AP1 A1 2011 1 Gabarito

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A´lgebra I
AP 1 - Primeira Avaliac¸a˜o Presencial
Atenc¸a˜o: Enuncie todos os resultados desta disciplina que voceˆ utilizar para resolver qualquer
das questo˜es.
Questa˜o 1: (2 pontos) Demonstre detalhadamente a validade das seguintes afirmac¸o˜es:
(a) (1 ponto) Seja n um nu´mero ı´mpar. Prove que n3 − n e´ divis´ıvel por 24.
(b) (1 ponto) Mostre que a soma dos n primeiros nu´meros naturais ı´mpares e´ n2.
Soluc¸a˜o: Ambos as afirmac¸o˜es sera˜o provadas por induc¸a˜o em n. Portanto, o estudante deve
enunciar o Teorema de Induc¸a˜o (ou Princ´ıpio de Induc¸a˜o).
(a) Se n = 1 enta˜o n3 − n = 0 e, portanto, divis´ıvel por 24. Provaremos que se para algum
nu´mero ı´mpar k ∈ N a afirmac¸a˜o for verdadeira, isto e´, se k3 − k for mu´ltiplo de 24, enta˜o
a afirmac¸a˜o valera´ tambe´m para o pro´ximo nu´mero ı´mpar, a saber, k + 2. De fato,
(k + 2)3 − (k + 2) = (k3 + 6k2 + 12k + 8)− (k + 2) = (k3 − k) + 6(k2 + 2k + 1) =
= (k3 − k)︸ ︷︷ ︸
=24q
+6 (k + 1)2︸ ︷︷ ︸
=4q′
.
Na u´ltima linha, k3−k e´ mu´ltiplo de 24 por hipo´tese de induc¸a˜o. Como k e´ ı´mpar, k+1 e´ par,
logo mu´ltiplo de 2. Sendo assim (k+1)2 e´ mu´ltiplo de 4. Portanto, quando multiplicado por
6 o produto e´ mu´ltiplo de 24. Por conseguinte,toda a expressa˜o na u´ltima linha e´ mu´ltiplo
de 24, conforme quer´ıamos demonstrar.
(b) A verificac¸a˜o da afirmac¸a˜o e´ equivalente a` verificac¸a˜o da fo´rmula
1 + 3 + · · ·+ (2n− 1) = n2.
A fo´rmula vale para n = 1 trivialmente, com efeito, 1 = 2.1 − 1 = 12. Suponha que a
proposic¸a˜o seja verdadeira para um nu´mero natural n, isto e´, suponha que 1+3+ · · ·+(2n−
1) = n2 para um certo nu´mero natural n. Vamos mostrar que isso implica que a proposic¸a˜o
vale para n + 1. De fato,
1 + 3 + · · ·+ (2n− 1)︸ ︷︷ ︸
hipo´tese de induc¸a˜o
+(2n + 1) = n2 + (2n + 1) = (n + 1)2.
Enta˜o pelo Princ´ıpio de Induc¸a˜o a fo´rmula vale para todo n ∈ N.
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Questa˜o 2: (2 pontos) Seja Z o conjunto dos nu´mero inteiros. Dados a e b nu´meros inteiros,
diremos que a ∼ b quando a− b for mu´ltiplo de 3.
(a) (1 ponto) Mostre que a relac¸a˜o determinada por ∼ em Z e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
(b) (0,5 ponto) Mostre que esta relac¸a˜o possui exatamente treˆs classes de equivaleˆncia em Z.
Descreva estas classes.
(c) (0,5 ponto) Mostre que as classes de equivaleˆncia determinam uma partic¸a˜o de Z. Isto e´, que
duas classes distintas na˜o possuem intersec¸a˜o e que a unia˜o das treˆs classes conte´m todos os
nu´meros inteiros.
Soluc¸a˜o:
(a) Afim de mostrar que a relac¸a˜o e´ de equivaleˆncia precisamos mostrar que a relac¸a˜o e´ reflexiva,
sime´trica e transitiva.
Reflexividade: Temos que a− a = 0 e zero e´ mu´ltiplo de 3. Portanto, a ∼ a.
Simetria: Se a ∼ b, enta˜o 3 divide a− b, logo existe q ∈ Z tal que a− b = 3q. Multiplicando
por −1 temos que b− a = 3(−q), donde conclui-se que b ∼ a.
Transitividade: Se a ∼ b e b ∼ c, enta˜o existem q1 e q2 tais que a− b = 3q1 e b− c = 3q2. Se
somarmos estas duas igualdades teremos (a−b)+(b−c) = 3q1+3q2. Enta˜o, a−c = 3(q1+q2)
e consequentemente a ∼ c. Portanto a relac¸a˜o e´ transitiva.
Conclusa˜o: a relac¸a˜o ∼ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
(b) e (c) Fixe um inteiro b ∈ Z. O Teorema de Divisa˜o de Euclides garante que qualquer que
seja a ∈ Z existem q e r, com r = 0, 1 ou 2 tais que a − b = 3q + r (q e r unicamente
determinados por estas propriedades). Enta˜o a − b − r = 3q, portanto, a ∼ (b + r), onde
r = 0, 1 ou 2.
Assim, dado um inteiro a arbitra´rio temos que a e´ equivalente a b, b + 1 ou b + 2. Isto e´,
existem 3 classes de equivaleˆncia e, juntas, elas conteˆm todos os nu´meros inteiros.
Falta mostrar que as classes sa˜o disjuntas. De fato, se um elemento a da classe de b tambe´m
estiver na classe de b+ 1, enta˜o a ∼ b e a ∼ (b+ 1). Ora, pela transitividade isto implica que
b ∼ b+ 1, ou seja, que b− (b+ 1) = 3q para algum q ∈ Z. Uma contradic¸a˜o! (a contradic¸a˜o
tambe´m poderia ser encontrada assim: a ∼ b e a ∼ (b + 1) implica que existem q1 e q2 tais
que a − b = 3q1 e a − b = 3q2 + 1. Mas isto contraria a unicidade fornecida no Teorema
de Divisa˜o de Euclides.) Portanto, as classes na˜o podem ter intersec¸a˜o. A demonstrac¸a˜o de
que as classes de b e b+ 2, assim como as classes de b+ 1 e b+ 2 sa˜o disjuntas e´ inteiramente
ana´loga e sera´ deixada para exercitar o estudante.
Observe que o nu´mero b e´ completamente arbitra´rio. Tomemos b = 0. As 3 classes de
equivaleˆncia sa˜o 0 = {3q; q ∈ Z}, 1 = {3q + 1; q ∈ Z} e 2 = {3q + 2; q ∈ Z}.
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Questa˜o 3: (2 pontos) Dados A e B nu´meros inteiros sejam r1 e r2, respectivamente, os restos
da divisa˜o de A e B por 7.
(a) (1 ponto) Calcule o resto da divisa˜o de A + B por 7.
(b) (1 ponto) Suponha que r1 ∈ {0, 1, 2} e r2 ∈ {0, 1, 2, 3}. Mostre que o resto da divisa˜o do
produto A×B por 7 e´ o produto dos restos r1 × r2.
Soluc¸a˜o: O exerc´ıcio usa o Teorema da Divisa˜o de Euclides. Por isso o estudante deve enunciar
este Teorema.
(a) Pelo Teorema de Divisa˜o de Euclides existem inteiros q1, q2, r1 e r2, unicamente determina-
dos, com a propriedade de que A = 7 · q1 + r1 e B = 7 · q2 + r2 onde 0 ≤ r1 < 7 e 0 ≤ r2 < 7.
Enta˜o A+B = 7(q1 + q2) + (r1 + r2). Portanto, se r1 + r2 < 7 enta˜o este e´ o resto da divisa˜o
de A + B por 7, unicamente determinado pelo Teorema de Euclides. Se r1 + r2 ≥ 7, enta˜o
“dividindo” por 7 (isto e´, usando o Teorema de Divisa˜o de Euclides) teremos quociente igual
a 1 pois sendo 0 ≤ r1 < 7 e 0 ≤ r2 < 7 temos 0 ≤ r1 + r2 < 14 = 2 × 7 + 0. Portanto,
r1 + r2 = 7 · 1 + r com 0 ≤ r < 7 unicamente determinado. E, neste caso o resto da divisa˜o
de A + B por 7 e´ r = r1 + r2 − 7. E´ importante observar que neste segundo caso, como
7 ≤ r1 + r2 < 14 temos que 0 ≤ r1 + r2 − 7 < 7.
Resposta: O resto da divisa˜o de A+B por 7 e´ o menor entre os nu´meros r1+r2 e |r1+r2−7|.
(b) Novamente temos A = 7 · q1 + r1 e B = 7 · q2 + r2. Logo
A×B = (7 · q1 + r1)(7 · q2 + r2) = 7[7q1q2 + (q1r2 + q2r1)] + r1r2.
E´ claro que 0 ≤ r1r2 < 7. Portanto, r1r2 enta˜o a unicidade do Teorema de Divisa˜o de
Euclides garante que r1r2 e´ o resto da divisa˜o de A×B por 7.
Questa˜o 4: (2 pontos) Seja N = arar−1 · · · a1a0 a expressa˜o decimal de um nu´mero natural N .
Mostre que o nu´mero N e´ divis´ıvel por 11 se, e somente se, a0 − a1 + · · · + (−1)rar e´ divis´ıvel
por 11.
Soluc¸a˜o: Este e´ o Exemplo 11 da Aula 10. Confira!
Questa˜o 5: (2 pontos) Mostre que se a, b e c sa˜o inteiros tais que a | bc e mdc(a, b) = 1, enta˜o
a | c.
Soluc¸a˜o: Como mdc(a, b) = 1, enta˜o existem inteiros r e s tais que ar + bs = 1 e, portanto,
acr + bcs = c. Como a | bc, existe um inteiro q tal que bc = aq. Assim
c = acr + bcs = acr + aqs = a(cr + qs) = aq,
e,portanto, a | c.
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