vistos anteriormente podemos observar que 
 
 A série n 1
1
( 1)
nn




 é convergente e a série n 1
1 1
( 1) 1
n nn n
 
 

 
 é divergente. 
 
 A série n 1
2
1
( 1)
nn




 é convergente e a série n 1
2 2
1 1
( 1) 1
n nn n
 
 

 
 também é convergente. 
 
Temos a seguinte definição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
 
1) A série n 1
n=1
( 1)
n


 é condicionalmente convergente. 
2) A série n 1
2
n=1
( 1)
n


 é absolutamente convergente. 
3) A série
n
n=1
π
( 1) sen
n

 é condicionalmente convergente. 
 Dada a série
n
n=1
a
 temos que: 
 
1- Se a série 
n
n=1
a
 converge dizemos que a série 
n
n=1
a
é absolutamente convergente. 
2- Se a série 
n
n=1
a
converge e 
n
n=1
a
 diverge dizemos que 
n
n=1
a
é condicionalmente 
 convergente. 
 
 
4) A série
2
n=1
sen(n)
n

 é absolutamente convergente. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo - Pelo resultado anterior podemos concluir que a série
2
n=1
sen (n)
n

 que não é de termos positivos nem 
alternada é convergente. 
 
Observações 
 
1) Temos que 
n
n=1
a
  
n
n=1
a
 converge. A recíproca não é verdadeira. 
n
n=1
a
convergir não implica que 
n
n=1
a
 também converge. 
 
 Exemplo 
 
n 1
n=1
( 1)
n


 
 
2) Se 
n
n=1
a
 diverge nada podemos afirmar sobre 
n
n=1
a
. Pode convergir ou divergir. 
3) Se 
n
n=1
a
 diverge podemos garantir que 
n
n=1
a
 diverge pois, caso contrário, 
n
n=1
a
 seria convergente. 
 
Assim, podemos resumir o teste da razão e o testa da raiz nos dois quadros abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Toda série absolutamente convergente é convergente, ou seja: se 
n
n=1
a
 converge, então 
n
n=1
a
 também converge 
Teste da Razão para a Convergência Absoluta 
 
 Seja a série
n
n=1
a
 e considere o limite 
n 1
n
n
lim k
a
a



. 
 Se k < 1 a série 
n
n=1
a
é absolutamente convergente, logo convergente. 
 Se k > 1 ( ou ) a série 
n
n=1
a
diverge. 
 Se k = 1 nada podemos concluir por este critério. 
 
Teste da Raiz para a Convergência Absoluta 
 
 Seja a série 
n
n=1
a
 e considere o limite 
n
n
n
lim ka


 
 Se k < 1 
n
n=1
a
 é absolutamente convergente, logo convergente 
 Se k > 1 (ou ) a série 
n
n=1
a
diverge 
 Se k = 1 nada podemos concluir 
 
Observações: 
 
1) Os Testes da Razão e da Raiz são gerais podendo ser aplicados em qualquer série. Garantem a 
convergência absoluta (k < 1) ou a divergência da série 
n
n=1
a
(k >1). 
2) Tanto no Teste da Razão quanto no Teste da Raiz podemos concluir a divergência se os respectivos limites 
forem + . 
 
3) Se k = 1 no Teste da Razão então k = 1 no Teste da Raiz. Ou seja, se encontrarmos k = 1 no Teste da 
Razão, não é mais necessário testar com o outro critério. 
 
Exemplo - Use os Testes da Razão ou a Raiz para analisar a convergência das seguintes séries: 
 
(1) n
n=1
2
n!

 
 
Em geral quando a expressão do termo geral da série envolve fatorial o critério mais indicado é o da razão 
 
n n 1
n 1
n n
n
2 2 n! 2n! 2
n! (n 1)! (n 1)n! n 12
a
a
a

    
  
  
n 1
n nn
2
0
n 1lim lim
a
a

 
 

. 
 
Concluímos então que a série é convergente 
 
(2) 2n
n=1
2n 1
n
 
 
 

 
Vamos usar o teste da raiz: 
 
 2n
n n
n
n n n
2n 1 2n 1
2
n n
lim lim lima
  
  
   
 
. Portanto, a série diverge. 
 
4- TESTE DA INTEGRAL 
 
Considere f uma função contínua, positiva e decrescente no intervalo 
[1, )
 e seja 
(n)na f
, onde
{ }na
uma 
sequência com termos positivos. 
A série 
1
n
n
a



é converge se, e somente se, a integral imprópria
1
( )f x dx


for convergente. 
 
Em outras palavras: 
 
(i) Se 
1
( )f x dx


for convergente, então
1
n
n
a



 é converge. 
(ii) Se 
1
( )f x dx


for divergente, então
1
n
n
a



 é divergente. 
 
A integral imprópria é resolvida da seguinte forma: 
 
1 1
( ) ( )lim
b
b
f x dx f x dx


 
 
 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO DE INTEGRAL IMPRÓPRIA 
 
Na definição de integral definida, consideramos a função contínua num intervalo fechado e limitado. Agora, 
estenderemos esta definição para os seguintes casos: 
 
Funções definidas em intervalos do tipo: 
 
 [a, +∞), (−∞, b] ou (−∞, +∞) 
 
ou seja, para todo x ≥ a ou x ≤ b ou para todo x ∈ IR, respectivamente. 
 
Exemplo - Calcular a área da região IR determinada pelo gráfico da função: 
 
 f:[1,+∞) → IR 
 
2
1
( )x f x
x

 
 
A região R é ilimitada superiormente e neste caso, a área abaixo da curva poderia ser infinita. Mas vamos 
mostrar que não. 
 
 
Vamos limitar superiormente a região. Ou seja, em vez de tentar encontrá-la toda de uma vez, vamos começar 
por calcular a parte dela acima do intervalo finito [1, b], onde b > 1 é arbitrário. 
 
Assim, se
bR
 é a região determinada pelo gráfico de
2
1
y
x

 e 1 ≤ x ≤ b, acima do eixo dos x, a área de
bR
 é: 
2
1
1 1 1
( ) 1
1
b
b
b
A R dx
x bx
   
 
É intuitivo que para valores de b, muito grandes, a área da região limitada
bR
 é uma boa aproximação da área da 
região ilimitada R (primeiro gráfico). Isto nos induz a escrever: 
 
2
1
1 1
( ) ( ) 1 1 .lim lim lim
b
b
b b b
A R A R dx u a
bx  
 
     
 

 
quando o limite existe. 
Assim, a área R tem um valor finito de 1, e não é infinita como havíamos suposto inicialmente. 
 
Motivados pelo raciocínio anterior temos as seguintes definições: 
DEFNIÇÃO 3 – INTEGRAL IMPRÓRPIA 
 
A integral imprópria de f no intervalo [a, +∞) é definida por 
 
( ) ( )lim
b
ba a
f x dx f x dx


 
 
 
No caso em que o limite existe, dizemos que a integral imprópria converge, e o limite é definido como sendo o 
valor da integral. 
 
Exemplos - Seguindo a definição, substituímos o limite superior infinito por um limite finito b, e tomamos o 
limite da integral resultante. Isso fornece: 
 
(a) 
 
(b) 
 
 
(c) Para quais valores de p a integral
1
1
p
dx
x


converge? 
-Solução- 
 
Sabemos pela questão anterior letra (b) que em p = 1 a integral diverge. 
 
Portanto, supomos p ≠ 1. Neste caso, obtemos: 
 p > 1 
 
 
 p < 1 
 
 O seguinte teorema de convergência de uma p-série, resume esse resultado. 
 
1
1
, 1.1
1
, 1.
p
converge para se p
pdx
x
diverge se p
  

 

 
 
 
RESUMO DOS TESTES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1- Considere a série numérica infinita 
n
n=1
a
cuja sequência de somas parciais 
{ }nS
é dada por 
2
{ }
3 5
n
n
S
n
 
 
 
 
 
(a) Determine o termo geral 
na
da série (dica: utilize
1Sn n nS a 
) 
(b) Verifique se a série converge ou diverge (utilize a definição 2) 
(c) Caso a série seja convergente, determine sua soma. 
 
Resposta: 
(a) 
10
(3 5)(3n 2)
na
n

 
 (b) converge (c) 2/3 
 
2- Considere a série numérica infinita 
n
n=1
a
cuja sequência de somas parciais 
{ }nS
é dada por 
2 3
{ }
4
n
n
S
n
 
 
 
 
(d) Determine o termo geral 
na
da série. 
(e) Verifique se a série converge ou diverge. 
(f) Caso a série seja convergente, determine sua soma. 
 
Resposta: 
(b) 
5
( 3)(n 4)
na
n

 
 (b) converge (c) 2 
 
3- Verifique se as séries convergem ou divergem, usando o seguinte teorema 
Teorema: Se 
lim n
n
a

não existir ou se 
0lim n
n
a


, então a série 
1
n
n
a



diverge. 
 
(a) 
1
2
n
n
n




 Resposta: diverge 
(b) 
1
2 1
3 2n
n
n





 Resposta: diverge 
(c) 
1 1n
n
n

 

 Resposta: diverge 
(d) 2
2
1 4n
n
n

 

 Resposta: diverge 
(e) 5
5
1
3
2 4 2n
n
n n



 

 Resposta: diverge 
 
 
AULA 02 | SÉRIES NUMÉRICAS 
EXERCÍCIOS 
 
4- Determine a convergência ou divergência das séries geométricas. Caso seja convergente, calcule sua soma. 
 
(a) 1
1
2
3
5
n
n


 
 
 

 Resposta: converge e a soma é 5 
(b) 1
1
1
2
n
n


 
 
 

 Resposta: converge e a soma é 2/3 
(c) 
1
1
3
10nn




 Resposta: converge e a soma é 10/3 
(d) 1
1
1
1 2
3
n
n
n





 Resposta: converge e a soma é - 3/2 
(e) 
2
1
1
2nn




 Resposta: converge e a soma é 1/4 
(f) 1
1
( 5)
4
nn
n




 Resposta: diverge 
(g) 2
1
1
2
3
n
n
n




 Resposta: converge e a soma é 24 
5- Determine a convergência ou divergência da série 
1
1 1
2nn n


 
 
 

. 
6- Use o teste da razão para a convergência ou não da série. 
 
(a) 
1 2
n
n
n


 Resposta: convergente 
(b) 
1
3
( 1)
( 1)
n
n
n
n n






 Resposta: nada podemos afirmar 
(c) 
1
3
( 1)
( 1)
n
n
n
n n






 Resposta: convergente 
(d) 
2
1
1
n n



 Resposta: nada podemos afirmar 
(e) 3
1
( 1)
3
n
n
n
n


 Resposta: convergente 
(f) 
1
2 5
3
n
n
n




 Resposta: convergente 
 
6- Use o teste da raiz para a convergência ou não da série. 
(a) 2
1 2
n
n
n


 Resposta: converge, pois k = 1/2. 
(b) 
2
4 5
2 1
n
n
n
n


 
 
 

 Resposta: diverge, pois k = 2. 
(c) 
 1
1
ln( 1)
n
n n

 

 Resposta: converge, pois k = 0. 
(d) 
1 5
n
n
n


 Resposta: converge, pois k = 1/5. 
(e) 
1
2 3
3 2
n
n
n
n


 
 
 

 Resposta: converge, pois k = 2/3. 
 
7- Use o teste de comparação para determinar se as séries convergem ou divergem. 
 
(a) 
1
1
1
2
n n

 

 Resposta: diverge. 
(b) 
2
1
1
2n n K

 

 Resposta: converge 
(c) 
1
ln( )
n
n
n



 Resposta: diverge 
(d) 
2
1
5
2 4 3n n n

  

 Resposta: converge 
 
8- Use o teste da integral para determinar se as séries convergem ou divergem. 
 
(a) 
1
1
n n



 Resposta: diverge 
(b) 
1
1
n n n



 Resposta: converge para 2 
(c) 
1
5
1n n

 

 Resposta: diverge 
(d) 
1
n
n
e




 Resposta: converge para 
1/ e
 
(e) 
1
1
2 1n n

 

 Resposta: diverge.