Teoria-de-Grupo-e-Espectroscopia-Prof-Danilo-Ayala
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100
02
1-
2
3
02
3
2
1
 
z
y
x
Ä= Traço = 0 (zero) 
1
vs , 
2
vs e 
3
vs pertencem a uma mesma classe, apresentando, portanto, o mesmo traço. 
 
As representações irredutíveis para o grupo C3v serão: 
 
Tabela 3. Representações irredutíveis para o grupo C3y 
C3v E C3 
-
3C º
2
3C 
1
vs 
2
vs 
3
vs 
A1 1 1 1 1 1 1 
A2 1 1 1 -1 -1 -1 
E 
10
01
 
2
1
2
3
2
3
2
1
-
-
 
2
1
2
3
2
3
2
1
--
-
 
10
01-
 
2
1
2
3
2
3
2
1
--
-
 
2
1
2
3
2
3
2
1
-
 
 
C3 e 23C formam uma classe, da mesma maneira que 
1
vs , 
2
vs e 
3
vs formam 
outra classe. A tabela para C3v ficará com a seguinte distribuição (Tabela 4): 
 
Tabela 4. Tabela de caracteres do grupo pontual C3v 
C3v E 2 C3 3 sv 
A1 1 1 1 Tz 
A2 1 1 -1 Rz 
E 2 -1 0 Rx, Ry, Tx, Ty 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -61 - 
6 - TABELA DE CARACTERES 
As tabelas de Caracteres descrevem somente os traços das representações 
irredutíveis: Elas são úteis para a determinação das regras de seleção em 
espectroscopia. 
Uma tabela de caracteres é constituída de cinco partes. Exemplo: tabela 
completa do grupo pontual C3v (Tabela 5). 
 
Tabela 5. Tabela de caracteres do grupo pontual C3v 
C3v E 2C3 3sv (h = 6) 
A1 +1 +1 +1 z x2+y2, z2 z3, x(x2-3y2), z(x2+y2) 
A2 +1 +1 -1 Rz y(3x2-y2) 
E +2 -1 0 (x, y) (Rx, Ry) 
(x2-y2, xy), 
(xz, yz) 
(xz2, yz2) [xyz, z(x2-y2)] 
[x(x2+y2), y(x2+y2)] 
(a) (b) (c) (d) (e) 
 
Na parte a, estão localizados os símbolos (introduzidos por R.S. Mulliken) 
usados nas representações irredutíveis. 
Na parte b, estão localizados os caracteres das representações irredutíveis 
do grupo [ ci(R) ]. 
Na parte c, estão localizados seis símbolos: x, y, z; Rx ,Ry e Rz ; x, y, z tem o 
mesmo significado de Tx, Ty e Tz quando a tabela não faz citação às translações em x, 
y e z. Assim, x significa translação no eixo dos x, bem como y significa translação em y 
e z translação em z; Rx,Ry e Rz significam rotação em x, y e z. Os símbolos x, y e z 
estão relacionados, também, com os orbitais do tipo p, ou seja, x está relacionado a px , 
y a py e z, a pz. x, y e z também estão relecionados com as atividades no infravermelho. 
Na parte d, estão localizados os símbolos correspondentes aos orbitais d e 
atividades no Raman. 
Na parte e, estão localizados os símbolos correspondentes aos orbitais do 
tipo f. 
O orbital do tipo s, por ser totalmente simétrico, sempre pertence a 
representação A1. Os demais orbitais monoeletrônicos estão relacionados pelas 
seguintes funções: 
orbitais p ® x, y, z 
orbitais d ® 2z2-x2-y2, x2-y2, xy, xz, yx 
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orbitais f ® z(5z2-3r2), x(5z2-3r2), y(5z2-3r2), xyz, z(x2-y2), x(x2-3y2), y(3x2-y2) 
Ao consultar, por exemplo, a Tabela 5 (Grupo C3v) observa-se os seguintes 
desdobramentos dos orbitais: 
orbital s ® a1 (coluna d) 
orbitais p ® a1 (pz) e e (px, py) 
 
a1
e
e
(dz2)
(dx2-y2 e dxy)
(dxz e dyz)
orbitais d
 
 
 
orbitais f
a1
a1
a2
e
e
y(3x2-y2)
z3
x(x2-3y2)
(xz2, yz2)
[xyz, z(x2-y2)]
 
Figura 60 - Desdobramentos dos orbitais d e f em uma simetria C3v 
 
Para grupos que possuem centro de simetria, a representação do orbital terá 
índices g ou u. Os orbitais cujo número quântico são pares (s, d, g, ...) terão índices g 
enquanto que aqueles que possuem caráter impar terão índices u. Consultando-se por 
exemplo, a tabela de caracteres do grupo Oh (Tabela 6), verifica-se que os orbitais se 
desdobram da seguinte maneira: 
a) Orbitais com paridades pares: s e d 
s ® a1g 
d ® eg + t2g 
b) Orbitais com paridades ímpares: p e f 
p ® t1u 
f ® a2u + t1u + t2u 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -63 - 
Tabela 6. Tabela de caracteres do gruo Oh 
Oh E 8C3 6C2 6C4 
3C2 
=(C4)
2 i 6S4 8S6 3 h 6 d 
funções 
lineares 
funções 
quadráticas 
funções 
cúbicas 
A1g +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 - x
2+y2+z2 - 
A2g +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 - - - 
Eg +2 -1 0 0 +2 +2 0 -1 +2 0 - 
(2z2-x2-y2, x2-
y2) - 
T1g +3 0 -1 +1 -1 +3 +1 0 -1 -1 
(Rx, Ry, 
Rz) 
- - 
T2g +3 0 +1 -1 -1 +3 -1 0 -1 +1 - (xz, yz, xy) - 
A1u +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 - - - 
A2u +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 - - xyz 
Eu +2 -1 0 0 +2 -2 0 +1 -2 0 - - - 
T1u +3 0 -1 +1 -1 -3 -1 0 +1 +1 (x, y, z) - 
(x3, y3, z3) 
[x(z2+y2), 
y(z2+x2), 
z(x2+y2)] 
T2u +3 0 +1 -1 -1 -3 +1 0 +1 -1 - - 
[x(z2-y2), y(z2-
x2), z(x2-y2)] 
 
 
6.1 - REGRAS SOBRE REPRESENTAÇÕES IRREDUTÍVEIS E SEUS 
CARACTERES 
 
Primeira Regra: 
 
Se os caracteres de uma representação redutível são conhecidos e os 
caracteres das representações irredutíveis são disponíveis de uma tabela de 
caracteres, o numero de vezes que cada representação irredutível ocorre na 
representação redutível pode ser calculado pela expressão: 
 
(Equação 5) å cc= )R(nh
1
n itotri 
 
onde nr = número de elementos na classe; 
h = ordem do grupo 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -64 - 
Como exemplo do uso da Equação 5, suponhamos que os caracteres de 
uma representação redutíveis ctot para C3v, sejam os seguintes: 
 
C3v E 2C3 3sv 
Gtot 5 2 -1 
 
A Equação 5 fornecerá: (ver tabela do grupo C3 para as representações 
irredutíveis) 
( ) ( ) ( )[ ] 11x)1(x31x2x21x5x1
6
1
n )A( 1 =-++= 
( ) ( ) ( )[ ] 2)1(x)1(x31x2x21x5x1
6
1
n )A( 2 =--++= 
( ) ( ) ( )[ ] 10x)1(x3)1(x2x22x5x1
6
1
n )E( =-+-+= 
Portanto, Gtot = A1 + 2A2 + E. Isto é, a representação redutível contém um A1, 
dois A2, e um E. 
 
Segunda Regra: 
 
A soma dos quadrados das dimensões das representações irredutíveis 
(identidade) de um grupo é igual a ordem do grupo; isto é: 
 
(Equação 6) å =++++= hL...LLLL 2i2322212i 
 
Por exemplo, no grupo pontual C3v, A1 e A2 são unidimensionais enquanto 
que E tem dimensão 2. A ordem é h = 6. Portanto: 
2
3
2
2
2
1
2
i LLLL ++= = h ou 
12 + 12 + 22 = 6. 
 
Terceira Regra: 
 
A soma dos quadrados dos caracteres de qualquer representação irredutível 
é igual a h, isto é: 
 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -65 - 
(Equação 7) [ ]å =c h)R(n 2ir 
 
Como exemplo, a Equação 5 pode ser aplicada ao grupo pontual C3v com 
relação a A1, A2 ou E: 
Para A1 ® (1).12 + (2).12 + (3).12 = 6 
Para A2 ® (1).12 + (2).12 + (3).(-1)2 = 6 
Para E ® (1).22 + (2).(-1)2 + (3).02 = 6 
 
Quarta Regra: 
 
Os caracteres das representações irredutíveis obedecem à relação de 
ortogonalidade: 
 
(Equação 8) å d=cc ijjir h)]R([n 
onde d ij = delta de Kronecker 
d ij = 0 (zero) se i ¹ j 
d ij = 1 (um) se i = j 
 
Como exemplo, pode-se utilizar a Equação 8 no grupo pontual C3v de varias 
maneiras: 
Para i ¹ j 
 x AA 21G = 6.[(1).1.1 + (2).1.1 + (3).1.(-1)] = 0 
 E x A1G = 6.[(1).1.2 + (2).1.(-1) + (3).1.0] = 0 
Para i = j 
 x AA 11G = 6.[(1).1.1 + (2).1.1 + (3).1.1] = 6 
 E x EG = 6.[(1).2.2 + (2).(-1).(-1) + (3).0.0] = 6 
 
Quinta Regra: 
 
O número de representações irredutíveis de um grupo é igual ao número de 
classes no grupo. 
Tomando-se o grupo C3v, observamos que o mesmo possui 3 classes: 1E, 
2C3 e 3sv, ou seja, 3 representações irredutíveis Þ A1, A2 E. 
Teoria de Grupo e Espectroscopia - Prof. José Danilo Ayala -66 - 
6.2 - PRODUTO DIRETO DAS REPRESENTAÇÕES 
Em muitas aplicações da Teoria do Grupo, particularmente na determinação 
de regras de seleção,
Marcela
Marcela fez um comentário
fçvida fudida
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