CUSTOS E PREÇOS PDF Unidade III

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Unidade III
Unidade III
7 FORMAÇÃO DO PREÇO DE VENDA
Se você retomar os objetivos específicos desta disciplina, verá que são: capacitá-lo a classificar 
os custos de acordo com o seu comportamento, apurar o custo de produção pelos principais sistemas 
de custeio e identificar o sistema de custeio que melhor se adapte às estratégias operacionais 
e administrativas da organização; e capacitá-lo a estabelecer o preço de venda sob diferentes 
situações competitivas e de percepção de valor pelos clientes, bem como considerando os custos 
do produto ou serviço.
Neste capítulo será abordada a especificação do preço de venda tendo em conta o ciclo de vida 
organizacional da empresa. Esta é uma abordagem teórico-empírica muito útil, pois simplifica a 
determinação da estratégia de precificação a adotar; com efeito, Goulart Júnior (2000) fez um estudo de 
casos múltiplos em cinco empresas, demonstrando que há uma associação entre o estágio da instituição 
e o tipo de preço que praticam. Tal estudo confirmou que “o domínio dos processos de custeio e 
precificação e a oportunidade de seu uso é condizente com a estrutura interna dessas organizações e 
determinante para a estratégia dos negócios” (GOULART JÚNIOR, 2000, p. 10). O autor do estudo com 
isto quer dizer que o estabelecimento do preço depende fundamentalmente de duas coisas:
• dos tipos de custeio utilizados pelas empresas (basicamente: custeio por absorção com rateio 
simples e por meio de departamentalização; custeio baseado em atividades, conhecido também 
como ABC; e custeio variável, denominado também custeio direto; e
• da estrutura organizacional da empresa, isto é, pelo modo como a autoridade é distribuída. A 
estrutura organizacional, de acordo com Sobral e Peci (2013, p. 53), é o resultado final do processo 
de organização. Refere-se ao modo como as atividades de uma companhia são ordenadas 
para possibilitar o alcance dos objetivos. Essa estrutura especifica os papéis, as relações e os 
procedimentos organizacionais que proporcionam uma ação coordenada de seus membros. Notar 
que a representação gráfica da estrutura de uma organização, de acordo com esses autores 
(p. 254), é o organograma que mostra as funções, os departamentos e os cargos da empresa, 
especificando também como eles se relacionam.
Cada retângulo de um organograma representa a forma de dividir o 
trabalho e os critérios de departamentalização usados pela organização. 
Esses retângulos são dispostos em níveis e representam a hierarquia da 
organização. As linhas que ligam os retângulos referem-se à distribuição da 
autoridade ou à cadeia de comando, indicando quem está subordinado a 
quem (SOBRAL; PECI, 2013, p. 254).
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CUSTOS E PREÇOS
O modelo de Goulart Júnior (2000) chama a atenção para o seguinte fato: com a globalização dos 
mercados, as empresas passaram a sofrer maior concorrência e, para enfrentá-la, tiveram que melhorar 
seus produtos, diminuindo os custos e buscando adotar processos mais velozes e de melhor qualidade.
 Observação
Processo é um conjunto repetitivo de atividades logicamente ordenadas 
para que um dado objetivo ou resultado seja alcançado, já projeto é o 
inverso, um conjunto não repetitivo de atividades logicamente ordenadas.
Por exemplo, emitir o balancete da empresa mensalmente é um 
processo; implantar o sistema de custeio ABC é um projeto.
Goulart Júnior (2000, p. 12) continua sua argumentação afirmando que as mudanças pelo aumento 
da concorrência forçaram as empresas a controlar os custos, para tal diminuindo as perdas e os 
desperdícios. Isto fez com que elas passassem a ter um conhecimento mais preciso dos custos realmente 
embutidos em cada produto.
Conhecer os custos que verdadeiramente constituem cada produto só é possível pela implantação 
de sistemas de custeio adequados. Isto conduz a empresa a adotar métodos de precificação, isto é, 
formas para estabelecer preços, que levam em conta as necessidades do mercado.
• Processo de custeio: formas, sistemas e métodos de custeio utilizados pelas empresas como 
fatores-chave de sucesso no seu ciclo de vida.
• Processo de precificação: métodos e políticas para especificação dos preços dos produtos ou 
serviços utilizados pelas empresas como fatores-chave de sucesso no ciclo de vida.
• Fatores críticos de sucesso: poucas, mas relevantes propriedades, que são obrigatórias para o 
sucesso de uma atividade. Por exemplo, para um professor, didática e conhecimento são fatores 
críticos de sucesso.
Ainda o autor pondera que o conhecimento do estágio de cada empresa no ciclo de vida das 
organizações é um fator importante para que elas consigam aprimorar seus processos de gestão. Goulart 
Júnior (2000, p. 13) afirma que se a empresa conhece a sua posição no ciclo de vida organizacional, sabe 
assim quais as suas metas e fatores-chave de sucesso necessários para destacar-se no mercado.
 Observação
Ciclo de vida organizacional é uma metáfora, uma imagem, que se utiliza 
para auxiliar no conhecimento dos processos de mudanças vivenciados 
pelas organizações ao longo de sua trajetória.
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Considera-se que uma empresa tem uma história de vida semelhante a um ser vivo, que nasce, 
cresce, alcança a maturidade, fica estável por um certo período e envelhece.
Há inúmeros modelos de ciclo de vida organizacional, os mais utilizados são: Victor e Boynton 
(1998), Scott e Bruce (1987), Miller e Friesen (1984) e Lester, Parnell e Carraher (2003). O modelo 
de Greiner (1972), embora não incluído entre os mais utilizados, é famoso. Goulart Júnior (2000, p. 
21) aborda, entretanto, outros modelos: o de Adizes (1990), que considera que para cada fase são 
definidas metas, comportamentos, lideranças e funções específicas (cinco fases de crescimento e 
cinco de envelhecimento); e o de Kaufmann (1990), que considera quatro fases com base na cultura 
corporativa: poder e liderança; autoridade e delegação; mudanças culturais; e planejamento e 
qualidade dos recursos humanos.
Goulart Júnior (200, p. 31) optou por propor um ciclo de vida organizacional que resume as fases 
de cada um dos modelos que abordou para compor um quadro de referência, o qual veremos a seguir.
Aumento de produção
Crescimento das vendas
Retorno sobre investimento
Fluxo de caixa
Aumento do lucro
FlexibilidadeAumento do lucro
Crescimento das vendas
Nascimento
Envelhecimento
Crescimento
EstabilidadeMaturidade
Figura 28 – Síntese do ciclo de vida organizacional proposto por Goulart Júnior
Conforme o modelo proposto pelo autor (2000, p. 34):
• Na fase de nascimento o poder é centralizado, as formas de controle são precárias e o planejamento 
é de curtíssimo prazo: observa-se o aumento da produção e o crescimento das vendas.
• Na fase de crescimento as tarefas se tornam mais complexas, os funcionários mais especializados 
e surgem as necessidades de informação e controle formal. Os lucros tendem a aumentar.
• Na fase de maturidade tanto as vendas como os lucros são metas de desempenho, pois além do 
domínio total dos processos de produção que geram maior flexibilidade e resultados financeiros 
e operacionais, a estrutura da empresa está sendo adequada ao volume de vendas e à fatia do 
mercado. Nesta etapa observam-se o aumento do lucro e o crescimento das vendas.
• Na fase de estabilidade a empresa apresenta-se institucionalizada e profissionalizada, com 
bons sistemas de controle. Ela possui domínio da fatia de mercado, os lucros são altos, comvendas acima da média do setor, o controle do negócio é descentralizado com a delegação 
das decisões.
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• Na fase de envelhecimento a empresa apresenta cultura própria, mas começam a ocorrer exageros 
nas atividades burocráticas. Ela começa a perder a sua flexibilidade e o desempenho passa a ser 
medido pelo retorno sobre os investimentos e pelo fluxo de caixa.
Os resultados da pesquisa de Goulart Júnior (2000) estão resumidos a seguir.
Quadro 16 – Síntese das características encontradas nas empresas em cada fase: Cíclica
Ciclo Custo Preço Lucro
Nascimento (P=C+L) 
Aum. da produção 
Cresc. das vendas
Baseado em volume 
por recursos variável ou 
integral
Preço de mercado 
Política de seguir 
preços
Diferença entre os 
preços e os custos
Crescimento (P=C+L) 
Aumento do lucro
Baseado em volume por 
centros de custos 
Absorção integral
Por mark-up
Política de aumento da 
qualidade
Margem fixa acrescida 
ao preço de aquisição
Maturidade (L=P-C) 
Aum. do lucro
Cresc. das vendas
Base vol. ou ativid.
por centros de resp.
Absorção integral
Valor percebido
Política de reduzir 
preços
Alcançado pelo 
controle dos custos
Estabilidade (L=P-C)
Flexibilidade
Status quo
Baseado em atividade 
por centros de resp. por 
atividade
Preço de valor
Política de aumento da 
quali. e preço
Define o status quo da 
empresa
Envelhecimento 
(C=P+L)
Retorno do investim.
Fluxo de caixa
Baseado em atividade 
por atividade
Retorno-alvo
Política de inovações
Resultado de
melhorias no processo
Fonte: Goulart Júnior (2000, p. 71).
7.1 Modelo de precificação ou de formação do preço de venda
Goulart Júnior (2000) fez uma pesquisa empírica e concluiu que, conforme o ciclo de vida da 
empresa há a utilização de sistemas de custeio e de precificação condizentes com a estrutura interna 
da organização.
Isto quer dizer que a evolução do processo de custeio e de precificação está fortemente 
associado às fases do ciclo de vida que a empresa vive. Por isso, basta conhecer em qual 
estágio se encontra a companhia dentro do seu ciclo de vida organizacional para que se possa 
especificar a forma mais apropriada de controlar os custos, definir os preços e a estratégia 
para obter o lucro.
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7.1.1 Custos, preços e lucros na fase de nascimento
Na fase de nascimento, de acordo com Goulart Júnior (2000, p. 34):
A empresa começa perseguindo o aumento de produção e o crescimento 
das vendas como forma de conquistar uma demanda cativa e sua fixação 
no mercado. Na fase de crescimento as tarefas se tornam mais complexas, 
os funcionários mais especializados e surgem as necessidades de informação 
e controle formal. Ocorrem definições das responsabilidades, autoridade e 
especificações de cargos. A meta de desempenho perseguida é o aumento 
no lucro, pois a empresa conhece sua posição no mercado e passa a dominar 
seu processo produtivo, alterando os seus valores anteriores e direcionando-se 
para os aspectos qualitativos de seus produtos com maior grau de apropriação.
Nesta fase apenas demonstrativos financeiros exigidos pelo fisco são produzidos. Neste contexto a 
fórmula básica que orienta a estratégia custos versus preços, o sistema de custeio, o modo de precificação 
e a origem do lucro são:
• Fórmula básica: P= C + L. O preço é uma função do custo; ele depende do custo. Neste caso, 
corresponde ao custo mais uma parcela de lucro.
• Sistema de custeio: na fase de nascimento, começa a ser definida a estrutura para o 
controle. As comunicações são informais, a empresa procura assimilar as necessidades da 
demanda tentando se firmar no mercado. As metas de desempenho são o aumento da 
produção e o crescimento das vendas. O poder está centralizado e a empresa não apresenta 
departamentos. Ainda nesta etapa, algumas instituições passam a adotar o método de 
custeio variável para controlar os custos fixos e variáveis que são identificados no plano 
de contas, e quando apresentam maior número de produtos, aplica-se o rateio dos custos 
fixos indiretos, determinando o custo do produto pelo método por absorção integral. Porém, 
enquanto o domínio do processo produtivo não é alcançado, elas apenas analisam seus 
custos, não podendo alterá-los.
• Modo de precificação: a precificação por preço de mercado junto ao custeamento por recursos 
determina algumas alternativas à empresa. Algumas delas, no desejo de crescimento de suas 
vendas, estabelecem o preço abaixo do mercado acreditando em lucros maiores em longo prazo. 
Contudo, a maioria segue o preço de mercado que supre a falta de conhecimento técnico dos 
próprios custos como base de precificação.
• Origem do lucro: é obtido pela diferença entre o preço de mercado e os custos.
 Lembrete
A evolução do processo de custeio e de precificação está fortemente 
associado às fases do ciclo de vida que a empresa vive.
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7.1.2 Custos, preços e lucros na fase de crescimento
Na fase de crescimento, as tarefas se tornam mais complexas, com funcionários mais 
especializados e surgem outras necessidades formais de informação e controle. Ocorrem definições 
das responsabilidades, autoridades e especificações de cargos. A meta de desempenho é o aumento 
do lucro. A empresa começa a buscar maior grau de apropriação de capital do seu processo produtivo.
Para Goulart Júnior (2000, p. 69):
Esta fase frequentemente é marcada pela divisão da empresa em centros de 
custos. As empresas estabelecem preços que maximizem seu faturamento 
visando aumentar os lucros no longo prazo, ocorrendo crescimento na 
participação de mercado.
Neste contexto, a fórmula básica que orienta a estratégia custos versus preços, o sistema de custeio, 
o modo de precificação e a origem do lucro são:
• Fórmula básica: P= C + L.
• Sistema de custeio: a forma de custeamento por centros de custos implantada segue o método de 
custeio por absorção que contribui para a distribuição dos recursos aos centros de custo através 
dos rateios de custos indiretos fixos e determinação dos custos diretos aos produtos.
• Modo de precificação: o preço ainda é defenido pelo mercado, podendo o lucro ser obtido como 
margem fixa acrescida ao preço de aquisição ou custos de produção.
• Origem do lucro: com a precificação por mark-up, os preços praticados no mercado conduzem a 
empresa a determinar uma margem fixa que cubra os lucros desejados.
7.1.3 Custos, preços e lucros na fase de maturidade
Para Goulart Júnior (2000, p. 69), na fase de maturidade a estrutura hierárquica é bem definida:
As responsabilidades e autoridades estão definidas, ocorrendo necessidade 
de delegação das decisões. A empresa está burocratizada, com comunicação 
formalizada e controle estruturado. As metas de desempenho da empresa 
são o aumento do lucro e o crescimento das vendas.
Neste contexto, a fórmula básica que orienta a estratégia custos versus preços, o sistema de custeio, 
o modo de precificação e a origem do lucro são:
• Fórmula básica: L= P - C. Note que embora a equação L= P - C matematicamente implique L + 
C= P, de modo operacional é lida com outro sentido: o lucro é o que sobra quando do preço (dado 
pelo mercado) se diminui o valor dos custos.
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• Sistema de custeio: a necessidadede apuração acurada dos custos de produção induz à 
utilização do método de custeio por absorção em um sistema baseado em atividades. Assim, 
nos processos produtivos limitados aos centros de responsabilidades, são direcionados os 
recursos por atividade.
• Modo de precificação: nesta fase o controle dos custos deixa a empresa em condições de 
estabelecer seu preço, buscando maiores lucros e com maior qualidade dos produtos.
• Origem do lucro: a precificação por valor recebido fixa preços onde os atributos valorizados pelos 
clientes no produto são destacados, podendo a empresa aumentar seus preços agregando o valor 
da qualidade e com isso elevar seus lucros.
7.1.4 Custos, preços e lucros na fase de estabilidade
Na fase de estabilidade, afirma Goulart Júnior (2000, p. 69):
A empresa está institucionalizada, profissionalizada e com bons sistemas 
de controle. Nesta fase a coordenação é enfatizada. A empresa tem o 
domínio do processo. A empresa passa a explorar novos produtos, novos 
mercados, diversificando produtos. A descentralização do controle faz 
com que a tomada de decisões seja canalizada aos diretores e gerentes. 
A competição no mercado aumenta e a empresa necessita gerenciar 
melhor os seus custos.
Neste contexto, a fórmula básica que orienta a estratégia custos versus preços, o sistema de custeio, 
o modo de precificação e a origem do lucro são:
• Fórmula básica: L= P - C.
• Sistema de custeio: a empresa define o seu status quo com a capacidade de realizar gestão dos 
custos e dos preços. O método por preço de valor representa a forma de competir no mercado 
com custos mais baixos pela melhoria dos processos, mantendo a qualidade dos produtos para 
conquistar novos segmentos sensíveis a preço.
• Modo de precificação: o custeamento por atividades generaliza a análise das atividades em todo 
o processo produtivo, determinando a cadeia de valor e melhorias contínuas. Neste método as 
atividades são agrupadas em direcionadores comuns, que, além de direcionar recursos, fazem-no 
para as atividades necessárias ao processo.
• Origem do lucro: a precificação pode estabelecer preços mais baixos sem perda nos resultados, 
pois seus custos foram reduzidos sem depreciar sua qualidade.
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7.1.5 Custos, preços e lucros na fase de envelhecimento
Na fase de envelhecimento, afirma Goulart Júnior (2000, p. 70):
A empresa apresenta cultura própria e começa a ocorrer um exagero 
nas atividades burocráticas. Aparecem o controle sobre as inovações e o 
conservadorismo sobre o risco, focalizando a meta de desempenho como a 
rentabilidade sobre os investimentos. Nesta fase o fluxo de caixa da empresa 
se torna importante para determinar a regularidade da organização e suas 
interações com o ambiente. O controle é diluído para cada responsável 
administrativo, deixando a alta administração com menos poder na tomada 
de decisões.
Neste contexto, a fórmula básica que orienta a estratégia custos versus preços, o sistema de custeio, 
o modo de precificação e a origem do lucro são:
• Fórmula básica: C= P - L.
• Sistema de custeio: o conhecimento das atividades e objetos de custos é essencial, pois o mercado 
determina a tecnologia pelo custo. O custeio por atividades é intensificado, proporcionando o 
conhecimento correto dos custos, melhorando a gestão deles, da qualidade e do tempo, agregando 
apenas o que representa valor aos olhos dos clientes.
• Modo de precificação: nesta fase a cooperação torna-se necessária. O modelo dos processos 
identifica maior qualidade e produtividade. O mercado indica os custos mais competitivos, sendo 
o lucro resultado de melhorias no processo.
• Origem do lucro: uma precificação por retorno-alvo assegura a taxa-alvo de retorno sobre 
os investimentos perseguida como meta da empresa com volume de equilíbrio reduzido. 
A análise do custo-alvo serve como base para a melhoria contínua e gerenciamento dos 
custos executados com o conhecimento das economias de escala e o escopo da empresa, 
adequando o preço aos custos.
 Saiba mais
Para informações adicionais a respeito do tema aqui tratado, leia
GOULART JÚNIOR, R. Custeio e precificação no ciclo de vida das empresas. 
2000. Florianópolis: UFSC, 2000. Dissertação (Mestrado em Engenharia). 
Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), Santa Catarina, 2000. Disponível 
em: <https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/79373/171261.
pdf?sequence=1>. Acesso em: 5 jun. 2018.
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8 PRECIFICAÇÃO PELO MARK-UP E PRECIFICAÇÃO MAXIMIZANTE
Neste capítulo ensinaremos como estabelecer o preço utilizando o conceito de mark-up e também 
como determinar o preço de um produto que maximiza o lucro ou maximiza a receita.
8.1 Precificação pelo mark-up
O mark-up é um valor aplicado sobre o custo de um produto ou serviço com vistas a estabelecer o 
preço de venda. Este conceito é baseado na ideia de cost plus pricing ou preço margem, que consiste 
em adicionar-se ao custo unitário do produto ou do serviço uma margem segura que cubra impostos, 
comissões, despesas e o lucro bruto desejado para formar o preço de venda. Este modelo é muito utilizado, 
especialmente nos casos de empresas dos ramos de comércio que compram e revendem produtos. Neste 
caso o preço de venda é estabelecido considerando o custo do produto, que é multiplicado por um valor 
denominado mark-up:
Preço de venda= Custo (mark-up)
Por exemplo, se um produto é comprado por $ 50,00 e o mark-up= 3, então:
Preço de venda= $ 50 (2,5)= $ 125.
É importante ter em mente que o valor do mark-up é calculado com base no produto e nas 
características próprias da organização. Muitas empresas “adotam” o mark-up utilizado pelo “setor” e 
podem estar elaborando graves erros.
O mark-up é, de forma geral, um valor multiplicador como no exemplo anterior (= 2,5), mas é 
sempre possível estabelecer um mark-up divisor, pelo simples fato de que multiplicar um valor por 2,5 
é o mesmo que dividi-lo por 1/2,5 — ou seja, por 0,40:
Preço de venda= $ 50/0,40= $ 125.
Seu cálculo é relativamente simples, desde que sejam conhecidos os valores relacionados aos 
impostos incidentes sobre o produto e o porcentual que as despesas representam das vendas.
Exemplo:
Suponha uma empresa comercial que possua receita bruta da ordem de $ 2.000.000, com despesas 
gerais correspondentes a cerca de $ 200.000, que compra um produto por $ 7,00 a unidade. Ela considera 
17% de ICMS, 3,65% de PIS/Cofins e deseja obter lucro antes do imposto de renda e contribuição social 
na ordem de 20%. Qual o valor do mark-up que deve ser utilizado? Qual o preço de venda do produto?
A tabela a seguir resume as informações necessárias consideradas ao referido cálculo. Note que os 
valores são incidentes sobre o preço de venda final. Para calcular o mark-up, é necessário fazer a soma 
dos porcentuais. No caso, a soma dá 45,65%.
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CUSTOS E PREÇOS
Tabela 90 
ICMS da venda 17,00%
PIS/Cofins 3,65%
Despesas 10,00%
Lucro antes dos tributos 15,00%
Total 45,65%
• O mark-up divisor será: 100% - 45,65%= 54,35% ou 0,5435.
• O mark-up multiplicador será: 1/0.5435= 1,8399264= 1,84.
O preço de venda pode ser calculado de dois modos:
• Preço de venda = Custo (mark-up)= $ 7/0,5435= $ 12,88.
• Preço de venda = Custo (mark-up)= $ 7 (1,84)= $ 12,88.
A tabela a seguir mostra a destinação dos valores recebidos pela venda do produto ao preço de $ 
12,88: $ 2,19 para ICMS, $ 0,47 para PIS/Cofins, $ 1,29 suportaas despesas, $ 1,93 para lucro e $ 7,00 
paga a compra do produto.
Tabela 91 
Venda= 12,88
ICMS da venda 17,00% 2,19
PIS/Cofins 3,65% 0,47
Despesas 10,00% 1,29
Lucro antes dos tributos 15,00% 1,93
Custo= 7,00
8.2 Função demanda
Neste item serão apresentadas as técnicas que podem ser adotadas para se estabelecer um preço 
que maximize a receita.
Em primeiro lugar, aprendemos a calcular uma função demanda de diversos modos: usando softwares 
estatísticos; manualmente, pelo sistema de mínimos quadrados e utilizando o Excel.
Na sequência se define o processo para estabelecer o preço que maximiza a receita e, depois, aquele 
que maximiza o lucro.
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A precificação para maximizar a receita pressupõe que se saiba estabelecer a curva da demanda 
em razão do preço do produto. Ou seja, é preciso conhecer quantos produtos são vendidos a um 
determinado preço.
Geralmente a empresa “testa” o mercado buscando entender como funciona a relação preço 
demanda. Por exemplo, uma companhia fabrica um determinado produto XPT e observou o seguinte 
comportamento de demanda:
Tabela 92 
Preço unitário $ Demanda (mil)
100 250
150 230
200 190
210 150
Com estas informações é possível estabelecer a equação de demanda do tipo:
Q= a + bp
Onde:
• Q é a quantidade demandada
• p é o preço unitário
• a e b são fatores 
Como quanto maior for o preço menor será a demanda, a equação de demanda tem a forma geral:
Q= a - bp
8.2.1 Função de demanda por meio de softwares estatísticos
No presente caso, a equação de demanda é dada por: Q= 340,0 - 0,82 p.
Por esta equação, fica-se sabendo que quando o preço é igual a 180 $, serão vendidas: Q= 340,0 - 
0,82 (180)= 192,4.
Ao preço unitário de 180 $, tem de ser vendidas 192,4 mil unidades do produto XPT.
Uma solução feita no software Minitab é a apresentada a seguir.
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CUSTOS E PREÇOS
100 120 140 160 180 200 220
250
225
200
175
150
De
m
an
da
Preço
Gráfico de associação Preço x Demanda
Demanda = 340,0 - 0,8182 Preço
S 19.3061
R-Sq 87,4%
R-Sq(adj) 81,0%
Figura 29 – Equação da reta no Minitab
 Saiba mais
Para realizar cálculos, é possível utilizar o software estatístico Bioestat. 
Ele possui licença free e pode ser encontrado no site:
MAMIRAUA. Downloads. Bioestat – versão 5.3. [on-line]. Disponível 
em: <https://www.mamiraua.org.br/pt-br/downloads/programas/bioestat-
versao-53/>. Acesso em: 30 maio 2018.
Coloque os valores na planilha do Bioestat:
Tabela 93 
250 100
230 150
190 200
150 210
Selecione: Estatísticas  Regressão  Linear simples:
Selecione as duas colunas e clique em Excetuar estatística.
Surgirá o seguinte resultado:
146
AD
M
 -
 R
ev
isã
o:
 K
le
be
r -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
8
Unidade III
Figura 30 – Output do teste de regressão linear no BioEstat
Clique em Gráfico para visualizar o resultado a seguir.
100
100
150
200
250
300
150
X
Y
200 250
Teste de regressão linear
Figura 31 – Gráfico da regressão linear no BioEstat
8.2.2 Função demanda calculada manualmente pelo método dos mínimos quadrados
Outra forma de calcular, manualmente, é pelo produto de matrizes.
A função demanda na forma geral y= a + bx é calculada pelo seguinte produto de matrizes:
n x
x x
a
b
y
xy
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�2
Admitam-se os mesmos pares de valores de vendas do produto XPT. Para facilitar o trabalho manual, 
eles foram divididos por 10.
147
AD
M
 -
 R
ev
isã
o:
 K
le
be
r -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
8
CUSTOS E PREÇOS
Tabela 94 
25 10
23 15
19 20
15 21
O primeiro passo é preencher as matrizes. Repare que temos os valores x e y e, desta forma, 
podemos calcular suas somatórias e substituí-los nas matrizes.
Observe que n= 4, pois são 4 pares de valores.
Os valores a e b são as incógnitas que queremos conhecer na função y= a + bx.
Tabela 95 
 Preço unitário $ Demanda (mil)
 10 25
 15 23
 20 19
 21 15
Somatórias= 66 82
n x
x x
a
b
y
xy
x
a
b
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
4 66
66 ��
� �
�
�
�
�
�
��
82
xy
Para termos o valor de x2∑ , precisamos levar em conta que x x x xn2 12 22 2� � � � �... e que isto é 
bem diferente de x�� �2.
Devemos calcular os valores de x2 e de x.y:
Tabela 96 
 x Preço unitário $ y Demanda (mil) x*x x*y
 10 25 100 250
 15 23 225 345
 20 19 400 380
 21 15 441 315
Somatórias= 66 82 1166 1290
148
AD
M
 -
 R
ev
isã
o:
 K
le
be
r -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
8
Unidade III
Conhecidas as somatórias, substituímos nas matrizes:
4 66
66 1166
82
1290
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
a
b
Para resolver este sistema de matrizes, é necessário saber que se multiplica cada linha da primeira 
matriz pela coluna da segunda, gerando um sistema de equações:
4 66 82
66 1166 1290
a b
a b
� �
� �
�
�
�
�
�
Podemos multiplicar a primeira linha de tal forma que tenhamos valores complementares em a ou b.
66
4
16 5= ,
Vamos multiplicar toda a primeira linha por -16,5:
4 66 82 16 5
66 1166 1290
66 1089 1353
66 116
a b
a b
a b
a
� � �
� �
�
�
�
�
�
� � � �
�
( , )
66 1290b �
�
�
�
�
�
Somamos as duas equações:
Oa + 77b = -63
Ou:
77 63
63
77
0 8182
b
b
� �
�
�
� � ,
149
AD
M
 -
 R
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isã
o:
 K
le
be
r -
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ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
8
CUSTOS E PREÇOS
Substituindo b em alguma das equações do sistema, temos:
4 66 82
4 66 0 8182 82
4 54 82
4 82 54
4 136
136
4
34
a b
a
a
a
a
a
� �
� � �
� �
� �
�
� �
( , )
,000
Logo, a equação de demanda na forma y= a + bx para o caso estudado é: y= 34 - 0,8182x
Observe que a equação de demanda na forma y= a + bx para facilitar os cálculos teve os valores 
divididos por 10. No presente caso, fica: y= 340 - 0,8182x
O valor de b, que é a inclinação da curva, não é multiplicado por 10.
O entendimento dos valores a e b é dado na figura a seguir.
O valor a indica a altura na qual o eixo y é cortado (x=0).
O valor b indica a inclinação da reta. No caso -0,8182 quer dizer que a curva decresce 0,8182 
unidades no eixo y para cada unidade que avança no eixo x.
1000 120 140
340
-0,8182
1,0
160 180 200 220
250
225
200
175
150
De
m
an
da
Preço
Fitted line plot
Qmil = 340,0 - 0,8182 Preço
S 19.3061
R-Sq 87,4%
R-Sq(adj) 81,0%
Figura 32 – Construção da linha de regressão linear
150
AD
M
 -
 R
ev
isã
o:
 K
le
be
r -
 D
ia
gr
am
aç
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: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
8
Unidade III
Resolvido o mesmo problema pelo Excel, temos:
Tabela 97 
A B
x Preço unitário $ y Demanda (mil)
10 25
15 23
20 19
21 15
intercepção 34
inclinação -0.8182
previsão x= 18 19.2727
8.2.3 Função demanda usando a calculadora financeira HP-12C
Uma outra possibilidade é fazeruso da máquina de calcular. Qualquer calculadora financeira tem 
funções estatísticas. No presente caso, utilizamos a HP-12C.
Quando se trabalha com a HP em funções estatísticas, é necessário colocar os dados na ordem em 
que eles são introduzidos: Y e X.
• Passo 1: colocar os valores a serem utilizados na ordem requerida pela calculadora para evitar 
erros de introdução
Tabela 98 
y x
Demanda (mil) Preço unitário $
250 100
230 150
190 200
150 210
• Passo 2: limpar os registradores de cálculos estatísticos
— Ligue a calculadora (pressione On).
— Limpe os registradores estatísticos: f REG= f CLx.
• Passo 3: introduzir os pares de valores disponíveis
151
AD
M
 -
 R
ev
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: F
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06
/2
01
8
CUSTOS E PREÇOS
Para introduzir o primeiro par (250; 100), faça o seguinte:
250 enter 100 �� visor= 1
O visor indica que foi introduzido o primeiro par de valores.
Faça o mesmo para os demais valores:
230 enter 150 �� visor= 2
190 enter 200 �� visor= 3
150 enter 210 �� visor= 4
Olhe a parte de trás da calculadora, pois lá constará:
• Registrador R1: contém o valor de n.
• Registrador R2: contém x∑ etc.
Para ter esses valores visíveis do visor, basta usar a função Recall:
Por exemplo, para ver a somatória de x, basta teclar
RCL 2 visor= 660
• Passo 4: para obter o valor de a que ocorre quando x=0
Digite
0 g ˆ ,y r visor= 340
Observe que é o mesmo que teclar
0 g 2
• Passo 5: para obter o valor de b
— Armazene o valor a na memória 0
— Portanto, com o resultado do passo 4:
STO 0 visor= 340
152
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8
Unidade III
• Para obter o valor de x que ocorre quando y = 0
Digite
0 g ˆ ,x r visor= 415,5556
Ou seja, a reta da função corta o eixo dos x em 415,5556
Recupere o valor (340) armazenado em 0:
RCL 0 visor=340
Divida visor=1,2222
Observe que este é o resultado da divisão de 415,5556 por 340
A inclinação é o oposto.
Tecle 1x visor=0,8182
8.3 Noções de função derivada
Para operar com funções não lineares (funções que não são expressas por linhas retas), como é o 
caso daquelas que expressam RT ou LT, é necessário levar em conta as derivadas de tais funções.
Seja y= f(x) a função que está representada no gráfico, e sejam x0 e x0 + ∆x dois valores de 
seu domínio.
y
xx0
f(x0 + ∆x) 
x0 + ∆x
Figura 33 – Incremento de uma função
A razão incremental é dada por: 
�
�
�
�
y
x
f x x f x
x
�
� �( ) ( )
Denomina-se função derivada o limite de 
∆
∆
y
x
 quando ∆x tende a zero (assume valores muito pequenos).
153
AD
M
 -
 R
ev
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o:
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ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
8
CUSTOS E PREÇOS
E indica-se por: 
f x
y
x
f x
f x x f x
xx x
´ lim ´( ) lim
( ) ( )� � � � � � �
� �� �
�
�
�
�0 0
A função derivada também pode ser indicada por:
• y´ (lê-se derivada de y);
• dy
dx
 (lê- se derivada de y em relação a x).
1000 120 140
340
-0,8182
1,0
160 180 200 220
250
225
200
175
150
De
m
an
da
Preço
415,5556
Fitted line plot
Qmil = 340,0 - 0,8182 Preço
S 19.3061
R-Sq 87,4%
R-Sq(adj) 81,0%
Figura 34 – Construção da linha de regressão linear com a HP12-C
8.4 Equação da demanda por meio da reta de regressão usando o Excel
As funções estatísticas que correspondem aos conceitos de reta de regressão são: Intercepção, 
Inclinação, Previsão e Tendência.
• Intercepção (série y; série x): dá como resultado o valor do coeficiente de regressão “a”, denominado 
intercepto da reta de regressão linear, ou seja, de quando X= 0.
• Inclinação (série y; série x): dá como resultado o valor do coeficiente “b” da reta de regressão 
linear.
• Previsão (x; série y; série x): dá como resultado o valor projetado da reta de regressão linear 
simples para um único valor X. Deve-se ter o cuidado de escolher valores de X na faixa de valores 
observados da variável independente.
• Tendência (série y; série x; novo x; constante): retorna o valor y correspondente ao x em uma 
tendência linear. A constante é opcional, trata-se de um valor lógico que especifica se a constante 
154
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M
 -
 R
ev
isã
o:
 K
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be
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gr
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aç
ão
: F
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io
 -
 2
7/
06
/2
01
8
Unidade III
b será ou não forçada a se igualar a 0. Se o resultado do teste lógico for verdadeiro ou omitido, b 
será calculado normalmente.
Tabela 99 
B C 
x Preço unitário $ y Demanda (mil) 
100 250 
150 230 
200 190 
210 150 
intercepção 340 =INTERCEPÇÃO(c4:c7;b4:b7)
inclinação -0.8182 =INCLINAÇÃO(c4:c7;b4:b7)
provisão x=18 192.73 =PREVISÃO.LINEAR(18;c4:c7;b4:b7)
Exemplo:
Dada a função f(x)= 3x², definida em R, calcule a função derivada f(x).
f x
x x x
x
x x x x x
xx x
’( ) lim
( )
lim
| ( ) |
�
� �
�
� � �
�
� �� �
�
�
� �
�0
2 2
0
2 2 23 3 3 2 3
llim
( )
lim
( )
’( )
�
�
� �
�
� �
�
x
x
x x x x x
x
x x x
x
x f x
�
�
� � �
�
�
� �
0
2 2 2
0
3 6 3 3
6 3
6 �� 6x
8.5 Algumas regras fundamentais de derivação
Derivada da função constante: f(x)= k; k∈R é nula, isto é: f x k f x( ) ’( )� � � 0
Derivada da função identidade: f x x( ) = é 1, ou seja: f x x f x( ) ’( )� � �1
Derivada da função potência: f x x n f x nxn n( ) ( *) ’( )� � � � �� 1
Exemplos:
• 1. f x x f x x f x x( ) ’( ) ’( )� � � � ��3 3 1 23 3
• 2. f x x f x x f x x( ) ’( ) ’( )� � � � � ��4 2 4 82 2 1
• 3. f x x f x x f x x f x
x
( ) ’( ) ’( ) ’( )� � � � � � � � � �� � � �5 5 1 6
6
5 5
5
Derivada da função seno: f x x f x x( ) sen ’( ) cos� � �
Derivada da função cosseno: f x x f x x( ) cos ’( ) sen� � � �
Derivada da função exponencial: f x a a e a f x a lnax x( ) ( ) ‘ ( )� � � � �0 1
155
AD
M
 -
 R
ev
isã
o:
 K
le
be
r -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
8
CUSTOS E PREÇOS
Exemplo: 
f x f x lnx x( ) ’( )� � �5 5 5
Derivada da função logarítmica neperiana: f x lnx f x
x
( ) ’( )� � �
1
8.6 Cálculo de preços maximizantes da receita
A receita da empresa é dada por PQ, isto é, pelo produto do preço P pela quantidade Q vendida:
R = PQ
R = P[340 - 0,8182P]
R = 340P - 0,8182P2
Se considerarmos a variação do preço P na faixa de 80 a 340, veremos que existe um preço no qual 
ocorre a receita máxima.
100 150 200 250 300 350
36000
34000
32000
30000
28000
26000
24000
22000
20000
Re
ce
ita
Preço
Fitted line plot
Receita = 0,000153 + 340.0 Preço
- 0,8182 Preço**2
S 0.0029848
R-Sq 100.0%
R-Sq(adj) 100.0%
Figura 35 – Receita segundo o preço
O valor máximo acontece um pouco acima de 200:
Tabela 100 
Preço Receita
205 35315.15
206 35318.86
207 35320.95
208 35321.40
209 35320.21
210 35317.38
211 35312.92
212 35306.82
156
AD
M
 -
 R
ev
isã
o:
 K
le
be
r -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
8
Unidade III
No ponto máximo, a derivada da função é igual a zero.
A função receita é dada por:
R = 340P - 0,8182P2
A derivada R’ da função é:
R’ = 340 - 1,6364P
Fazendo R’=0
0 340 16364
16364 340
340
16364
207 77
� �
�
� �
,
,
,
,
P
P
P
Veja a figura a seguir:
100 150 200 250 300 350
36000
34000
32000
30000
28000
26000
24000
22000
20000
Re
ce
ita
207,77
Fitted line plot
Receita = 0,000153 + 340.0 Preço
- 0,8182Preço**2
S 0.0029848
R-Sq 100.0%
R-Sq(adj) 100.0%
Figura 36 – O preço que maximiza a receita; neste exemplo é 207,77
8.7 Preço de venda que maximiza o lucro
Cabe observar que o preço de venda que maximiza o lucro nem sempre faz o mesmo com a receita.
Consideremos o exemplo anterior que tem a função demanda:
Q = 340 - 0,8182P
Para sabermos o preço que maximiza o lucro, necessitamos conhecer a “estrutura de custos”. Admita-
se que a estrutura de custos unitários do produto seja CUP= 3 + 0.5P, isto é, o CUP corresponde a uma 
parte constante, no caso 3,00 e a uma parte variável segundo o preço P (neste exemplo: 0,5P).
157
AD
M
 -
 R
ev
isã
o:
 K
le
be
r -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
8
CUSTOS E PREÇOS
Sabe-se que 
Lucro= Receita - Custos totais
L R C
R PQ
L PQ C
T
T
� �
�
� �
Os custos totais são iguais aos unitários multiplicados pela quantidade vendida:
C Q C
C Q P
C Q PQ
T UP
T
T
�
� �
� �
*
* ( . )
,
3 0 5
3 0 5
Retomamos:
L PQ C
L PQ Q PQ
L PQ Q PQ
L PQ Q PQ
L PQ Q
T� �
� � �
� � �
� � �
� �
[ , ]
,
,
,
3 0 5
3 0 5
3 0 5
0 5 3
Coloca-se Q em evidência:
L PQ Q
L Q P
� �
� �
0 5 3
0 5 3
,
( , )
Todavia,
Q P
L Q P
L P P
L P
� �
� �
� � �
� �
340 0 8182
0 5 3
340 0 8182 0 5 3
170 1020
,
( , )
[ , ]( , )
�� �
� � �
0 4091 2 4545
172 4545 1020 0 4091
2
2
, ,
, ,
P P
L P P
158
AD
M
 -
 R
ev
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 K
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aç
ão
: F
ab
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 -
 2
7/
06
/2
01
8
Unidade III
L é uma função quadrática na medida em que tem um elemento elevado ao quadrado.
Como o sinal desse elemento é negativo (-0,4091P2), é uma função maximizante (tem um 
ponto máximo).
O ponto máximo ocorre quando a derivada da tangente nesse ponto é zero.
Calcula-se a derivada de L:
L P P
L P
� � �
� �
172 4545 1020 0 4091
172 4545 0 8182
2, ,
’ , ,
Fazendo a derivada= 0
L P
P
P
P
’ , ,
, ,
, ,
� �
� �
�
�
172 4545 0 8182
0 172 4545 0 8182
0 8182 172 4245
172,,
,
, ,
4245
0 8182
210 77 211 00� �
O gráfico referente ao lucro será mostrado na figura a seguir. Observe que o lucro máximo ocorre 
quando P é igual a 211,00.
Tabela 101
Preço Lucro
208 17151.23
209 17153.09
210 17154.14
211 17154.36
212 17153.76
213 17152.35
214 17150.12
215 17147.07
159
AD
M
 -
 R
ev
isã
o:
 K
le
be
r -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
06
/2
01
8
CUSTOS E PREÇOS
100 150 200 250 300 350
18000
17000
16000
15000
14000
13000
12000
11000
10000
L
P
Fitted line plot
L = 1020 +172.5 Preço
- 0.4091 P**2
S 0
R-Sq 100.0%
R-Sq(adj) 100.0%
Figura 37 – Preço que maximiza o lucro
No item anterior observamos que o preço que maximiza a receita é 208,00; aqui vimos que o valor 
que maximiza o lucro é 211,00.
Exemplo:
Admita-se que um produto tem custos de mão de obra direta (MOD) e matéria-prima= $ 3,00 e 
despesas na ordem de 50% do preço de venda (referentes a despesas gerais, impostos, comissões).
Isto é, ovos de chocolate são fabricados pela Chocolatix Ltda. e os custos diretos de fabricar cada um 
deles são no valor de $ 3,00, correspondentes à mão de obra e matéria-prima.
Há outras despesas, tais como: despesas gerais, impostos e comissões e a soma delas (DGIC) 
corresponde a 50% do preço de venda (P).
Como 50% é o mesmo que 50/100= 0,5, pode-se escrever que DGIC= 0,5*P.
Isto quer dizer que o custo unitário dos ovos é dado por:
Cup= 3 + 0.5 P (CUP é o custo unitário do produto)
A Chocolatix tem vendido ovos e pesquisas mostraram que a demanda (procura) é uma função do 
preço, ou seja:
Qvendida= f(preço)
Pelos registros da empresa, sabe-se que as vendas foram as seguintes, considerando alguns 
preços praticados:
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Unidade III
Tabela 102
Preço QVendida
7 8012
8 7035
9 6043
10 4996
11 4015
12 3018
Foi feita uma análise tendo-se obtido o resultado expresso na figura a seguir:
7 8 9 10 11 12
8000
7000
6000
5000
4000
3000
QV
en
di
da
Preço
Gráfico de associação Preço x Demanda
QVendida = 15041 - 1002 Preço
S 18.2903
R-Sq 100.0%
R-Sq(adj) 100.0%
Figura 38 – Análise da quantidade vendida segundo o preço
Quanto maior o preço, menor o número de unidades vendidas. Por exemplo, quando o preço do 
ovo é colocado a $ 8,00, são vendidas cerca de 7.000 unidades; entretanto, quando o valor é $12,00, as 
vendas são de cerca de 3.000 itens.
A função observada foi:
QVendida= 15.041 - 1.002 P
Foi adotada a seguinte função que expressa a demanda dos clientes:
Q= 15.000 - 1.000 P
O que os administradores da Chocolatix querem saber é o seguinte: Qual o preço de venda que, neste 
caso, maximiza os lucros da empresa?
Resolução:
Estrutura de CUP
CUP= 3 + 0,5 P
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CUSTOS E PREÇOS
Equação da demanda:
Q= 15.000 - 1.000 P
Queremos encontrar o preço que maximiza o lucro.
• Passo 1
Sabe-se que Lucro= Receita - Custos totais (L= R - CT)
A receita R é igual à quantidade vendida Q vezes o preço P
(2) R= PQ
Logo:
(3) L= PQ - CT
• Passo 2
Os custos totais são iguais ao custo unitário multiplicado pela quantidade vendida
(4) CT= Q* CUP
Todavia,
(5) CUP= 3 + 0,5 P
Logo:
CT= Q (3 + 0,5 P) (6)
CT= 3Q+ 0,5 PQ (7)
• Passo 3
L= PQ - CT (1)
Substituindo a equação (7) na equação (1):
L= PQ - [3Q+ 0,5 PQ] (8)
L= PQ - 3Q - 0,5 PQ (9)
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Unidade III
A equação 9 pode ser escrita na forma:
L= 1,0 PQ - 3Q - 0,5PQ (10)
L= 1,0 PQ - 0,5PQ - 3Q (11)
L= 0,5 PQ - 3Q
• Passo 4
Coloca-se Q em evidência
L= Q [0,5 P - 3] (12)
Todavia,
Q= 15.000 - 1.000 P (13)
Substitui-se a equação (13) na equação (12)
L= [15.000 - 1.000 P] [0,5P - 3] (14)
Faz-se a fatoração:
A equação (14) é do tipo X= (a-b)(c-d), ficando assim: x= ac-ad-bc+bd
L= 15.000* 0,5P - 15.000*3 - 1.000 P* 0,5 P + 1.000 P*3 (15)
L= 7500 P - 45.000 - 500 P2 + 3.000 P (16)
L= 10.500 P - 500 P2 - 45.000 (17)
A equação (17) mostra que o lucro (L) é uma função do preço (P).
O gráfico desta função é exibido a seguir, à esquerda (eixo y) temos o lucro; o eixo x expressa o preço 
P. A curva exibe o lucro para um dado preço P. O lucro é máximo no topo (u) da curva, e a esse ponto 
corresponde ao preço Pmax, que maximiza o lucro. Este preço está entre $ 10 e $ 11.
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CUSTOS E PREÇOS
10000
8000
6000
4000
2000
8 10 12 14v
u sr
L
P
t
Pmax
Figura 39 – O preço Pmax é o que maximiza o lucro
• Passo 5
Como se vê, L é uma função quadrática, já que tem um elemento elevado ao quadrado; como o sinal 
dele é negativo (-500P2), trata-se de uma função maximizante: tem topo e boca para baixo.
O ponto máximo ocorre quando a derivada da tangente r-s é zero.
Sobre derivadas, devemos saber que:
• a derivada de 45.000=0, já que a derivada de uma constante é zero.
• a derivada de 5x3=15x3-1= 15x2, pois multiplica-se o expoente 3 pelo coeficiente 5 e reduz-se uma 
unidade do expoente.• a derivada de 2x4= 8x4-1=8x3.
• a derivada de 2x= 2 pois equivale a 2x1=2x0=2.
• a derivada de y é indicada por y’.
• o lucro é dado pela função quadrática 17:
— L=10.500 P - 500 P2 - 45.000 (17)
• o valor máximo ocorre quando a tangente r-s à curva tem valor nulo, ou seja, quando a inclinação 
da reta r-s=0.
Sabe-se que a derivada de uma função y= f(x) em um ponto x= x0, é igual ao valor da tangente 
trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva.
No ponto u, a reta r-s tem inclinação nula. Nele ocorre o lucro máximo.
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Unidade III
A função L = 10500 P - 500 P2 - 45.000 (17) pode ser escrita como:
L=10500 P1 - 500 P2 - 45.000 P0 (18), já que P0= 1.
A derivada de (18) é dada por
L’= (1*10500) P1-1- (2*500) P2-1- (0*45000) P0-1 (19)
L’= 1*10500 P0 - 1000 P1 - 0 (20), ou seja:
L’= 10500 - 1000 P (21)
No ponto máximo, a inclinação da curva é 0.
Fazendo a derivada L’= 0:
10.500 - 1.000 P= 0 (22)
 - 1.000 P= - 10.500 (23)
P �
�
�
�
10500
1000
10 5$ ,
Resposta: o preço que maximiza o lucro é $ 10,5
Pmáx= $10,50
 Lembrete
A derivada de uma função y= f(x) em um ponto x= x0 , é igual ao valor 
da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica 
à curva.
Exercício: preço que maximiza o lucro
Qual o preço de venda que maximiza o lucro?
Sendo a quantidade Q e o preço P, a função demanda para um produto de uma empresa é dada 
por Q = 340 - 0,8182P
Considere que o Cup em razão do preço de venda é dado por Cup= 40+0.5P 
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CUSTOS E PREÇOS
Ora, o lucro L é igual à receita total (RT), menos o custo total (CT).
L = RT - CT
A RT = quantidade vendida *preço:
RT = Q*P
O CT = quantidade vendida *Cup
QT = Q*Cup
Substituindo em L:
L = Q*P - Q *Cup
Colocando Q em evidência:
L = Q (P-Cup)
Tabela 103 
P L
200 10581,60
208 10868,12
220 11199,72
240 11490,56
245 11512,13
247 11515,03
247,77 11515,28
248 11515,26
250 11513,26
270 11313,17
290 10785,81
Ora, Cup = 40 + 0.5P
L = Q (P-[40+0.5P])
L = Q (P-40-0.5P)
L = Q (0.5P-40)
Ora, Q = 340-0.8182P
L= (340-0.8182P) (0.5P-40)
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Unidade III
Multiplicando:
340 - 0.8182P
0.5P - 40
L= 170P - 0,4091P2 - 13.600 + 32,728P
L= 202,728P - 0,4091P2 - 13.600
Derivada de L:
L’=202,728 - 0,8182P
Iguala-se a derivada L’ a zero e calcula-se P:
0= 202,728 - 08182P
0,8182P= 202,728
P= 202,728/0,8182
P= 247,77
Confirmação do resultado:
A função L= 202,728P - 0,4091P2 - 13.600
Pode-se observar pela tabela anterior que efetivamente o preço de $ 247,77 maximiza o lucro.
Colocados em um gráfico, os pares da tabela são como mostra a figura a seguir.
11500
11250
11100
10750
10500
L
P
Fitted line plot
L = 13600 +202.7 P
- 0.4091 P**2
S 0
R-Sq 100.0%
R-Sq(adj) 100.0%
200 210 220 230 240 250 260 270 280 290
Figura 40 – Se a empresa deseja maximizar o lucro, deve colocar o preço de $ 247,77
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CUSTOS E PREÇOS
 Resumo
Neste capítulo vimos que o conceito de mark-up é muito utilizado pelas 
empresas dos ramos de comércio que compram e revendem produtos. Elas 
estabelecem o preço de venda multiplicando o custo do produto por um 
valor denominado mark-up, cobrindo ICMS, PIS/Cofins, despesas sobre as 
vendas, comissões sobre vendas e o lucro antes dos tributos. Na medida em 
que matematicamente multiplicar um número por x é o mesmo que dividi-lo 
por 1/x, pode-se utilizar indistintamente o mark-up multiplicador ou mark-up 
divisor. Foi chamada a atenção para o fato de muitas companhias utilizarem 
mark-ups aplicados por outras, sem se atentarem que se trata de algo específico.
Para que uma empresa possa adotar preços que sejam capazes de 
maximizar o lucro ou a receita oriundos de um dado produto, é necessário 
que ela consiga obter de modo prévio a função demanda do produto, que 
geralmente está na forma Q=a-bP, onde Q é a quantidade demandada ao 
preço P; P é o preço unitário do produto e a e b são fatores. Foram abordadas 
maneiras de se realizar tal cálculo por meio de pacotes estatísticos como o 
Minitab, o BioEstat, por meio da calculadora HP-12C ou da planilha do Excel.
Por ser requerida a função derivada na determinação do preço que 
maximiza o lucro ou a receita, este item foi abordado. Os exemplos 
de precificação abordam funções quadráticas (parábolas) de máximo, 
geralmente na forma L= aP - bP2 -c cuja derivada é L’=Pa -2bP. Uma vez 
calculada a derivada, ela é igualada a zero para se obter o valor P.
Dependendo da estratégia que deseja adotar, a empresa pode definir 
o preço que maximiza a receita, isto é, o faturamento ou o preço que 
aumenta o lucro. Neste caso, ela precisa saber qual o custo unitário do 
produto considerando o preço de venda, geralmente na forma Cup=d+rP, 
onde r é um decimal.
 Exercícios
Questão 1. Sobre a formação do preço de venda (mark-up) ao consumidor, considere as afirmativas 
a seguir:
I – Indica o quanto do preço de um produto está acima do imposto pago pelo produto.
II – Representa a diferença entre o custo de um bem ou serviço e seu preço de venda.
III – Pode ser expresso como uma quantia fixada ou como percentual.
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Unidade III
Sobre precificação e mark-up, podemos afirmar que:
A) As afirmativas I e II estão corretas.
B) Todas as afirmativas estão corretas.
C) As afirmativas I e III estão corretas.
D) As afirmativas II e III estão corretas.
E) Nenhuma das afirmativas está correta.
Resposta correta: alternativa D.
Análise das afirmativas
I – Afirmativa incorreta.
Justificativa: a formação do preço de venda de um bem considera não apenas os tributos que foram 
pagos, mas outros gastos que compõem o custo de comercialização do produto.
II – Afirmativa correta.
Justificativa: a formação do preço de venda de um produto é baseada na diferença entre o custo de 
um bem ou serviço e seu preço de venda.
III – Afirmativa correta.
Justificativa: o cálculo de formação do preço de venda de um bem pode ser feito por meio de uma 
quantia fixada ou de um cálculo percentual.
Questão 2. A teoria do ciclo de vida organizacional parte do pressuposto que as organizações se 
desenvolvem por meio de fases distintas e que utilizam um conjunto de práticas de gestão compatíveis 
e adequadas a cada fase. Sobre os ciclos de vida organizacional, assinale a alternativa INCORRETA.
A) Maturidade.
B) Crescimento.
C) Fusão.
D) Estabilidade.
E) Envelhecimento.
Resolução desta questão na plataforma.
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FIGURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 3
MARTINS, E. Contabilidade de custos. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
Figura 4
MARTINS, E. Contabilidade de custos. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
Figura 5
MARTINS, E. Contabilidade de custos. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
Figura 6
MARTINS, E. Contabilidade de custos. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
Figura 7
MARTINS, E. Contabilidade de custos. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
Figura 8
MARTINS, E. Contabilidade de custos. SãoPaulo: Atlas, 2009. Adaptada.
Figura 9
MARTINS, E. Contabilidade de custos. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
Figura 10
MARTINS, E. Contabilidade de custos. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
Figura 11
MARTINS, E. Contabilidade de custos. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
Figura 12
MARTINS, E. Contabilidade de custos. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
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Figura 13
MARTINS, E. Contabilidade de custos. São Paulo: Atlas, 2009. p. 255.
Figura 14
MARTINS, E. Contabilidade de custos. São Paulo: Atlas, 2009. p. 258.
Figura 15
MARTINS, E. Contabilidade de custos. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
Figura 16
MARTINS, E. Contabilidade de custos. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
Figura 17
MARTINS, E. Contabilidade de custos. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
Figura 18
MARTINS, E. Contabilidade de custos. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
Figura 19
MARTINS, E. Contabilidade de custos. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
Figura 20
MARTINS, E. Contabilidade de custos. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
Figura 21
MARTINS, E. Contabilidade de custos. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
Figura 22
MARTINS, E. Contabilidade de custos. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
Figura 23
MORANTE, A. S.; JORGE, F. T. Formação de preços de venda: preços e custos, preços e composto de 
marketing, preços e concorrência, preços e clientes. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
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Figura 24
MORANTE, A. S.; JORGE, F. T. Formação de preços de venda: preços e custos, preços e composto de 
marketing, preços e concorrência, preços e clientes. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
Figura 25
MORANTE, A. S.; JORGE, F. T. Formação de preços de venda: preços e custos, preços e composto de 
marketing, preços e concorrência, preços e clientes. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
Figura 26
MORANTE, A. S.; JORGE, F. T. Formação de preços de venda: preços e custos, preços e composto de 
marketing, preços e concorrência, preços e clientes. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
Figura 27
MORANTE, A. S.; JORGE, F. T. Formação de preços de venda: preços e custos, preços e composto de 
marketing, preços e concorrência, preços e clientes. São Paulo: Atlas, 2009. Adaptada.
Figura 28
GOULART JÚNIOR, R. Custeio e precificação no ciclo de vida das empresas. 2000. Florianópolis: UFSC, 
2000. Dissertação (Mestrado em Engenharia). Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), Santa 
Catarina, 2000. Disponível em: <https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/79373/171261.
pdf?sequence=1>. Acesso em: 5 jun. 2018. p. 34.
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Textuais
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curso de ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 2014.
___. Curso de contabilidade intermediária em IFRS e CPC. Atende à programação do 2º ano dos cursos 
de ciências contábeis e administração de empresas. São Paulo: Atlas, 2014.
___. Curso de contabilidade intermediária superior em IFRS e CPC. Atende à programação do 3º ano 
do curso de ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 2014.
___. Curso de contabilidade introdutória em IFRS e CPC. Atende à programação do 1º ano dos cursos 
de ciências contábeis, administração de empresas e economia. São Paulo: Atlas, 2014.
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