03_Taxas_2012_1

Prévia do material em texto

TAXAS EQUIVALENTES, 
EFETIVAS, NOMINAIS, 
APARENTES E REAIS
Prof. Reinaldo C. Sandes
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO
DEMONSTRAÇÃO DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
112,682501,11567111,5668312
111,566831,10462110,4622111
110,462211,09369109,3685310
109,368531,08286108,2856709
108,285671,07214107,2135408
107,213541,06152106,1520207
106,152021,05101105,1010106
105,101011,0406104,060405
104,06041,0303103,030104
103,03011,0201102,0103
102,011,01101,0002
101,001,00100,0001
Capital finalJuros 1% a.m.Capital inicialMês
VARIAÇÃO PERCENTUAL 
RESULTANTE DA CAPITALIZAÇÃO
∆ = (112,68250 ÷ 100,00) – 1
∆ = 1,126825 – 1 
∆ = 0,126825 OU 12,6825% a.a.
Portanto
1,00% a.m ↔ 12,6825% a.a.
CÁLCULO DE TAXA EQUIVALENTE
iq = (1 + it)q/t – 1 
onde
iq = taxa para o tempo que quero
it = taxa para o tempo que tenho
q = tempo que quero
t = tempo que tenho
EXEMPLO TAXA EQUIVALENTE
Calcular a taxa anual equivalente à taxa de 1,0% a.m.
iq = (1 + it)q/t – 1
iq = (1 + 0,01)12/1 – 1
iq = (1,01)12 – 1
iq = 1,126825 – 1
iq = 0,126825 ou 12,6825% a.a.
EXEMPLO DE APLICAÇÃO
P = 1.000,00; n = 12 MESES; i = 1,0% a.m.; S= ?
P = 1.000,00; n = 1 ANO; i = 12,6825% a.a.; S= ?
S = P (1 + i)n
S = 1.000,00 (1 + 0,01)12 S = 1.126,83
S = 1.000,00 (1 + 0,126825)1 S = 1.126,83
TAXAS EFETIVAS X TAXAS NOMINAIS
A taxa é efetiva quando seu período de 
capitalização coincide com o período em que a 
mesma é expressa, por exemplo:
10% ao mês, capitalizada mensalmente
20% ao trimestre, capitalizada trimestralmente
30% ao semestre, capitalizada semestralmente
50% ao ano, capitalizada anualmente
A taxa efetiva é a taxa verdadeira
TAXAS EFETIVAS X TAXAS NOMINAIS
A taxa é nominal quando sua capitalização ocorre 
em periodicidade inferior ao período em que a 
mesma é expressa, por exemplo:
10% ao mês, capitalizada quinzenalmente
20% ao trimestre, capitalizada mensalmente
30% ao semestre, capitalizada diariamente
50% ao ano, capitalizada semestralmente
Como ocorre mais de uma capitalização no período 
em que a taxa é expressa, a taxa nominal é uma taxa 
falsa ou omissa
TAXAS EFETIVAS X TAXAS NOMINAIS
Portanto, sempre que uma taxa tiver mais de uma 
capitalização no seu período de referência, ela é
taxa nominal. Nesse caso, é preciso convertê-la em 
taxa efetiva. Para isso, usa-se a seguinte fórmula:
iN
ief = ( 1 +  )NC – 1 onde
NC
ief = taxa efetiva
iN = taxa nominal
NC = número de capitalizações
TAXAS EFETIVAS X TAXAS NOMINAIS
Exemplo:
Um financiamento é concedido à taxa de juros de 
15% ao mês, capitalizada quinzenalmente. Qual é a 
taxa mensal efetiva?
0,15
ief = ( 1 +  )2 – 1 
2
ief = ( 1 + 0,075)2 – 1
ief = 0,1556 ou 15,56% ao mês
TAXAS APARENTES E REAIS EM 
REGIME INFLACIONÁRIO
Os regimes inflacionários causam uma ilusão monetária 
ou rendimento aparente que não deve ser confundido 
com ganhos reais. Nesses casos, torna-se importante 
apurar, separadamente, os juros reais e as correções 
monetárias que, como o próprio nome indica, são 
apenas correções decorrentes da perda de valor da 
moeda. SAMANEZ (2002)1
[1]SAMANEZ, C. P. Matemática financeira: aplicações à
análise de investimentos. 3 ed. São Paulo: Prentice Hall, 
2002.
TAXAS APARENTES E REAIS EM 
REGIME INFLACIONÁRIO
Define-se a taxa aparente como o produto da taxa real e 
da taxa correção ou de inflação. Enquanto a taxa de 
inflação mensura a perda de valor da moeda em 
determinado período, a taxa real, por sua vez, é usada 
para definir o ganho de aplicação ou custo de captação, 
calculada após serem excluídos os efeitos 
inflacionários. As taxas aparentes, inflacionárias e reais 
podem ser calculadas a partir da fórmula genérica a 
seguir:
(1 + iaparente ) = (1 + iinflacionária ) x (1 + ireal )
TAXAS APARENTES E REAIS EM 
REGIME INFLACIONÁRIO
A partir da dedução da fórmula genérica, pode-se 
calcular a taxa de correção ou taxa inflacionária (ii), 
conforme demonstrado a seguir:
Cálculo da taxa inflacionária (ii):
(1 + iaparente ) = (1 + iinflacionária ) x (1 + ireal )
(1 + iaparente )
(1 + ireal )
– 1 = iinflacionária
TAXAS APARENTES E REAIS EM 
REGIME INFLACIONÁRIO
Também a partir da dedução da fórmula genérica, pode-
se calcular a taxa real (ir), conforme demonstrado a 
seguir:
Cálculo da taxa real (ir):
(1 + iaparente ) = (1 + iinflacionária ) x (1 + ireal )
(1 + iaparente )
(1 + iinflacionária )
– 1 = ireal
TAXAS APARENTES E REAIS EM 
REGIME INFLACIONÁRIO
Exemplo:
Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00 durante 12 meses e 
resgatou ao fim desse prazo R$ 1.135,33. Ou seja, a taxa 
aparente (ia) foi de 13,533% no período. Sendo a inflação 
(ii) acumulada no mesmo período de 4,35%, qual seria, 
então, a taxa anual de rendimento real (ir) desse 
investimento, descontada a inflação?
TAXAS APARENTES E REAIS EM 
REGIME INFLACIONÁRIO
... Continuando com o exemplo:
Se a taxa aparente (ia) é de 13,533% significa que o fator 
de correção é 1,13533, já que, ao se multiplicar 
R$1.000,00 por esse fator, obtém-se um saldo final de 
R$ 1.135,33 , o que equivale, portanto, a um acréscimo 
de 13,533% no período considerado.
Verifique que, caso tivesse ocorrido uma inflação (ii) de 
13,533%, esse investimento não teria qualquer ganho 
real, mas também não teria tido perda, porque o ganho 
verificado teria “empatado” com a inflação.
TAXAS APARENTES E REAIS EM 
REGIME INFLACIONÁRIO
... Continuando com o exemplo:
Mas, como a inflação (ii) foi de 4,35% no mesmo período 
de um ano, o investidor ganhou da inflação. Esse 
ganho, que é o rendimento descontada a inflação, é
chamado de Taxa Real (ir), que representa a taxa de 
ganho real.
Para calcular essa taxa de ganho real, usa-se a fórmula 
genérica já demonstrada:
( 1 + ia ) = ( 1 + ii ) x ( 1 + ir ) 
TAXAS APARENTES E REAIS EM 
REGIME INFLACIONÁRIO
... continuando com o exemplo:
Fazendo a substituição, tem-se que a taxa de ganho real 
será expressa por:
( 1 + 0,13533 ) = ( 1 + 0,0435) x ( 1 + ireal) 
( 1,13533 )
 – 1 = i ���� = ireal = 1,088 – 1
(1,0435)
ireal = 0,088 ou 8,88% em um ano
TAXAS APARENTES E REAIS EM 
REGIME INFLACIONÁRIO
... continuando com o exemplo:
A taxa real calculada incidirá sobre o valor inicial já
corrigido. Ou seja, primeiro deve-se corrigir o capital 
inicial e somente depois aplicar a taxa de juros reais (ir). 
E o valor P corrigido, antes dos juros reais, pode ser 
descrito pela expressão
Pcorrigido = Pinicial ( 1 + iinflação )n
Pcorrigido = 1.000,00 ( 1 + 0,0435 )1ano
Pcorrigido = 1.000,00 x 1,0435 ���� Pcorrigido = 1.043,50
TAXAS APARENTES E REAIS EM 
REGIME INFLACIONÁRIO
... continuando com o exemplo:
Ao se aplicar sobre o Pcorrigido, a taxa real (ir), calculada 
em 8,88% ao ano, obtém-se o montante final S e, 
consequentemente, o ganho real.
Sfinal = Pcorrigido ( 1 + ireal )1ano
Sfinal = 1.043,50 ( 1 + 0,088 )1ano
Sfinal = 1.043,50 x 1,088 ���� Sfinal = 1.135,33
TAXAS APARENTES E REAIS EM 
REGIME INFLACIONÁRIO
... continuando com o exemplo:
O ganho real, portanto, nada mais é que a diferença entre 
o capital inicial corrigido e o montante final apurado após 
a correção monetária e os juros reais, ou seja:
Ganho real = Sfinal – Pcorrigido
Ganho real = R$ 1.135,33 – R$ 1.043,50 ���� R$ 91,83
Ganho aparente = Sfinal – Pinicial
Ganho aparente = R$ 1.135,33 – R$ 1.000,00 ���� R$ 135,33