Vibrações Mecânicas 15 Nov 2017

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Vibrações Mecânicas
Introdução
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Estudo da vibração
• Aplicações na área de engenharia
• Projeto de máquinas
• Fundações
• Estruturas
• Motores
• Turbinas
• Sistemas de controle
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Estudo da vibração
• Aplicações na área de engenharia
• Em todas as situações, a estrutura ou componente da 
máquina sujeito à vibração pode falhar devido à fadiga 
do material resultante da variação cíclica da tensão 
induzida.
• A vibração causa desgaste mais rápido de peças de 
máquinas como rolamentos e engrenagens e gera ruído 
excessivo.
• Em máquinas, a vibração pode afrouxar ou soltar 
elementos de fixação como porcas.
• Em processos de corte de metais, a vibração pode 
causar trepidação, o que resulta em mau acabamento 
superficial.
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Estudo da vibração
• Frequência natural: é a frequência de oscilação de um sistema que, após uma 
perturbação inicial, continuar a vibrar por si próprio sem a ação de forças 
externas. 
• Ressonância: é o fenômeno que ocorre sempre que a frequência natural de 
vibração de uma máquina ou estrutura coincidir com a frequência de excitação 
externa, que resulta em deflexões excessivas e falhas.
Ponte Tacoma Narrows durante 
vibração induzida pelo vento.
Foi inaugurada em 1-7-1940 e 
caiu em 7-11-1940
4
Estudo da vibração
• Devido ao efeito devastador que as vibrações podem causar às 
máquinas e estruturas, o teste de vibrações tornou-se um 
procedimento padrão no projeto e desenvolvimento da maioria dos 
sistemas de engenharia.
Teste de vibração do 
ônibus espacial 
Enterprise (foto NASA)
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Estudo da vibração
• O ser humano age como parte integral do sistema.
• A transmissão de vibração a seres humanos resulta em 
desconforto e perda de eficiência.
• A vibração e o ruído gerado por motores causam 
aborrecimentos às pessoas e, às vezes, danos à 
propriedade.
• A vibração de painéis de instrumentos pode provocar um 
mau funcionamento ou dificultar a leitura dos medidores.
• Uma das finalidades importantes de estudar a vibração é 
reduzi-la por meio do projeto adequado de máquinas e de 
seus suportes.
• O engenheiro mecânico projeta o motor ou a máquina de 
modo a minimizar o desbalanceamento.
• O engenheiro de estruturas tenta projetar a estrutura de 
suporte de modo a assegurar que o efeito do 
desbalanceamento não seja danoso.
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Estudo da vibração
• A vibração pode ser utilizada a favor em várias aplicações 
industriais e de consumo. Exemplos:
• Esteiras transportadoras
• Peneiras
• Compactadores
• Máquinas de lavar
• Escovas de dentes elétricas
• Brocas odontológicas
• Relógios
• Unidades de massagem elétrica
• Bate-estacas
• Testes vibratórios de materiais
• Processos vibratórios de acabamento
• Processos de usinagem, fundição, forjamento e soldagem
• Simulação de terremotos em pesquisas geológicas
• Projeto de reatores nucleares
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Conceitos básicos de vibração
• Qualquer movimento que se repita após um intervalo de tempo é 
denominado vibração ou oscilação.
• A teoria de vibração trata do estudo de movimentos oscilatórios e 
as forças associadas a eles.
• Em geral, um sistema vibratório inclui:
• Um meio para armazenar energia potencial (mola ou elasticidade).
• Um meio para armazenar energia cinética (massa ou inércia).
• Um meio de perda gradual de energia (amortecedor).
• A vibração de um sistema envolve a transferência alternada de 
energia potencial para energia cinética, e de energia cinética para 
energia potencial.
• Se o sistema for amortecido, certa quantidade de energia é 
dissipada em cada ciclo de vibração, e deve ser substituída por 
uma fonte externa se for preciso manter um regime permanente 
de vibração.
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Conceitos básicos de vibração
O peso do pendulo de massa m é liberado após a aplicação de um deslocamento 
angular θ
Posição 1:
v = 0
Ec = 0
Ep = m.g.l.(1-cosθ)
Posição 2:
Ep é convertida em Ec
Posição 3:
Ec é convertida em Ep
Ec = energia cinética
Ep = energia potencial
Movimento oscilatório:
A magnitude de oscilação θ
diminui gradativamente até a 
parada do pendulo devido à 
resistência (amortecimento) do 
ar, com uma certa quantidade 
de energia dissipada.
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Graus de liberdade
• O número mínimo de coordenadas independentes requeridas para 
determinar completamente as posições de todas as partes de um 
sistema a qualquer instante define o grau de liberdade do sistema.
O pendulo simples representa um sistema 
com 1 grau de liberdade.
O movimento pode ser definido pelo 
ângulo θ.
Se as coordenadas x,y forem usadas, deve-
se reconhecer que elas não são 
independentes, estando relacionadas pela 
equação x² + y² = l²
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Graus de liberdade
• Sistemas com apenas um grau de liberdade:
(a) Mecanismo 
cursor-manivela-
mola
(b) Sistema massa-mola (c) Sistema torcional
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Graus de liberdade
• Sistemas com 2 graus de liberdade:
Sistema de 2 massas e 2 
molas descrito por x1,x2
Sistema de 2 rotores 
especificado por 
θ1,θ2
Sistema descrito 
por X,θ ou por 
x,y,X
x,y são limitadas 
porque:
x² + y² = l²
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Graus de liberdade
• Sistemas com 3 graus de liberdade:
xi (i=1,2,3)
Θi (i=1,2,3)
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Graus de liberdade
• Sistemas com um número infinito de graus de liberdade:
• Sistemas elásticos contínuos
• Ex: viga em balanço
• A viga tem um número infinito de pontos de massa
• É necessário um número infinito de coordenadas para especificar sua configuração defletida (curva de 
deflexão elástica)
• Grande parte dos sistemas estruturais e de máquinas tem elementos deformáveis 
(elásticos), e consequentemente um número infinito de graus de liberdade.
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Graus de liberdade
• Sistemas com um número finito de graus de liberdade:
• Sistemas discretos ou de parâmetros concentrados
• Na maioria das vezes, sistemas contínuos são aproximados como sistemas discretos, 
e as soluções são obtidas de uma maneira mais simples.
• Em geral, obtém-se resultados mais precisos aumentando-se o número de graus de 
liberdade.
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Classificação de vibrações
• Vibração livre
• Se um sistema, após uma perturbação inicial, continuar 
a vibrar por conta própria, a vibração resultante é 
conhecida como vibração livre (ex: pendulo simples).
• Vibração forçada
• Se um sistema estiver sujeito a uma força externa 
repetitiva, a vibração resultante é conhecida como 
vibração forçada (ex: motores a diesel, máquinas, etc.).
• Falhas de estruturas como edifícios, pontes, turbinas e 
asas de aviões foram associadas à ocorrência de 
ressonância.
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Classificação de vibrações
• Vibração não amortecida
• Se nenhuma energia for perdida ou dissipada por atrito ou 
outra resistência durante a oscilação, a vibração é conhecida 
como vibração não amortecida.
• Vibração amortecida
• Se qualquer energia for perdida da maneira citada acima, a 
vibração é denominada vibração amortecida.
• Observações:
• Em muitos sistemas, a quantidade de amortecimento é tão 
pequena que pode ser desconsiderada para a maioria das 
finalidades de engenharia.
• Considerar o amortecimento torna-se extremamente 
importante na análise de sistemas vibratórios próximos à 
ressonância.
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Classificação de vibrações
• Vibração linear
• Se todos os componentes básicos (mola, massa e 
amortecedor) comportarem-se linearmente, a vibração 
resultante é conhecida como vibração linear.
• Vibração não linear
• Se qualquer dos elementos se comportar não 
linearmente, a vibração é denominada vibração não 
linear.
• Observação:
• Todos os sistemas vibratórios tendem a se comportar 
não linearmente com o aumento da amplitude de 
oscilação.
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Classificação de vibrações
• Vibração determinística
• Se o valor ou magnitude da excitação (força ou movimento) 
queestá agindo sobre um sistema vibratório for conhecido a 
qualquer instante, a vibração resultante é conhecida como 
vibração determinística.
• Vibração aleatória
• Em alguns casos, a excitação é não determinística ou 
aleatória. O valor da excitação em um dado instante não pode 
ser previsto, e a vibração é denominada vibração aleatória.
• Exemplos de excitações aleatórias:
• Velocidade do vento
• Aspereza de uma estrada
• Movimento do solo durante um terremoto 
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Classificação de vibrações
(a) Excitação determinística (periódica) (b) Excitação aleatória
Força
Tempo
Tempo
Força
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Procedimento de análise de 
vibrações
• Etapa 1: Modelagem matemática
• Representar todos os aspectos importantes do sistema com o 
propósito de obter as equações matemáticas que governam o 
comportamento do sistema.
Exemplo:
Martelo de forjar
21
Procedimento de análise de 
vibrações
• Etapa 1: Modelagem matemática
• Para uma primeira aproximação, suporte, bigorna, coxim, bloco de 
base e solo são modelados como um sistema com um único grau de 
liberdade.
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Procedimento de análise de 
vibrações
• Etapa 1: Modelagem matemática
• Para refinar a aproximação, os pesos do suporte e da bigorna e o 
peso do bloco de base são representados separadamente por um 
modelo com dois graus de liberdade.
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Procedimento de análise de 
vibrações
• Etapa 2: Derivação das equações governantes
• Uma vez disponível o modelo matemático, usamos os princípios da 
dinâmica e derivamos as equações que descrevem a vibração do 
sistema.
• Há várias abordagens que costumam ser usadas para derivar as 
equações governantes, entre elas:
• 2ª Lei do Movimento de Newton
• Princípio de D’Alembert
• Princípio da Conservação de Energia
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Procedimento de análise de 
vibrações
• Etapa 3: Solução das equações governantes
• As equações de movimento devem ser resolvidas para determinar a 
resposta do sistema vibratório, utilizando-se as seguintes técnicas:
• Métodos padronizados para resolver equações diferenciais
• Métodos que utilizam transformadas de Laplace
• Métodos matriciais
• Métodos numéricos
• Etapa 4: Interpretação dos resultados
• A solução das equações governantes fornece os deslocamentos, 
velocidades e acelerações das várias massas do sistema.
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Análise de vibrações
• Exemplo 1.1 - Modelo matemático de uma motocicleta
• Desenvolver uma sequencia de três modelos matemáticos do 
sistema para investigar vibrações no sentido vertical. Considerar:
• a elasticidade dos pneus
• a elasticidade e o amortecimento das suspensões dianteira e traseira 
(no sentido vertical)
• as massas das rodas
• A elasticidade, amortecimento e massa do motociclista
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Análise de vibrações
• Exercício 1.1
• O estudo da reação de um corpo humano sujeito à 
vibração ou choque é importante em muitas aplicações. 
Quando em pé, as massas da cabeça, parte superior do 
torso, quadris e pernas e a elasticidade e amortecimento 
do pescoço, coluna vertebral, abdômen e pernas 
influenciam a resposta característica. Desenvolva uma 
sequencia de três aproximações melhoradas para 
modelar o corpo humano.
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Análise de vibrações
• Exercício 1.2
• A figura abaixo mostra um corpo humano e um sistema de cintos de 
segurança no momento da colisão de um automóvel. Sugira um modelo 
matemático simples para uma análise de vibrações do sistema, 
considerando:
• a elasticidade, massa e amortecimento do banco e do corpo humano
• a elasticidade do sistema de cintos de segurança
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Análise de vibrações
• Exercício 1.3
• Um motor alternativo está montado sobre uma base , como mostra a figura 
abaixo. As forças e momentos de desbalanceamentos desenvolvidos no 
motor são transmitidos ao suporte e à base. Uma proteção elástica é 
colocada entre o motor e o bloco da base para reduzir a transmissão da 
vibração. Desenvolva dois modelos matemáticos do sistema usando um 
refinamento gradual do processo de modelagem.
parafuso
proteção elástica
bloco de base
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Análise de vibrações
• Exercício 1.4
• Um automóvel que trafega por uma estrada em mau estado pode ser 
modelado considerando:
a. Peso da carroceria, passageiros, bancos, rodas dianteiras e traseiras.
b. Elasticidade dos pneus, suspensão, molas principais e bancos.
c. Amortecimento dos bancos, amortecedores de suspensão e pneus.
• Desenvolva três modelos matemáticos do sistema usando um refinamento 
gradual no processo de modelagem.
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Análise de vibrações
• Exercício 1.5
• As consequências de uma colisão frontal entre dois automóveis podem ser 
estudadas considerando o impacto do automóvel contra uma barreira, como mostra 
a figura abaixo. Construa um modelo matemático considerando:
• as massas da carroceria, motor, transmissão e suspensão.
• a elasticidade dos para-choques, radiador, carroceria, sistema de transmissão e suportes do motor.
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Análise de vibrações
• Exercício 1.6
• Desenvolva um modelo matemático para o trator e arado mostrados na figura 
abaixo, considerando massa, elasticidade e amortecimento dos pneus, absorvedores 
de choque e arado (laminas).
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Elementos de mola
Sendo:
F = força aplicada na mola
K = rigidez ou constante elástica da mola
x = deformação ou deslocamento
Sendo:
U = trabalho realizado na deformação da mola
Molas reais são não lineares e 
seguem a equação de Hooke até 
certa deformação.
Quando a deformação ultrapassa 
certo valor (ponto A), a tensão 
ultrapassa o limite de escoamento 
do material e a relação força-
deformação torna-se não linear.
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Elementos de mola
Processo de linearização
K é a constante elástica 
linearizada
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Elementos de mola
• Elementos elásticos como vigas também se comportam como molas.
• Simplificando, consideramos a massa da viga desprezível em relação à massa “m”.
• A deflexão estática da viga na extremidade livre é dada por:
Onde:
W = m.g (peso)
E = módulo de Young
I = momento de inércia da seção transversal da viga
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Associação de molas
Molas em paralelo
Para “n” molas em paralelo, temos: 
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Associação de molas
Molas em série
Para “n” molas em série, temos: 
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Associação de molas
• Exemplo 1.2 – k equivalente de um sistema de suspensão
• A figura abaixo mostra o sistema de suspensão de um vagão ferroviário de carga com 
um arranjo de molas em paralelo. Determine a constante elástica equivalente da 
suspensão se cada uma das três molas helicoidais for fabricada em aço com módulo 
de elasticidade transversal G = 80 x 10⁹ N/m² e tiver 5 espiras ativas, diâmetro médio 
do enrolamento D = 20 cm, e diâmetro do arame d = 2 cm.
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Associação de molas
• Exemplo 1.3 – Constante elástica torcional de um eixo de hélice
• Determinar a constante elástica torcional do eixo de hélice em aço mostrado na 
figura abaixo.
39
Associação de molas
• Exemplo 1.4 – k equivalente de um tambor de içamento
• Um tambor de içamento equipado com um cabo de aço é montado na extremidade 
de uma viga em balanço, como mostrado na figura abaixo. Determinar a constante 
elástica equivalente do sistema quando o comprimento de suspensão do cabo é “l”. 
Admitir que o diâmetro efetivo da seção transversal do cabo é “d”, e que o módulo 
de Young da viga e do cabo é “E”.
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Associação de molas
• Exemplo 1.5 – k equivalente de guindaste
• A lança AB do guindaste mostrado na figura abaixo é uma barra de aço uniforme de 
comprimento 10 m, e área da seção transversal 2500 mm². Um peso W é suspenso 
enquanto o guindaste permanece estacionário. O cabo CDEBF é feito de aço e tem 
uma área de seção transversal 100 mm². Desconsiderando o efeito do cabo CDEB, 
determinar a constante elástica equivalente do sistema na direção vertical.41
Associação de molas
• Exercício 1.7 – Determinar a constante elástica equivalente do sistema 
mostrado na figura abaixo. 
42
Associação de molas
• Exercício 1.10
• Uma máquina de massa m = 500 kg está montada sobre uma viga de aço 
simplesmente apoiada de comprimento L = 2m, seção transversal retangular 
(profundidade = 0,1 m, largura = 1,2 m) e módulo de Young E = 2,06 x 1011 N/m². Para 
reduzir a deflexão vertical da viga, uma mola de rigidez “k” é acoplada ao ponto 
central do vão, como mostra a figura. Determine o valor de “k” necessário para 
reduzir a deflexão da viga em:
• 25% do seu valor original
• 50% do seu valor original
• 75% do seu valor original
• Admitir que a massa da viga pode ser desconsiderada.
43
Associação de molas
• Exercício 1.18
• Elabore o projeto de uma mola a ar usando um recipiente cilíndrico e um pistão para 
conseguir uma constante elástica de 75 lb/in. Admita que a máxima pressão de ar 
disponível seja 200 PSI.
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Associação de molas
• Exercício 1.21
• Projete uma mola helicoidal de compressão em aço que satisfaça os seguintes 
requisitos:
• Rigidez da mola (k) ≥ 8.000 N/mm.
• Frequência natural fundamental de vibração (f1) ≥ 0,4 Hz.
• Índice da mola (D/d) ≥ 6.
• Numero de espiras ativas (N) ≥ 10.
• A rigidez e a frequência natural fundamental da mola são dadas por:
Sendo:
G = módulo de elasticidade transversal
d = diâmetro do arame
D = diâmetro do enrolamento
W = peso da mola
g = aceleração devido à gravidade
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Elementos de amortecimento
• O mecanismo pelo qual a energia de vibração é 
gradativamente convertida em calor ou som é 
conhecido como amortecimento.
• Em virtude da redução da energia, o deslocamento 
do sistema diminui gradativamente.
• Admite-se que um amortecedor não tem massa e 
nem elasticidade, e que a força de amortecimento 
só existe se houver uma velocidade relativa entre 
as suas duas extremidades.
46
Amortecimento viscoso
• É o mecanismo de amortecimento mais 
comum.
• Quando sistemas mecânicos vibram em 
um meio fluido como ar, gás, água ou 
óleo, a resistência oferecida pelo fluido 
ao corpo em movimento faz com que a 
energia seja dissipada.
• A quantidade de energia dissipada 
depende de fatores como o tamanho e a 
forma do corpo em vibração, a 
viscosidade do fluído, a frequência de 
vibração e a velocidade do corpo em 
vibração.
• A força de amortecimento é 
proporcional à velocidade do corpo 
vibratório.
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Amortecimento Coulomb ou por 
atrito seco
• A magnitude da força de 
amortecimento é constante, mas 
no sentido oposto ao movimento 
do corpo vibratório.
• O amortecimento neste caso é 
causado pelo atrito entre 
superfícies em contato que 
estejam secas, ou que não 
tenham lubrificação suficiente.
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Amortecimento sólido ou por 
histerese
Exemplos de diversos tipos de coxins de motor e transmissão
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Amortecimento sólido ou por 
histerese
• Quando um material é 
deformado, ele absorve e 
dissipa energia.
• O efeito deve-se ao atrito entre 
os planos internos, que deslizam 
ou escorregam enquanto as 
deformações ocorrem.
• Quando um corpo com 
amortecimento material é 
sujeito à vibração, o diagrama 
tensão-deformação mostra um 
ciclo de histerese como indicado 
na figura.
• A área desse ciclo denota a 
energia perdida por unidade de 
volume do corpo por ciclo, 
devido ao amortecimento.
50
Construção de amortecedores 
viscosos
• Um amortecedor viscoso pode ser construído usando-se duas placas paralelas 
separadas por uma distancia “h”, com um fluido de viscosidade μ entre as 
placas.
• Uma das placas é fixa e a outra se movimenta com velocidade “v” em seu 
próprio plano.
• As camadas de fluido em contato com a placa em movimento movem-se com 
uma velocidade “v”, enquanto as que estão em contato com a placa fixa não se 
movem.
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Construção de amortecedores 
viscosos
• Segundo a lei de Newton de fluxo viscoso, a força de cisalhamento (ou de 
resistência) “F” desenvolvida na superfície inferior da placa em movimento é:
Sendo:
τ = tensão de cisalhamento na camada de fluido
μ = viscosidade do fluido entre as placas
v = velocidade da placa móvel
A = área da superfície da placa em movimento
c = constante de amortecimento
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Construção de amortecedores 
viscosos
Amortecedor a êmbolo (pistão-cilindro)
D = diâmetro do pistão
l = comprimento do pistão
V0 = velocidade do pistão
μ = viscosidade do liquido
d = folga entre o pistão e o cilindro
P = força de atuação
c = constante de amortecimento
Expressando a força como P = c.v0, temos:
53
Associação de amortecedores
Quando amortecedores aparecem em associação, eles podem ser 
substituídos por um amortecedor equivalente, adotando-se um 
procedimento semelhante ao descrito para molas.
54
Associação de amortecedores
• Exercício 1.35
• Determine uma única constante de amortecimento equivalente para os 
seguintes casos:
• Quando três amortecedores estão em paralelo.
• Quando três amortecedores estão em série.
55
Construção de amortecedores
• Exercício 1.36
• Elabore o projeto de um amortecedor viscoso do tipo pistão-cilindro para conseguir 
uma constante de amortecimento de 1 lb-s/in, usando um fluido de viscosidade 4μ
reyn.
• Obs: 1 reyn = 1 lb-s/in²
56
Construção de amortecedores
• Exercício 1.37
• Elabore o projeto de um amortecedor viscoso do tipo pistão-cilindro para obter uma 
constante de amortecimento de 10⁵ lb-s/in, usando óleo SAE30 a 21,1 °C. O diâmetro 
do pistão tem que ser menor que 2,5 in.
57
Construção de amortecedores
• Exercício 1.41
• A constante de amortecimento (c) do amortecedor pistão-cilindro mostrado na figura é 
dada pela fórmula descrita abaixo. Determine a constante de amortecimento do 
amortecedor para os seguintes dados:
• μ = 0,3445 Pa-s
• l = 10 cm
• h = 0,1 cm
• a = 2 cm
• r = 0,5 cm
58
Construção de amortecedores
• Exercício 1.42
• Para o amortecedor do problema anterior, usando os dados apresentados como 
referencia, determine a variação da constante de amortecimento (c) quando:
• r = 1,0 cm
• h = 0,05 cm
• a = 4 cm
59
Movimento harmônico
• Movimento oscilatório
• Regular: pendulo simples
• Irregular: movimento do solo em um terremoto
• Movimento periódico
• Movimento repetido a intervalos de tempo iguais
• Ex: movimento harmônico
60
Movimento harmônico
Mecanismo Scotch Yoke 
(jugo escocês)
Quando a manivela de raio 
“A” gira a uma velocidade 
angular ω, o ponto “S” na 
extremidade da haste 
entalhada e a massa “m” do 
sistema massa-mola são 
deslocados de suas posições 
centrais por uma quantidade 
“x” no tempo “t” dada por:
A velocidade da massa “m” 
no tempo “t” é dada por:
E a aceleração por:
61
Movimento harmônico
A projeção da extremidade do 
vetor girante OP de magnitude 
“A” sobre o eixo vertical é dada 
por:
Projeção sobre o eixo 
horizontal:
62
Movimento harmônico
Funções harmônicas podem ser 
somadas vetorialmente.
Na figura temos:
Re(X1) = A1 cos ωt
Re(X2) = A2.cos(ωt + θ)
A magnitude do vetor resultante X e o 
ângulo α são dados por:
Re(X) = A.cos(ωt + α)
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Movimento harmônico
• Exemplo 1.11 – Adição de movimentos harmônicos
• Determinar a soma de dois movimentos harmônicos:
• X1(t) = 10.cosωt
• X2(t) = 15.cos(ωt + 114,6)
64
Movimento harmônico
• Definições e terminologia
• Ciclo – movimento de um corpo vibratório de sua posição de repouso ou 
equilíbrio até sua posição extrema em um sentido; então até a posição de 
equilíbrio, daí até sua posição extrema no outro sentido e de volta à 
posição de equilíbrio. Exemplo: um deslocamento angular de 2π radianos 
do pino mostradono mecanismo tipo jugo escocês.
• Amplitude – máximo deslocamento de um corpo vibratório em relação à 
sua posição de equilíbrio.
• Período de oscilação – tempo que leva para concluir um ciclo de 
movimento
• Sendo ω a frequência circular, ou velocidade angular (rad/s)
• Frequência de oscilação – número de ciclos por unidade de tempo
• A frequência de oscilação f é também denominada frequência linear (Hz), ou (ciclos/s)
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Movimento harmônico
• Definições e terminologia
• Ângulo de fase – pode ser demonstrado através de dois movimentos 
harmônicos síncronos (isto é, que possuem a mesma frequência ou 
velocidade angular “ω”):
• X1 = A1.sen ωt
• X2 = A2.sen (ωt + Ф)
• O segundo vetor OP2 está à frente do primeiro vetor OP1 pelo ângulo de 
fase Ф.
• Isso significa que o máximo do segundo vetor ocorre Ф radianos antes do 
que o primeiro vetor.
66
Movimento harmônico
• Definições e terminologia
• Frequência natural – se após uma perturbação inicial um sistema continuar 
a vibrar por si próprio sem a ação de forças externas, a frequência com ele 
oscila é conhecida como sua frequência natural.
• Obs.: um sistema vibratório com n graus de liberdade terá n frequências naturais de 
vibração distintas.
67
Movimento harmônico
• Definições e terminologia
• Batimentos – é um fenômeno que ocorre quando são somados dois 
movimentos harmônicos cujas frequências estão próximas uma da outra.
• X1(t) = X . cos ωt
• X2(t) = X . cos (ω + δ)
• O movimento resultante x(t) representa uma onda co-senoidal, sendo:
• Frequência = ω + δ/2
• Amplitude (variável) = 2X . cos δt/2
• Sempre que a amplitude alcançar um máximo, é denominada um batimento
Frequência de batimento
O fenômeno do batimento em 
máquinas e estruturas ocorre 
quando a frequência 
excitadora está próxima da 
frequência natural do sistema.
68
Movimento harmônico
• Definições e terminologia
• Oitava – quando o valor máximo de uma faixa de frequência é duas vezes 
seu valor mínimo, ela é conhecida como uma faixa de oitava.
• Exemplos de faixas de oitavas:
• 75 – 150 Hz
• 150 – 300 Hz
• 300 – 600 Hz
• Em cada caso, os valores máximo e mínimo da frequência (cuja razão é 2:1) diferem por 
uma oitava.
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Movimento harmônico
• Definições e terminologia
• Decibel – as várias grandezas encontradas na área da vibração e do som 
são frequentemente representadas usando a notação de decibel.
• Um decibel (dB) pode ser expresso como:
• Sendo X0 um valor de referencia especificado, como por exemplo:
• 2/10⁵ N/m² para pressão
• 1 μg = 9,81/10⁶ m/s² para aceleração
• Na prática, a equação acima é utilizada para expressar as razões entre 
grandezas como deslocamento, velocidade, aceleração, pressão e força.
70
Movimento harmônico
• Exercício 1.50
• Uma máquina está sujeita ao movimento :
• X(t) = A . cos (50t + α) mm
• As condições iniciais são dadas por:
• X(0) = 3 mm
• V(0) = 1,0 m/s
• Determinar as constantes A e α.
• Expressar o movimento na forma x(t) = A1.cosωt + 
A2.senωt, e identificar as constantes A1 e A2.
71
Movimento harmônico
• Exercício 1.51
• Demonstrar que qualquer associação linear de senωt e 
cosωt tal que x(t) = A1.cosωt + A2.senωt (A1, A2 = 
constantes) representa um movimento harmônico 
simples.
72
Movimento harmônico
• Exercício 1.52
• Determinar a soma de dois movimentos harmônicos:
• X1(t) = 5.cos(3t + 1)
• X2(t) = 10.cos(3t + 2)
73
Movimento harmônico
• Exercício 1.53
• Se um dos componentes do movimento harmônico x(t) = 
10.sen(ωt + 60°) for x1(t) = 5.sen(ωt + 30°), determinar o 
outro componente.
74
Movimento harmônico
• Exercício 1.54
• Considere os dois movimentos harmônicos:
• X1(t) = (1/2).cos[(π/2).t]
• X2(t) = sen πt
• Verificar se a soma X1(t) + X2(t) é um movimento 
periódico. Caso afirmativo, determinar o período.
75
Movimento harmônico
• Exercício 1.55
• Considere dois movimentos harmônicos de frequências 
diferentes:
• X1(t) = cos 2t
• X2(t) = cos 3t
• Verificar se a soma X1(t) + X2(t) é um movimento 
harmônico. Caso afirmativo, determinar o período.
76
Movimento harmônico
• Exercício 1.56
• Considere os dois movimentos harmônicos:
• X1(t) = (1/2).cos[(π/2).t]
• X2(t) = cos πt
• Verificar se a diferença X1(t) - X2(t) é um movimento 
harmônico. Caso afirmativo, determinar o período.
77
Movimento harmônico
• Exercício 1.57
• Determinar as amplitudes máxima e mínima do 
movimento combinado X(t) = X1(t) + X2(t) quando:
• X1(t) = 3 . sen 30t
• X2(t) = 3 . sen 29t
• Determinar também a frequência de batimentos 
correspondente a x(t).
78
Movimento harmônico
• Exercício 1.58
• Uma máquina está sujeita a dois movimentos 
harmônicos, e o movimento resultante apresentado na 
tela de um osciloscópio é mostrado na figura abaixo. 
Determinar as amplitudes e frequências dos dois 
movimentos.
79
Movimento harmônico
• Exercício 1.59
• Um movimento harmônico tem uma amplitude de 0,05 
m e uma frequência de oscilação f = 10 Hz.
• X(t) = A . sen ωt
• Determinar seu período, velocidade máxima e 
aceleração máxima.
80
Movimento harmônico
• Exercício 1.60
• Um acelerômetro montado na estrutura de um veículo 
indica que ela está vibrando harmonicamente com uma 
frequência linear de 15 ciclos por segundo, e com uma 
aceleração máxima de 0,5 g. Determinar a amplitude e a 
velocidade máxima da estrutura nesta região.
• X(t) = A . sen ωt
81
Movimento harmônico
• Exercício 1.61
• Os resultados da medição de amplitude máxima e de 
aceleração máxima da base de uma bomba centrífuga 
são xmax = 0,25 mm e amax = 0,4 g. Determinar a velocidade 
angular (frequência circular). 
• X(t) = A . cos ωt
82
Apêndice 1
• Exercício – Um volante de direção 
possui massa de 5 kg, e rigidez no 
sentido vertical de 200 N/mm. 
Adicionando um sistema de air 
bag no volante, há um aumento de 
massa de 4,5 kg.
• Calcular a frequência natural do 
volante nas versões sem air bag e 
com air bag.
• Considerando que a frequência do 
pulso de torque do motor é 23,3 
Hz, verificar se poderá ocorrer 
ressonância em ambas as versões.
83
Vibração com 
amortecimento viscoso
• Em um sistema com massa, mola e 
amortecedor existem 3 forças que 
controlam o comportamento dinâmico:
1) Força inercial: devido à aceleração da 
massa.
2) Força de amortecimento: é uma função da 
velocidade (v) sobre o amortecedor, e do 
coeficiente de amortecimento (c).
3) Força da mola: é uma função do 
deslocamento da mola (x), e da constante 
elástica da mola (k).
• Essas 3 forças podem ser expressas de 
forma matemática; a aplicação da Lei de 
Newton fornece a equação de movimento:
84
m.a = - (c.v) – (k.x) 
F = m.a
FA = c.v
FM = k.x
Vibração com 
amortecimento viscoso
• A massa (m), o coeficiente de amortecimento (c) e a constante elástica da mola (k) 
definem dois parâmetros importantes:
1) A frequência de ressonância do sistema, que é expressa por:
85
fN
2) A constante de amortecimento crítico – é o nível de amortecimento que permite que a 
massa deslocada retorne à posição de equilíbrio o mais rápido possível, e sem oscilações.
(rad/s)
Unidades:
k (N/m)
m (kg)
Cc (N.s/m)
Vibração com amortecimento 
viscoso
• Fator de amortecimento – é definido como a razão entre a constante de amortecimento 
(c) e a constante de amortecimento crítico (cc):
86
• Frequência de vibração amortecida (ωd) – presente em um sistema que possui 
amortecimento, é sempre menor do que a frequência natural não amortecida (ωn).
• Razão de frequências (r) – é a relação entre a frequência de excitação de um sistema e a 
sua frequência natural.
r = ω
ωn
Vibração com amortecimentoviscoso
87
Exemplos de diferentes níveis de fator de amortecimento 
Vibração com amortecimento 
viscoso
88
Exemplos de diferentes níveis de fator de amortecimento 
Vibração com amortecimento 
viscoso
• Transmissibilidade de deslocamento – é a razão entre a amplitude de resposta x(t) de um 
sistema e a amplitude da sua base y(t).
89
Vibração com amortecimento 
viscoso
• Transmissibilidade de força – é a razão entre a força atuante no sistema e a força atuante 
na sua base.
90
FT = força transmitida
F = k.Y = força atuante na base
Movimento harmônico
Comprimento de onda
• É a distância entre valores repetidos sucessivos num padrão de onda. É usualmente 
representado pela letra grega lambda (λ).
• Em uma onda senoidal, o comprimento de onda é a distância (paralela à direção de 
propagação da onda) entre repetições da forma de onda. Pode, então, ser representada 
pela distância entre picos (máximos), vales (mínimos), ou duas vezes a distância entre nós.
• O comprimento de onda λ tem uma relação inversa com a frequência f, a velocidade de 
repetição de qualquer fenômeno periódico. O comprimento de onda é igual à velocidade 
da onda dividida pela frequência da onda.
91
V = ƛ
T
V = ƛ . f
Sendo:
V = velocidade de onda
λ = comprimento de onda
T = período
f = frequência de onda
ω = 2π . f
ω = 2π . V
ƛ
Frequência circular:
Movimento harmônico
Comprimento de onda
92
V = ƛ
T
V = ƛ . f
Sendo:
V = velocidade de onda
λ = comprimento de onda
T = período
f = frequência de onda
ω = 2π . f
ω = 2π . V
ƛ
Frequência circular:
Vibração com amortecimento 
viscoso
• O movimento de um veículo em uma estrada irregular pode ser estudado de forma 
simplificada, utilizando um modelo de um grau de liberdade e considerando que o perfil 
da estrada possui variação senoidal.
93
Vibração com amortecimento 
viscoso
Exemplo 3.3 – Veículo em movimento em uma estrada irregular
• A figura mostra um modelo simples de um veículo com 1200 kg de massa, que pode vibrar 
no sentido vertical quando percorre uma estrada irregular. O sistema de suspensão tem 
constante elástica de 400 kN/m, e fator de amortecimento de 0,5. Considerando que o 
veículo está com uma velocidade de 20 km/h, determine a sua amplitude de 
deslocamento. O perfil da estrada apresenta variação senoidal com uma amplitude Y = 
0,05 m, e comprimento de onda de 6 m.
94