Lista4 MaxMinSelaQualitativoNãoCondicionado

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Pr1 – Baseado nas curvas de nível, se possível, estime os pontos de valores extremos e sela. 
 
 
 
 
 
 
Pr2 Verifique que os pontos estimados nos mapas de contorno do problema anterior são críticos das funções. 
 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 + 𝑥3 + 𝑦3 − 3𝑥𝑦 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑦4 − 4𝑥𝑦 + 1 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 10𝑥2𝑦 − 5𝑥2 − 4𝑦2 − 𝑥4 − 2𝑦4 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 𝑥3 − 2𝑦2 + 𝑦4 
Obs.: O mapa Pr1(a) está associado à função Pr2(a) e assim por diante. 
 
 
Cálculo de Várias Variáveis 
Lista de Exercícios: Valores Extremos e Ponto de Sela – Região Não Condicionada 
Prof. Alexsandro M. Carvalho 
Prof. Vilarbo da Silva 
Prof. Anderson Tres 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
Pr3 Represente os mapas de contorno das funções e, se possível, baseado nos mesmos estime os pontos de valores 
extremo e/ou sela. 
 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
(𝑥+2)2
4
+
(𝑦+1)2
9
 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = −9 − 12𝑥 + 2𝑥2 − 18𝑦 − 3𝑦2 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 10 − √10 − 6𝑥 + 𝑥2 − 2𝑦 + 𝑦2 
 
 
Pr4 – Encontre os valores críticos, se possível, e classifique-os. 
 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑦 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 − 2𝑥 − 2𝑦 − 𝑥2 − 𝑦2 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 2𝑦 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 − 12𝑥𝑦 + 8𝑦2 
e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦3 − 3𝑥2𝑦 − 6𝑥2 − 6𝑦2 + 2 
 
Respostas 
Pr1 
 a) Mínimo (1,1) e Sela (0,0) 
 b) Mínimo (1,1), (-1,-1) e Sela (0,0) 
 c) Máximo (2.64,1.9), (-2.64,1.9), (0,0) e Sela (0.86,0.65) e (-0.86,0.65) 
 d) Mínimo (-1,1) e (-1,-1), Máximo (1,0) e Sela (-1,0), (1,1) e (-1,1) 
 
Pr2 Os pontos 𝑃 satisfazem as equações 𝑓𝑥|𝑃 = 𝑓𝑦|𝑃 = 0. 
 
Pr3 
 
 
 
Pr4 
 a) 𝑓(1/3, −2/3) = −1/3 Mínimo 
 b) 𝑓(−2, −2) = 4 Máximo 
 c) Não possui valor crítico 
 d) 𝑓(0,0) = 0 e 𝑓(3,9/4) = −27/2 Mínimo 
 e) 𝑓(0,0) = 2 e 𝑓(2√3, −2) = −30 Máximo 𝑓(0,4) = 𝑓(−2√3, −2) = −30 Sela 
Mínimo 
Sela 
Máximo 
a) b) c)