aula Vibracoes Amortecidas

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UNIDADE 2 – 
VIBRAÇÕES LIVRES DE 
SISTEMAS DE UM 
GRAU DE LIBERDADE 
Mecânica das Vibrações 
VIBRAÇÃO LIVRE DE SISTEMAS COM 
AMORTECIMENTO VISCOSO 
F cx
a
  
k
(a)
kx
m m
 .
cxc
x
Sistema Diagrama de corpo livre
(b)
mx cx kx   
mx cx kx    0
mx cx kx    0
 ms cs k Ce st2 0  
ms cs k2 0  
s
c c mk
m
c
m
c
m
k
m
1,2
2 24
2 2 2

  
  





 
 x t C e C es t s t 1 21 2
SISTEMAS SUB-AMORTECIDO, CRITICAMENTE 
AMORTECIDO E SUPER-AMORTECIDO 
 Constante de amortecimento crítico 
 
 
 
 Fator de amortecimento 
 
0
2
2






m
k
m
c
c c m
k
m
m
c n
 2 2 
 
c
c
c



c
m
n
2
 Raízes da equação característica 
 
 
 
 
 Solução da equação do movimento 
   s n n n n1,2
2
2 2 1            
 x t C e C en n
t t
 
  


 

   


 


1
1
2
12 2     
CASO 1: SISTEMA SUB-AMORTECIDO 
 Solução da equação do movimento 
 
 
 
 
 
 x t C e C e
i t i tn n
 
  


 

   


 


1
1
2
12 2     
       x t e C C t i C C tnt n n         1 2 2 1 2 21 1cos sen
   x t Xe tnt n     cos 1 2
   
 
X C C C C C C
i C C
C C
     









1 2
2
1 2
2
1 2
1 1 2
1 2
2 e  tan
1
X

O
x
1


d d

2
x
2
t
1
t
2
Xe nt
x(t)

d 
t
   x t Xe tnt n     cos 1 2
  
d n
 1 2
 Condições iniciais 
X
v x
x
n
n










 
0 0
2
2
0
2
1

 
 

 











tan 1 0 0
0
21
v x
x
n
n
Frequência do movimento amortecido 
nd  21
O 
(
d
/
n
)
1
1
CASO 2 - SISTEMA CRITICAMENTE AMORTECIDO 
 Raízes reais iguais na equação característica 
 
 
 Solução da equação do movimento 
 
 
 Com as condições iniciais 
s s
n1 2
  
     x t C C t e C C t est tn    1 2 1 2 
    x t x v x t en tn   0 0 0 
1
CASO 3 - SISTEMA SUPER-AMORTECIDO 
 Raízes reais 
 
 
 
 Constantes 
 
 
 
 
 
 Solução da equação do movimento 
 x t C e C en n
t t
 
  


 

   


 


1
1
2
12 2     
 s n1,2 2 1 0      
 
 
C
x v
C
x v
n
n
n
n
1
0
2
0
2
2
0
2
0
2
1
2 1
1
2 1

  


   

  
 
  
 
1
O


d d

2
x(t)

d 
t
Superamortecido
 > 1
Subamortecido
 < 1
Não amortecido
 = 0
Criticamente
amortecido
 = 1


n n

2
x
0
DECREMENTO LOGARÍTMICO 
X

O
x
1


d d

2
x
2
t
1
t
2
Xe nt
x(t)

d 
t
 
 
x
x
Xe t
Xe t
n
n
t
d
t
d
1
2
1
2
1
2







 
 
cos
cos
 Deslocamentos separados por um período 
 
 
 
 
 
 
 Decremento logarítmico 
 
     cos cos cos      d d dt t t2 1 12     
 
x
x
e
e e
e e e
n
n d
n d
n d
n
n
t
t
1
2
2
1
1
1
2
2
1 21
    

  
 

   
  

 





 

ln
x
x
1
2
2
2
1  


 

2
2 2
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
2
4
6
8
10
12
14
 
c
cc
 





ln
x
x
1
2
Eq. (2.44)
Eq. (2.45)
  2
21
2





 Com m períodos 
 
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
m
m
m
m
m
m
n d
1
1
1
2
2
3
3
4
1
1


         
 







1 1
1
m
x
x
m
ln
ENERGIA DISSIPADA NO AMORTECIMENTO VISCOSO 
 Taxa de variação da energia 
 
 
 
 Energia dissipada em um ciclo 
 
dW
dt
Fv cv v c
dx
dt
     





 força velocidade = 
2
   W c dx
dt
dt c X t dt c X td t
d d d d d
d
d
 





     
2
2
2 2
0
2
0
2
0
     sen sen
2XcW
d

Capacidade específica de amortecimento 
 
 
 
 
 
 
Coeficiente de perda 
 W mv m Xmax d 
1
2
1
2
2
2

W
W
c X
m X
c
m
c
m
d
d
d n
  






 


 




 

 
2
2 2
2 21
2
2 4
1 2
4
1
2
 
coeficiente de perda  
W
W
2 

 Exemplo - Um absorvedor de choque é projetado para uma moto de massa igual 
a 200 kg. Quando o absorvedor é submetido a uma velocidade inicial devido a 
uma irregularidade no caminho, a curva resultante deslocamento x tempo é como 
a mostrada. Determinar as constantes de rigidez e amortecimento necessárias 
para o absorvedor se o período de vibração amortecida é 2 seg e a amplitude x1 
deve ser reduzida para ¼ em meio ciclo. Determinar também a velocidade inicial 
mínima que produz um deslocamento máximo de 250 mm. 
k/2
k/2c
m
(a)
O
x(t)
x
1
x
1,5
x
2
x
2,5
t
(b)
k/2
k/2c
m
(a)
O
x(t)
x
1
x
1,5
x
2
x
2,5
t
(b)
  





  ln ln ,
x
x
1
2
16 2 773
 
 
 



2
0 404
2 2
,
 




n
d d




1
2
1
3 434
2 2
, rad / seg
k m n   2 32 358 10, 
N
m
c mc n  

2 1 374 103 , N seg
m
k/2
k/2c
m
(a)
O
x(t)
x
1
x
1,5
x
2
x
2,5
t
(b)
       cos senx t Xe t tnt n d d d          
 
  

sinsincoscoscos
sincoscossinsin
ttt
ttt
ddd
ddd


t
d
1
1
2
1 1











tan 0,368 seg
  te
v
tx
d
t
d
n 


sen0

   
s 42926,1
0367720sen
25,0
sen 03677203043386403713,0
1
max
0
1




  ete xv
d
t
d
n
 Exemplo - O diagrama esquemático de um canhão é mostrado na Fig. Quando a arma é 
disparada, gases a alta pressão aceleram o projétil dentro do cano até o mesmo atingir uma 
alta velocidade. A força de reação empurra o corpo do canhão na direção oposta à do projétil. 
Como é desejável trazer o corpo do canhão para a posição original no menor tempo possível, 
sem oscilar, coloca-se um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido no mecanismo de 
recuo. Em um caso particular o mecanismo de recuo e o corpo do canhão possuem uma massa 
de 500 kg com uma mola de rigidez 10000 N/m. O canhão recua 0,4 m após o tiro. Determinar: 
 o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor; 
 a velocidade inicial de recuo do canhão; 
 o tempo gasto pela arma para retornar à posição situada a 0,1 m de sua posição inicial. 
Projétil
Mecanismo
de recuo
Projétil
Mecanismo
de recuo
 N k
m
  
10000
500
4 472, rad / seg
c mc n     

2 2 500 4 4721 4 472 103 , , N seg
m
 x t v te nt 
0
 
 dx t
dt
v e v t e t v en n nt
n
t
n
t      
0 0 1 1 0
1 1 11 0   
t
x v t e
v
e
n
max
t
n
n
1
0 1
0
1
0 4 1

  



 e
,
m/s 86261,4472,44,04,0
0
 eev
n

Projétil
Mecanismo
de recuo
0 1 0 2
2,  v t e nt
s 826,0
2
t
 Exemplo - Um automóvel pesando 15000 N está apoiado em 
quatro molas e quatro amortecedores. A deflexão estática do carro 
é 0,20 m. Determinar a constante de amortecimento de cada um 
dos amortecedores para que se tenha amortecimento crítico. 
Assumir que o carro possui apenas um grau de liberdade com 
vibração na direção vertical. 
15000
4 75000 N/m
0,20
eq
st
w
k k    
Rigidez equivalente 
s/mN104,211529750002424 3  kmcc
ceq
Constante de amortecimento equivalente 
Constante de amortecimento crítico 
s/mN 5354 
c
c
EXERCÍCIO 4.1 
Uma locomotiva de massa 60000 kg trafegando a 
uma velocidade de 20 m/s é parada no final dos 
trilhos por uma sistema massa-mola-
amortecedor. Se a rigidez da mola é 40 kN/mm 
e a constante de amortecimento é 20 kN.s/m 
determinar: 
a) o deslocamento máximo da locomotiva após atingir o 
sistema e 
b) o tempo gasto para atingir o seu deslocamento 
máximo. 
 
EXERCÍCIO 4.2 
Um corpo vibrando com amortecimento viscoso 
completa 5 oscilações por segundo e em 50 ciclos 
sua amplitude diminui para 10 % de seu valor 
inicial. Determinar o decremento logarítmico e o 
fator de amortecimento. Qual será o percentual 
de diminuição do período de oscilação se o 
amortecimento for removido? 
 
EXERCÍCIO 4.3 
Um sistema viscosamente amortecido tem uma 
rigidez de 5000 N/m, constante de amortecimento 
crítico de 20 N.s/m, e um decremento logarítmico 
de 2,0. Se o sistema recebe uma velocidade inicial 
de 1 m/s, determinar o deslocamento máximo do 
mesmo. 
EXERCÍCIO 4.4 
Um instrumento eletrônico possui massa m = 3,4 
kg e está apoiada em quatro coxins de 
elastômero com rigidez k = 5400 N/m cada um. 
O fator de amortecimento, medido a partir do 
decremento logarítmico, é  = 0,20. Se o 
instrumento e seus apoios é modelado como 
um sistema de um grau de liberdade em 
vibração vertical, determinar: 
a) a freqüência natural; 
b) a freqüência da vibração livre amortecida; 
c) se uma ferramenta pesando 0,5 kg cai sobre o 
instrumento, resultando em uma amplitude de 
vibração de 1,7 mm, determinar a velocidade inicial 
devido ao impacto da ferramenta. 
EXERCÍCIO 4.5 
Um voltímetro mostrado na Fig. 1 
possui um ponteiro de alumínio (r = 
2700 kg/m3) de comprimento l = 50 
mm, largura 3 mm, e espessura 1 
mm. A mola restauradora tem uma 
constante de mola rotacional k = 100 
N.mm/rad. Um amortecedor para 
amortecimento crítico é posicionado 
a um raio r = 8 mm. Durante uma 
medida o instrumento mostra 80 
volts. Quando a voltagem é 
desligada, determinar o tempo 
requerido para o ponteiro retornar à 
indicação de 1 volt. 
EXERCÍCIO 4.6 
Um medidor de nível de água mostrado na Fig. 2 possui 
uma bóia cilíndrica de 100 mm de diâmetro (massa 
desprezível), uma barra com massa 0,5 kg, l = 70 mm 
e L = 420 mm. Determinar a constante de 
amortecimento requerida para produzir 
amortecimento crítico.