Calculo Integral e Diferencial

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REVISÃO DE CONTEÚDOS DA MATEMÁTICA
ELEMENTAR DO ENSINO BÁSICO
OS NÚMEROS INTEIROS
Lembrando que todo número natural é um inteiro, mas que nem todo número inteiro é natural, exemplo os números inteiros, -5, -12, -8. O uso dos números inteiros negativos é frequente em nossos dias. Mas, durante séculos, o homem não encontrou significado para uma subtração do tipo 50 – 70. A primeira interpretação dada a uma operação como essa admitia o resultado como sendo uma dívida e possibilitou o aparecimento dos números negativos. Desta maneira, os números negativos, o zero, e os números positivos constituem o conjunto dos números inteiros, indicado pela letra Z: 
OS NÚMEROS RACIONAIS
A necessidade de efetuar medidas levou o homem a criar as frações. E, a partir delas, surgiram os números racionais. A notação decimal foi criada por volta do século XVI.
Os números que podem ser escritos como o quociente de dois números inteiros formam o conjunto dos números racionais, indicado pela letra Q: 
 
Todo número racional possui uma representação decimal, com a vírgula para separar a parte inteira da parte decimal. Desta forma, todo número inteiro é racional, pois, pode ser escrito na forma de fração com denominador um, exemplo: 
Nos números racionais escritos em notação decimal, a parte decimal pode apresentar uma quantidade finita ou infinita de algarismos. Quando a quantidade for infinita, os algarismos repetem-se periodicamente. Veja os exemplos:
Escrever o número racional usando a notação decimal.
Solução: Efetuando a divisão de 3 por 4, obtemos 0,75. Assim, , que é um decimal exato.
Escrever o número racional usando a notação decimal.
Solução: A divisão de 7 por 3 não é exata, isto é, nunca termina. No quociente obtido, o algarismo 3 repete-se indefinidamente, caracterizando uma dízima periódica. Assim: .
Entre dois números racionais há sempre infinitos números racionais.
 NÚMEROS IRRACIONAIS
Nem todas as medidas efetuadas podem ser representadas pelo quociente de dois números inteiros. Por exemplo: A divisão do comprimento de uma circunferência pela medida do seu diâmetro resulta o número que tem infinitas casas decimais que não formam período, sendo, portanto um número irracional; o cálculo da diagonal de um quadrado com medindo uma unidade de comprimento é, também um número irracional, .
 NÚMEROS REAIS
O conjunto que reúne todos os números racionais e irracionais é chamado de conjunto dos números reais e é indicado pela letra . Assim, .
POTÊNCIAS E EXPOENTES
Multiplicações com fatores iguais induziram a criação da notação de potência.
Dados um número real e um número natural , o símbolo significa a multiplicação de fatores iguais , assim:
 
Potências são extremamente convenientes para representar números muito grandes ou muito pequenos.
Exemplo 1. Um número muito grande como um bilhão que é formado por nove zeros, pode ser escrito como uma potência de dez elevada ao expoente 9, ou seja: , lembrando que no caso de potência de dez, o expoente indica a quantidade de zeros do número.
Exemplo 2. Um número muito pequeno como um milésimo ou um milionésimo, pode ser escrito usando a forma decimal, a forma de fração ou ainda na forma de potência,
 
 
 
 POTÊNCIAS DE EXPOENTE NEGATIVO
Números desse tipo um milésimo ou um milionésimo sugerem que as potências sejam escritas com a notação de expoentes negativos, como a seguir:
 
A partir dessas considerações, podemos definir:
	Faculdades Metropolitanas Unidas
Cálculo Diferencial e Integral I – Memória de Aula – Resumo e Exercícios - 01
	3
 
Observações:
 é chamado de inverso de a.
O número zero não tem inverso.
 
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
Se e são números inteiros e a e b são números reais não nulos, então;
 
POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL (FRACIONÁRIO)
A potência com expoente fracionário é igual a , onde a é um número real positivo, é um número inteiro e é um número natural, não nulo. Assim, podemos escrever:
Exemplos: 
 
 
Observações:
Na potenciação com expoentes fracionários valem as mesmas propriedades da potenciação com expoentes inteiros.
Hoje em dia, cálculos do tipo são feitos geralmente através de calculadoras científicas, com uso da tecla . Assim, 
EQUAÇÕES
Uma sentença do tipo é chamada sentença aberta e pode ser verdadeira ou falsa, de acordo com os valores atribuídos a x. Resolver uma equação na incógnita x é encontrar os valores de x que tornam a sentença verdadeira, nesse caso o único valor que satisfaz, é a chamada raiz da equação do primeiro grau.
A equação do segundo grau tem duas raízes, pois os números ou , satisfazem a equação, substituindo esses valores as sentenças se tornam verdadeiras,assim: ou .
 
RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
Toda equação que pode ser reduzida e colocada na forma, , onde os coeficientes e são números reais, com diferente de zero, recebe o nome de equação do primeiro grau.
De uma forma geral, a resolução se faz isolando a incógnita x e utilizando as propriedades das operações e as propriedades algébricas elementares.
RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
Toda equação do segundo grau pode ser reduzida a forma, , onde os coeficientes e são números reais com o coeficiente a diferente de zero, pois se a for igual a zero não existe a equação do segundo grau.
Para encontrar as raízes da equação do segundo grau, utilizamos a fórmula de “BASKHARA”, podemos observar o seguinte procedimento para a resolução:
Calculamos o Discriminante ou Delta da equação, 
Considerando que as raízes são obtidas pela seguinte fórmula, 
temos três casos possíveis, em razão do sinal do discriminante 
Se , então a equação admite duas raízes reais e diferentes;
 
Se , então a equação admite duas raízes reais e iguais; 
 
Se , então a equação não admite raízes reais, pois, no campo dos números reais, não existe raiz quadrada de número negativo. 
SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES
Na equação do segundo grau, com, e chamando as duas raízes de e temos:
Conclusão: Numa equação do segundo grau, com, , temos as seguintes relações: a soma das raízes é e o produto das raízes é .
FATORAÇÃO DO TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU
Considere uma equação do segundo grau com , chamando as raízes dessa equação de, e demonstra-se algebricamente que o trinômio do segundo grau pode ser fatorado, isto é, colocado na forma de produto, desta forma:
	
PRODUTOS NOTÁVEIS – FÓRMULAS DE FATORAÇÃO
 Diferença de Quadrados
 Quadrado da Diferença
Observar que e lembrar que 
 Quadrado da Soma
 Cubo da Soma
 Cubo da Diferença
 Soma de Cubos
 Diferença de Cubos
CONCEITO INTUITIVO DE FUNÇÃO
A noção de função surgiu da necessidade de analisar e entender fenômenos naturais, econômicos, psicológicos etc.
Exemplo: Para saber o valor cobrado em reais por um taxi, em um percurso de x quilômetros, considerando que para esse serviço cobra-se um fixo de R$ 8,00 (bandeirada) e mais R$ 4,00 por quilômetro rodado. Devemos obter uma expressão que relaciona o preço cobrado y com os quilômetros rodados x.
Solução: Se cada quilômetro rodado custa R$ 4,00, então em um percurso de x quilômetros, temos:
, a esse valor deve ser somado o valor da bandeirada R$ 8,00. Assim, o preço cobrado pelo serviço y pode ser escrito, ou 
Desse modo, descobrimos uma expresão que relaciona y com x. A partir dessa lei, vamos construiruma tabela de valores, um diagrama de flechas e um gráfico cartesiano.
Tabela: 
	X (Km)
	0
	1
	2
	3
	4
	Y (R$)
	8
	12
	16
	20
	24
Exercício: Faça o Diagrama de Flechas e o Gráfico Cartesiano 
 
UMA DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
Uma relação f entre dois conjuntos A e B é uma função se e somente se:
Todo elemento x pertencente ao conjunto A tem um correspondente y pertencente a B definido pela relação, chamado imagem de x. 
A cada x pertencente ao conjunto A não podem corresponder dois ou mais elementos de B por meio de f (isto é, a cada x pertencente a A corresponde uma única imagem em B).
Indicamos: 
Observações: 
 I. O conjunto A dos elementos x , chamada variável independente, é o Domínio da função.
II. O conjunto B dos elementos y, chamada variável dependente, é o Contra Domínio da função.
III. O conjunto Imagem da função é formado pelos valores de y que têm correspondentes no conjunto A. O conjunto Imagem é um subconjunto do Contra Domínio B.
Função do Primeiro Grau ou Função Linear 
Seja função definida com Domínio e Contra-Domínio no conjunto dos números reais, assim, o conjunto imagem também será o conjunto dos números reais
 ou (com ), o seu gráfico cartesiano é uma reta.
Onde, é o coeficiente angular da reta e é o coeficiente linear. 
Coeficiente Angular da função do primeiro grau ou da reta
O coeficiente angular de uma reta não vertical pode ser obtido a partir de dois pontos quaisquer conhecidos da reta. Sejam e , o coeficiente angular é o quociente obtido da divisão entre a diferença de ordenadas pela diferença de abscissas. Chamando o coeficiente angular de , temos a fórmula, 
Equação da Reta (da função do primeiro grau)
Quando se conhece o coeficiente angular e um ponto qualquer da reta, podemos obter a equação da reta substituindo na seguinte fórmula, 
Onde, , são as coordenadas de um ponto conhecido qualquer da reta.
Função do Segundo Grau ou Função Quadrática 
É a função definida pela lei ( com domínio no conjunto dos números reais. O gráfico cartesiano da função do segundo grau é uma parábola. A concavidade (boca) da parábola será voltada para cima se o coeficiente for positivo. E, terá a concavidade voltada para baixo se o valor de for negativo.
Conjunto Imagem da função e Coordenadas do Vértice da Parábola
O conjunto imagem desta função tem um valor máximo ou mínimo que é o vértice da parábola.
Se o coeficiente (concavidade voltada para cima) o vértice da parábola será um ponto de mínimo da função e se (concavidade voltada para baixo) o vértice da parábola será um ponto de máximo da função. As coordenadas do vértice obedecem as seguintes fórmulas:
Abscissa, e ordenada, onde 
 
 LIMITES: UMA INTRODUÇÃO INTUITIVA
 Limite de Funções – Limites Laterais
O conceito de limite de funções tem grande utilidade na determinação do comportamento de funções nas vizinhanças de um ponto fora do domínio, no comportamento de funções quando aumenta muito (tende para infinito) ou diminui muito (tende para menos infinito). Além disso, o conceito de limite é utilizado em derivadas.
Intuitivamente, dada uma função e um ponto do domínio, dizemos que o limite da função é
 quando tende a pela direita ( ) se, à medida que se aproxima de pela direita (isto é, por valores superiores a ), os valores de se aproximam de . 
Simbolicamente, escrevemos: 
Analogamente, dizemos que o limite da função é quando tende a pela esquerda ( ) se,
 à medida que se aproxima de pela esquerda (isto é, por valores inferiores a), os valores de se aproximam de . Simbolicamente escrevemos:
Caso L = M, ou seja, os limites laterais são iguais, dizemos que existe o limite de quando tende a 
 e escrevemos: 
Observação importante: quando os limites laterais L e M são diferentes, dizemos que não existe o limite de quando x tende a b (embora existam os limites laterais).
Limites Infinitos
Consideremos a função definida para todos os números reais diferentes de 3. Vejamos o que acontece com esta função na vizinhança de 3, ou seja, para valores de próximos de 3.
Para valores de maiores que 3, por exemplo: (3,1; 3,01; 3,001; 3,0001; ...), dizemos limite da função 
 quando tende a 3 pela direita. Calculando estas imagens, observamos que elas vão ficando cada vez maiores, superando qualquer valor fixado. Dizemos, neste caso que o limite , quando tende a 3 pela direita, é infinito e escrevemos:
Analogamente, para calcularmos o limite de pela esquerda, vamos atribuir a , por exemplo, os valores: (2,9; 2,99; 2,999; 2,9999; ...)
Calculando estas imagens, observamos que elas vão diminuindo cada vez mais, ficando abaixo de qualquer valor fixado. Dizemos que o limite de é menos infinito, quando tende a 3 pela esquerda, e escrevemos:
De um modo geral, o limite de uma função é infinito, quando os valores de vão ficando cada vez maiores, superando qualquer valor fixado; da mesma forma, dizemos que o limite de uma função é menos infinito, quando os valores de vão ficando cada vez menores, de modo a se situarem abaixo de qualquer valor fixado.
Observando que os limites laterais são diferentes,
 
concluímos que não existe o limite no ponto , indicamos:
Formas indeterminadas 
Consideremos a função e vejamos qual o limite quando x tende a 2; se x tender a 2 pela esquerda ou pela direita , notamos que o numerador tende a zero, bem como o denominador. Teríamos então uma função impossível de ser calculada e que é chamada de forma indeterminada.
Todavia, observamos que a expressão de pode ser simplificada fatorando (escrevendo na forma de 
produto) o denominador, ou seja:
 assim, podemos escrever, 
Propriedades dos Limites
Suponha que representa um dos limites laterais , , , ou . Se existem e , então
 se 
Em outras palavras, estas propriedades estabelecem que:
O limite da soma é a soma dos limites.
O limite da diferença é a diferença dos limites.
O limite do produto é o produto dos limites.
O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o limite do denominador não seja zero.
Limites de Funções Racionais (quociente entre funções) quando ou 
Se dividirmos o numerador e o denominador de uma função racional pela potência mais alta de x que aparece no denominador, então todas as potências no denominador se tornam constantes ou potências de .
Exemplo: Calcular o limite
Solução: Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de que aparece no denominador, isto é,
 . Obtemos
	Faculdades Metropolitanas Unidas
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	13
2. INTRODUÇÃO
Em Economia e Administração o conceito de derivada é utilizado principalmente no estudo de gráfico de funções, determinação de máximos e mínimos e cálculo de taxas de variações de funções. 
2.1. Taxa média de variação de uma função
Chamamos de taxa média de variação de uma função, para variando de até , ao quociente: 
 
Tal taxa mede o ritmo de variação da imagem relacionada à variação de . Observemos ainda que a taxa média de variação depende do ponto de partida de e da variação de , dada por .
Usando o símbolo para indicar uma variação, podemos indicar uma taxa média de variação da função pela relação:
 
 
3. O CONCEITO DE DERIVADA
3.1. Derivada de uma função num ponto
Seja uma função e um ponto de seu domínio. Chamamos de derivada de no ponto , se existir e for finito, o limite dado por:Indica-se a derivada de no ponto por ou ou ainda por .
3.2. Função Derivada
Dada uma função , podemos pensar em calcular a derivada de num ponto genérico , ao invés de calcular num ponto particular . A essa derivada, calculada num ponto genérico , chamamos de função derivada de ; o domínio dessa função é o conjunto dos valores de para os quais existe a derivada de . A vantagem em calcular a função derivada é que com ela poderemos calcular a derivada de em qualquer ponto , bastando parta isso substituir, na função derivada, por.
Indicando a variação de por definimos a função derivada 
Exemplo1. Calcular a função derivada de . Temos,
 
 
 
 Portanto, a função derivada de é 
Exemplo 2. Calcular o valor da derivada da função no ponto .
NOTAÇÃO DE LEIBNIZ PARA O CÁLCULO DA DERIVADA
Dada a função podemos indicar o cálculo da sua derivada pela notação de Leibniz:
 (lê-se: derivada de em relação à variável ) ou, também (lê-se: derivada da função em relação à variável )
EXEMPLO DO USO DAS DIVERSAS NOTAÇÕES PARA O CÁLCULO DAS DERIVADAS
Seja . Calcule a derivada.
 Podemos indicar o cálculo das seguintes maneiras: 
TABELA DAS DERIVADAS DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES
 
1. Derivada da Função Constante
Se (função constante), então , para todo . 
2. Derivada da Função Potência
Se , então 
Se , então , para 
Se , então , onde se for par .
3. Derivada da Função Logarítmica
Se para , e , então 
Se para então 
4. Derivada da função Exponencial
Se , então , para todo real (com e ).
Se , então , para todo real.
5. Derivada das Funções Trigonométricas
 
 
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
As propriedades operatórias permitem achar as derivadas de somas, diferenças, produtos e quocientes de funções elementares. 
Sejam as funções e 
(P1) , onde é uma constante
(P2) (Derivada de uma soma de funções)
(P3) (Derivada de uma diferença de funções)
(P4) (Derivada do produto de funções)
(P5) (Derivada do quociente de funções)
	Prefixo
	Símbolo
	Extenso
	Decimal
	Potência de dez
	exa
	E
	quintilhão 
	1.000.000.000.000.000.000
	1018
	peta
	P
	Quadrilhão
	1.000.000.000.000.000
	1015
	tera 
	T
	Trilhão
	1.000.000.000.000
	1012
	giga
	G
	Bilhão
	1.000.000.000
	109
	mega
	M
	Milhão
	1.000.000
	106
	quilo
	q
	Mil
	1.000
	103
	hecto
	h
	Cem
	100
	102
	deca
	da
	Dez
	10
	101
	unidade
	-
	Unidade
	1
	10-0
	deci
	d
	Décimo
	0,1
	10-1
	centi
	c
	Centésimo
	0,01
	10-2
	mili
	m
	Milésimo
	0,001
	10-3
	micro
	µ
	Milionésimo
	0,000.001
	10-6
	nano
	n
	Bilionésimo
	0,000.000.001
	10-9
	pico
	p
	Trilionésimo
	0,000.000.000.001
	10-12
	femto
	f
	Quadrilionésimo
	0,000.000.000.000.001
	10-15
	atto 
	a 
	quintilionésimo 
	0,000.000.000.000.000.001
	10-18