Aula 1 Limites

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1 
 Limites 
 
O que torna o cálculo poderoso e o distingue da álgebra é a noção de limite; esta aula tem por objetivo introduzir para o leitor esse importante 
conceito. Nossa abordagem será mais intuitiva do que formal. As idéias apresentadas servem de base para um desenvolvimento mais 
rigoroso das leis e procedimentos do cálculo e estão no centro de boa parte da matemática moderna. 
 
Na linguagem cotidiana, nos referimos ao limite de uma velocidade, ao limite de peso de um lutador, ao limite de distensão de uma mola. 
Todas essas expressões sugerem que o limite é uma cota (valor máximo) que em certas ocasiões pode não ser atingida, mas em outras 
pode ser atingida ou mesmo ultrapassada. Os limites inatingíveis aparecem em um grande número de situações da vida real. O zero absoluto 
(-273° C), por exemplo, temperatura na qual toda agitação molecular cessa, é a temperatura da qual podemos nos aproximar, mas j amais 
podemos atingir exatamente. Da mesma forma, os economistas que falam do lucro em um mercado ideal e os engenheiros que determinam a 
eficiência de um novo motor em condições ideais, estão na realidade, trabalhando com situações de limites (algo inatingível). 
 
O limite matemático é uma operação cujo objetivo inicial é encontrar o valor de uma função (ou grandeza, ou mesmo uma expressão) que 
demonstre o comportamento de um fenômeno em situações matemática ou fisicamente inatingíveis. 
 
 
 O Limite de uma Função - Abordagem intuitiva do Conceito de Limite 
 
De maneira geral, o processo de determinar o limite consiste em investigar o comportamento de uma função 
)(xfy 
 quando 
x
 se 
aproxima de um número 
a
 que pode ou não pertencer ao domínio de 
f
. Veja os exemplos a seguir. 
 
Exemplo 1 
 
Vamos investigar o comportamento da função
f
definida por 
2)( 2  xxxf
 para valores de 
x
próximos de 2. A tabela a seguir fornece 
os valores de
x
próximos de 2, mas não iguais a 2. 
aproximando 
 
 
esquerdapeladeoaproximandx 2
 
 
direitapeladeoaproximandx 2
 
x
 1 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999 2 2,0001 2,001 2,01 2,1 2,5 3 
2)( 2  xxxf
 2 2,75 3,71 3,9701 3,997001 3,99970001 4 4,00030001 4,003001 4,0301 4,31 5,75 8 
 
 
4)( deaproximaxf
 
 
4)( deaproximaxf
 
Da tabela e do gráfico de
)(xf
 (uma parábola) mostrado na Figura 1 
vemos que quando 
x
 estiver próximo de 2 (de qualquer lado), a função 
)(xf
 estará próximo de 4, ou seja, a função 
)(xf
 tende a se aproximar 
do valor 4 quando
x
tende a se aproximar de 2. Expressamos isso 
dizendo que “o limite da função 
2)( 2  xxxf
 quando 
x
 tende a 2 
é igual a 4. 
A notação matemática para isso é 
 
422
2
lim 

xx
x
. 
Uma notação alternativa para 
42lim 2
2


xx
x
 é 
 
4)( xf
 quando 
2x
 
que deve ser lida assim: “
)(xf
 tende a 4 quando 
x
 tende a 2”. 
 
 
 
 
 
0
1
2
3
4
5
-1 0 1 2 3
 
 
 
Quando 
x
tende a 2 
 
)(xf
 
tende a 
4 
2
2  xxy
 
 
Figura 1 
 
 
 
 Vejam que não nos interessa o valor que a função
)(xf
assume para
2x
, o que nos importa é o comportamento da 
função nas proximidades de 2. Isso é importantíssimo, ao procurarmos o limite de 
)(xf
 quando
x
tende a um número 
a
 
nunca consideramos 
ax 
. Na realidade, 
)(xf
 não precisa sequer estar definida quando 
ax 
. A única coisa que importa é 
como
f
esta definida próximo de 
a
. Assim, dizer que o limite de 
)(xf
é L quando 
x
tende a 
a
significa dizer que o valor de 
)(xf
 pode tornar-se arbitrariamente próximo de L escolhendo-se 
x
cada vez mais próximo de 
a
. 
 
 
 
 
2 
Exemplo 2 
 
Dada a função 
2
2
)(
2



x
xx
xf
, temos que o domínio é 
 2/  xxD
. Vemos que a função não está definida para 
2x
, ou seja, não 
existe valor de
)(xf
 que seja real quando substituímos
2x
(dizemos que 2 está fora do domínio). Assim vamos investigar o 
comportamento da função
f
definida por 
2
2
)(
2



x
xx
xf
 para valores de 
x
próximos de 2. A tabela a seguir fornece os valores de 
x
próximos de 2, mas não iguais a 2. 
 
 
 
esquerdapelaatendex 2
 
direitapelaatendex 2
 
x
 1 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999 2 2,0001 2,001 2,01 2,1 2,5 3 
2
2
)(
2



x
xx
xf
 
2 2,5 2,9 2,99 2,999 2,9999 
Não 
está 
definido 
3,0001 3,001 3,01 3,1 3,5 4 
 
 
3)( atendexf
 
 
3)( atendexf
 
 
No gráfico da função aparece uma descontinuidade no ponto 
2x
 já que não existe valor de 
)(xf
 correspondente. 
Observem pela tabela e pelo gráfico que não existe valor de 
)(xf
 
correspondente quando 
2x
 já que 2 está fora domínio, mas existe 
)(xf
 para 
valores de 
x
 que se aproximam de 2 tanto pela esquerda (valores menores que 
2) quanto pela direita (valores maiores que 2). 
x
 não pode assumir valor igual a 2, mas pode assumir valores que se 
aproximam de 2. 
Vemos que a medida que atribuimos valores de 
x
 próximos de 2 tanto pela 
esquerda quanto pela direita 
)(xf
 assume valores cada vez mais próximos de 3. 
Em outras palavras dizemos que a função 
)(xf
 tende a se aproximar de 3 
quando 
x
 tende a 2. Na linguagem matemática expressamos tal comportamento 
 
 
 
 
 
0
1
2
3
4
-1 0 1 2 3 4
2
2
)(
2



x
xx
xf
 
 
dizendo que “o limite da função
2
2
)(
2



x
xx
xf
 quando
x
 tende a 2 é igual a 3 e escrevemos: 
3
2
22
2
lim 


x
xx
x
 
ou ainda, 
)(xf
 tende a 3 quando 
x
 tende a 2 :
3)( xf
 quando 
2x
 
 
 
 
 
 Vejam pelo exemplo 2 que não existe valor de 
)(xf
 correspondente quando 
2x
 já que 2 está fora domínio da função, 
no entanto o limite existe e é igual a 3. Conclusão: o valor de 
)(xf
 para 
ax 
 não tem qualquer influência na existência ou 
não-existência do limite de 
)(xf
quando 
x
 tende a 
a
(
ax
). 
* A figura 2 mostra o gráfico de uma função 
)(xfy 
para o qual
)(af
não está 
definida. Isso significa que não existe valor de 
)(xf
 correspondente quando 
ax 
. O ponto
a
está fora domínio da função e o gráfico da função apresenta 
uma descontinuidade nesse ponto. No entanto, nos valendo da teoria de limites, 
o que importa é o comportamento da função próxima de 
a
. 
x
 não pode assumir 
valor igual a
a
, mas, pode assumir valores que se aproximam de 
a
e por isso 
podemos escrever 
Lxf
ax


)(lim
 (quando
x
tende 
a
, 
)(xf
 tende a L). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 
L
 
y
 
x
 a
 
)(xfy 
 
 
Figura 2 
 
 
Definição de Limite de uma Função 
 
Escrevemos 
 
Lxf
ax


)(lim
 
 e dizemos “ o limite de 
)(xf
quando 
x
 tende 
a
, é igual a L” se 
)(xf
 se aproxima do número 
L
 quando 
x
 se aproxima de um númeroa
 tanto pela esquerda como pela direita. 
 
 
 
 
3 
Exemplo 3 
 
Dada a função 
1
1
)(



x
x
xf
, temos que o domínio é 
 1/  xxD
. Vemos que a função não está definida para 
1x
, ou seja, não 
existe valor de
)(xf
 que seja real quando substituímos
1x
(1 está fora do domínio). Assim vamos investigar o comportamento da 
função
f
definida por 
1
1
)(



x
x
xf
 para valores de 
x
próximos de 1. A tabela a seguir fornece os valores de 
x
próximos de 1, mas não 
iguais a 1. 
 
 
 
esquerdapelaatendex 1
 
direitapelaatendex 1
 
x
 0 0,5 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 1,5 2 
1
1
)(



x
x
xf
 -1 -1 -1 -1 -1 
Não está 
definido 
1 1 1 1 1 
 
 
1)( atendexf
 
 
1)( atendexf
 
 
No gráfico da função aparece uma descontinuidade no ponto 
1x
 já que não existe 
valor de 
)(xf
 correspondente. Analisando a tabela e o gráfico vemos que a medida 
que atribuimos valores de 
x
 próximos de 1 pela esquerda (valores menores que 1), 
1)( xf
 e quando atribuimos valores de 
x
 próximos de 1 pela direita (valores 
maiores que 1), 
1)( xf
. Assim, 
)(xf
 tende para valores diferentes, à esquerda e à 
direita de 1 e escrevemos: 
 
Limite lateral à esquerda de 1 Limite lateral à direita de 1 
 
1
1
1
lim
1




x
x
x
 
1
1
1
lim
1




x
x
x
 
 
1
1
)(



x
x
xf
 
 
 
 
Em tais situações, em que os limites laterais são diferentes, dizemos que o limite não existe. 
1
1
1
1
1
1
limlimlim
111








 
x
x
x
x
porqueexistenão
x
x
xxx
 
 

1x
 indica que estamos considerando somente valores de 
x
 menores que 1 (Limite Lateral à esquerda) 

1x
 indica que estamos considerando somente valores de
x
maiores que 1 (Limite Lateral à direita). 
 
 
 
 
 Para que um limite exista, devemos fazer 
x
 tender para 
a
 por ambos os lados de 
a
(à direita e à esquerda). Se 
)(xf
tende para números diferentes quando
x
tende para 
a
 pela esquerda ou pela direita, então o limite não existe. 
 
Definição Limites Laterais 
 
 
Lxf
ax


)(lim
 se e somente se 
Lxf
ax


)(lim
 e 
Lxf
ax


)(lim
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Exemplo 4 
 
Dada a função 
2
1
)(
x
xf 
, temos que o domínio é 
 0/  xxD
. Vemos que a função não está definida para 
0x
, ou seja, não existe 
valor de
)(xf
 que seja real quando substituímos
0x
 (0 está fora do domínio). Assim vamos investigar o comportamento da 
função
f
definida por 
2
1
)(
x
xf 
 para valores de 
x
próximos de 0 , mas não iguais a 0. 
A medida que 
x
 se aproxima de 0, 
2x
 também se aproxima de 0, e 
2
1
x
fica muito grande (veja a tabela). 
 
 
 
esquerdapelaatendex 0
 
direitapelaatendex 0
 
x
 -0,5 -0,2 -0,1 -0,01 -0,001 -0,00001 0 0,00001 0,001 0,01 0,1 0,2 0,5 
2
1
)(
x
xf 
 4 25 100 10.000 1.000.000 10.000.000.000 
Não 
está 
definido 
10.000.000.000 1.000.000 10.000 100 25 4 
 
 
limite)( semaumentaxf
 
 
limite)( semaumentaxf
De fato, evidencia-se pelo gráfico dessa função que 
2
1
)(
x
xf 
pode tornar muito grande 
ao tomarmos valores de 
x
 próximos de 0. Assim, os valores de 
)(xf
não tendem a um 
único número, e, portanto, não existe 
20
1
lim
xx
. Para indicar o comportamento de uma 
função análogo ao da função deste exemplo usamos a notação: 
 

 20
1
lim
xx
 
Isto não considera 

 como sendo um número. Tão pouco significa que o limite exista. 
 
 
 
 
 
0 
 
2
1
)(
x
xf 
 
 
Figura 
 
É simplesmente uma maneira de expressar uma forma particular da não-existência do limite. 
 
 
 
 Em geral escrevemos: 


)(lim xf
ax
 para indicar que os valores de
)(xf
tornam-se cada vez maiores quanto mais próximos 
estivermos do número 
a
 (os valores de 
)(xf
 “crescem sem limitação”) e os denominamos limites infinitos. 
Uma outra notação para 


)(lim xf
ax
 é: 
)(xf
 quando 
ax
 
O símbolo 

não é um número, e a expressão 


)(lim xf
ax
 é lida como: “ o limite de 
)(xf
quando 
x
 tende a 
a
 é infinito ” 
 “
)(xf
torna-se infinita quando
x
tende a 
a
” 
 “
)(xf
cresce sem limitação quando 
x
 tende a 
a
” 
 
Um tipo análogo de limite ocorre quando a função 
)(xf
 torna-se grande em valor 
absoluto, porém é negativa quando 
x
 se aproxima de
a
. 
O símbolo 


)(lim xf
ax
 pode ser lido das seguintes formas: “ limite de 
)(xf
é infinito 
negativo”, ou “
)(xf
decresce sem limitação quando 
x
 se aproxima de 
a
”. 
 
 
 
 
y 
x a 


)(lim xf
ax
 
)(xfy 
 
 
 
"Assíntotas" são retas das quais o gráfico aproxima-se cada vez mais, sem nunca tocá-las. 
Na figura do gráfico acima a reta em 
ax 
é uma assíntota vertical. Em geral o conhecimento de assíntotas verticais é muito útil no 
esboço de gráficos. 
 
Definição Assíntota Vertical 
 
 Se 


)(lim xf
ax
 ou 


)(lim xf
ax
, então a reta que passa em 
ax 
é chamada assíntota vertical da curva 
)(xfy 
 
 
 
 
 
5 
Exemplo 5 
 
Dada a função 
2
2
5)(
x
xf 
, temos que o domínio é 
 0/  xxD
. Na seção anterior vimos que em alguns casos quando 
x
 se 
aproxima de um número 
a
 a função 
)(xf
tende ao infinito: 


)(lim xf
ax
. Aparece aqui uma nova situação, desejamos estudar o 
comportamento da função 
2
2
5)(
x
xf 
 quando 
x
 tende ao infinito positivo (
x
) e negativo (
x
). Lembrando que o símbolo 

não é um número e, 
x
 indica que 
x
 cresce sem limitação (assume valores cada vez maiores) 
x
 indica que 
x
 cresce sem limitação porém no sentido negativo do eixo x (assume valores cada vez menores) 
 
 
A tabela a seguir fornece os valores de 
x
 tendendo a infinito negativo. 
 
 
 
)(limitaçãodiminui menoresvezcadavaloresassumesemx
 
x
 -10.000.000 -1.000.000 -10.000 -1.000 -100 -10 -5 -2 -1 
2
2
5)(
x
xf 
 4,999999999999980 4,999999999998 4,99999998 4,999998 4,9998 4,98 4,92 4,5 3 
 
 
5)( atendexf
 
 
Observem que à medida que 
x
assume valores cada vez menores a função
f
se aproxima de 5 , ou seja, 
x
 tende a infinito negativo e 
a função 
2
2
5)(
x
xf 
 tende a 5. Podemos então escrever, 
5
2
5lim
2

 xx
 ou ainda, 
5)( xf
 quandox
 
 
 
 
A tabela a seguir fornece os valores de 
x
 tendendo a infinito positivo. 
 
 
 
)(limitaçãoa maioresvezcadavaloresassumesemumentax
 
x
 1 2 5 10 100 1.000 10.000 1.000.000 10.000.000 
2
2
5)(
x
xf 
 
3 4,5 4,92 4,98 4,9998 4,999998 4,99999998 4,999999999998 4,999999999999980 
 
 
5)( atendexf
 
Podemos então escrever, 
5
2
5lim
2

 xx
 ou ainda, 
5)( xf
 quando 
x
 
 
Esse comportamento é claramente visualizado pelo gráfico da função. 
 
 
 
 
 
 
0
1
2
3
4
5
6
-5 5
-10.000.000 10.000.000 
x
 
x
 
 
5)( xf
 
5)( xf
 
 
 
 
 
 
A reta horizontal que passa em 
5y
é chamada de 
Assíntota Horizontal. 
 
6 
 Em geral escrevemos: 
axf
x


)(lim
 para indicar que os valores de
)(xf
tendem a 
a
 a medida que os valores de 
x
“crescem sem limitação”. Também ser 
lido da seguinte forma: “ limite de 
)(xf
é igual a 
a
 quando 
x
tende a infinito positivo”; 
axf
x


)(lim
 para indicar que os valores de
)(xf
tendem a 
a
 a medida que os valores de 
x
“crescem sem limitação porém no 
sentido negativo do eixo x” . Também ser lido da seguinte forma: “ limite de 
)(xf
é igual a 
a
 quando 
x
tende a infinito negativo”. 
Esses limites são denominados limites no infinito. 
 
 
Definição Assíntota Horizontal 
Se 
1)(lim Lxf
x


 e 
2)(lim Lxf
x


, 
 sendo 
1L
 e 
2L
números reais, as retas que passam em 
1Ly 
 e 
2Ly 
 são chamadas de assíntotas horizontais da curva 
)(xfy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Cálculo de Limites 
1. O primeiro e mais geral método para cálculo de limites é EXAMINAR O GRÁFICO. Se 
)(xf
é função de 
x
 e 
ax
, olhe no gráfico para 
encontrar para onde tende
)(xf
. 
 
Exemplo 1 
 
Encontre o valor de 
)(lim
3
xf
x
. 
0
5
10
15
20
0 1 2 3 4 5
 
Figura 4 
 
A função 
)(xf
 mostrada na Figura 4 tende a se aproximar de 10 quando 
x
 tende a 3 tanto pela esquerda quanto pela direita, assim 
temos,
10)(lim
3


xf
x
 
 
 
Exemplo 2 
 
Encontre o valor de 
)(lim
2
xf
x
. 
 
0 2 4 x
y
4
2
 
Observando o gráfico ao lado verificamos que, quando 
x
 tende a 2 pela esquerda 
)(xf
 
tende a se aproximar de 4. Quando 
x
 tende a 2 pela direita, 
)(xf
 tende a se aproximar 
de 2. Indicamos esta situação escrevendo: 
4)(lim
2


xf
x
 e 
2)(lim
2


xf
x
 
Como não há um único número para o qual 
)(xf
 tende quando 
x
tende a 2, dizemos 
que 


)(lim
2
xf
x
 não existe porque os limites à esquerda e à direita são diferentes 


)(lim
2
xf
x
2)(lim
2


xf
x
. 
 
 
Exemplo 3. 
 
O gráfico de uma função 
)(xf
 está na figura abaixo. Use-o para estabelecer os seguintes limites (caso existam): 
 a) 
2)(lim
2


xf
x
 
b) 
1)(lim
2


xf
x
 
c) 
)(lim
2
xf
x
=Não existe porque 
)(lim
2
xf
x 

)(lim
2
xf
x 
 
 
d) 
2)(lim
1


xf
x
 
e) 
2)(lim
1


xf
x
 
f) 
2)(lim
1


xf
x
 
 
)(xfy 
 
 
 
8 
 
E X E R C Í C I OS 1 
 
1) Explique o significado de cada uma das notações a seguir: 
a)
 5)(lim3  xfx
 b)
 5)(lim
4


xf
x
 c) 
7)(lim
3


xf
x d)  )(lim3 xfx e) 9)(lim  xfx 
2) Explique o que significa para você dizer que: 
3)(lim
1


xf
x
 e 7)(lim
1


xf
x
 
Nessa situação é possível que )(lim1 xfx exista? Explique. 
 
3) Para cada função f cujo gráfico é dado, determine o valor da 
quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, explique por quê. 
a) 
)x(flim
x 0
 b) 
)x(flim
x
3
 
c) 
)x(flim
x
3
 d) 
)x(flim
x 3 
 
 
 
 
4) Para cada função f cujo gráfico é dado, determine o valor da 
quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, explique por quê. 
a) 
)(lim
1
xf
x
 b) 
)(lim
3
xf
x 
 
c) 
)(lim
3
xf
x 
 d) 
)(lim
3
xf
x
 
e) 
)(lim
2
xf
x 
 f) 
)(lim
2
xf
x 
 
g) 
)(lim
2
xf
x  
 
5) Para cada função f cujo gráfico é dado, determine o valor da 
quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, explique por quê. 
a) 
)(lim
2
xf
x 
 b) 
)(lim
2
xf
x 
 
c) 
)(lim
2
xf
x 
 d) 
)(lim
2
xf
x 
 
e) 
)(lim
2
xf
x 
 f) 
)(lim
2
xf
x
 
g) 
)(lim
3
xf
x 
 h) 
)(lim
3
xf
x 
 
i) 
)(lim
3
xf
x
 
 
6) Para a função f cujo gráfico é dado, determine: 
a) 
)(lim
3
xf
x
 b) 
)(lim
7
xf
x
 
c)
)(lim
4
xf
x 
 d) 
)(lim
9
xf
x 
 
e) 
)(lim
9
xf
x 
 
f) Identifique as assíntotas e explique o seu significado 
 
 
9 
 
7) Para a função f cujo gráfico é dado, determine: 
a) 
)(lim
5
xf
x 
 b) 
)(lim
0
xf
x 
 
c) 
)(lim
0
xf
x 
 d) 
)(lim
4
xf
x
 
e) Identifique as assíntotas e explique o seu significado. 
 
 
 
 
8) Para a função f(x) cujo gráfico é dado, determine: 
82
1
)(
2
2



x
x
xf
 
a) )(lim2 xfx  
b) )(lim2 xfx 
c) )(lim xfx  
d) )(lim xfx 
 
e) Identifique as assíntotas 
 
9) Um paciente recebe uma injeção de 150 mg de uma droga a cada 4 horas. O gráfico mostra a quantidade 
)(tf
da droga na corrente 
sangüínea após 
t
horas. Encontre 
)(lim
12
tf
t 
 e 
)(lim
12
tf
t 
 e explique o significado desses limites laterais. 
 
 
10) Determine os limites (tabelar) 
a) 
2
6
lim
1  xx
 b) 
5
6
lim
5  xx
 c) 
1
1
3
1
lim
 xx
 d) 
x
x
x
1
0
)1(lim 

 e) 
x
x
x
2
lim


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-9