Limites Aula(4)

Prévia do material em texto

CONTINUIDADE 
 
Dizer que uma função é contínua em 
cx 
 significa que não há interrupção no gráfico de 
f
 em 
c
. O gráfico de 
f
 não se 
parte em 
c
, e não há buracos, saltos ou lacunas. Apesar da simplicidade desse conceito, sua definição precisa escapou aos 
matemáticos durante muitos anos. Não foi senão em princípios do século XIX que se formulou finalmente uma definição 
precisa. 
DEFINIÇÃO DE CONTINUIDADE 
Seja 
c
 um número no intervalo 
) ,( ba
 e seja 
f
 uma função cujo domínio contém o intervalo 
) ,( ba
. A função 
f
 é contínua 
em 
c
 se se verificam as seguintes condições: 
1. 
)(cf
 é definida, 
2. 
)(lim xf
cx
 existe, 
3. 
).(lim)( xfcf
cx

 
 
A figura abaixo identifica três valores de 
x
 em que a função 
f
 não é contínua. 
 
 
f
não é contínua quando 
321 ,, cccx 
. 
1c
 
2c
 
3c
 
x
 
y
 
)( 3cf
 
)( 2cf
 
 
f
não é contínua quando 
321 ,, cccx 
. 
1. Em 
1cx 
, 
)( 1cf
 não é definida. 
2. Em 
,2cx 
 
)(lim
2
xf
cx
 não existe (
)(lim)(lim
22
xfxf
cxcx



). 
3. Em 
,3cx 
3
).(lim)( 3
cx
xfcf


 
Em todos os outros pontos do intervalo 
), ,( ba
 o gráfico de 
f
 se apresenta ininterrupto, o que implica que a função 
f
 é 
contínua em todos os outros pontos de 
). ,( ba
 Se 
f
 é contínua em todos os pontos do intervalo 
) ,( ba
, então é contínua no 
intervalo 
) ,( ba
. 
Exemplo 1 - Investigue a continuidade da função 










2se 3
2 se
4
8
)( 2
3
x
x
x
x
xf
 no ponto 
2x
 
Solução 
1. 
3)2( f
 
2. 
0
0
4
8
)()(
2
3
222
limlimlim 



  x
x
xfxf
xxx
 
 
)2(
)42(
)2)(2(
)42)(2( 2
2
2
2
limlim






 x
xx
xx
xxx
xx
3
 
3. 
)()2( lim
2
xff
x

 
A função é contínua em 
2x
. 
 
Exemplo 2 
Investigue a continuidade da função 







0se 1
0 secos1
)(
2 xx
xx
xf
 no ponto 
0x
 
Solução 
1. 
1)( 2  xxf
 
1)0( f
 
2. 
011cos1)( limlim
00

 
xxf
xx
 
11)( 2
00
limlim 
 
xxf
xx
 
)()( limlim
00
xfxf
xx  

 o limite não existe portanto a função é descontínua em 
0x
. 
 
 
E X E R C Í C I O S 
 
 
Verifique se a função 
f
 é contínua no ponto especificado. 
a) 







3 ,42
3 ,1
)(
2
xx
xx
xf
 no ponto 
3x
 
 
b) 
,
1
2
)(



x
x
xf
 no ponto 
1x
 
c) 









24
2
2
4
)(
2
xse
xse
x
x
xf
 no ponto 
2x
 
 
d) 









11
1
1
1
)(
2
xse
xse
x
x
xf
 no ponto 
1x
 
e) 








0se 1
0 se
)(
x
x
x
xsen
xf
 no ponto 
0x
 
f) 








4210
42
4103
)(
xsex
xse
xsex
xf
 no ponto 
4x
 
 
 
g) 









12
1
)1(
1
)( 2
2
xse
xse
x
x
xf
 no ponto 
1x
 
 
h) 









01
0
)(
xse
xse
xsenx
xsenx
xf
 no ponto 
0x
 
 
Calcule 
a
 de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto especificado
a) 






07
0
)(
3
2
xsea
xsee
xf
x no ponto 
0x
 
b) 







0cos
0
2)(
xsea
xse
xsen
xtg
xf
 no ponto 
0x
 
 
c) 








0cos
0
1)( 2
xsex
xse
e
axsen
xf x
 no ponto 
0x
 
d) 









0
0
2
65
)(
2
xsea
xse
x
xx
xf
 no ponto 
2x
 
 
 
Propriedades: 
1. As funções polinomiais, racionais, trigonométricas, exponenciais e logarítmicas, são contínuas em todos os pontos 
de seus domínios, os quais podem ser intervalos fechados, semi-abertos, abertos ou infinitos. 
2. Se f e g são funções contínuas em um ponto a, então: 
(i) 
gf 
é contínua em 
a
; (ii) 
gf 
é contínua em 
a
; 
(iii) 
gf .
é contínua em 
a
; (iv) 
g
f
é contínua em 
a
, desde que 
0)( ag
. 
 
Exemplo 1 - Investigue a continuidade da função 
35 23  xx
. 
Solução 
 A função é polinomial e seu D = R portanto, pela propriedade 1 ela é contínua para todo número real, ou seja, em toda a reta 
real 
),( 
. 
 
Exemplo 2 - Investigue a continuidade da função 
4
1
)(
2 

x
xf
 
Solução 
É uma função racional. Pela propriedade 1, uma função racional (divisão de polinômios) é contínua somente nos pontos de 
seu domínio: 
 2,2
. 
Podemos escrever: a função 
4
1
)(
2 

x
xf
 é contínua nos intervalos 
),2()2,2(),2,(  e
 
Como a função não está definida para 
22  xex
 (fora do domínio), podemos também dizer que nesses pontos a função 
é descontínua. 
 
Exemplo 3 - Investigue a continuidade da função 







21
2
1
2
)(
2
xsex
xsex
xf
 
Solução 
A função é definida por duas sentenças e por isso devemos inicialmente estudar a continuidade de cada uma delas 
separadamente. 
 
Para 
2x
 temos a função 
2x
. 
A função é polinomial e, portanto contínua no seu domínio. Como não temos restrição no domínio dentro do intervalo 
considerado, temos que a função é contínua para 
2x
 ou (
2,
 
 
Para 
2x
 temos a função 
1
2
1
 x
. É também uma função polinomial, portanto, contínua no intervalo 
2x
, 
),2( 
. 
 
Para concluir verifique o comportamento de 







21
2
1
2
)(
2
xsex
xsex
xf
 quando 
2x
 (ponto que separa as sentenças). 
1. 
4)2(
)( 2


f
xxf
 
2. 
4)2()( 22
22
limlim 
 
xxf
xx
 
012.
2
1
1
2
1
)( limlim
22

 
xxf
xx
 
O limite não existe porque 
)()( limlim
22
xfxf
xx  

 
A função é descontínua em 
2x
. 
Conclusão: 
A função







21
2
1
2
)(
2
xsex
xsex
xf
 é contínua no intervalo 
 ),2(2,(  e
 e descontínua em 
2x
. 
intervalo 
 ),2(2,(  e
. 
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
 
2x
 
1
2
1
 x
 







21
2
1
2
)(
2
xsex
xsex
xf
 
 
 
 
E X E R C Í C I O S 
 
 
Estude a continuidade das funções abaixo e indique se há pontos de descontinuidade. 
a) 
x
xf
1
)( 
 
b) 
1
1
)(


x
xf
 
c) 
4
2
)(
2 


x
x
xf
 
d) 
5
5
)(



x
x
xf
 
e) 
15)( 24  xxxf
 
f) 






1
1
)(
2 xsex
xsex
xf
 
 
g) 






21
2
)(
2
xsex
xsex
xf
Justifique a descontinuidade das funções abaixo: 
 
a) 
b) 
c) 
 
 
 
d) 
e)