ed-ii-p1-transformada-laplace-aula6

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Equações diferenciais II
Parte I (Transformada de Laplace)
Aula 6
Andrey M. Pupasov-Maksimov
Universidade Federal de Juiz de Fora
pupasov.maksimov@ufjf.edu.br
20 de Março de 2015
Andrey M. Pupasov-Maksimov (UFJF) ED II.1.1 20 de Março de 2015 1 / 15
Plano de aula
1
Integral de convolução
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Motivação
Consideramos as transformadas de Laplace F (s) e G (s) de dois funções
f (t) e g(t). É possível determinar transformada inversa para o produto
F (s)G (s)?
Ja sabemos um caso particular. Quando F (s) = e−ks , transformada inversa
de e
−ksG (s) definida pelo a Segunda teorema de deslocamento
L−1
{
e
−ksG (s)
}
= g(t − k)uk(t) .
Para tratar caso geral,
L−1 {F (s)G (s)} =?
precisamos uma conceito novo de integral de convolução.
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Integral de convolução
Consideramos dois funções f (t) e g(t). Diz-se que o integral
t∫
0
f (t − τ)g(τ)dτ
define convolução de funções f e g . Denotaremos esse integral usando
sinal ∗
(f ∗ g)(t) =
t∫
0
f (t − τ)g(τ)dτ
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Integral de convolução. Exemplos.
1) f (t) = 1, g(t) = t,
(f ∗ g)(t) = (1 ∗ t)(t) =
t∫
0
f (t − τ)g(τ)dτ =
t∫
0
1 · τdτ =
t2
2
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Integral de convolução. Exemplos.
2) f (t) = t, g(t) = t,
(f ∗ g)(t) = (t ∗ t)(t) =
t∫
0
f (t − τ)g(τ)dτ =
t∫
0
(t − τ) · τdτ =
(
t
τ2
2
− τ
3
3
)∣∣∣∣t
0
=
t3
6
Exercício. Determinar (tn ∗ tm)(t) =?
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Integral de convolução. Exemplos.
3) f (t) = 1, g(t) = sin t,
(f ∗ g)(t) = (1 ∗ sin t)(t) =
t∫
0
f (t − τ)g(τ)dτ =
t∫
0
1 · sin τdτ =
− cos τ |t
0
= 1− cos t
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Integral de convolução. Propriedades.
1) Comutatividade.
(f ∗ g)(t) = (g ∗ f )(t)
Consideramos o definição de convolução (f ∗ g)(t) =
t∫
0
f (t − τ)g(τ)dτ e
introduzimos uma variável
u(τ) = t − τ , du = −dτ ,
u(0) = t , u(t) = 0 , τ = t − u ,
(f ∗ g)(t) =
t∫
0
f (t − τ)g(τ)dτ = −
0∫
t
f (u)g(t − u)du =
t∫
0
g(t − u)f (u)du = (g ∗ f )(t) .
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Integral de convolução. Propriedades.
1) Associatividade.
(f ∗ (g ∗ h))(t) = ((f ∗ g) ∗ h)(t)
Denotaremos
(g ∗ h)(τ) =
τ∫
0
g(τ − u)h(u)du = g
1
(τ) ,
(f ∗ g)(t) =
t∫
0
f (t − τ)g(τ)dτ = f
1
(t) ,
e substituímos
(f ∗(g∗h))(t) =
t∫
0
f (t−τ)g
1
(τ)dτ =
t∫
0
f (t−τ)
 τ∫
0
g(τ − u)h(u)du
 dτ
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Associatividade, f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h
(f ∗(g∗h))(t) =
t∫
0
f (t−τ)g
1
(τ)dτ =
t∫
0
f (t−τ)
 τ∫
0
g(τ − u)h(u)du
 dτ =
∫∫
A
f (t − τ)g(τ − u)h(u)dudτ
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Associatividade, f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h
∫∫
A
f (t − τ)g(τ − u)h(u)dudτ =
t∫
0
duh(u)
 t∫
u
f (t − τ)g(τ − u)dτ
 =
τ − u = x , τ = x + u ,
dτ = dx ,
x(τ = u) = 0 , x(τ = t) = t − u .
t∫
0
duh(u)
 t−u∫
0
f (t − u − x)g(x)dx
 = t∫
0
duh(u)f
1
(t − u)du =
(h ∗ f
1
)(t) = ((f ∗ g) ∗ h)(t)
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Transformada de Laplace de integral de convolução
Problema 1. Sejam funções f (t) e g(t) possuem as transformadas de
Laplace F (s) e G (s). Determinar a transformada de Laplace para
convolução f ∗ g ,
L{(f ∗ g)(t)} (s) =
∞∫
0
(f ∗ g)(t)e−stdt
Resolução.
∞∫
0
 t∫
0
f (τ)g(t − τ)dτ

e
−stdt =
∞∫
0
dτ f (τ)
 ∞∫
τ
e
−stg(t − τ)dt

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∞∫
0
dτ f (τ)
 ∞∫
τ
e
−stg(t − τ)dt
 =
t − τ = u , t = u + τ
=
∞∫
0
dτ f (τ)
 ∞∫
0
e
−su−sτg(u)du
 = ∞∫
0
dτ f (τ)e−sτ
 ∞∫
0
e
−sug(u)du
 =
∞∫
0
dτ f (τ)e−sτG (s) = G (s)F (s)
Conclusão
L{f ∗ g} (s) = F (s)G (s) ,
L−1 {F (s)G (s)} (t) = (f ∗ g)(t) ,
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Calculo de integral de convolução usando a transformada de
Laplace
Problema 2. Determinar (ua ∗ ub)(t).
Resolução.
Consideramos produto de L{ua(t)} (s) = e−ass e L{ub(t)} (s) = e
−bs
s ,
L{ua(t)} (s)L{ub(t)} (s) = e
−(a+b)s
s2
Aplicamos a transformada inversa
L−1 [L{ua(t)} (s)L{ub(t)} (s)] (t) = L−1
[
e
−(a+b)s
s2
]
(t)
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Agora considerarmos L−1
[
e
−(a+b)s
s2
]
(t) = L−1 [ 1
s2
e
−(a+b)s] (t).
Segunda teorema de deslocamento implica que
L−1 [ 1
s2
e
−(a+b)s] (t) = L−1 [ 1
s2
]
(t − a− b)ua+b(t), substituindo
L−1 [ 1
s2
]
(t) = t, L−1 [ 1
s2
]
(t − a− b) = (t − a− b), recebemos
L−1 [L{ua(t)} (s)L{ub(t)} (s)] (t) = (ua ∗ ub)(t) = (t − a− b)ua+b(t)
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