Definição e Gráficos de Funções

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Aula 9
Definição e Gráficos de 
Funções
Profª Dra. Jenai O. Cazetta
Profª Ma. Mariany L. de Souza
OBJETIVOS
 Conceituar e definir função;
 Discutir domínio, contradomínio e imagem;
 Representar gráficos de funções;
 Resolver situações-problema envolvendo 
funções.
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
EXEMPLO: O biodiesel é um tipo de biocombustível obtido 
a partir de plantas oleaginosas, como o algodão, o girassol, 
a mamona e a soja. Entre as vantagens na utilização desse 
combustível, pode-se destacar a menor emissão de gases 
poluentes na atmosfera, se comparado ao diesel comum, 
aquele obtido a partir do petróleo. (SOUZA, 2010, p. 46) 
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
Fonte: <https://goo.gl/gvqnXA>.
Acesso em: 28 set. 2018.
Veja a relação entre a quantidade de mamona e a de 
biodiesel produzida:
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
Quantidade de 
mamona 
(em toneladas)
Quantidade de 
biodiesel 
(em litros)
Fonte: https://goo.gl/E76KHD
Acesso: 28 set. 2018
 1 560
 2 1.120
 ⋮ ⋮
 10 5.600
 ⋮ ⋮
 	 560	 
Para determinar quantos litros de biodiesel são 
produzidos a partir de certa quantidade de mamona, 
podemos utilizar a seguinte fórmula:
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
 � 560	
Quantidade de 
mamona (em 
�
�)
Quantidade de 
biodiesel produzida 
com 1 �
� de 
mamona
Quantidade de 
biodiesel (em ℓ)
Fonte: https://bit.ly/2NVNTFj
Da situação apresentada dizemos que a “quantidade 
de biodiesel” produzida está em função da 
“quantidade de mamona”.
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
Matematicamente 
como podemos 
definir função?
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
 Precisamos de dois conjuntos � e � não vazios. 
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
Uma função � é uma relação que associa 
cada elemento 	 ∈ � a um único
elemento � ∈ �.
Uma função � é uma relação que associa 
cada elemento 	 ∈ � a um único
elemento � ∈ �.
EXEMPLO: Dados os conjuntos � e � abaixo, observe a 
relação representada pelo diagrama de flechas.
� � 1, 2, 10
� � �560, 1.120, 5.600�
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
1•
2•
10 •
�
• 560
• 1.120
•5.600
�
 	 � 560	
Mamona Biodiesel 
1 560
2 1.120
10 5.600
 	
Elementos de � que têm 
correspondência com os de �!
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
1•
2•
10 •
�
• 560
• 1.120
•5.600
�
1•
2•
10 •
• 560
• 1.120
•5.600
�: � → �
• 560
• 1.120
•5.600
DEFININDO
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
�: � → �
�: 	 → �
� � ��	�
�: � → �
�: 	 → �
� � ��	�
 	 variável independente;
 � variável dependente;
 � domínio da função;
 � contradomínio da função.
OBSERVAÇÕES
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
1•
2•
3•
�
• 2
• 6
•8
�
�: � → �
Fonte: https://bit.ly/2NVNTFj
� não é função! 
O elemento 3 de A
não possui 
correspondente em 
B.
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
1•
2•
3•
�
• 2
• 3
•4
�
�: � → �
Fonte: https://bit.ly/2NVNTFj
� é função! 
A cada elemento de 
A corresponde um 
único elemento de 
B.
� 	 � 	 � 1
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
5•
 5•
2
!
•
�
• 25
• 2
•4
�
�: � → �
Fonte: https://bit.ly/2NVNTFj
� é função! 
A cada elemento de 
A corresponde um 
único elemento de 
B.
� 	 � 	"
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
 
4•
�
• 2
• 2
•4
�
�: � → �
Fonte: https://bit.ly/2NVNTFj
� não é função! 
O elemento 4 de A
possui dois
correspondentes 
em B.
� 	 � # 	!
EXEMPLOS
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
Tama-
nho
do pé
No. 
sapato
Impres-
são
Digital
Pessoa
Peso 
da
carta
Preço 
do 
selo
A tabela a seguir representa uma relação entre o 
número de calças vendidas e o tamanho das mesmas. 
Represente-a por diagrama de flechas e responda:
A correspondência representa uma 
função de A em B? Por quê?
A correspondência de B em A 
seria uma função? Por quê?
ATIVIDADE 1
Calças 
vendidas (�) 
190 170 230 180 170 140
Tamanho (�) 38 40 42 44 46 48
(�) 190 170 230 180 170 140
(�) 38 40 42 44 46 48
RESOLUÇÃO ATIVIDADE 1
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
FUNÇÃO INJETORA
 1•
 4•
�
• 2
• 8
•4
�
�: � → �
Fonte: https://bit.ly/2NVNTFj
Sobra elementos 
no contradomínio!
Conjunto Imagem é 
diferente do 
conjunto B!
FUNÇÃO SOBREJETORA
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
5•
 5•
2
!
•
�
• 25
• 2
�
�: � → �
Fonte: https://bit.ly/2NVNTFj
Pode haver a 
correspondência de 
2 valores em A para 
um em B!
Conjunto Imagem é 
o conjunto B!
FUNÇÃO BIJETORA
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
Fonte: https://bit.ly/2NVNTFj
Uma função é 
bijetora se é ao 
mesmo tempo 
injetora e 
sobrejetora!
5•
 5•
4•
�
• 20
• 20
•16
�
�: � → �
Conjunto 
Imagem é o 
conjunto B!
Considere três funções �, $ e ℎ, tais que:
(&) A função � atribui a cada pessoa do mundo a sua 
idade (considere � como sendo ℕ);
(() A função $ atribui a cada país a sua capital; 
()) A função ℎ atribui a cada número natural o seu 
dobro (considere � e � como sendo ℕ). 
Classifique as funções em injetora,
sobrejetora ou bijetora.
ATIVIDADE 2
Uma locadora de automóveis anuncia uma promoção 
de aluguel de veículos na qual o locatário pagará uma 
taxa fixa de *$ 40,00 mais uma quantia proporcional 
a quantidade , de quilômetros rodados. Nessa 
promoção, para calcular a quantia - a ser paga pelo 
aluguel de um veículo, adota-se a fórmula:
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
- � 40 � 0,5 ,
(Adaptado de Souza, 2010) 
Participand
o
da
aula
Quanto uma pessoa pagará 
pelo aluguel do carro se 
rodar 50 ./? E 150 ./? 
- � 40 � 0,5 ,
A situação descrita pode ser representada em uma 
tabela:
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
Quantidade de km 
rodados
0 50 150
Quantia a ser paga 
pelo aluguel (R$)
40
Uma outra forma de representar a 
situação descrita é utilizando um 
gráfico.
PARES ORDENADOS
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
Uma função � � ��	� fornece, por definição, uma 
coleção de pares �	, ��	��, ou �	, ��, nos quais 	 é 
qualquer elemento do domínio da função e ��	�, 
ou �, é o correspondente valor da função.
Estes pares são denominados pares ordenados.
Uma função � � ��	� fornece, por definição, uma 
coleção de pares �	, ��	��, ou �	, ��, nos quais 	 é 
qualquer elemento do domínio da função e ��	�, 
ou �, é o correspondente valor da função.
Estes pares são denominados pares ordenados.
Valor do 
desconto 
(em centavos)
Valor arrecado 
por dia 
(R$)
0 40
50
100
150
200
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
Sistema de coordenadas cartesianas – Plano 	�
Recurso pelo qual estabelecemos uma 
correspondência bijetora entre os pontos do 
plano e os pares ordenados �	, �� de números 
reais.
Sistema de coordenadas cartesianas – Plano 	�
Recurso pelo qual estabelecemos uma 
correspondência bijetora entre os pontos do 
plano e os pares ordenados �	, �� de números 
reais.
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
90° 
ℝ
0
Origem
Eixo das 
Ordenadas
ℝ
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
0 &
( 3�&, (�
SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
O gráfico de uma função � � ��	� consiste da 
totalidadedos pontos �	, �� cujas coordenadas 
satisfazem a relação � � ��	�.
Devemos sempre descobrir qual o domínio da função 
� � ��	� para que não venhamos escolher valores de 
	 que não estão no domínio.
O gráfico de uma função � � ��	� consiste da 
totalidade dos pontos �	, �� cujas coordenadas 
satisfazem a relação � � ��	�.
Devemos sempre descobrir qual o domínio da função 
� � ��	� para que não venhamos escolher valores de 
	 que não estão no domínio.
Agora, vamos traçar o gráfico da situação 
apresentada: quantia - a ser paga pelo aluguel de um 
veículo em função da quantidade , de quilômetros 
rodados.
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
	 �
0 40
50
100
150
200
65
90
115
140
- � 40 � 0,50,
 25 50 75 100 125 150 175 200
140
115
90
65
40
�0,15�
25
25
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
Fonte: https://bit.ly/2NVNTFj
É útil visualizar as curvas 
mentalmente antes de tentar traçá-
las no papel. Se houver dúvidas sobre 
a curva entre dois pontos marcados, 
determine mais pontos no intervalo.
Participand
o
da
aula
Qual a diferença entre 
um gráfico e um esboço 
gráfico?
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
Fonte: https://bit.ly/2NVNTFj
Esboço!
Conjunto dos traços iniciais, 
provisórios, de um desenho, 
de uma obra de arte.
Participand
o
da
aula
Quantos pares ordenados 
são necessários para 
podermos construir um 
gráfico (esboço).
Traçar o gráfico
da função 
� � 3	 � 1.
ATIVIDADE 3
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
	 � � 3	 � 1
 2
 1
0
1
2
(-2,-5)
(-1,-2)
(0,1)
(1,4)
(2,7)
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
RESUMINDO
 Passo 01: Encontrar o domínio da função.
 Passo 02: Fazer uma tabela com valores de 	
(escolhidos por você) e os valores de � (calculados 
pela relação dada) e escrever os pares ordenados
(	, �).
 Passo 03: Marcar, no plano cartesiano, os pontos de 
acordo com os pares ordenados.
 Passo 04: Traçar uma curva
contínua através destes pontos, 
indo da esquerda para a direita.
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
GRÁFICOS E FUNÇÕES
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
Fonte: https://bit.ly/2NVNTFj
�: � → � a cada 
elemento de A corresponde 
um único elemento de B.
Reta perpendicular ao eixo 	! 
 não pode cortar a curva em 
mais de um ponto!
Participand
o
da
aula
Quais dos seguintes 
gráficos representam 
uma função?
DEFINIÇÃO E GRÁFICO DE FUNÇÕES
Relacione adequadamente um gráfico a cada situação
relatada. 
ATIVIDADE 4
�&� Eu tinha acabado de sair de casa, quando percebi que 
havia esquecido meus livros; então eu voltei para buscá-
los. 
ATIVIDADE 4
�(� Tudo ia bem até que o pneu furou.
ATIVIDADE 4
�)� Eu iniciei calmamente, mas aumentei a velocidade 
quando me dei conta de que iria me atrasar.
ATIVIDADE 4
�,� Saí rapidamente de casa, mas comecei a andar mais 
lentamente para poder apreciar as vitrines das lojas.
ATIVIDADE 4
IEZZI, Gelson. MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática 
Elementar: conjuntos e funções. São Paulo: Atual Editora, 1985.
LIPSCHUTZ, Seymour. LIPSON, Marc. Matemática Discreta. Tradução 
de Heloisa Bauzer Medeiros. Porto Alegre: Artmed Editora S.A., 
2004.
SOUZA, Joamir Roberto de. Novo olhar Matemática. Volume 1. São 
Paulo: FTD, 2010.
Referências