Apostila RM Eng Producao

Prévia do material em texto

RESISTÊNCIA 
DOS 
MATERIAIS 
 
ENGENHARIA DE 
PRODUÇÃO 
 
Profª Daniele 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
INTRODUÇÃO 
 
A resistência dos materiais é um ramo da mecânica que estuda as relações entre as 
cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que agem 
no interior do corpo. Esse assunto também envolve o cálculo das deformações do corpo e 
proporciona o estudo de sua estabilidade quando sujeito a forças externas. O foco dessa 
disciplina é a resistência e a rigidez de elementos estruturais submetidos à ação de cargas 
externas em equilíbrio estático. 
0F (forças de translação)  0 xF , 0 yF , 0 zF 
0M (forças de rotação)  0 xM , 0 yM , 0 zM 
A resistência dos materiais limita o seu campo de aplicação para certos tipos de 
elementos estruturais, tais como, as vigas, os pilares ou colunas, as lajes ou placas, etc. Essa 
restrição prévia quanto à geometria, condições de vinculação e às ações externas permite uma 
análise simplificada, adequada para a solução analítica da maioria dos problemas da 
engenharia estrutural. 
Nessa disciplina serão apresentados os conceitos básicos comuns, que são conceitos de 
equilíbrio estático, força, de tensão, de deformação, dos deslocamentos, etc., e aplicações. 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
CAPÍTULO 1 – ESTÁTICA 
 
1.1- INTRODUÇÃO 
Isostática é a parte da Mecânica das Estruturas que estuda os sistemas determinados, 
isto é, aqueles cujo grau de liberdade é nulo. 
Tais sistemas têm o número de vínculos estritamente necessário para mantê-los em 
equilíbrio e são resolvidos com a utilização das equações da Estática resultantes das condições 
de equilíbrio. 
A Estática trata do equilíbrio dos corpos em repouso ou que se move com velocidade 
constante, e a Dinâmica por sua vez, trata dos corpos em movimento acelerado. 
 
1.2 – CLASSIFICAÇÃO DAS PEÇAS OU ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
 
1.2.1 – Elementos de 1ª categoria: são os elementos denominados de LINEARES, 
onde uma dimensão é dominante. 
Ex: hastes ou barras (Pilares, vigas, tirantes, escoras, etc.) 
 
 
1.2.2 – Elementos de 2ª categoria: são os elementos bi-espaciais ou com duas 
dimensões dominantes. 
Ex: placas, discos, chapas, etc. 
 
1.2.3 – Elementos de 3ª categoria: são os elementos que não tem dimensão 
dominante. 
Ex: blocos de fundação, maciços, etc. 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
1.3 – APOIOS – VÍNCULOS 
Os vínculos podem ser de apoio e de ligação ou transmissão não havendo nenhuma 
distinção rígida entre os dois tipos, dependendo da função que o vínculo esteja exercendo no 
momento em que é analisado. 
Por exemplo, analisando o sistema formado por: 
LAJE – VIGA – PILAR – FUNDAÇÃO 
Se analisarmos o sistema LAJE – VIGA, a viga trabalhará como vínculo de apoio, 
mas se a análise for da LAJE – VIGA – PILAR, este último (o pilar) é que trabalhará como 
vínculo de apoio, passando a viga para a condição de vínculo de ligação da laje com o pilar, 
e assim teremos casos semelhantes, impossibilitando-nos a uma separação distinta entre 
APOIO e LIGAÇÃO. 
 
1.3.1 – Classificação quanto aos gêneros 
-Vínculo de 1º gênero ou apoio móvel 
É o vínculo que IMPEDE UM movimento, deixando LIVRE os outros DOIS. 
Representação: 
 
-Vínculo de 2º gênero ou apoio fixo 
É o vínculo que IMPEDE DOIS movimentos, deixando LIVRE os outros UM. 
Representação: 
 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
-Vínculo de 3º gênero ou engastamento 
É o vínculo que IMPEDE todos os TRÊS movimentos. 
Representação: 
 
 
De acordo com o número de vinculações, podemos classificar os sistemas 
como: 
- SISTEMAS ISOSTÁTICOS: são aqueles cujos números de vínculos são os 
estritamente necessários, isto é: Nº EQUAÇÕES = Nº INCÓGNITAS 
 
- SISTEMAS HIPOESTÁTICOS: Nº EQUAÇÕES > Nº INCÓGNITAS 
 
- SISTEMAS HIPERESTÁTICOS: Nº EQUAÇÕES < Nº INCÓGNITAS 
 
Como sistemas isostáticos podemos citar alguns exemplos conforme segue: 
 
0 HF
0 VF
0M
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
 
1.4 – SISTEMAS DE CARGA 
a) Carga concentrada: 
 
b) Carga distribuída: 
b.1) Uniformemente: quando a intensidade da carga distribuída for constante. 
Sendo: q = taxa de distribuição (a unidade dada 
em: Kgf/m ou tf/m) 
(unid. Força/ unid. Comprimento) 
 
c) Carga conjugada: 
 
d) Carga Momento: (unid. Força x distância perpendicular do ponto até a carga) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
1.5 – REAÇÕES DE APOIO 
As reações nos vínculos de um modo geral, quer sejam apoios, quer sejam simples 
transmissão, são determinadas com a aplicação das seguintes regras que decorrem 
imediatamente do estudo da estática. 
a) Substituir os vínculos (apoios ou transmissão) pelas forças de ligação 
correspondentes, tendo sempre presente que “a cada movimento impedido 
corresponde a uma força de ligação (reação)”. 
 
b) Arbitrar um sentido para cada reação. 
c) Escrever as equações fundamentais de equilíbrio. 
0HF  0VF  0M  
d) CONSERVAR os sentidos arbitrados para as reações que resultarem positivas e 
INVERTER os sentidos das que resultarem negativas. 
1) 
 
2) 
 
3) 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
CAPÍTULO 2 – ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES 
 
2.1 – Esforços Simples 
2.1.1 – Classificação e definições 
Um sistema de forças quaisquer, que satisfaça as equações universais da estática, 
atuando sobre um corpo rígido, provocará nele o aparecimento de esforços que, analisados 
segundo seu eixo e uma seção que lhe é perpendicular, poderão ser definidos como esforços 
simples e classificados como seguem: 
ESFORÇO NORMAL (N): é o esforço que age no sentido paralelo ao eixo 
longitudinal da barra, no sentido de comprimir ou tracionar a seção. 
 
ESFORÇO CORTANTE (V): é o esforço que age no sentido de cortar ou cisalhar a 
seção, ocorre perpendicular ao eixo longitudinal da barra. 
 
MOMENTO FLETOR (MF): é o esforço que age no sentido de envergar ou 
flexionar o eixo longitudinal da viga. 
 
MOMENTO TORSOR (T): é o esforço que age no sentido de torcer ou girar a 
seção em relação ao eixo longitudinal da viga. 
 
Para determinar os valores desses esforços numa seção, basta estudar as forças que 
atuam de um lado ou de outro dela, pois os valores são iguais, apenas os sentidos diferem, o 
que implica no estabelecimento de convenções para que cheguemos ao mesmo sinal para os 
valores. 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2.1.2 – Convenções 
Esforço Normal: quando o esforço comprimir a seção, será 
 
 quando o esforço tracionar a seção, será 
 
 
 Esforço Cortante: quando a seção tende a girar no sentido horário, será 
 
 quando a seção tende a girar no sentido anti-horário, será 
 
 
Momento Fletor: quando o momento (M) tracionar as fibras inferiores e 
comprimir as fibras superiores, será 
 
 
 quando o momento (M) comprimir as fibras inferiores e 
tracionar as fibras superiores, será 
 
 
Momento Torçor: regra da mão direita.You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
EXERCÍCIOS 
Calcule os esforços simples, nas seções “S”, indicadas nas estruturas a seguir 
1) 
L/4 L/4
2P
P P
L/2
 
 
 
 
 
 
 
2) 
q
L
P
 
 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
 
S1 S2 
S 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2.2 – LINHAS DE ESTADO – DIAGRAMAS 
 
Chama-se de Linhas de Estado o estudo gráfico dos esforços simples (N, V, M) 
 
2.2.1 – Diagramas 
 
Para traçar os diagramas de esforços simples de uma estrutura, algumas regras básicas 
devem ser observadas, conforme veremos a seguir: 
 
a) Determinar os valores dos esforços simples para as seções principais, 
devidamente destacadas na estrutura a ser calculada. 
 
b) Marcar os valores dos esforços simples nas seções principais, tendo em vista que, 
para os esforços cortantes e normais, os valores positivos serão marcados para 
cima do eixo em barras horizontais e para fora em barras verticais, enquanto que 
os valores dos momentos, ao contrário, por serem os valores marcados do lado das 
fibras tracionadas. 
 
c) Para o Momento Fletor, ligar esses pontos por linhas RETAS: CHEIAS nos 
trechos descarregados e TRACEJADAS nos trechos onde existam 
carregamentos distribuídos. Nas tracejadas e no sentido de atuação da carga 
distribuída e sempre perpendicular ao eixo da barra, marcar os valores das 
parábolas correspondentes ao trecho. Assim, os trechos com cargas distribuídas 
apresentarão sobre as tracejadas, parábolas cujos graus serão duas unidades 
acima do grau da ordenada de carga. Para o Esforço Cortante, os valores 
encontrados para as seções principais serão ligadas por linhas retas nos trechos 
descarregados. Nos trechos onde há carregamentos distribuídos, as seções 
extremas serão ligadas por linhas correspondentes a uma função com grau de 
uma unidade acima da ordenada de carga. Para o Esforço Normal, os valores 
das seções principais serão ligados por linhas retas cheias. 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
d) Aparecerá DESCONTINUIDADE nos seguintes casos: 
- No diagrama de Momento Fletor, onde houver carregamento aplicado (carga 
momento, carga conjugada ou binário). 
- No diagrama de Esforço Cortante, onde houver carga concentrada aplicada que 
seja perpendicular ao eixo da barra. 
- No diagrama de Esforço Normal, onde houver carga concentrada aplicada que 
seja paralela ao eixo da barra. 
e) Onde houver carga concentrada aplicada, o diagrama de momento fletor 
apresentará angulosidade no sentido da força. 
 
ROTEIRO – REGRAS GERAIS 
 
1. Verificar o tipo de sistema da estrutura. (isostático, hipoestático, hiperestático) 
2. Se a estrutura é Isostática, então, determinar as reações de apoio da estrutura. 
3. Determinar os valores dos esforços nos pontos principais da estrutura. 
4. Marcar os valores assim obtidos a partir do eixo da viga respeitando-se a 
convenção de sinais. 
5. Ligar os pontos assim marcados por linhas: 
-para o momento fletor: retas cheias nos trechos descarregados e por retas 
tracejadas nos trechos sujeitos há carregamentos distribuídos; 
-para o cortante: retas cheias nos trechos descarregados e com carregamentos 
distribuídos e uniformes e por parábolas nos trechos onde houver carregamentos 
distribuídos e não uniformes. 
6. A partir das linhas tracejadas, na direção perpendicular ao eixo da viga e no 
sentido do carregamento, marcam-se os valores correspondentes as parábolas dos 
momentos em cada trecho. 
7. Ao final, hachurar o espaço compreendido entre as parábolas e/ou as linhas retas 
cheias, chamadas de linha de fechamento e o eixo da peça e tem-se assim os 
diagramas dos esforços simples para uma determinada estrutura. 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
EXERCÍCIOS: 
Traçar os diagramas dos esforços simples para as estruturas a seguir. 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
5) 
 
 
 
 
 
 
 
6) 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
9) Determine as cargas resultantes internas que agem na seção transversal em C do eixo da 
máquina mostrado na Figura. O eixo está apoiado em mancais em A e em B, que exercem 
somente forças verticais no eixo. 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
CAPÍTULO 3 - CONCEITOS DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO 
3.1 – CONCEITO DE TENSÃO 
Dado um corpo em equilíbrio estático, o mesmo pode ser submetido a vários tipos de 
cargas externas. Estas cargas provocam na estrutura os esforços internos. Ao analisar uma 
seção transversal qualquer estes esforços geram as tensões nas mesmas. 
 
A intensidade da força interna sobre um plano específico (área) que passa por um 
ponto é denominado tensão. 
Onde: Fd

= força diferencial 
 dA= diferencial de área 
dA
FdtP


 Conceito matemático de tensão em um ponto da estrutura 
 
A intensidade da força por unidade de área, que age perpendicularmente à área é 
definida como tensão normal ( ) e a que age tangente à área é definida como tensão 
tangencial ou tensão de cisalhamento ( ) 
 
Então de modo simplificado: 
 tensão normal: 
A
N
 
tensão tangencial: 
A
V
 
onde: N=força normal e V=força cortante ou de cisalhamento 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
SEÇÃO “S” 
 
 Tensão normal à seção “S” que atua no ponto P (tração ou compressão) 
 Tensão tangencial ou de cisalhamento, tangente a seção, que atua no ponto P 
 
UNIDADES DE TENSÃO 
Kgf/cm²; tf/m²; KN/m²; N/mm²=MPa 
 
3.2 – EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO TENSIONAL 
 
Elemento diferencial de volume: 
 
CAUCHY ),,,( zyxjiij  
i eixo ortogonal a seção 
j direção da tensão tangencial 
xxx   yyy   zzz   
xy yx zx 
xz yz zy 
²²²  Pt

dzdydxdV ..
incógnitas9
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
EQUAÇÕES DE EQUIBÍBRIO DE CAUCHY 
0 xF  x , 0 yF  y , 0 zF  z 
0 xM  zyyz   
0 yM  zxxz   TEOREMA DE CAUCHY 
 0 zM  yxxy   jiij   
 
CASOS PARTICULARES 
Tensões somente no plano xy 
 
 
PRINCÍPIO DA RECIPROCIDADE DE CAUCHY 
“Nos planos perpendiculares entre si, as componentes das tensões tangenciais que 
concorrem à mesma aresta são iguais ou se aproximam ou se afastam da aresta.” 
 
3.3 - CONCEITO DE DEFORMAÇÃO 
Será considerado que o elemento estrutural está submetido à ação de cargas externas, 
com vínculos suficientes para impedir os movimentos de corpo rígido (equilíbrio estático de 
translação e de rotação). 
Todo o material por mais rígido que possa serapresenta deformações quando sujeito a 
tensões internas. 
A deformação interna que apresenta um elemento diferencial de volume pode ser 
decomposta em três partes: rotação e translação (movimentos de corpo rígido), e 
deformação pura (provoca mudança de forma no interior da estrutura). 
incógnitas6
x
y
yxxy  
incógnitas3
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Neste item serão estudados somente os problemas de deformação pura, que está 
relacionada diretamente com as propriedades mecânicas e elásticas dos materiais que compõe 
a estrutura sujeita a tensões normais e tangenciais. 
As deformações provocadas pelas tensões normais são chamadas de deformações 
específicas longitudinais ou unitárias ( zyxzyx  ,,,,  ). Por outro lado, as tensões 
tangenciais ou de cisalhamento provocam no interior da estrutura deformações angulares 
ou também chamadas de distorções angulares ( xzyzxyxzyzxy  ,,,,  ). 
A determinação do alongamento de um corpo de prova tracionado exige medidas 
muito precisas porque a variação ( L ) de um comprimento (L) é muito pequena, mas, 
decisivas para a distribuição dos esforços de uma estrutura. 
A relação dos dois comprimentos L e L é um número sem dimensão e é chamado de 
deformação ( ), logo: xx
x
L
L


 
 
OBS: As deformações específicas normais ou variação térmica são sempre 
adimensionais, e podem também ser expressas por porcentagem (%) e por mil (‰). 
 
 
3.4 – ELASTICIDADE E ISOTROPIA 
Todo corpo material deforma-se sob a ação de tensões internas provocadas por cargas 
externas ou variação térmica, e ao retirar essas cargas o corpo tende a recuperar a sua forma 
primitiva. Esta tendência que em maior ou menor grau apresentam todos os materiais 
denomina-se elasticidade. 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Na realidade, os materiais não são perfeitamente elásticos e nem perfeitamente 
inelásticos. As deformações produzidas nos materiais estruturais são compostas de uma 
parcela de deformação elástica (que desaparece ao retirar as forças), e uma parcela de 
deformação permanente (que se mantém ao retirar as cargas). Num elevado número de 
materiais, se as tensões internas não ultrapassam determinados valores, as deformações 
permanentes são muito pequenas, consequentemente esses materiais podem ser considerados 
como elásticos. 
Em geral, serão admitidos que os materiais estruturais comportam-se como se fossem 
mecanicamente isótropos, ou seja, que as suas propriedades mecânicas são iguais em todas as 
direções. (Exemplo: o aço) 
Os materiais fibrosos, em geral comportam-se de forma anisótropa pois, as direções 
das fibras provocam comportamento mecânico diferente em relação às direções ortogonais às 
fibras. Entre os materiais fibrosos podem ser citados: a madeira, materiais laminados, rochas 
estratificadas, etc. 
Apesar disso para fins de análise estrutural pode-se adotar como se fossem materiais 
isótropos, considerando coeficientes de correção em função da direção das fibras. 
 
3.5 - LEI DE HOOKE 
Pelos dados obtidos em um ensaio de tração ou compressão, é possível calcular vários 
valores da tensão correspondentes em um corpo de prova e, então, construir um gráfico com 
esses resultados. A curva resultante é denominada diagrama tensão-deformação. 
Para a maioria dos materiais de engenharia o diagrama tensão-deformação exibe uma 
relação linear entre a tensão e deformação em uma região denominada região elástica. Por 
consequência, um aumento da tensão provoca um aumento proporcional na deformação. Esse 
fato foi descoberto por Robert Hooke, em 1676, e é conhecido como Lei de Hooke. 
 
 
 
 Etg
x
x


 constante 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Onde: E= módulo de elasticidade do material 
Portanto: xx E

  
Exemplo: 
208.000açoE MPa 
 
3.6 –COEFICIENTE DE POISSON 
Quando submetido a uma força de tração axial, um corpo deformável não apenas se 
alonga, mas também se contrai lateralmente. No início do século XIX, o cientista francês S. 
D. Poisson percebeu que, dentro da faixa elástica, a razão entre essas deformações é uma 
constante, visto que as deformações longitudinal (ou axial) e transversais são proporcionais. 
 
Portanto, o coeficiente de Poisson ( ) é uma propriedade adimensional do material 
que mede a relação entre a deformação lateral e a deformação longitudinal. 
Como: 
E
x
x

  
Então, Poisson: 

x
z
x
y




constante  
Exemplo: 
3,0aço 
25,015,0  concreto  norma 20,0 concreto 
 
As deformações lineares em y e z pode ser escrita: 
E
x
xy

 ..  
E
x
xz

 ..  
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Se y : 
E
y
y

  ; 
E
y
x

 . ; 
E
y
z

 . 
 
Se z : 
E
z
z

  ; 
E
z
x

 . ; 
E
z
y

 . 
 
LEI DE HOOKE GENERALIZADA ( zyx  ,, ) 
  zyxzyxxxxRx EEEE
zyx 





  
1.. 
  zxyzyxyyyRy EEEE
zyx 



  
1.. 
  yxzzyxzzzRz EEEE
zyx 



  
1.. 
Módulos de elasticidade longitudinais de alguns materiais: 
MPaEMPa concreto 4500020000  MPaEMPa madeira 200005000  
MPaEaço 208000 MPaEalumínio 76000 MPaEcobre 120000 
 
 3.7 - DEFORMAÇÕES TÉRMICAS 
Tzyx  . 
Onde: 
 = coeficiente de dilatação térmica linear 
if TTT  = variação de temperatura 
Coeficiente de dilatação linear ( ): É a variação unitária de comprimento entre dois 
pontos situados em um corpo submetido à variação de 1 grau de temperatura. 
Exemplo: aço = 1,17x10-6/°C 
O deslocamento causado pela deformação térmica (em uma direção) pode ser 
calculado por: 
. .L L T   
Desse modo, é possível calcular a tensão causada pela variação de temperatura. 
Se . .. . .L L TE E E
L L

 
 
   , então: . .E T   
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
3.8 - ESTADO FINAL DE DEFORMAÇÃO: 
   T
E zyx
total
x  .
1
 
   T
E zxy
total
y  .
1
 
   T
E yxz
total
z  .
1
 
 
3.9 – DISTORÇÕES ANGULARES ( ) 
G
xy
xy

  ; 
G
xz
xz

  ; 
G
yz
yz

  
Onde: 
)1(2 

EG = módulo de elasticidade transversal 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
CAPÍTULO 4 - SOLICITAÇÃO POR FORÇA NORMAL 
 
4.1 –TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES 
Um elemento estrutural está submetido a tração ou compressão simples quando sobre 
as seções transversais atua somente o esforço axial ( xN ) aplicado no centro de gravidade da 
seção. São considerados positivos os esforços axiais de tração e negativos os de compressão. 
No caso de elementos sujeitos a esforços axiais de compressão, os elementos estruturais são 
considerados robustos ou não esbeltos, ou seja, o elemento pode ser carregado até a ruptura 
sem provocar o fenômeno da flambagem, que significa flexão na compressão. 
 
4.2 – ANÁLISE DAS TENSÕES 
 
 HIPÓTESE 
Todas as fibras do elemento estrutural na direção x apresentam a mesma deformaçãoem todos os pontos. 
ctex  (na área A da seção transversal) 
cte
E
E xx
x
x 



 ctex  
   ANdAdAN xx
A
AxA xx
..  
A
N x
x  
 
4.3 – ANÁLISE DAS DEFORMAÇÕES 
 
.x xAN dA 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
x
x
x l
l
 ; 
AE
N
E
xx
x .


 
AE
N
l
l x
x
x
.

  
AE
lNl xxx .
.
 
AE. = rigidez axial da estrutura 
AE
N x
x .
 
l x
x
x
dxxdx AE
dxNl
AE
dxNldxl
0 .
.
.
.. 
Se cteN x  , cteA  
 
lx
x dxAE
Nl
0.
 
AE
lNl xxx .
.
 
 
4.4 – TENSÃO ADMISSÍVEL 
 
Um engenheiro responsável pelo projeto de um elemento estrutural ou mecânico deve 
restringir a tensão atuante no material a um nível seguro. Além disso, uma estrutura em uso 
contínuo deve ser analisada periodicamente para que se verifiquem quais cargas adicionais 
seus elementos ou partes podem suportar. Portanto, é necessário fazer os cálculos usando uma 
tensão segura ou admissível. 
 Para se garantir a segurança, é preciso escolher uma tensão admissível que restrinja a 
carga aplicada a um valor menor do que a carga que o elemento pode suportar totalmente. Há 
várias razões para isso. Por exemplo, a carga para a qual o elemento é projetado pode ser 
diferente das cargas realmente aplicadas. As dimensões estipuladas no projeto de uma 
estrutura podem não ser exatas, na realidade, por causa de erros de fabricação, ou cometidos 
na montagem de seus componentes. É possível ocorrer problemas com vibrações, impactos ou 
cargas acidentais desconhecidas, que não tenham sido previstas no projeto. Corrosão 
atmosférica, desgaste provocados por exposição a intempéries tendem a deteriorar os 
materiais em serviço. Por fim, as propriedades mecânicas de alguns materiais como madeira, 
concreto ou materiais produzidos com fibras podem apresentar alta variabilidade. 
Um método para a especificação da carga admissível para o projeto ou análise de um 
elemento é o uso de um número determinado fator de segurança. O fator de segurança (FS) é 
a razão entre a carga de ruptura ( rupF ) e a carga admissível ( admF ). 
adm
rup
F
F
FS  
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
De forma análoga, se a carga aplicada ao elemento estiver linearmente relacionada 
com a tensão envolvida no interior do elemento, como no caso da utilização de 
A
N
 e 
A
V
 , então podemos expressar o fator de segurança como: 
 
adm
rupFS


 ou 
adm
rupFS


 
 
Para estes casos, o FS é sempre maior que 1. 
 
Estimativas: 
Material ( / ²)adm Kgf cm ( / ²)R Kgf cm 
Aço comum 1 400 3 700 
Concreto (compressão) 30-150 100-700 
Madeira (tração) 80-1700 250-2500 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Um arame de alumínio de 30m de comprimento é submetido a uma tensão de tração de 700 
Kgf/cm². Determinar o alongamento do arame, bem como, de quantos graus seria necessário 
elevar a temperatura do arame para se obter o mesmo alongamento. Adotar: 
alE =0,7x106Kgf/cm², al = 23x10-6/°C. (R: 3cm; 43,5°C) 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2) A folga entre os trilhos de aço é de 4mm quando a temperatura ambiente é de 20 ºC. 
Sabendo-se que os trilhos possuem 15m de comprimento cada um, módulo de elasticidade 
longitudinal de 207GPa e coeficiente de dilatação térmica linear de 6,5x10-6/ ºC, determinar: 
a) a folga entre os trilhos quando a temperatura ambiente é de -2 ºC; (R: 6,145mm) 
b) em que temperatura a folga se anula; (R: 61,077°C) 
c) a tensão entre os trilhos quando a temperatura ambiente é de 45 ºC; (R: 0MPa) 
d) a tensão entre os trilhos quando a temperatura ambiente é de 75 ºC. (R: -18,73MPa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) A folga entre os trilhos de aço é de 2mm quando a temperatura ambiente é de 22 ºC. 
Sabendo-se que os trilhos possuem 15m de comprimento cada um, módulo de elasticidade 
longitudinal de 207GPa e coeficiente de dilatação térmica linear de 6,5x10-6/ ºC, determinar: 
a) a folga entre os trilhos quando a temperatura ambiente é de 10 ºC; (R: 3,17mm) 
b) em que temperatura a folga se anula; (R: 42,462°C) 
c) a tensão normal de compressão entre os trilhos quando a temperatura ambiente é de 
45 ºC. (R: -3,415MPa) 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
4) Em um teste de tração, uma barra de 20mm de diâmetro, feita 
de um plástico que acaba de ser desenvolvido, é submetida a uma 
força P de intensidade 6KN. Sabendo-se que um alongamento de 
14mm e um decréscimo de 0,85mm no diâmetro são observados, 
em um trecho central de 150mm de comprimento, determinar: 
a) o coeficiente de Poisson do material. (R: 0,46) 
b) o módulo de elasticidade longitudinal do material (em 
MPa). (R: 204,7MPa) 
c) o módulo de elasticidade transversal do material (em 
MPa). (R: 70,1MPa) 
 
 
 
 
 
 
5) A figura dada, representa duas barras de aço soldadas 
na secção BB. A carga de tração que atua na peça é 4,5 
kN. A seção 1 da peça possui d1 = 15 mm e 
comprimento L1= 0,6 m, sendo que a seção 2 possui d2 
= 25 mm e L2 = 0,9m. Desprezando o efeito do peso 
próprio do material, pede-se que determine para as 
seções 1 e 2. 0,3aço  ; 210açoE GPa . 
a) A tensão normal ( 1 e 2 ) (R: 25,46MPa; 9,17MPa) 
b) O alongamento (Δl 1 e Δl 2) (R: 0,0726mm; 
0,0393mm) 
c) O alongamento total da peça (Δl) (R: 0,112mm) 
 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
6) A barra rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE. Se a carga P 
aplicada à viga provocar um deslocamento de 10mm para baixo na extremidade C, determine 
a deformação normal desenvolvida nos cabos CE e BD. (R: 0,0025; 0,00107) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) O eixo de cobre está sujeito às cargas axiais mostradas na figura. Determine o 
deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D se os diâmetros de cada 
segmento forem dAB = 20mm, dBC = 25mm e dCD = 12mm. Considere o módulo de 
elasticidade do cobre igual a 126GPa. (R: 3,8483mm) 
 
 
 
 
 
8) A figura dada representa uma viga de aço com comprimento 5m e área de seção transversal 
3600mm². A viga encontra-se engastada na parede A e apoiada junto à parede B, com uma 
folga de 1mm desta, a uma temperatura de 12 ºC. a) Determinar em qual temperatura a folga 
se anula? b) E qual a tensão atuante na viga quando a temperatura subir para 40 ºC? Módulo 
de elasticidade longitudinal = 2,1x105MPa e coeficiente de dilatação térmica = 1,2x10-5/°C. 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
13) O conjunto mostrado na figura é composto por um tubo de alumínio AB com área de 
seção transversal de 400mm². Uma barra de aço de 10mm de diâmetro está acoplada a um 
colar rígido e passa pelo tubo, se uma carga de tração de 80kN for aplicada à barra, determine 
o deslocamento da extremidade C da barra. Considere os módulos de elasticidade do aço e do 
alumínio, respectivamente, iguais a 200GPa e 70GPa. 
 
 
 
 
 
14) O poste de madeira é feito de abeto de Douglas (E=13,1GPa) e tem diâmetro de 60mm. 
Se estiver sujeito a uma carga de 20kN e o solo proporcionar resistência ao atrito w=4kN/m 
uniformemente distribuída ao longo de seus lados, determine a força F na parte inferior do 
poste necessáriapara haver o equilíbrio. Calcule também qual é o deslocamento da parte 
superior do poste, A, em relação à sua parte inferior, B. Despreze o peso do poste. 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
3.10 – INFLUÊNCIA DO PESO PRÓPRIO NA TENSÃO 
 
A tensão normal na seção transversal (A) a uma 
distância x será: 
x x
x
N W
A A
   
Como: . .xW A x , onde:  = peso específico do 
material 
Desse modo: . .xx
N A x
A A

   
Simplificando: .xx
N x
A
   
Para x = 0 xx
N
A
  
Para x = L .xx
N L
A
    
Peso específico de alguns materiais: 
água = 1 000 Kgf/m³ tijolo
furado
 = 1 500 Kgf/m³ concreto = 2 500 Kgf/m³ 
 
OBS: 1,0 m³ = 1 000 l 
N
L
X
Sx
d
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
9) Uma barra de 3 m de comprimento, com seção circular, deve suportar em sua extremidade 
uma carga de 800 Kgf, tal como mostra a figura. Calcular o diâmetro da barra levando-se em 
conta o peso próprio dessa barra. mat = 7,7 tf/m³,  =700 Kgf/cm². (R: 1,20cm) 
 
 
10) Duas barras prismáticas rigidamente ligadas entre si, suportam a carga axial de 4500 Kgf. 
A barra superior é de aço e tem 10m de comprimento e seção transversal de 65 cm² de área. A 
barra inferior é de latão, tem 6m de comprimento e seção transversal de 52 cm². Tendo para o 
aço  =7800 Kgf/m³ e para o latão  =8300Kgf/m³, pede-se as tensões normais em AA; BB e 
CC. (em Kgf/cm²). (R: A=81,01kgf/cm²; B=91,52kgf/cm²; C=86,54kgf/cm²) 
 
 
 
12) Um pilar de aço tem comprimento de 2m e seção transversal de 40 x 40 cm e é solicitado 
por uma força de compressão de 8 000 Kgf. Calcular a tensão (em Kgf/cm²) na base do pilar 
sabendo que o peso próprio deste pilar tem influência nesta tensão, sendo que o peso 
específico dessa alvenaria é de 7,8 tf/m³. (R: 6,56kgf/cm²) 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
4.15 – SISTEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS 
 
Sistemas Hiperestáticos: em muitos casos, os esforços das reações são em 
quantidade, maior do que as equações da estática, elas não são suficientes, então, para 
determiná-los. Quando isto se dá diz-se que a estrutura e externamente HIPERESTÁTICA. 
Processo de cálculo: o processo de cálculo empregado será o da igualdade dos 
deslocamentos, que consistem em escrever, de início, as equações fundamentais de equilíbrio 
fornecidas pela estática e SUPLEMENTÁ-LAS com equações referentes às condições de 
deslocamentos que devem ser satisfeitas pela estrutura. O conjunto de equações deverá, 
evidentemente abranger tantas equações quantas forem as incógnitas do problema. 
Seções Compostas Por Mais De Um Material 
(Hiperestaticidade interna) 
 
*CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO 
nx NNNN  ...21 
Onde: n é o número de incógnitas 
 
*EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE )( x 
nn 





1
32
21

  (n-1) equações  
ii
i
i AE
N
.
 
EXERCÍCIOS 
1) Uma barra prismática é presa, rigidamente a 
duas paredes. A força axial P é aplicada à distância 
L1 = 200cm da extremidade da esquerda e L2 = 
300cm da extremidade da direita. Determinar as 
reações nas paredes provocadas pela ação da força P, 
sendo P = 5000Kgf. (R: 3000kgf; 2000kgf) 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2) Dois fios verticais de igual comprimento, sendo um de aço com 1,6mm de 
diâmetro e outro de cobre com 2mm de diâmetro, suportam conjuntamente uma 
carga P = 50KN. Pede-se a parcela de carga que cada cabo irá suportar e suas 
respectivas tensões, de modo que os cabos sofram o mesmo deslocamento. Dados: 
açoE = 2,1x10
6KN/cm²; cobreE = 1,2x10
6KN/cm². (R: 26,4kN; 23, 59kN; 
1314,43kN/cm²; 750,96kN/cm²) 
 
 
 
 
3) Determinar o alongamento nos tirantes da figura indicada abaixo com os 
respectivos dados: dA = 2,5cm, dB = 1,25cm, E =2x106Kgf/cm². (R: 0,0095cm; 
0,019cm) 
 
 
 
 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
4) Um tubo de aço, com D1 = 100 mm envolve um pilar de Cobre tem D2 = 80 mm, 
ambos com mesmo comprimento. O conjunto sofre uma carga de 30 kN aplicada 
no centro das chapas de aço da figura. Eaço = 210GPa, Ecobre = 112GPa. Determinar 
as tensões normais no tubo de cobre, e no tubo de aço. (R: 2,90MPa; 5,45MPa) 
 
 
 
5) P = 10tf; d = 5cm; E = 7x106Kgf/cm². 
Calcule: AB ; BC ; BCL . (R: 407,44kgf/cm²; 101,86kgf/cm²; 0,0012cm) 
 
 
 
6) AC = 9,68cm²; AA = 3,23cm²; EA = 2100tf/cm²; EC = 1200tf/cm²; P = 5440Kgf. 
Calcule as tensões no cabo. (R: 907,3kgf/cm²; 518,48kgf/cm²) 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
7) Para a viga supostamente rígida abaixo, determinar a força axial que atua nos 
tirantes 1 e 2, a reação no apoio e os deslocamentos verticais nos pontos B e C, em função de 
P, E, A e L. A seção transversal dos tirantes 1 e 2 são: AA 21  ; AA 2 respectivamente. E 
o módulo de elasticidade E. (N1=N2=P/3; RD=P; ΔLB=PL/6EA; ΔLC=PL/3EA) 
 
 
 
 
 
8) Para o pilar misto da figura, formado por um tubo de aço ( GPaEa 210 ) 
preenchido com um concreto ( GPaEc 30 ) comportando-se solidariamente um com o outro, 
determinar o deslocamento vertical em (mm) que sofre o topo do mesmo. (0,142mm) 
OBS: Admitir que o pilar esteja submetido a compressão simples sem flambagem. 
(Medidas da seção transversal em cm) 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
9) Para a estrutura da figura, verifica-se que o deslocamento vertical do nó B é o dobro 
do deslocamento vertical do nó A. Sabendo-se que o diâmetro da barra 1 é de 2,5cm. 
Determinar o diâmetro da barra 2. E determinar o deslocamento vertical do ponto C. O 
material dos tirantes é de aço, com E = 21000KN/cm². (R: 1,02cm; 0,1552cm) 
 
 
10) As hastes AB e CD são feitas de aço cuja tensão de ruptura por tração é MParup 510 . 
Usando um fator de segurança FS = 1,75 para tração, determine o menor diâmetro das hastes 
de modo que elas possam suportar a carga mostrada. Considere que a viga está acoplada por 
pino em A e C. (R: 6,02mm; 5,41mm) 
 
 
12) A barra está presa por um pino em A e é sustentada por 
duas hastes de alumínio, cada uma com diâmetro de 25 mm e 
módulo de elasticidade de 70 GPa. Considerando que a barra 
é rígida e inicialmente vertical, determine a força em cada 
haste quando for aplicada uma força de 10 kN. (R: 6,316kN; 
1,053kN) 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
13) É dado um cilindro de aço de 5cm de diâmetro no interior de um tudo de cobre de 8cm de 
diâmetro externo, com dimensões indicadas na Figura. Aplicando-se uma força de P=400 kN, 
qual a parcela de carga no cilindro de aço e qual a parcela de carga no cilindro de cobre? 
Dados: Eaço=21000 kN/cm2; Ecobre=12000 kN/cm2. (R: 373,34kN; 26,66kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) O fio de aço CD de 2 mm de diâmetro tem seu comprimento ajustado para que sem 
nenhum carregamento exista uma distancia média de 1,5 mm entre a extremidade B da viga 
rígida ABC e o ponto de contato E. Pede-se determinar em que ponto deve ser colocado o 
bloco de 20 kgf sobre a viga de modo a causar contato entre B e E. Dados do aço: E = 
2x104kN/cm2. (1kgf=10N). (R: 10cm)You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
CAPÍTULO 5 – SOLICITAÇÃO POR FORÇA CORTANTE 
Força cortante: é a componente contida no plano da seção transversal considerada da 
resultante das forças que atuam nessa seção, a outra componente é a força normal. 
Tensão de cisalhamento ( ): a força cortante causa em cada uma dos pontos da 
seção uma tensão tangencial denominada “tensão de cisalhamento” ( ). 
Admite-se distribuição uniforme das  na seção transversal da área (A), tem-se, em 
cada ponto dessa seção: 
 
5.1 – DEFORMAÇÃO NO CISALHAMENTO 
 
Com a aplicação das tensões de cisalhamento nas arestas os lados não se alteram, pois 
não há tensões normais, porém, aparecerá uma distorção dos ângulos inicialmente retos. 
Depois da distorção e devido às tensões de cisalhamento o elemento passa ter a forma 
indicada em linhas tracejadas na figura anterior. 
Distorção angular: é a variação do ângulo ( = deformação angular) inicialmente 
reto. É expressa em radianos. 
Módulo de Elasticidade Transversal (G) 
Desde que o material obedeça a Lei de Hooke, há a proporcionalidade entre tensão ( ) 
e a deformação ( ), logo: 
Sabendo-se que: .E
E

     
Por analogia: 
G

  , ou ainda: G 

 
V
A
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
 
Tensão de cisalhamento admissível (diagrama X ) 
 
e = tensão em que inicia o escoamento 
adm  = 0,55 a 0,60 e 
Onde: eadm



 
 
5.2 – DISTORÇÕES ANGULARES ( ) 
G
xy
xy

  ; 
G
xz
xz

  ; 
G
yz
yz

  
Onde: 
)1(2 

EG = módulo de elasticidade transversal 
 
5.3 – LIGAÇÕES SOLDADAS 
Para o caso da ligação soldada indicada na figura abaixo, a área que resiste ao 
cisalhamento é dada por A = 2.b.L (pois tem-se solda nos dois lados); 
2
eb  
 
5.4 – LIGAÇÕES REBITADAS 
A união de duas chapas por meio de rebites pode ser feita de três maneiras. 
 
5.4.1 – Ligação com simples superposição 
Cada rebite proporciona uma seção resistente. 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
5.4.2 – Ligação com uma placa de cobertura 
Cada rebite proporciona uma seção resistente. 
 
 
5.4.3 – Ligação com duas placas de cobertura 
Cada rebite proporciona duas seções resistentes. 
 
 
5.5 – RUPTURA DE LIGAÇÕES REBITADAS 
Os fenômenos que podem provocar o colapso de estruturas rebitadas são os seguintes: 
5.5.1 – Cisalhamento nos rebites 
Para que não ocorra ruptura, a tensão de cisalhamento nos rebites deve ser inferior à 
tensão admissível ao cisalhamento nos rebites (τ ≤ τadm). A tensão de cisalhamento nos rebites 
é dada por: 
A
V
 
Onde: a força cortante V é igual à carga P; e a área A é dada pela área total de seções 
resistentes dos rebites. 
 
5.5.2 – Compressão nas paredes dos furos 
Para que não ocorra ruptura, a tensão de compressão nas paredes dos furos deve ser 
inferior à tensão admissível à compressão (σc ≤ σadm,c). A compressão exercida pelo rebite na 
parede tem distribuição não uniforme e atua num semicírculo de altura “e” e diâmetro “d”. A 
tensão de compressão nas paredes dos furos é dada por: 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
An
P
C .
 
Onde: 
n = o número de rebites; 
A = a área resistente à compressão; Para ficar a favor da segurança, normas 
recomendam que se adote A = d.e, sendo “e” a espessura da chapa em condições mais 
desfavoráveis. 
 
 
5.5.3 – Espaçamento mínimo entre rebites 
Para evitar a possibilidade de ruptura da chapa entre os furos, a ABNT recomenda que 
sejam adotados os espaçamentos indicados na figura abaixo (“d” representa o diâmetro dos 
furos). 
 
5.5.3 – Tração nas chapas 
Ao se fazerem furos para colocação dos rebites, a área resistente à tração fica reduzida. 
Logo, para que não ocorra ruptura por tração, a tensão de tração deve ser inferior à tensão 
admissível à tração (σt ≤ σadm,t). A tensão de tração nas chapas será dada por: 
A
P
t  
Onde: 
A representa a área da seção transversal da chapa descontadas as áreas dos furos. 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
EXERCÍCIOS 
1) Um bloco retangular é feito de material que tem módulo de elasticidade transversal de 600 
MPa. O bloco é colado a duas placas horizontais rígidas. A placa inferior é fixa e a superior é 
submetida à uma força P. Sabendo-se que a placa superior se move 0,8 mm sob a ação da 
força, determine: (a) a deformação de cisalhamento no material, (b) a força P que atua na 
placa superior. (R: 0,02; 96000N) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determinar o diâmetro do parafuso da ligação representada na figura e seus respectivos 
dados: P = 5 000Kgf; adm = 420Kgf/cm². (R: 2,75cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
3) Emprega-se um rebite de 20 mm de diâmetro para ligar duas chapas de aço sujeitas a uma 
carga P de 20 kN. Determine a tensão de cisalhamento no rebite. (R: 64 MPa) 
 
 
4) Considere um pino de aço de 10 mm de diâmetro sujeito à força de tração de 10 kN. 
Calcule a tensão de cisalhamento na cabeça do pino admitindo que a seção resistente seja uma 
superfície cilíndrica de mesmo diâmetro que o pino. (R: 40 MPa) 
 
 
 
5) Determine a tensão de cisalhamento nos 2 rebites da estrutura abaixo sabendo-se que o 
diâmetro dos mesmos é de 20 mm. (R: 80 MPa) 
 
6) Calcular a tensão de cisalhamento da junta colada abaixo. (R: 7,5MPa) 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
7) Determine a força de tração admissível P para a ligação soldada abaixo, sabendo-se que a 
tensão admissível ao cisalhamento é de 80 MPa. (R: 2,65 kN) 
 
 
 
8) Emprega-se um rebite para ligar 2 barras de aço. Se o rebite tem 
3 "4  e a carga aplicada 
na ligação é de 3 tf, qual a tensão de cisalhamento no rebite? Sabendo-se que sua tensão de 
cisalhamento admissível é de 980Kgf/cm², verifique a estabilidade da ligação. As barras de 
aço tem seção transversal de 5x5 cm e tensão admissível normal de tração de 1200Kgf/cm². 
Qual é a menor seção das barras para suportar a carga aplicada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
9) Verifique se a ligação rebitada abaixo foi projetada corretamente. 
Dados: 
τadm = 100 MPa 
σadm,c = 180 MPa 
σadm,t = 150 MPa 
P = 40 kN 
drebites = 1,27 cm 
(R: Sim) 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
CAPÍTULO 6 – PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DA SEÇÃO 
TRANSVERSAL 
 
As propriedades geométricas da seção transversal da estrutura são 
fundamentais para: 
a) cálculo das tensões internas do material; 
b) cálculo das deformações e dos deslocamentos que sofrem a estrutura; 
c) projeto e dimensionamento dos elementos estruturais. 
 
6.1 - Centro de Gravidade da seção transversal (g) – (Baricentro) 
O centro de gravidade de uma superfície plana é por definição, o ponto de 
coordenadas: 
1 .z
A
Sy y dA
A A
   
1 .y
A
S
z z dA
A A
   
TEOREMA DE VARIGNON 
 
São conhecidas A1, A2,..., An eo G1, G2,..., Gn. 



 n
i
i
n
i
ii
G
A
zA
z
1
1
.
 



 n
i
i
n
i
ii
G
A
yA
y
1
1
.
 
Para algumas figuras é óbvia a posição do centro de gravidade que coincide 
com o centro geométrico da figura. Exemplo: quadrado e círculo. 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
SEÇÕES PARTICULARES 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) (R:10cm; 13,75cm) 
 
 
 
 
2) (R:-2cm; 6,5cm) 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
3) (R:0cm; -32,61cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) (R:5,5cm; 7,85cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
6.2 - MOMENTOS DE INÉRCIA 
 
Sempre que uma carga distribuída atua perpendicularmente a uma área e sua 
intensidade varia linearmente, o cálculo do momento da distribuição de carga em 
relação a um eixo envolverá uma quantidade chamada momento de inércia de área. 
 
Por definição, o Momento de Inércia de uma 
área diferencial dA em relação aos eixos x e y 
são dados pelo produto da área do elemento 
pelo quadrado da distância ao eixo dado. 
 
Unidade: comprimento4 
 
 
 

A
z dAyI ².  (momento de inércia em torno do eixo z)  0 
 

A
y dAzI ².  (momento de inércia em torno do eixo y)  0 
 CASOS PARTICULARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
EXERCÍCIOS MOMENTO DE INÉRCIA 
1) 
 
 
 
 
 
 
6.4 – MOMENTO DE INÉRCIA - TRANSLAÇÃO DE EIXOS (TEOREMA DE 
STEINER) 
 
². Gzz yAII G  
². Gyy zAII G  
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
Limitações: 
1) Os eixos devem ser paralelos; 
2) Os eixos devem ter mesmo sentido para zyI ; 
3) Qualquer sentido para zI e yI . 
EXERCÍCIOS 
Calcular os momentos em relação aos eixos baricentrais. 
1) 
 
 
 
2) 
 
 
 
4333,3413 cmI
Gy 
4333,5083 cmI
Gz 
4667,5407 cmI
Gz 
40,763 cmI
Gy 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
 
 
 
3) 
 
40,622 cmI
Gy 
45,1740 cmI
Gz 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
4) 
 
 
 
 
 
 
5) 
 
 
46667,200416 cmI
Gz 
416667,33229 cmI
Gy 
45487,3234 cmI
Gz 
48673,742 cmI
Gy 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
CAPÍTULO 7 – ESTUDOS DA FLEXÃO 
 
7.1 - FLEXÃO PURA 
 
 
7.1.1 - INTRODUÇÃO 
 
Um elemento estrutural está submetido à flexão pura quando sobre as suas seções 
transversais atua um momento fletor. 
Quando o momento fletor resultante coincide com um dos eixos principais de inércia, 
a flexão pura é do tipo normal. Quando o fletor não coincide com nenhum eixo principal de 
inércia da seção transversal, a flexão pura é do tipo oblíqua. 
Mesmo sabendo que numa estrutura o momento fletor ocorre junto com o esforço 
cortante, a análise dos efeitos provocados pelo cortante será vista em um capítulo específico. 
Como foi visto, o momento fletor resultante provoca tensões normais nas seções 
transversais da estrutura, uma parte do tipo tração e a outra parte em compressão. 
Na análise das tensões e das deformações provocadas pelo momento fletor serão 
admitidas as seguintes hipóteses: 
a) o material obedece um comportamento elástico e linear entre tensão e 
deformação ( Lei de Hooke); 
b) o material é considerado homogêneo e isótropo. 
 
 
7.1.2 – FLEXÃO PURA NORMAL 
 
M

eixo principal de inércia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z
z
IE
Mcurvatura
.
1


 
 
 
Onde: 
 = raio de curvatura 
 
 
“As seções inicialmente planas permanecem planas após a deformação por flexão.” 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
y e z: eixos principais de inércia 
 
Lei de Hooke: xx
x
x EtecE 

 . 
zIE. rigidez à flexão 
z
z
x I
yM .
 
Para y=0 0 LNx 
 
7.1.3 – MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO 
 
Segundo a equação de Navier 






z
z
x I
yM .
 as tensões normais máximas de tração e 
de compressão atuam nos pontos mais distantes da linha neutra, na parte inferior e na parte 
superior da seção transversal. Na região próxima à linha neutra as tensões normais são muito 
pequenas. 
Portanto, a forma ideal da seção transversal sujeita à flexão pura será aquela onde a 
maior parte da área está situada nas extremidades superior e inferior onde as tensões normais 
são máximas e o mínimo de material na região próxima à linha neutra. A seção ótima, 
portanto, é aquela que possui o maior módulo de resistência em relação ao eixo de flexão 
conforme equação abaixo: 
 
z
z
z
máxz
máxx W
M
I
yM

.
, 
Onde: 
máx
z
z y
IW  (Módulo de Resistência à Flexão: representa a resistência da seção 
em relação ao esforço de flexão). 
 
 
Por isso que a seção I é muito utilizada: tem maior material nas regiões de tração e 
compressão e material necessário perto e na linha neutra. 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
 
Módulos de resistência à flexão para casos particulares: 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Determine a tensão máxima de compressão e a tensão máxima de tração (MPa). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2) Uma viga de madeira, com seção transversal de 30 x 40 cm, pesa 75 kgf/m e 
suporta uma carga concentrada de 2000 kgf aplicada na extremidade com sentido de baixo 
para cima. Determinar as máximas tensões de flexão numa seção a 2 m da extremidade livre. 
(48,125kgf/cm²) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Para o exercício 2 considere L = 6m e determine as tensões de flexão no engaste. 
(133,125kgf/cm²) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
4) Verificar a viga abaixo. O material é dúctil com tensão de escoamento de 4000 
Kgf/cm². O peso próprio do perfil duplo T é 26,3 kgf/m. (887,41kgf/cm² - é estável) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Calcule a altura da viga abaixo sabendo-se que a tensão de ruptura do material é de 
5 kN/cm². Adote coeficiente de segurança igual a 2. (48cm) 
 
 
 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
CAPÍTULO 8 –TORÇÃO 
 
Considere-se uma barra engastada numa extremidade e solicitada na outra, por um 
binário (de momento) de forças situadas no plano da seção transversal. Diz-se que essa barra 
está submetida à torção. 
 
Efeitos de torção: 
- Produzir um deslocamento angular de uma seção transversal em relação à outra; 
- Originar tensões de cisalhamento nas seções transversais da barra. 
 
Momento da torção: Nocaso geral, atuam, em diversas seções transversais, binários 
situados nos planos dessas seções. Portanto, Momento Torçor é a soma algébrica dos 
momentos binários que se situam de um dos lados da seção considerada. 
tIG. Rigidez à torção 
tIG
LT
.
.
  ângulo de deformação por torção 
G 

  módulo de elasticidade transversal 
 
8.1 - SEÇÃO CIRCULAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde:
32
.
2
. 44 DRI t


 momento de inércia à 
torção 
 
 
 
 
Obedece a Lei de Hooke 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
8.2 – SEÇÃO NÃO CIRCULAR (RETANGULAR CHEIA) 
 
 
 
 
A e B pontos  médios dos 
lados 
²..1 ab
T
MÁX 
  
12 .  
 
Onde: ³.. abI t  
Valores de  ,  ,  em função de a
b 
a
b 1,0 1,2 1,5 1,75 2,0 4,0 8,0 20,0  
 0,208 0,219 0,231 0,239 0,246 0,282 0,307 0,333 0,333 
 0,141 0,166 0,196 0,214 0,229 0,281 0,307 0,333 0,333 
 1,00 0,932 0,859 0,820 0,795 0,745 0,742 0,742 0,742 
 
 
8.3 – SEÇÃO CIRCULAR VAZADA 
 
 
 
Onde: 
2
.
2
. 44 ie
t
RRI    )(
2
44
iet RRI 
 
 
 
 
 
 
 
8.4 – SEÇÕES ABERTAS DE PAREDE FINA (PERFIS METÁLICOS – I, C, L, 
T,...) 
 
ia  espessura 
ib  comprimento linha média 
t
MÁX
MÁX I
aT .
 
t
i
i I
aT .
 ( ,1i 2, ..., n) 
 
tIG
LT
.
.
 Onde: 



n
i
iit abI
1
³.
3
1 
2
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
8.5 – SEÇÃO FECHADA DE PAREDE FINA (PERFIS METÁLICOS) 
 
*A  área limitada pela 
linha média 
*..2 At
T
MIN
MÁX  
*..2 At
T
S
S  
 
tIG
LT
.
.
 
 Onde: 


S S
t
t
dS
AI *)².(4 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Dados os seguintes dados de uma barra submetida a torção: 
 
 
E=210GPa 
T=5KNm 
3,0 
 
 
 
 
 
 
 
Determinar as tensões tangenciais máximas e ângulos de deformação de torção para 
cada uma das seguintes seções transversais: 
 
a) Seção aberta (parede fina) (72,68MPa; 2,58º) 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
b) Seção fechada (parede fina) (5,07MPa; 0,023º) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Seção retangular (2,37MPa; 0,0108º) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
d) Seção circular – R=10cm (3,18MPa; 0,0225º) 
 
 
 
 
 
 
e) Seção circular vazada – eD =30cm e área de material igual a área da seção 
circular cheia do exercício d. (1,36MPa; 0,0065º) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Dada a barra circular abaixo (D=20cm), determine a máxima tensão de 
cisalhamento (resposta em N/cm²). (1,91N/cm²) 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
3) Determine as tensões de cisalhamento na parte interna e externa de um tubo vazado 
quando submetido a um torque de 4 kgf.m. O diâmetro interno do tubo é de 15mm e o 
externo, de 25mm (resposta em kN/cm²). (0,9kN/cm²; 1,5kN/cm²) 
 
 
4) Sabendo-se que o tubo da questão 3 tem comprimento de 2m e que o seu módulo de 
elasticidade transversal é de 8000 kN/cm², determine o ângulo total de torção. (0,03rad) 
 
 
 
 
5) Qual é o maior momento de torção que pode ser aplicado ao eixo circular vazado 
abaixo para que as tensões de cisalhamento não excedam a 120 MPa? Qual o valor mínimo da 
tensão de cisalhamento para este caso? (4,08kNm; 80MPa) 
 
 
 
 
6) Determine a tensão de cisalhamento para um tubo de seção circular vazada, sujeito 
a um torque de 3000 kgf.m. O diâmetro interno do tubo é de 20cm, o diâmetro externo é de 
24cm. (213,47kgf/cm²) 
 
 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
7) Determine a máxima tensão de cisalhamento e o ângulo de torção entre as duas 
extremidades da barra circular vazada representada abaixo (Diâmetro externo = 10 cm, 
Diâmetro interno = 3 cm). O módulo de elasticidade transversal do material é 9000 kgf/mm². 
(0,128kgf/cm²; 0,0113º) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Considere dois tubos de seção transversal tubular retangular aberta (b) e fechada (a) 
de parede fina, de mesmo material, conforme a figura abaixo, submetidas à um momento de 
torção de 0,8 KNm. Determinar as tensões de cisalhamento média (MPa) nas paredes dos 
tubos (a) e (b), que possuem espessura constante de 3 mm. Qual delas apresenta maior rigidez 
à torção? Justifique. (290,48MPa; 3030,30MPa; seção (a) possui 36,27 vezes maior rigidez 
à torção que a seção (b)) 
 
 
 
 
 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
CAPÍTULO 9 – FLAMBAGEM 
 
9.1 – INTRODUÇÃO 
Flambagem é um fenômeno de instabilidade que pode ocorrer em elementos 
estruturais comprimidos. Manifestando-se pelo aparecimento de uma flexão lateral 
progressiva que pode causar a ruptura do elemento. Como exemplo de elementos estruturais 
que podem apresentar flambagem tem-se: pilares ou colunas, vigas protendidas, perfis 
metálicos, cascas, placas, etc. 
Portanto, os elementos estruturais comprimidos podem ser divididos em dois grupos: 
a) Elementos curtos ou não esbeltos 
A ruptura desses elementos se dá por compressão simples, sem flambagem e a tensão 
e deformação são dadas pelas seguintes fórmulas: 
A
P
x  E
x
x

  
Portanto a carga máxima é : AP cMÁX . 
b) Elemento esbelto 
A ruptura deste tipo de elemento é dada por flambagem a partir de uma certa carga 
crítica. O projeto destes elementos deve ser aquele onde a carga aplicada no mesmo não deve 
ultrapassar a carga crítica de flambagem. 
CRMÁX PP  
9.2 – FÓRMULA DE EULER (GERAL: 
²
.².
FL
G
CR L
IE
P MIN

 ) 
a) Barra birrotulada b) Barra bi-engastada 
LLFL  2
LLFL  
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
c) Barra rotulada-engastada d) Barra engastada-livre 
LLFL 7,0 LLFL 2 
 
 
9.3 – LIMITAÇÕES DA FÓRMULA DE EULER 
 
 
 Etg
x
x


 constante 
PCR   
 
 
P
CR
CR A
P
  
 
P
FLLA
IE



².
.². 
A
Ii
A
Ii  ² 
 
P
FLL
iE



²
.². 2 
i
LFL (índice de esbeltez) 
 
P
E




²
². 

P
E



². 
P
E



².
lim  
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
²
.2



E
CR  ; lim  
 
 
9.4 – CARGA ADMISSÍVEL 
Para garantir que não ocorra flambagem, adota-se um coeficiente de segurança e 
calcula-se a carga admissível, da seguinte forma: 
s
PP cradm  
onde: 
admP = carga admissível; 
crP = carga crítica; 
s = coeficiente de segurança. 
 
EXERCÍCIOS 
1) Determinar a carga crítica de flambagem. Admitindo-se a 
Flambagem Elástica de Euler. E=4GPa. (13,72N) 
SEÇÃO 
 
 
 
 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
2) Determinar a carga crítica de flambagem de um pilar de aço, biengastado, com 7m 
de altura, sabendo-se que a seção transversal é composta por 2 perfis “I” soldados entre si,conforme ilustrado abaixo. Adotar Ea=210GPa.(1386,75kN) 
SEÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determinar a carga crítica de flambagem (em KN), de 2 pilares bi-rotulados, com 
10m de altura, e seções transversais de mesma área, uma seção quadrada cheia, e a outra 
tubular quadrada, conforme figura. Qual das duas seções é mais eficiente quanto à 
flambagem? Justifique. Admitir que a flambagem Elástica de Euler e GPaE 210 . 
(A=13990kN; B=63733kN; B/A=4,56) 
 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
4) Para o pilar birrotulado, calcular a carga crítica. E=3x105kgf/cm². 
(R: 68218,71kgf) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Determinar a carga crítica de flambagem de um pilar de 2 m com extremidades 
articuladas sabendo-se que o módulo de elasticidade do material é de 200.000 kgf/cm². A 
seção transversal mede 10 x 15 cm. (61685,03kgf) 
 
 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
6) Determine a carga crítica de flambagem para um pilar engastado com 2 m de altura. 
O módulo de elasticidade é de 200.000 kgf/cm². (15421,26kgf) 
 
 
7) Supondo-se que a tensão crítica para o pilar da questão 6 é de 500 kgf/cm², 
verifique se a peça está sujeita à flambagem. (102,81kgf/cm²) 
 
 
 
 
8) Determine a carga crítica de flambagem para o pilar de seção transversal tipo T 
dado abaixo. O módulo de elasticidade é de 250.000 kgf/cm². (84508,02kgf) 
 
 
9) Determine a carga admissível para o pilar da questão 8 adotando coeficiente de 
segurança igual a 2. (42254,01kgf) 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
BIBLIOGRAFIA E REFERÊNCIAS 
 
ALMEIDA, M. C. F. Estruturas Isostáticas. Editora Oficina de Textos. 
 
GORFIN, B.; OLIVEIRA, M. M. Estruturas Isostáticas. Editora Livros Técnicos e 
Científicos. 
 
BEER, F. P.; E. RUSSELL Jr., J. Mecânica vetorial para engenheiros. Editora 
Makron Books. 
 
NASH, W. A.; GIACAGLIA, G. E. O. ASSUMPÇÃO FILHO, M. M. Resistência dos 
materiais. Editora McGraw-Hill. 
 
BOTELHO, M. H. C. Resistência dos materiais para entender e gostar: um texto 
curricular. Editora Studio Nobel. 
 
HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica Para Engenharia. Editora Pearson. 
 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. Editora Pearson. 
 
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (http://www.novapdf.com)