GEX158_EDP_aulas_9_a_12_i

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GEX158 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 
TurmaA 03A 15A 19A 22A - Aulas 9 a 12 – 28 e 29/05/2013 
 
Lista 1.1 pg. 992 Exercícios 1 a 5 
 Pg. 993 Exercícios 1 a 9 
 pg. 996 Exercícios 1 a 6 
Revisão 
18.6 EDO EXATA 
 Uma EDO ( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ = é dita exata se existe ( ),f x y tal que 
( ) ( )
,
,
f x y
M x y
x
∂
=
∂
 e ( ) ( )
,
,
f x y
N x y
y
∂
=
∂
. As soluções são as curvas de nível 
( ),f x y C= . 
( ) ( ), , 0M x y dx N x y dy+ = é uma EDO exata se, e somente se, M N
y x
∂ ∂
=
∂ ∂
. 
Resolução de uma ED exata: 
 ( ) ( ) ( ), ,f x y M x y dx g y= +∫ ( ) ( ), ,yf x y N x y→ = ou 
( ) ( ) ( ), ,f x y N x y dy h x= +∫ ( ) ( ), ,xf x y M x y→ = 
Fatores integrantes 
( )1 Se 
( ) ( )
( )
( )
, ,
,
y xM x y N x y g x
N x y
−
= então 
( )g x dxe∫ é um fator integrante. 
( )2 Se 
( ) ( )
( )
( )
, ,
,
x yN x y M x y h y
M x y
−
= então ( )h y dye∫ é um fator integrante. 
 
18.5 Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem 
 Trata-se das EDO’s do tipo ( ) ( )dy P x y Q x
dx
+ = 
 O fator integrante ( ) ( )
P x dx
u x e= ∫ é tal que ( ) ( ) ( )'u x P x u x= . 
Fim da revisão 
 
1 
 
Exemplo: xdy y
dx
e+ = ( ) 1P x = ( ) xQ x e= 
 O fator integrante: ( ) ( )
P x dx dx xu x e e e= = =∫ ∫ 
 A EDO resultante: ( )2 0x x xy dx dye e e− + = 
 Verificando se é exata: 
 
( ) ( )
( ) ( )
2, ,
, ,
x x x
y
x x
x
M x y y M x y
N x y N x y
e e e
e e
 = − =

= =
 É exata. 
 Resolvendo: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , x xf x y N x y dy h x dy h x y h xe e= + = + = +∫ ∫ 
 ( ) ( ), ,M x y f x y
x
∂
=
∂
 ⇒ ( )2 'x x xy y h xe e e− = + 
 ⇒ ( ) 2' xh x e= − 
 ⇒ ( ) 21 *
2
xh x Ce= − + 
 ⇒ ( ) 21, *
2
x xf x y y Ce e= − + 
 A solução ( ), **f x y C= ⇒ 21 * **
2
x xy C Ce e− + = 
 ⇒ 21
2
x xy Ce e= + 
 ⇒ 1
2
x xy Ce e−= + 
 Verificando: 1
2
x xdy C
dx
e e−= − ⇒ dy y
dx
+ 1 1
2 2
x x x xC Ce e e e− −= − + + 
 ⇒ 1 1
2 2
x x xe e e= + = # 
 Um procedimento mais simples: 
 Multiplicando na EDO original ( ) ( )dy P x y Q x
dx
+ = pelo fator integrante 
( ) ( )
P x dx
u x e= ∫ e lembrando que ( ) ( ) ( )'u x P x u x= : 
2 
 
 ( ) ( ) ( )dyu x u x P x y
dx
+ ( ) ( )u x Q x= 
 ( ) ( )'dyu x u x y
dx
+ ( ) ( )u x Q x= 
 ( )d u x y
dx
   ( ) ( )u x Q x= 
 ( )u x y ( ) ( )u x Q x dx= ∫ 
 y 
( ) ( ) ( )
1 u x Q x dx
u x
= ∫ 
 Aplicando no exemplo anterior: xdy y
dx
e+ = ( ) xu x e= 
 
Multiplicando: x xdy y
dx
e e+ x xe e= 
 xdy y
dx
e   
2xe= 
 x ye 2 21
2
x xdx Ce e= = +∫ 
 y 1
2
x xCe e−= + 
 
Lista 1.2 pg. 1000 Nos exercícios de 4 a 10, se a EDO é exata, resolva; 
se não é exata, verifique se existe um fator de integração e, caso exista, determine 
esse fator, multiplique a EDO original por esse fator, verifique que a EDO 
resultantes é exata e a resolva. 
 pg. 998 Exercícios 1 a 6. 
 
Equações Diferenciais Lineares de ordem n ( )1n > 
Definição: Uma EDO linear de ordem n é uma EDO que pode ser escrita como: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0
1 ... 'nnn nf x y f x y f x y f x y Q x
−
−+ + + + = 
3 
 
em que ( ) ( ) ( )0 1, , ..., nf x f x f x e ( )Q x são funções contínuas em algum intervalo 
comum I e ( )nf x não é identicamente nula em I. Essa EDO é dita linear por ser uma 
combinação linear de y e suas derivadas, ou seja, os expoentes de ( ) ( )0,1,...,ky k n= são 
todos menores que 2 e não existem produtos ( ) ( )k jy y . 
 Uma EDO linear é chamada de homogênea se ( ) 0Q x ≡ em I. 
 A compreensão da mecânica de solução de uma EDO linear exige familiaridade 
com: 
( )a números e funções complexas e 
( )b independência linear em conjuntos de funções. 
Números complexo e funções complexas 
Definição: Um número imaginário é um número do tipo bi , em que b é um número 
real e i é um número definido pela relação 2 1 1i i= − ⇔ = − . 
 Chama-se número complexo qualquer número da forma z a bi= + , em que 
a e b são números reais. Nesse caso, a é a parte real de z e b é a parte imaginária de z. 
 Claramente, números reais são um caso particular de números complexo ( )0a i+ , 
assim como os imaginários ( )0 bi+ . 
 A existência dos números complexos permite o enunciado do seguinte teorema: 
Teorema Fundamental da Álgebra: 
 Toda equação da forma 
1
1 1 0... 0
n n
n na x a x a x a
−
−+ + + + = , 
em que os coeficientes ja são números complexos com 0na ≠ , tem pelo menos uma raiz e 
não mais que n raízes, não necessáriamente distintas. Pode, portanto, ser escrita na forma: 
( )( ) ( )1 2 ... 0n na x r x r x r− − − = 
em que os 'jr s são números complexos não necessariamente distintos. 
 
Definição: Se z a bi= + , define-se o conjugado de z como z a bi= − . Define-se o 
valor absoluto de z como 2 2 0z a b= + > . 
4 
 
 
Representação de números complexos em 2 . 
Associação entre um número complexo z x yi= + e o sistema de coordenadas 
polares: 
 
 Nesse caso: z 2 2a b r= + = 
 x ( )cosr θ= 
 y ( )senr θ= 
 z ( ) ( )cos + senr iθ θ=    (chamada forma polar de z) 
 O ângulo polar θ é chamada de Argumento de z, com notação ( )Arg z , e é 
definido como o menor ângulo que satisfaz, simultaneamente, ( )cos x
z
θ = e 
( )sen .y
z
θ = 
Exemplo: Se 1z i= − determinar ( )Arg z e escrever em sua forma polar. 
Exemplo: Se 2 cos + sen
3 3
z iπ π    =         
, determinar sua forma retangular. 
 
Álgebra dos números complexos 
 Se 1z a bi= + e 2z c d i= + , então, por definição: 
 1 2z z± ( ) ( ) ( ) ( )a bi c d i a c b d i= + ± + = ± + ± 
 1 2z z ( )( ) 2a bi c d i ac ad i bc i bd i= + + = + + + 
 ( ) ( )ac bd ad bc i= − + + 
5 
 
 1
2
z
z
 
( )
2
22
a bi a bi c d i ac ad i bc i bd i
c d i c d i c d i c d i
+ + − − + −
= = × =
+ + − −
 
 ( ) ( )2 2 2 2 2 2
ac bd bc ad i ac bd bc ad i
c d c d c d
+ + − + −
= = +
+ + +
 ( )2 2 0c d+ ≠ 
 
As funções Exponencial, Trigonométricas e Hiperbólicas com domínio nos Complexos 
 A expansão em série de Taylor de uma função ( )f x , próxima de um ponto 0x : 
 ( )f x ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0
0 0 0 0 0' '' ... ...2 !
n
nx x x xf x f x x x f x f x
n
− −
= + − + + + + 
 Caso 0 0x = , essa expansão toma o nome de série de MacLaurin: 
 ( )f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
0 ' 0 '' 0 ... 0 ...
2 !
n
nx xf f x f f
n
= + + + + + 
 
 As expansões em série de MacLaurin das funções ( ), cosxe x e ( )sen x , para 
x∈ , são: xe 
2 3
1 ...
1! 2! 3!
x x x
= + + + + x−∞ < < +∞ 
 ( )sen x 
3 5
...
3! 5!
x xx= − + − x−∞ < < +∞ 
 ( )cos x 
2 4
1 ...
2! 4!
x x
= − + − x−∞ < < +∞ 
 Se z a bi= + , define-se: 
 ze 
2 3
1 ...
1! 2! 3!
z z z
= + + + + para todo z. ( )1 
 ( )sen z 
3 5
...
3! 5!
z zz= − + − para todo z. ( )2 
 ( )cos z 
2 4
1 ...
2! 4!
z z
= − + − para todo z. ( )3 
 
 Algumas identidades envolvendo números complexos: 
( )1I i ze ( ) ( )cos senz i z= + 
6 
 
( )2I i ze− ( ) ( )cos senz i z= − 
( )3I ( )sen z ( )12
i z i ze e
i
−= − 
( )4I ( )cos z ( )12
i z i ze e−= + 
Prova para ( )1I : Usando ( )1 
 i ze ( ) ( ) ()
2 3 4
1 ...
1! 2! 3! 4!
i z i z i zi z
= + + + + + 
 
2 3 4
1 ...
1! 2! 3! 4!
z z z zi i= + − − + + 
 
2 4 3
1 ... ...
2! 4! 3!
z z zi z
   
= − + + + − +   
   
 
 ( ) ( )cos senz i z= + # 
 A prova para ( )2I é imediata a partir de ( )1I . As identidades ( )3I e ( )4I são 
obtidas, simplesmente, pela adição e subtração de ( )1I e ( )2I . 
 As funções básicas da trigonometria hiperbólicas são definidas como: 
( )cosh
2
z ze ez
−+
= e ( )senh
2
z ze ez
−−
= 
 
 De maneira semelhante à trigonometria circular: 
 ( )tanh z ( )( )
senh
cosh
z z
z z
z e e
z e e
−
−
−
= =
+
 
 ( )cotanh z ( )( ) ( )
cosh 1
senh tanh
z z
z z
z e e
z e e z
−
−
+
= = =
−
 
 ( )sech z ( )
1 2
cosh z zz e e−
= =
+
 
 ( )cosech z ( )
1 2
senh z zz e e−
= =
−
 
 Observe que: 
7 
 
 ( )2cosh z ( )
2 2 22
4 4
z z z ze e e e− −+ + +
= = 
 ( )2senh z 
( )2 2 22
4 4
z z z ze e e e− −− − +
= = 
 ⇒ ( ) ( )2 2cosh senh 1z z− = 
 Sugestão: Leitura do capítulo 9 do livro do Thomas-Finney: FUNÇÕES 
HIPERBÓLICAS (disponível no AVA). 
 
Independência linear de funções 
Definição: As funções ( ) ( ) ( )1 2, , ..., nf x f x f x , todas definidas em um mesmo 
intervalo I, são linearmente dependentes (LD) se existem constantes 1 2, , ..., nc c c , não 
todas nulas, tais que 
( ) ( ) ( )1 1 2 2 ... 0n nc f x c f x c f x+ + + ≡ , 
Se tais constantes, 1 2, , ..., nc c c , não existem, as funções são ditas linearmente 
independentes (LI). A expressão ( ) ( ) ( )1 1 2 2 ... n nc f x c f x c f x+ + + é chamada de 
combinação linear das funções ( ) ( ) ( )1 2, , ..., nf x f x f x . 
Obs.: ( ) 0g x ≡ significa que ( ) 0g x = para todo domínio( )x g∈ . 
 
Exemplo Determinar se cada conjunto de funções é LI ou LD: 
( )a , 2 , 3 , 4x x x x− − :I x−∞ < < +∞ 
 A combinação linear: ( ) ( ) ( )1 2 3 42 3 4c x c x c x c x+ − + − + 0≡ 
 ( )1 2 3 42 3 4c c c c x− − + 0≡ 
 Claramente existe uma infinidade de valores para ( )1 2 3 4, , ,c c c c , não todos nulos, 
tais que ( )1 2 3 42 3 4 0c c c c x− − + = . Alguns exemplos: 
 ( ) ( )1 2 3 4, , , 1,1,1,1c c c c = ( ) ( )1 2 3 4, , , 2,1,0,0c c c c = 
 ( ) ( )1 2 3 4, , , 3,0,1,0c c c c = ( ) ( )1 2 3 4, , , 4,0,0,1c c c c = − 
 Portanto, a funções são LD. 
8 
 
 
( )b ,p qx x ( )p q≠ { }: 0I − 
A combinação linear: 1 2 0
p qc x c x+ = ⇒ 1 2
p qc x c x+ 0≡ 
 ⇒ p qx − 2
1
c
c
= − 
Claramente não existem 1c e 2c capazes de satisfazer 2
1
p q cx
c
− = − para todo 0x ≠ . 
Portanto px e qx , com p q≠ , são LI. 
 
( )c ( ),0,sen ,1xe x 
 A combinação linear: ( )1 2 3 40 sen 1 0xc e c c x c+ + + ≡ 
 Claramente, para todo ( ) ( )1 2 3 4 2, , , 0, ,0,0c c c c c= com 2 0c ≠ , a condição acima é 
satisfeita. Portanto as funções são LD. # 
 
Observação: Todo conjunto de funções que inclue a função ( ) 0jf x ≡ é LD. Basta tomar 
todos os coeficientes da combinação linear nulos, exceto o coeficiente de ( )jf x . 
 
Um teste para dependência linear: 
 Considere as funções ( ) ( ) ( )1 2, , ..., nf x f x f x contínuas em um intervalo [ ],a b . 
Define-se o determinante Grammiano dessas funções como o determinante: 
( ) ( ) ( )( )
2
1 1 2 1
2
1 2 2 1 2 2
2
1 2
, , ..., det
b b b
n
a a a
b b b
n n
a a a
b b b
n n n
a a a
f dx f f dx f f dx
G f x f x f x f f dx f dx f f dx
f f dx f f dx f dx
 
 
 
 
 =  
 
 
 
  
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫



 
Teorema: As funções ( ) ( ) ( )1 2, , ..., nf x f x f x são LD se, e somente se, 
( ) ( ) ( )( )1 2, , ..., 0nG f x f x f x = . 
9 
 
 
 Uma das razões da importância de se determinar se um conjunto de funções é LI ou 
não está no seguinte teorema: 
 
Suponha a EDO linear ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0
1 ..., 'nnn nf x y f x y f x y f x y Q x
−
−+ + + = 
Teorema: Se ( ) ( ) ( )0 1, , ..., nf x f x f x e ( )Q x são funções contínuas em algum 
intervalo comum I e ( )nf x não é identicamente nula em I, então a EDO homogênea 
linear de ordem n 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0
1 ..., ' 0nnn nf x y f x y f x y f x y
−
−+ + + = 
tem n soluções ( ) ( ) ( )1 2, ,..., ny x y x y x , linearmente independentes. Além disso, 
qualquer combinação linear ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 ...c n ny x c y x c y x c y x= + + + também é solução. 
 
 Sendo assim, as funções ( ) ( ) ( )1 2, ,..., ny x y x y x só são as n soluções da EDO 
linear homogênea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0
1 ..., ' 0nnn nf x y f x y f x y f x y
−
−+ + + = se forem LI. 
 
A solução geral de uma EDO linear de ordem n: 
Se ( )py x é uma solução particular da EDO linear 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0
1 ..., 'nnn nf x y f x y f x y f x y Q x
−
−+ + + = 
e se ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 ...c n ny x c y x c y x c y x= + + + é uma combinação linear das n 
soluções LI da EDO homogênea 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0
1 ..., ' 0nnn nf x y f x y f x y f x y
−
−+ + + = 
então ( ) ( )c py y x y x= + é a solução geral da EDO linear original. 
 
18.8 EDO’s lineares com coeficientes constantes (pg. 1002) 
 Trata-se de EDO’s do tipo: 
( ) ( ) ( )1 1
1 ..., 'n
nn
ny a y a y a y F x−
−
+ + + = , 
10 
 
em que 1 1, ..., , nna a a− são constantes. 
É conveniente o uso do símbolo D para indicar a operação de derivação em relação 
à variavel independente, ou seja, ( ) ( )dDf x f x
dx
= . Com isso, D deve ser visto como um 
operador e podem ser definidas as potências de D: 
 ( )2D f x ( ) ( )
2
2
d f x
D Df x
dx
= =   
    
 ( )nD f x ( ) ( )1n n
nd f x
D D f x
dx
− = =  
 Pode-se combinar lineamente potências de D. Por exemplo: 
 ( ) ( )2 2D D f x+ − ( ) ( ) ( )2 2D f x Df x f x= + − 
 ( ) ( ) ( )
2
2 2
d f x df x
f x
dx dx
= + −
( )2
2
d f x
dx
 
 Aos polinômios em D aplicam-se as regras básicas de adição, multiplicação e 
fatoração de polinômios. Por exemplo: 
 2 2D D+ − ( )( ) ( )( )2 1 1 2D D D D= + − = − + 
 
18.9 EDO’s LINEARES DE SEGUNDA ORDEM, HOMOGÊNEAS, COM 
COEFICIENTES CONSTANTES. 
 Suponha, por exemplo, a EDO linear homogênea de ordem dois: 
2
2 2 0
d y dya by
dx dx
+ + = 
em que a e b são constantes. Usando o operador D: 
( )2 22 2 0D y aDy by D aD b y+ + = + + = 
 Associa-se à EDO acima a equação algébrica 2 2 0r ar b+ + = . Essa equação 
é denominada equação característica da EDO linear. Se 1r e 2r são as raízes: 
( )( )2 1 22r ar b r r r r+ + = − − . 
 Então, a EDO original ( )2 2 0D aD b y+ + = pode ser reescrita como 
11 
 
( )( )1 2 0D r D r y− − = 
 Fazendo ( )2D r y u− = , segue que ( )1 0D r u− = . 
 Esse procedimento permite a resolução da EDO original em duas etapas: 
 
Etapa 1) Resolve-se a EDO separável ( )1D r u− 0= 
 ⇒ d u
dx
 1r u= ⇒ 
du
u
 1r dx= 
 ⇒ ln u 1 **r x C= + ⇒ u 1 1
** *r x C r xe C e+= = 
 ⇒ u 1* r xC e= ± ⇒ u 11
r xC e= 
 Substituindo em ( )2D r y u− = ⇒ ( )2D r y− 11
r xC e= 
 ⇒ 2
dy r y
dx
− 11
r xC e= uma EDO linear de primeira ordem. O fator 
de integração: 
2 2
r dx r xp e e
− −= =∫ 
 Multiplicando 2 2
r x dye r y
dx
−  − 
 
 ( )2 11r x r xe C e−= 
 2 22
r x r xdye r e y
dx
− −− ( )1 21
r r x
C e
−
= 
 Observeque 2 22
r x r xdye r e y
dx
− −− ( )2r xd e ydx
−= . Portanto, 
 2r xe y− ( )1 21 2
r r x
C e dx C
−
= +∫ 
Duas situações possíveis: 
Situação 1: 1 2r r= ⇒ 
2r xe y− 1 2 1 2C dx C C x C= + = +∫ 
 y ( )2 1 2
r xe C x C= + 
Situação 2: 1 2r r≠ ⇒ 2
r xe y− ( )1 2*1 2
r r x
C e dx C
−
= +∫ 
 ( )1 2
*
1
2
1 2
r r xC e C
r r
−
= +
−
 
12 
 
 y ( )1 22 2
*
1
2
1 2
r rr rx xxC e e C e
r r
−
= +
−
 
 1 21 2
r rx xC e C e= + 
 
 
Exemplo: Resolver a EDO linear homogênea de 2ª. ordem '' 4 ' 4 0y y y+ + = 
Resolução: A representação com o operador D: ( )2 4 4 0D D y+ + = 
 A equação característica: 2 4 4 0r r+ + = ⇔ ( )22 0r + = 
 As raízes: 1 2 2r r= = − 
 A solução: ( )2 1 2xy e C C x−= + 
 
Exemplo: Resolver a EDO linear homogênea de 2ª. ordem '' ' 2 0y y y+ − = 
Resolução: A representação com o operador D: ( )2 2 0D D y+ − = 
 A equação característica: 2 2 0r r+ − = 
 As raízes: 1 2r = − 2 1r = 
 A solução: 21 2
x xy C e C e−= + 
 
Um caso especial da situação 2: 1r iα β= + 2r iα β= − ( )0β ≠ 
 A solução: y ( ) ( )1 21 2 1 2
i ir r x xx xC e C e C e C eα β α β+ −= + = + 
 1 2
i ix xxe C e C eβ βα − = +  
 Substituindo: i xe β ( ) ( )cos sinx i xβ β= + 
 i xe β− ( ) ( )cos sinx i xβ β= − 
 y ( ) ( ) ( ) ( )1 2cos sin cos sinxe C x i x C x i xα β β β β = + + −        
 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2cos sinxe C C x i C C xα β β = + + −  
 ( ) ( )* *1 2cos sinxe C x C xα β β = +  
13 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Resolver a EDO linear '' 2 ' 2 0y y y+ + = ⇒ ( )2 2 2 0D D y+ + = 
 A equação característica: 2 2 2 0r r+ + = 
 As raízes: 2 4 4*2 2 2 1 1
2 2
r i− ± − − ± −= = = − ± ⇒ 
1
1
α
β
= −
 =
 
 A solução: y ( ) ( )1 2cos sinxe C x C x−= − + −   
 ( ) ( )1 2cos sinxe C x C x−= −   
 ( ) ( )1 3cos sinxe C x C x−= +   
 
Lista 5: Thomas-Finney pg. 1007 Exercícios 1 a 10 
 
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