Experimento 1 - Pendulo Simples

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IFPR – INSTITUTO FEDERAL DO PARANÁ
INTRODUÇÃO A FÍSICA EXPERIMENTAL
RELATÓRIO 1: PÊNDULO SIMPLES
Lucas Matheus Passos
Licenciatura em Física 1º Período
Foz do Iguaçu
2015
Índice
1. Introdução: .................................................................................................. 3
2. Fundamentação Teórica ............................................................................ 4
3. Desenvolvimento
3.1 Objetivo .............................................................................................. 6
3.2 Materiais Utilizados ............................................................................ 6
3.3 Método experimental .......................................................................... 6
3.3.1 Resultados Obtidos ........................................................................... 7
4. Construção do Gráfico 11
 Gráfico I .................................................................................................. 12
4.2 Gráfico II (T²) ......................................................................................... 13
5. Valores Teóricos e Experimentais ............................................................. 15
6. Conclusão ..................................................................................................... 16
7. Referências Bibliográficas .......................................................................... 17
Introdução
O pêndulo simples é o exemplo mais conveniente de um sistema que executa m.h.s.
Idealmente, o pêndulo simples é definido como uma partícula suspensa por um fio inextensível e sem peso. Na prática, ele consiste de uma esfera de massa m suspensa por um fio cuja massa é desprezível em relação à da esfera e cujo comprimento L é muito maior do que o raio da esfera.
O resultado de uma medida possui uma incerteza que decorre da limitação da precisão de qualquer instrumento de medida utilizado. De um modo geral, se a menor divisão de um instrumento de medida é ∆x, haverá um incerteza de 0,5∆x. Por exemplo, se usamos uma régua milimetrada para medir o comprimento de uma corda, provavelmente conseguiremos dizer (por exemplo) que esse mede entre 437 mm e 438 mm, mas não conseguiremos ser mais precisos. Assim, seria razoável relatar o comprimento com a incerteza instrumental como 437,5mm ± 0,5mm.
Além da incerteza intrínseca ao equipamento (± metade da menor divisão), existem outros fatores que influem no resultado de uma medida. Para exemplificar os problemas que podem surgir em fazer uma medição simples, nesta experiência tentamos medir o período de oscilação de um pêndulo.
Fundamentação Teórica
A descoberta da periodicidade do movimento pendular foi feita por Galileu Galilei. O movimento de um pêndulo simples envolve basicamente uma grandeza chamada período (simbolizada por T): é o intervalo de tempo que o objeto leva para percorrer toda a trajetória (ou seja, retornar a sua posição original de lançamento, uma vez que o movimento pendular é periódico). Derivada dessa grandeza existe a frequência (f), numericamente igual ao inverso do período (f = 1 / T), e que, portanto se caracteriza pelo número de vezes (ciclos) que o objeto percorre a trajetória pendular num intervalo de tempo específico. A unidade da frequência no SI é o hertz, equivalente a um ciclo por segundo (1/s).
- Equação do movimento
Denota-se por  o ângulo formado entre a vertical e o braço de pêndulo. Fazem-se as seguintes hipóteses:
1. O braço é formado por um fio não flexível que se mantém sempre com o mesmo formato e comprimento.
2. Toda a massa do pêndulo está concentrada na ponta do braço a uma distância constante  do eixo.
3. Não existem outras forças a atuar no sistema senão a gravidade e a força que mantém o eixo do pêndulo fixo. (O movimento é, portanto conservativo).
4. O pêndulo realiza um movimento bidimensional no plano xy.
Para pequenas oscilações, a aproximação  fornece a seguinte expressão para o período do pêndulo:
T: período
L: comprimento do fio
g: aceleração da gravidade
Vale lembrar que o período do pêndulo não depende da massa e que o fio tem que ser inelástico e de massa desprezível para que não altere o período(T).
Se usarmos o Sistema internacional de unidades (isto é, comprimento em metros e tempo em segundos), então, na superfície da Terra (g = 9.80665 m/s²), o comprimento do pêndulo pode ser estimado de forma simples a partir do seu período:
Em outras palavras:
Na superfície da Terra, o comprimento de um pêndulo em metros é aproximadamente um quarto do quadrado do seu período em segundos.
Podemos dizer que, qualquer corpo rígido que é posto a oscilar em torno de um eixo horizontal e sob a ação de seu próprio peso é denominado pêndulo composto ou pêndulo físico. O pêndulo simples é um sistema mecânico ideal constituído de uma partícula de massa m suspensa por um fio inextensível e sem massa de comprimento L, conforme mostrado na Fig. 1. Quando o pêndulo está em repouso (lado esquerdo da Fig. 1, abaixo), as duas forças que agem sobre a partícula, o seu peso (mg) e a tensão aplicada pelo fio (τ ), se equilibram. Porém, se o pêndulo for afastado de sua posição de equilíbrio (lado direito da Fig. 1), de modo que a direção do fio faça um ângulo θ com a vertical, o componente do peso perpendicular ao fio, de intensidade P⊥ = mg sin θ, agirá no sentido de restaurar o equilíbrio, fazendo o pêndulo oscilar, sob a ação da gravidade.
Figura 1: (a) Pêndulo simples em repouso. (b) Pêndulo simples em pequenas oscilações.
Todo movimento oscilatório é caracterizado por um período T, que é o tempo necessário para se executar uma oscilação completa. Para pequenas amplitudes de oscilação, tais que sin θ≈θ (θ < 5◦), o período de oscilação do pêndulo simples não depende do ângulo θ, e é dado pela equação:
 (1) 
Onde g é a aceleração da gravidade. A demonstração desse resultado requer conhecimento de Matemática de nível superior ao exigido nesta disciplina, mas experimentalmente, é simples ser verificado.
Elevando ao quadrado os dois lados desta equação, obtemos a seguinte expressão:
 (2)
O pêndulo simples é um sistema mecânico caracterizado pelo seu período T, e este, por sua vez, depende apenas dos parâmetros L e g, para pequenas oscilações. Além disso, outro fator que pode afetar o período do pêndulo é a amplitude (A) de sua oscilação. Esse último fator determina a condição inicial imposta à dinâmica do sistema mecânico, não sendo uma de suas características intrínsecas.
Desenvolvimento:
3.1 Objetivo
Usar um cronômetro de mão para obter a melhor estimativa do período de um pêndulo de comprimento fixo, bem como a melhor estimativa da incerteza nesse valor. Investigar a possibilidade de diminuir a incerteza no período medindo vários períodos juntos. Usar o período calculado para obter uma estimativa da aceleração local da gravidade e a incerteza nesse valor.
3.2 Materiais utilizados:
1 tripé universal
1 indicador de ângulo
1 cronômetro
1 folha de papel milimetrado
1 trena para medida de comprimento do fio
1 balança mecânica 
1 conjunto de massas de chumbo
Método Experimental
Prática 1
1º Passo: Primeiramente, pesou-se o conjunto de massas que seriam utilizados para o experimento na balança mecânica.
2º Passo: Iniciamos o experimento com a prática 1 – “Dependência com o ângulo”. Para isso, montou-se o sistema utilizando uma massa de 200g. Após isso, ajustou-se o suporte na bancada do laboratório, deslocamos a massa num ângulo de amplitude 30° e colocou-se o pêndulo para oscilar.
3º Passo: Com um cronômetro, medimos o tempo de 10 oscilações e anotou-se o resultado em uma tabela. Depois, repetimos o mesmo procedimento para ângulos diferentes, sendo eles: 20º e 10º.Resultados Obtidos
	Dependência com o ângulo I
	Massa (g)
	 Ângulo
	 Oscilações
	Tempo (s)
	 Média de Tempo (s)
	200
	30º
	10
	17,19
	1,7
	200
	30º
	10
	17,13
	1,7
	200
	30º
	10
	17,06
	1,7
	200
	30º
	10
	17,19
	1,7
	200
	30º
	10
	17,34
	1,7
	Dependência com o ângulo II
	Massa (g)
	 Ângulo
	 Oscilações
	Tempo (s)
	 Média de Tempo (s)
	200
	20º
	10
	16,88
	1,6
	200
	20º
	10
	17,00
	1,7
	200
	20º
	10
	17,00
	1,7
	200
	20º
	10
	17,25
	1,7
	200
	20º
	10
	16,94
	1,6
	Dependência com o ângulo III
	Massa (g)
	 Ângulo
	 Oscilações
	Tempo (s)
	 Média de Tempo (s)
	200
	10º
	10
	17,00
	1,7
	200
	10º
	10
	17,08
	1,7
	200
	10º
	10
	16,98
	1,6
	200
	10º
	10
	17,08
	1,7
	200
	10º
	10
	17,21
	1,7
Por este experimento não contar com instrumentos de alta precisão (assim como própria percepção do operador do cronômetro), a diferença de tempo ocorrida entre os três ângulos distintos pode ser considerado erros estatísticos. Ainda assim, a partir dos resultamos obtidos acima podemos concluir que o ângulo não interfere no tempo de oscilação do pêndulo nos levando a comprovação de uma das afirmações de Galileu Galilei, a de que independentemente do ângulo da oscilação o tempo utilizado para percorrer o espaço entre os 2 pontos mais alto da oscilação é igual.
A segunda etapa do experimento foi a: Prática 2 – “Dependência com a massa”
Analogamente ao que foi feito na prática 1, montou-se o mesmo sistema mas com a massa de 150g e um comprimento de fio de 52cm. Com o sistema pronto, deslocou-se a massa em uma amplitude de 20º e colocou-se o sistema para oscilar. Com o cronômetro, mediu-se o tempo de 10 oscilações e anotamos numa tabela.
	Dependência com a massa I
	 Comprimento do fio (cm)
	Massa (g)
	Ângulo
	 Oscilações
	 Tempo (s)
	Média de Tempo (s)
	52
	150
	20º
	10
	14,56
	1,4
	52
	150
	20º
	10
	14,50
	1,4
	52
	150
	20º
	10
	14,57
	1,4
	52
	150
	20º
	10
	14,62
	1,4
	52
	150
	20º
	10
	14,69
	1,4
O mesmo procedimento foi repetido, mas desta vez, com a massa de 100g, mantemos o comprimento do fio e o ângulo inalterados.
	Dependência com a massa II
	 Comprimento do fio (cm)
	Massa (g)
	Ângulo
	Oscilações
	 Tempo (s)
	Média de Tempo (s)
	52
	100
	20º
	10
	14,63
	1,4
	52
	100
	20º
	10
	14,59
	1,4
	52
	100
	20º
	10
	14,62
	1,4
	52
	100
	20º
	10
	15,03
	1,5
	52
	100
	20º
	10
	14,63
	1,4
Com base nos dois procedimentos anteriores, também podemos concluir que as massas não interferem no tempo de oscilação. 
Seguimos então para a terceira etapa do experimento, repetindo o mesmo procedimento anterior, mas desta vez, com a variação do comprimento do fio, utilizamos as distâncias de 69cm, 49cm, 40cm, 33,5cm e 24cm respectivamente. Para isso, a massa foi mantida e o ângulo de oscilação foi alterado, com amplitudes variadas.
Esta terceira e última prática consistiu na “Dependência com o comprimento do fio”, contamos com a variação das amplitudes e, consequentemente, do ângulo de oscilação.
Inicialmente, montamos o sistema com o comprimento do fio de 69cm e uma massa de 200g
Logo após, colocamos o pêndulo para oscilar, numa amplitude de 10º e mediu-se o tempo de 10 oscilações. O mesmo procedimento foi repetido para amplitudes de 20º até 50º, com intervalo de 10º.
	Dependência com o comprimento do fio I
	 Comprimento do fio (cm)
	 Massa (g)
	 Ângulo
	 Oscilações
	 Tempo (s)
	Média de Tempo (s)
	69
	200
	10º
	10
	16,69
	1,6
	69
	200
	20º
	10
	16,69
	1,6
	69
	200
	30º
	10
	16,53
	1,6
	69
	200
	40º
	10
	16,44
	1,6
	69
	200
	50º
	10
	16,56
	1,6
	Dependência com o comprimento do fio II
	 Comprimento do fio (cm)
	Massa (g)
	Ângulo
	Oscilações
	 Tempo (s)
	Média de Tempo (s)
	49
	200
	10º
	10
	14,22
	1,4
	49
	200
	20º
	10
	13,82
	1,3
	49
	200
	30º
	10
	13,93
	1,3
	49
	200
	40º
	10
	13,91
	1,3
	49
	200
	50º
	10
	14,00
	1,4
	Dependência com o comprimento do fio III
	 Comprimento do fio (cm)
	Massa (g)
	Ângulo
	Oscilações
	 Tempo (s)
	Média de Tempo (s)
	40
	200
	10º
	10
	12,44
	1,2
	40
	200
	20º
	10
	12,69
	1,2
	40
	200
	30º
	10
	12,47
	1,2
	40
	200
	40º
	10
	12,43
	1,2
	40
	200
	50º
	10
	12,50
	1,2
	Dependência com o comprimento do fio IV
	 Comprimento do fio (cm)
	Massa (g)
	Ângulo
	Oscilações
	 Tempo (s)
	Média de Tempo (s)
	33,5
	200
	10º
	10
	11,66
	1,1
	33,5
	200
	20º
	10
	11,72
	1,1
	33,5
	200
	30º
	10
	11,56
	1,1
	33,5
	200
	40º
	10
	11,53
	1,1
	33,5
	200
	50º
	10
	11,69
	1,1
	Dependência com o comprimento do fio V
	 Comprimento do fio (cm)
	Massa (g)
	Ângulo
	Oscilações
	 Tempo (s)
	Média de Tempo (s)
	24
	200
	10º
	10
	9,60
	0,9
	24
	200
	20º
	10
	9,75
	0,9
	24
	200
	30º
	10
	9,66
	0,9
	24
	200
	40º
	10
	9,66
	0,9
	24
	200
	50º
	10
	9,69
	0,9
Com estes resultados comprovamos os estudos de Galileu, onde o comprimento do fio influencia o tempo da oscilação.
Construção do gráfico.
Após, pegarmos os valores dos testes, onde alteramos o comprimento do fio, montamos o gráfico no papel milimetrado, sendo que sua escala estava reduzida, tivemos então que fazer o mesmo com os dados registrados, para isso utilizamos as seguintes fórmulas: 
1ª	
2ª	
	
3ª VALOR EM MÉDIA ESCALAR
Medimos com a régua e encontramos que o comprimento do papel utilizado para medir o tempo (T) era equivalente a 27cm, e a largura do papel utilizada para medir o comprimento (L) de 18cm.
	 O maior tempo (T) de oscilação foi de 1,6s e o maior comprimento (L) foi de 69cm. 
A tabela a seguir representa a conversão para a escala:
	 Comprimento real
	 Comprimento no gráfico
	 Tempo Real
	Tempo no valor
escalar
	69,0 cm
	17,99 cm
	1,6 s
	27
	49,0 cm
	12,74 cm
	1,4 s
	23,625
	40,0 cm
	10,4 cm
	1,2 s
	20,25
	33,5 cm
	8,71 cm
	1,1 s
	18,56
	24,0 cm
	6,62 cm
	0,9 s
	15,18
 
Após a conversão, montamos o gráfico com os valores observados acima e obtivemos o seguinte resultado: 
4.1 Gráfico I
Com as devidas representações matemáticas percebemos que o gráfico não é uma constante. Para chegarmos a uma constante tivemos que elevar o tempo (T) ao quadrado.
Elevando o tempo ao quadrado e transcrevendo o modo de escala com o comprimento do papel, obtivemos as coordenadas dos pontos com a seguinte fórmula:
 
Em valores numéricos:
	 	
	
	Tempo
	Tempo²
	
	1,6 s
	2,56 s
	27
	1,4 s
	1,96 s
	20,65
	1,2 s
	1,44 s
	15,17
	1,1 s
	1,21 s
	12,75
	0,9 s
	0,81 s
	8,53
Com estes resultados, linearizamos a curva no gráfico, utilizando a fórmula:
Isolando temos que .
	Assim, obtivemos o seguinte resultado: 
4.2 Gráfico II (T²)
Após obtermos o gráfico medimos também o ângulo formado por esta reta diagonal, desta vez utilizamos os dados de comprimento em metros; calculamos com a seguinte fórmula:
	E obtivemos o seguinte resultado:
	Comprimento
	Tempo ao quadrado
	Ângulo formado
	0,69m
	2,56s
	0,26
	0,49m
	1,96s
	0,25
	0,40m
	1,44s
	0,27
	0,33m
	1,21s
	0,27
	0,24m
	0,81s
	0,27
	O valor de ângulo esperado era 0,25, como chegamos a um resultado muito próximo, podemos acusar a diferença como erro estatístico, dizemos que até aqui tivemos êxito nos resultados segundo as ideias de Galileu.
	Tivemos então como passo seguinte calcular o valor teórico dado por Galileu na seguinte fórmula: 
	 ,
onde T = tempo, L = comprimento em metros e g = aceleração da gravidade (9,8).
Após encontrarmos nossa constante, podemos substituir ela na formula, tendoassim
Vamos fazer uma comparação dos valores encontrados e os valores teóricos.
 Valores Teóricos e Experimentais
	Comprimento 
em metros
	
	 , com G =9,8
	0,69
	1,62 s
	1,66 s
	0,49
	1,40 s
	1,40 s
	0,40
	1,26 s
	1,26 s
	0,33
	1,14 s
	1,15 s
	0,24
	0,97 s
	0,98 s
Após a comparação de valores podemos perceber pequenas variações nos resultados, então calculamos o desvio percentual do nosso gráfico pela fórmula:
	 Valor Experimental
	Valor Teórico
	
	1,62 s
	1,66 s
	2,4 %
	1,40 s
	1,40 s
	0,0 %
	1,26 s
	1,26 s
	0,0 %
	1,14 s
	1,15 s
	0,8 %
	0,97 s
	0,98 s
	0,8 %
O significado do desvio padrão é que ele indica o erro que teríamos caso fizéssemos uma única observação. Ou, equivalentemente, o significado do erro padrão de um dado conjunto de n determinações é que uma dada observação tem 68% de probabilidade de estar no intervalo  em torno do valor médio; 95% no intervalo , etc. Isto é, é a diferença entre o resultado de uma medição e o valor verdadeiro dessa grandeza. Uma vez que o valor verdadeiro é uma quantidade desconhecida, resulta que o erro também o é, aos mesmos em princípio.
Os objetivos da teoria de erros que foi utilizada em nosso experimento podem ser resumidos em: 
Obter o melhor valor para o mensurando a partir dos dados experimentais disponíveis. Isto significa determinar em termos estatísticos a melhor aproximação possível para o valor verdadeiro. 
 Obter a incerteza no valor obtido, o que significa determinar em termos estatísticos o grau de precisão e confiança na medida da grandeza física.
Neste experimente a margem de erro aceito era de até 10%, ou seja, chegamos ao resultado esperado.
Conclusão
Os dados do experimento nos levaram a resultados bem próximos do real, o que mostra que o período do pêndulo simples depende somente do comprimento do fio. Na linearização das grandezas físicas e na construção do gráfico encontramos um erro, pois o experimento não foi feito sobre condições controladas, podendo ser influenciado pelos erros de leitura das medidas, leitura de tempo, assim como as aproximações nos cálculos.
No cálculo da aceleração da gravidade local, a porcentagem de erro encontrada foi variada. Este erro deve-se a fatores que podem ter comprometido a exatidão do resultado da experiência como:
A percepção visual na hora de definir o valor do comprimento do fio do pêndulo.
A habilidade psicomotora de cada integrante do grupo para soltar o bloco metálico da mesma altura.
O paralelismo do fio que provavelmente não foi mantido, uma vez que ele não deveria oscilar pros lados.
O experimento pôde comprovar todas essas hipóteses teóricas e, desse modo, o resultado foi muito satisfatório.
Referências Bibliográficas
Introdução ao Laboratório de Física Experimental-método de obtenção, registro e análise de dados experimentais.
DARCIO PEREIRA DOS SANTOS; Física 2º Grau – Dos Experimentos a Teoria.
http://www13.fisica.ufmg.br/~wag/TRANSF/LIVRO_FEBIO_21AGO2009_2PP.pdf
http://www.ifi.unicamp.br/~brito/graferr.pdf
http://www.fisica.net/mecanicaclassica/graficos-em-cinematica.pdf
http://www.fisica.net/mecanicaclassica/pendulo_de_foucault.pdf 
http://www1.univap.br/irapuan/files/Apostila_Fisica_Experimental.pdf
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl – Fundamentos de Física – Ed. Livros Técnicos e Científicos, 4ª edição