GEX158_EDP_aulas_1_a_4

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GEX158 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 
TurmaA 03A 15A 19A 22A - Aulas 1 a 4 – 14 e 15/05/2013 
 
Avaliação: Prova 1 - 26/06/2013 45 % 
 Prova 2 - 28/08/2013 45 % 
 Listas de Exercícios: 10 % 
 Prova substitutiva 04/09/2013 (Toda a matéria; substitui a menor nota; 
média máxima=60) 
Livros 
1. Santos, Reginaldo J. Equações Diferenciais Parciais: Uma indrodução. Belo 
Horizonte – Imprensa Universitária da UFMG, 2011. 
 http://www.mat.ufmg.br/~regi
2. Thomas, George B.; Finney, Ross L. Cálculo Diferencial e Integral. Vol. 4. Livros 
Técnicos e Científicos Editora, Rio de Janeiro, 1983. 
3. Figueiredo, Djairo G. Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. 
Projeto Euclides. Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 
2009. 
 
18.1 INTRODUÇÃO 
 Uma equação diferencial ordinária (EDO) é qualquer relação envolvendo uma 
variável independente, t por exemplo, uma variável dependente, u por exemplo, que, por 
hipótese, é uma função de t, e algumas das derivadas de u em relação a t: 
( )( ), , ', '',..., 0nD t u u u u = . 
em que ( )
n
n
n d uu
dt
= . 
Caso u seja função de mais de uma variável independente, tem-se uma equação 
diferencial parcial. 
 É muito comum que fenômenos físicos sejam descritos por ED’s. Alguns exemplos: 
Exemplo 1.1 (Reginaldo – pg. 2) Pêndulo Simples (Figura 1.1) 
 O ângulo entre um pêndulo simples de massa m e comprimento l é descrito por uma 
função ( )tθ que satisfaz a equação diferencial 
1 
 
( )
2
2 sin 0
d g
dt l
θ θ+ = 
em que g é a aceleração da gravidade. Nessa ED, ( )tθ é a incógnita e t (tempo) é a variável 
independente. 
 
Exemplo 1.2 (Reginaldo – pg. 4) Sistema massa-mola (Figura 1.2) 
 
 Considere um corpo de massa m preso a uma mola com constante elástica k, sujeita 
a uma força de resistência dxF v
dtγ
γ γ= − = − e uma força externa ( ) ( )0 cosextF t F wt= . A 
posição ( )x t da massa satisfaz a equação diferencial 
2 
 
( )
2
02 cos
d x dxm kx F wt
dt dt
γ+ + = . 
Nessa ED, ( )x t é a incógnita e t (tempo) é a variável independente. 
 
Exemplo 1.3 (Reginaldo – pg. 5) 
 O potencial elétrico ( ),u x y no ponto ( ),x y de um plano carregado com cargas 
elétricas, satisfaz a ED 
2 2
2 2 0
u u
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
 
Nessa ED, x e y são as variáveis independentes e ( ),u x y é a incógnita. 
 
Exemplo 1.4 (Reginaldo – pg. 6) Circuito RC 
 
 
 Se um resistor R, um capacitor C e uma fonte de tensão ( )V t são ligados em série, a 
carga ( )Q t do capacitor é dada pela ED 
( )1dQR Q V t
dt C
+ = 
 
3 
 
CLASSIFICAÇÃO DAS ED’s 
- Quanto ao tipo: Ordinárias (EDO) – Se a incógnita é função de uma única 
variável independente 
 Parcial (EDP) - Se a incógnita é função de mais de uma 
 variável independente 
As equações dos exemplos 1.1, 1.2 e 1.4 são EDO’s. A equação do exemplo 
1.3 é uma EDP. 
- Quanto à ordem: A ordem de uma ED é a ordem da derivada de maior ordem 
 presente na equação. 
 As equações dos exemplos 1.1, 1.2 e 1.3 são de segunda ordem. A equação 
 do exemplo 1.4 é de primeira ordem. 
- Quanto à linearidade: Uma ED é dita linear se sua expressão é uma 
combinação linear da incógnita e suas derivadas, cujos coeficientes são funções da 
variável independente. Caso contrário a ED é dita não linear. No caso de EDO’s, a 
expressão geral de uma EDO linear de ordem n é: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1 01 ...
n n
n nn n
d u d u dua t a t a t a t u f t
dt dt dt
−
− −+ + + + = 
As equações dos exemplos 1.2, 1.3 e 1.4 são lineares. A equação do 
exemplo 1.1 é não linear. 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
SOLUÇÃO DE UMA EDO 
SOLUÇÃO EXPLÍCITA 
 Uma função ( )u f t= é uma solução explícita da EDO ( )( ), , ', '',..., 0nD t u u u u = se, 
e somente se, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , ' , '' ,..., 0nD t f t f t f t f t = . Caso a solução envolva algum 
parâmetro que possa assumir mais de um valor tem-se uma família de soluções. Se 
qualquer solução particular é caso particular de uma família de soluções, então essa família 
é chamada de solução geral da EDO. 
Exemplo: 
2
2 0
d y y
dt
+ = 
 Soluções: ( )seny t= ( )cosy t= t∈ 
4 
 
 Famílias de soluções ( )1seny c t= ( )2cosy c t= 
 A solução geral: ( ) ( )1 2sen cosy c t c t= + 
 
SOLUÇÃO IMPLÍCITA 
 Uma relação ( ), u 0H t = é uma solução implícita de uma EDO 
( )( ), , ', '',..., 0nD t u u u u = se existe algum intervalo ( ): ,I a b tal que, para todo t I∈ , 
( ), 0H t u = define a função ( )u f t= e ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , ' , '' ,..., 0nD t f t f t f t f t = . 
 
Exemplo: Verifique que ( ) 2 2, 25 0D x y x y= + − = é solução implícita da EDO 
' 0yy x+ = no intervalo : 5 5I x− < < . 
Resolução: Observe que ( ) 2 2, 25 0D x y x y= + − = define implicitamente as funções 
225y x= − e 225y x= − − para todo [ ]: 5,5x I∈ − . 
Verificando se essas funções são solução da EDO: Para ( ): 5,5x I∈ − 
 225y x= − ⇒ 
2
'
25
xy
x
−
=
−
 
 ⇒ 'yy x+ 2
2
25
25
xx x
x
−
= − +
−
 
 0x x= − + = é solução! 
 225y x= − − ⇒ 
2
'
25
xy
x
=
−
 
 ⇒ 'yy x+ 2
2
25 0
25
xx x
x
= − − + =
−
 
 Verificando diretamente na solução implícita: 
 ( )2 2 25 0d x ydx + − = ⇒ 2 2 ' 0x yy+ = 
 ⇒ ' 0yy x+ = 
 
 
5 
 
18.3 EDO DE PRIMEIRA ORDEM COM VARIÁVEIS SEPARÁVEIS (Thomas-
pg. 989) 
 
Definição: Uma EDO de primeira ordem é dita de variáveis separáveis se pode ser 
escrita como ( ) ( ) 0P y dy Q x dx+ = . A resolução: 
( ) ( )P y dy Q x dx C+ =∫ ∫ 
em que C é uma constante arbitrária. 
 
Exemplo: Determinar uma família de soluções para a EDO 22 9 0x dx y dy− = 
Resolução: 22 9 0x dx y dy− = ⇒ 22 9x dx y dy C− =∫ ∫ 
 ⇒ 2 33x y C− = A solução implícita. 
 ⇒ ( )
1 3
21
3
y x C = −  
 A solução explícita. 
Verificando: ( )
2 3
21 1 2
3 3 3
dy x C x
dx
−
 = −  
 ⇒ ( )
2 3
21 1 2
3 3 3
dy x C xdx
−
 = −  
 
 Substituindo na EDO: 
( ) ( )
2 3 2 3
2 21 1 1 22 9
3 3 3 3
x dx x C x C xdx
−
   − − − =      
 
 ( ) ( )
2 3 2 3
2 21 1 12 9 2
3 9 3
x dx x C x C xdx
−
   = − − −      
 
 2 2 0x dx xdx= − = para todo x∈ . 
Verificando na solução implícita: ( )2 33d dx y Cdx dx− = 
 ⇒ 22 9 0dyx y
dx
− = 
 ⇒ 22 9 0x dx y dy− = # 
 
Exemplo: Dada a EDO 21 1 0x y dx x dy− − − = determinar: ( )a uma família 
de soluções; ( )b uma solução particular fora da família. 
6 
 
Resolução: Observe que a expressão da EDO só faz sentido se 1y ≤ e 1 1x− ≤ ≤ . Para 
1y ≠ e 1x ≠ ± , 
 21 1 0x y dx x dy− − − = ⇒ 21 1x y dx x dy− = − 
 ⇒ 
2
1
11
x dx dy
yx
=
−−
 
 ⇒ 
2
1
11
x dx dy C
yx
−
+ =
−−
∫ ∫ 
 A resolução implícita: ⇒ 21 2 1x y C− − + − = , com 1y < e 1 1x− < < 
 Verificando: ( )21 2 1d dx y Cdx dx− − + − = 
 ⇒ 
2
2 12 0
2 12 1
x dy
dxyx
− −
− + =
−−
 
 ⇒ 21 1 0dyx y x
dx
− − − = 
 ⇒ 21 1 0x y dx x dy− − − = 
 Observe que ( ) 1y f x= = , excluído na resolução algébrica, também é solução. # 
 
Exemplo: Determinar uma família de soluções para a EDO ( ) ( )21 1dyx x ydx+ = + . 
Resolução: ( ) ( )21 1dyx x ydx+ = + ⇒ 2 1 1
dy x dx
y x
=
+ +
 ( )1x ≠ − 
 ⇒ ( )arctg ln 1y x x C= − + + # 
A LEI DO CRESCIMENTO EXPONENCIAL 
 Um modelo simples para crescimento populacional supõe que a taxa de crescimento 
em relação ao tempo é proporcional ao número de indivíduos presentesna população. Isto 
leva à equação dy ky
dt
= ( )0k > . Resolvendo: 
 dy k dt
y
= ⇒ ( )ln *y k t C= + ⇒ *k t Cy e += 
 ⇒ k ty Ce= ⇒ 0
k ty y e= 
7 
 
18.4 EDO DE PRIMEIRA ORDEM HOMOGÊNEA 
Definição: Uma EDO de primeira ordem é dita homogênea se pode ser escrita como 
dy yF
dx x
 =  
 
 . 
 Toda EDO homogênea pode ser transformada em uma EDO de variáveis separáveis 
pela transformação yv
x
= ⇒ y vx= dy v dx x dv= + 
 Resolvida a EDO de variáveis separáveis, a substituição yv
x
= leva à resolução da 
EDO original. 
 
Exemplo: Mostre que a EDO ( )2 2 2 0x y dx xy dy+ + = é homogênea e resolva-a. 
Resolução: ( )2 2 2 0x y dx xy dy+ + = ⇒ ( )2 22xy dy x y dx= − + 
⇒ 
2
2
2 2
2
1
1
2 2
yx
xdy x y
ydx xy x
x
  +  
 +   = − = − 
 É homogênea: ⇒ 
( )211
2
y xdy
dx y x
 + = − 
 Fazendo yv
x
= ⇒ y vx= dy dvv x
dx dx
= + 
 ⇒ 
2 21 1 3
2 2
dv v vx v
dx v v
 + +
= − + = − 
 
 
 ⇒ 2
2
1 3
v dxdv
v x
= −
+
 ⇒ 2
2 0
1 3
dx v dv
x v
+ =
+
 
 ⇒ ( )21ln ln 1 3 *3x v C+ + = 
 Substituindo yv
x
= 
⇒ 
2
3ln ln 1 3 3 *yx C
x
  + + =  
   
 
8 
 
⇒ ( )
2 2
3
2
3ln ln lnx yx C
x
 +
+ = 
 
 ( )0C > 
⇒ 
2 2
3
2
3x yx C
x
 +
= 
 
 
⇒ ( )2 23x x y C+ = ( )0x > 
 Conferindo: ( )2 23 0d dx x y Cdx dx + = =  
 ⇒ ( )2 23 2 6 0dyx y x x y dx
 + + + = 
 
 
 ⇒ 2 23 3 6 0dyx y xy
dx
+ + = 
 ⇒ ( )2 2 2 0x y dx xy dy+ + = 
 
OUTRA DEFINIÇÃO DE EDO HOMOGÊNEA 
Função homogênea – Uma função ( ),F x y é dita homogênea de grau n se
( ) ( ), ,nF tx ty t F x y= . 
 
EDO homogênea – Uma EDO do tipo ( ) ( ), , 0P x y dx Q x y dy+ = é definida como 
homogênea se as funções ( ),P x y e ( ),Q x y são, ambas, homogêneas de mesmo grau. 
Exemplo: ( )2 2 2 0x y dx xy dy+ + = 
 ( ) ( )2 2,P x y x y= + ⇒ ( ),P tx ty ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2tx ty t x t y = + = +  
 ( ) ( )2 2 2 2 ,t x y t P x y= + = 
 ( ), 2Q x y xy= ⇒ ( ),Q tx ty ( )( ) ( ) ( )2 22 2 ,tx ty t xy t Q x y= = = 
 Então, ( ),P x y e a ( ),Q x y são, ambas, funções homogêneas de grau 2 e, portanto, 
a EDO é homogênea. 
 Fazendo a transformação yv
x
= : 
9 
 
 ( )( ) ( )( )22 2 0x vx dx x vx vdx xdv+ + + = 
 ⇒ ( )2 2 2 2 31 2 2 0x v dx x v dx x vdv+ + + = 
 ⇒ ( )2 2 31 3 2 0x v dx x vdv+ + = 
 ⇒ 
21 3
2
dv vx
dx v
+
= − # 
 Observe que: 
 ( ) ( ), , 0P x y dx Q x y dy+ = ⇒ ( )( ) ( )
,
,
,
P x ydy F x y
dx Q x y
= − = 
 Se ( ),P x y e a ( ),Q x y são, ambas, funções homogêneas de mesmo grau, então 
( ),F x y é homogênea de grau 0, pois, 
 ( ) ( )( )
( )
( ) ( )
, ,
, ,
, ,
n
n
P tx ty t P x y
F tx ty F x y
Q tx ty t Q x y
= − = − = 
 Fazendo 1t
x
= , ( ) ( ) 1 1, , , 1, y yF x y F tx ty F x y F G
x x x x
     = = = =     
     
 
 
 
Lista 1 pg. 992 Exercícios 1 a 5 
 Pg. 993 Exercícios 1 a 9 
 pg. 996 Exercícios 1 a 6, e mais: 
 
 
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