Equações diferenciais parciais - EDPs

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9. Equações de derivadas parciais 
Página 1 da Secção 9 
Secção 9. Equações de derivadas parciais 
(Farlow: Sec. 9.2 a 9.6) 
 
 Eis chegado o momento de abordar as equações diferenciais que envolvem mais do 
que uma variável independente e, consequentemente, apresentam derivadas parciais. A sua 
forma geral pode ser dada por: 
2 2 2
2 2, ,..., ( , ,...), , ,..., , ,..., ,... 0
u u u u u
F x y u x y
x y x y x y
æ ö¶ ¶ ¶ ¶ ¶
=ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø
, 
em que x, y, etc., são as variáveis independentes e u é a variável dependente. A ordem de 
uma equação de derivadas parciais (EDP) corresponde à ordem da maior derivada parcial 
presente na equação. De forma a simplificar a escrita, podemos recorrer a uma notação mais 
compacta para designar as derivadas parciais. Por exemplo: 
 
2
x xy
u u
u u
x x y
¶ ¶
= =
¶ ¶ ¶
 
Tal como sucedia nas EDOs, as EDPs também podem ser classificadas em termos da sua 
linearidade. Assim, uma EDP linear deverá ser linear relativamente à variável dependente e 
às suas derivadas. No caso de uma EDP linear de segunda ordem, teremos no caso geral: 
xx xy yy x yau bu cu du eu fu g+ + + + + = , 
em que u é função de x e y e em que a, b, c, d, e, f são coeficientes que podem ser função de 
x e y (mas não de u). Se esses coeficientes não forem função de x e y, a EDP diz-se de 
coeficientes constantes. Se g = 0, a EDP diz-se homogénea. Esta EDP pode ser ainda 
classificada de acordo com a natureza dos coeficientes que multiplicam as derivadas de 
segunda ordem: 
2 4 0b ac- = Þ EDP parabólica 
2 4 0b ac- > Þ EDP hiperbólica 
2 4 0b ac- < Þ EDP elíptica 
Resolução analítica de EDPs 
 Vamos estudar três formas de obter a solução analítica de uma EDP. Em muitos 
casos, porém, tal não é possível, sendo então necessário optar pela resolução numérica. 
Equação de 
Derivadas 
Parciais 
EDP linear de 
segunda ordem 
 
9. Equações de derivadas parciais 
Página 2 da Secção 9 
I. Integração directa 
Este método só é aplicável se a EDP apresentar apenas uma derivada parcial. Logo, é de 
interesse bastante restrito. Vejamos dois exemplos: 
 
 
Consideremos a seguinte EDP: 
u
y
x
¶
=
¶
 
A derivada parcial que surge na equação designa a derivada de u em ordem a x com y 
constante. Podemos então imediatamente integrar ambos os lados da equação em ordem a x 
mantendo y constante: 
const.
( ) ( )
x
u ydx f y yx f y= + = +ò . 
Note-se que tivemos que adicionar uma parcela que pode ser função de y! De facto, esta 
“constante de integração” tem que ser “constante” apenas relativamente a x. 
 Obtivemos assim uma “solução geral” que tem a forma: 
( )u yx f y= + . 
A função f(y) é desconhecida. Eventualmente, se fosse conhecida uma condição inicial do 
problema, talvez fosse possível tentar identificar essa função. Por exemplo, se nos fosse 
dado que: 
( 0, ) sin( )u x y y= = , 
então viria que: 
( 0, ) 0 ( ) sin( ) ( ) sin( )u x y y f y y f y y= = ´ + = Þ = . 
 
 
Consideremos agora a EDP: 
2
2 2u x y
x y
¶
= +
¶ ¶ 
Tratando-se de uma derivada cruzada, teremos que integrar duas vezes a equação, primeiro 
sobre y (com x constante) e depois sobre x (com y constante): 
Exemplo 
Exemplo 
9. Equações de derivadas parciais 
Página 3 da Secção 9 
( )
3
2 2 2
const.
( ) ( )
3x
u y
x y dy f x x y f x
x
¶
= + + = + +
¶ ò . 
3 3 3
2
const.
( ) ( ) ( )
3 3 3y
y x y y x
u x y f x dy h x g y
æ ö
= + + = + + +ç ÷
è ø
ò , 
em que ( ) ( )h x f x dx= ò . Assim, a solução obtida é: 
3 3
( ) ( )
3 3
x y y x
u h x g y= + + + . 
 
II. Separação de variáveis 
 Este método é apenas aplicável em alguns casos. Normalmente, temos que “testar” a 
equação para verificar se a separação de variáveis é realmente possível. 
No caso geral de uma EDP cuja variável dependente é u(x,y), o método de separação 
de variáveis baseia-se na possibilidade de a dependência de u relativamente à variáveis 
independentes x e y poder ser expressa em termos do produto de duas funções: X(x) e Y(y), 
ou seja: 
( , ) ( ) ( )u x y X x Y y= . 
Vamos ver um exemplo prático de como o método pode ser implementado. 
 
 
Consideremos uma EDP de primeira ordem que envolve duas derivadas parciais: 
2( )
u u
x y u
x y
¶ ¶
+ = +
¶ ¶
. 
O método de separação de variáveis parte da hipótese de u(x,y) poder ser representada como 
( , ) ( ) ( )u x y X x Y y= . Vamos substituir esta expressão na EDP e verificar se podemos depois 
proceder à separação das variáveis x e y: 
2( )
dX dY
Y X x y XY
dx dy
+ = + . 
Dividindo a equação por XY†: 
 
† Note-se que os operadores de derivação parcial, ¶ , foram substituídos por diferenciais totais, uma vez que X 
e Y são apenas função de x e y, respectivamente. 
Exemplo 
9. Equações de derivadas parciais 
Página 4 da Secção 9 
1 1
2( )
dX dY
x y
X dx Y dy
+ = + . 
Rearranjando: 
1 1
2 2
dX dY
x y
X dx Y dy
- = - + . 
Ou seja, conseguimos de facto separar as variáveis. Reparemos agora que, sendo o lado 
esquerdo desta equação apenas função da variável independente x e o lado direito apenas 
função da variável independente y, então a igualdade só poderá ser válida se ambos os lados 
forem iguais a uma mesma constante! De contrário seria impossível que, variando 
independentemente x e y, a igualdade se mantivesse. Ou seja: 
1 1
2 2
dX dY
x k y k
X dx Y dy
- = - + = . 
A constante k é designada de constante de separação. Obtivemos então duas EDOs de 
primeira ordem, facilmente resolúveis para X(x) e Y(y), respectivamente: 
2 2
1 2
2 2
1 2
(2 ) (2 )
ln ln
x kx C y ky C
dX dY
x k dx y k dy
X Y
X x kx C Y y ky C
X e Y e+ + - +
= + = -
= + + = - +
= =
 
Podemos agora obter a solução para u(x,y): 
2 2 2 2
1 2( ) ( )x y k x y C C x y k x yu XY e Ce+ + - + + + + -= = = . 
 
Analisemos agora um exemplo um pouco mais complexo, associado a uma EDP de 
segunda ordem. 
 
 
 A seguinte EDP é por vezes designada como “equação de calor unidimensional”, 
pois descreve a variação da temperatura de um corpo, ao longo da direcção x, em função do 
tempo t : 
2
2
2 0 1, 0
u u
x t
t x
a
¶ ¶
= £ £ ³
¶ ¶
. 
Ou seja, u(x,t) pode representar a temperatura de uma barra metálica na posição x e no 
instante t. a é a condutividade térmica do metal. Se pretendermos obter uma solução 
Exemplo 
9. Equações de derivadas parciais 
Página 5 da Secção 9 
particular do problema, teremos que conhecer uma condição inicial sobre t e duas 
condições fronteira sobre x, uma vez que a EDP envolve uma derivada de primeira ordem e 
uma derivada de segunda ordem sobre cada uma das variáveis independentes, 
respectivamente. 
A condição inicial corresponderá à forma como a temperatura se distribui ao longo 
da barra no instante t = 0: 
( ,0) ( )u x f x= . 
Vamos assumir que a função f(x) é conhecida. 
As condições fronteira correspondem normalmente à temperatura da barra em cada 
extremidade, ou seja, para x = 0 e x = 1. Vamos assumir, por simplicidade, que essas são 
constantes e iguais a zero: 
(0, ) 0
(1, ) 0
u t
u t
=
=
 
Iniciemos então a aplicação do método de separação de variáveis. Tal como 
anteriormente, vamos procurar representar u(x,t) como: 
( , ) ( ) ( )u x y X x T t= . 
Substituindo na EDP: 
2
2
2
dT d X
X T
dt dx
a= . 
Separando as variáveis obtemos: 
2
2 2
1 1 1dT d X
T dt X dxa
= . 
Esta igualdade só poderá ser válida para qualquer t e qualquer x se ambos os lados forem 
idênticos a uma mesma constante: 
2
2 2
1 1 1dT d X
k k
T dt X dxa= - = - . 
Veremos a seguir que a constante de separação será determinada a partir das condições 
fronteira do problema. Compreenderemos nessa altura porque razão é mais cómodo 
designar, neste problema, a constante por –k e não simplesmente por k, como no problema 
anterior. 
Podemos agora resolver as duas EDOs obtidas. Para a primeira temos: 
9. Equações de derivadas parciais 
Página 6 da Secção 9 
2
1 dT
kdt
Ta
= - , 
2ln T k t Ca= - + , 
2k tT Ce a-= . 
E para a segunda: 
2
2 0
d X
kX
dx
+ = . 
Esta é uma EDO linear homogénea de segunda ordem. Como sabemos, a sua solução geral 
será a combinação linear de duas soluções particulares, as quais deverão ser do tipo erx. O 
parâmetro r é obtido das raízes da equação característica: 
2 0r kX r k+ = Þ = ± - . 
Chegamos agora a um pequeno problema: conforme a constante de separação k seja 
negativa, nula ou positiva, iremos ter diferentes possibilidades para a solução desta EDO. E 
qual delas é a adequada para a solução do nosso problema? Vamos considerar todas as 
hipóteses e depois verificar qual delas é compatível com as condições fronteira impostas, as 
quais são: 
(0, ) 0 (0) ( ) 0 (0) 0
(1, ) 0 (1) ( ) 0 (1) 0
u t X T t X
u t X T t X
= Þ = Þ =
= Þ = Þ =
 
Assim, segundo a natureza de k, teremos: 
o 0k < implica que k- é um número real, logo teremos soluções particulares dadas 
por exponenciais: 
( ) k x kxX x Ae Be- - -= + . 
E aplicando as condições fronteira: 
0(0) 0 0
(1) 0 00k k
A BX A
X BAe Be- - -
+ =ì= =ì ìï
Þ Þí í í
= =+ =ïî îî
 
Ou seja, teríamos u(x,t) = 0, o que é a solução trivial e não é definitivamente aquilo 
de que estamos à procura! 
o 0k = implica r = 0 , ou seja, temos uma raiz real dupla. A primeira solução 
particular será k xAe A- = e a segunda será (pelo método d’Alembert): 
kxBxe Bx- = . Assim: 
9. Equações de derivadas parciais 
Página 7 da Secção 9 
( )X x A Bx= + . 
Aplicando as condições fronteira: 
(0) 0 0 0
(1) 0 0 0
X A A
X A B B
= = =ì ì ì
Þ Þí í í= + = =î î î
 
Mais uma vez, obtemos apenas a solução trivial u(x,t) = 0. 
o 0k > implica que k i k- = é um número complexo, logo teremos que recorrer à 
fórmula de Euler por forma a obter a solução geral em termos de uma combinação 
de um seno e um co-seno: 
( ) ( )( ) cos cosX x A kx B kx= + . 
Aplicando novamente as condições fronteira: 
( ) ( ) ( )
cos(0) sin(0) 0 0(0) 0
cos sin 0 sin 0(1) 0
A B AX
A k B k B kX
+ = =ì ì=ì ï ï
Þ Þí í í
+ = ==î ï ïî î
 
Vemos então que k terá que obedecer à condição: k np= , com n = 1, 2,... 
 
 Finalmente obtivemos uma solução não trivial! Substituindo a expressão obtida para 
k, a função X(x) é representada como: 
( )( ) sinn nX x B n xp= . 
E T(t) como: 
2( )( ) n tn nT t C e
pa-= . 
Logo a solução do problema virá: 
( ) ( )2 2( ) ( )( , ) ( ) ( ) sin sinn t n tn n n n n nu x t X x T t C e B n x b e n xpa pap p- -= = = , 
com n = 1, 2,... Existem então infinitas soluções possíveis (ditas soluções fundamentais), 
uma para cada valor de n. A solução completa do problema é dada pela soma de todas as 
soluções fundamentais: 
( )
2( )
1
( , ) sinn tn
n
u x t b e n xpa p
¥
-
=
= å . 
9. Equações de derivadas parciais 
Página 8 da Secção 9 
Resta-nos agora determinar os coeficientes bn, de forma a definir completamente a 
solução particular que procurámos. Como fazê- lo? Ora bem, falta-nos ainda aplicar a 
condição inicial do problema, ( ,0) ( )u x f x= : 
( )
1
( ,0) ( ) sin ( )n
n
u x f x b n x f xp
¥
=
= Þ =å . 
O somatório ( )
1
sinn
n
b n xp
¥
=
å é uma série seno de Fourier‡. Sendo assim, os coeficientes bn 
não são mais do que os coeficientes da expansão de f(x) numa série seno de Fourier para o 
intervalo 0 1x£ £ ! Logo bn será dado por (ver Apêndice): 
( )
1
0
2 ( )sinnb f x n x dxp= ò . 
Este integral permite-nos assim calcular os coeficientes bn a partir de f(x). A solução 
particular do problema está finalmente completamente definida. 
 
III. Transformada de Laplace 
 O método de aplicação da transformada de Laplace na resolução de EDPs é bastante 
semelhante ao descrito na Secção 6, no contexto da resolução de EDOs. A transformada é 
aplicada relativamente a uma das variáveis independentes (desde que esta tenha como 
domínio o intervalo [0, [+¥ ), fazendo assim “desaparecer” as derivadas parciais em ordem a 
essa variável. Vejamos um exemplo: 
 
 
0,
u u
t t x
t x
¶ ¶
+ = ³ - ¥ < < ¥
¶ ¶
 
Condições do problema: ( ,0) 0, (0, )u x u t t= = . 
Vamos aplicar a transformada de Laplace sobre uma das variáveis independentes. 
De acordo com a definição da transformada, a transformação só é possível se a variável em 
causa tiver como domínio o intervalo [0, [+¥ . Este facto exclui a possibilidade de 
aplicarmos a transformada sobre x. Vamos então transformar sobre t. A transformada de 
 
‡ A teoria básica das séries de Fourier é descrita no Apêndice no final desta secção. 
Exemplo 
9. Equações de derivadas parciais 
Página 9 da Secção 9 
Laplace de u(x,t) será ainda uma função de x, mas o domínio t será transformado no 
domínio de Laplace, s: 
{ }
0
( , ) ( , ) ( , )stu x t e u x t dt u x s
¥ -= =òL . 
De acordo com a conhecida propriedade da transformada da derivada: 
( , )
( , ) ( ,0)
u x t
su x s u x
t
¶ì ü = -í ý
¶î þ
L . 
Por outro lado, uma vez que a transformada não é aplicada sobre x : 
( , ) ( , )u x t u x s
x x
¶ ¶ì ü =í ý
¶ ¶î þ
L . 
Assim, a transformação da EDP original dá: 
2
( , ) 1
( , ) ( ,0)
u x s
su x s u x
x s
¶
- + =
¶
. 
Podemos já aplicar a condição inicial ( ,0) 0u x = , obtendo: 
2
1u
su
x s
¶
+ =
¶
. 
A derivada parcial em ordem a t foi assim eliminada. Obtivemos uma EDP com apenas uma 
derivada em ordem a x, a qual é resolúvel por integração directa: 
2
( )
1
u
x f s
su
s
¶
= ¶ +
-
ò ò . 
Note-se que, tal como discutimos no início desta secção, a “constante de integração” que 
adicionamos, f(s), pode ser função da outra variável independente! Integrando obtemos: 
2
1 1
ln ( )su x f s
s s
- - = + . 
Explicitando para u : 
3
1
( , ) ( ) sxu x s g s e
s
-= - . 
Não podemos ainda inverter esta transformada, uma vez que desconhecemos g(s). Esta 
“constante de integração” será determinada aplicando a condição fronteira (0, )u t t= (note-
se que a condição inicial, ( ,0) 0u x = , já foi aplicada). Temos, no entanto, que começar por 
transformar essa condição para o domínio de Laplace: 
9. Equações de derivadas parciais 
Página 10 da Secção 9 
{ } 2
1
(0, ) (0, )u t t u s t
s
= Þ = =L . 
Aplicando a condição obtida à solução anterior: 
2 3 2 2 3
1 1 1 1 1
(0, ) ( ) ( )sxu s g s e g s
s s s s s
-= Þ - = Þ = - . 
Logo: 
3 2 3 3 2 3
1 1 1 1
( , )
sx sx
sx e eu x s e
s s s s s s
- -
-æ ö= - - = - +ç ÷
è ø
. 
Agora sim, podemos inverter a expressão resultante para o domínio t§: 
2 2( )
( , ) ( ) ( ) ( )
2 2
t t x
u x t t x H t x H t x
-
= - - - + - . 
 
§ A inversão das transformadas de Laplace é efectuada da forma usual, tratando x como constante. 
9. Equações de derivadas parciais 
Página 11 da Secção 9 
Apêndice: Séries de Fourier 
 Qualquer função f(x) contínua num intervalo [0, L] pode ser representada por uma 
série de senos ou co-senos. Ou seja, existe uma série de senos ou co-senos que converge 
para f(x). Essas séries definem-se da seguinte forma: 
Série seno de Fourier: 
1
( ) sinn
n
n
f x b x
L
p¥
=
æ ö= ç÷
è ø
å 
Série co-seno de Fourier: 0
1
( ) cos
2 nn
a n
f x a x
L
p¥
=
æ ö= + ç ÷
è ø
å 
 A expansão de uma função em série de Fourier só fica definida após a determinação 
dos coeficientes bn e an. Uma relação entre estes e a função a expandir, f(x), pode ser obtida 
com base a propriedade de ortogonalidade das funções seno e co-seno. No caso das funções 
seno, demonstra-se que o produto escalar de duas funções seno, designado por ,n mS S< > , 
é dado por: 
0
0,
sin sin ,
,
2
L
n m
n m
n m
x x dx S S L
L L n m
p p
¹ì
ïæ ö æ ö = < > = íç ÷ ç ÷ =è ø è ø ïî
ò 
Ou seja, Sn e Sm são ortogonais se n m¹ . 
Multiplicando ambos os lados da expansão em série seno de f(x) por Sn e aplicar o 
produto escalar, obtemos: 
10 0
sin ( ) sin sin
L L
n
n
m m n
x f x dx b x x dx
L L L
p p p¥
=
æ ö æ ö æ ö=ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
åò ò 
Segundo a propriedade de ortogonalidade das funções seno, o integral do lado direito é não 
nulo apenas quando n = m. Logo a equação anterior fica: 
0
sin ( )
2
L
m
m L
x f x dx b
L
pæ ö =ç ÷
è øò . 
De onde se conclui que: 
0
2 2
sin ( ) ,
L
n n
n
b x f x dx f S
L L L
pæ ö= = < >ç ÷
è øò . 
 Da mesma forma, para a expansão em série co-seno de Fourier, utilizamos a 
propriedade de ortogonalidade das funções co-seno: 
Expansão em 
série seno e 
co-seno de 
Fourier 
 
Definição dos 
coeficientes da 
expans ão em 
série seno de 
Fourier 
 
9. Equações de derivadas parciais 
Página 12 da Secção 9 
0
0,
cos cos , 0
2
, 0
L
m n
n m L
x x dx m n
L L
L m n
p p
¹ì
ïïæ ö æ ö = = ¹íç ÷ ç ÷
è ø è ø ï
ï = =î
ò 
Seguindo um procedimento análogo ao anterior, obtemos**: 
0
2 2
cos ( ) ,
L
n n
n
a x f x dx f C
L L L
pæ ö= = < >ç ÷
è øò . 
 
 
Vamos expandir f(x) = x numa série seno e numa série co-seno de Fourier, com x Î 
[0,1]. 
A forma da expansão em a série seno será (note-se que L = 1): 
( )
1 1
( ) sin sinn n
n n
n
f x b x b n x
L
p
p
¥ ¥
= =
æ ö= =ç ÷
è ø
å å . 
Os coeficientes bn são obtidos de: 
( )
1
0 0
2
sin ( ) 2 sin
L
n
n
b x f x dx n x xdx
L L
p
pæ ö= =ç ÷
è øò ò 
O integral anterior pode ser obtido de uma tabela de integrais, obtendo-se então: 
12 ( 1)nnb np
+= - . 
Ou seja, f(x) = x pode ser representada pela série: 
( )1
1
2
( ) ( 1) sinn
n
f x n x
n
p
p
¥
+
=
= -å 2 1 1sin( ) sin(2 ) sin(3 ) ...2 3x x xp p pp
ì ü= - + -í ý
î þ
 
Na figura seguinte podemos ver a representação gráfica da série, utilizando apenas 
três e oito parcelas no somatório. É notório que no segundo caso se obtém um resultado 
mais próximo da função original, se bem que a série diverge sempre para x = 1, uma vez 
que, como ( )sin 0np = , todas as parcelas do somatório são nulas nesse ponto. 
 
** As expressões obtidas para os coeficientes bn e an não são mais do que, respectivamente, as definições da 
Transformada Seno e da Transformada Co-seno de Fourier de uma função f(x). Estas transformadas são de 
grande importância em várias áreas da matemática e da engenharia. No entanto, o seu estudo mais 
aprofundado está fora do âmbito desta disciplina. 
 
Definição dos 
coeficientes da 
expans ão em 
série co-seno 
de Fourier 
 
Exemplo 
9. Equações de derivadas parciais 
Página 13 da Secção 9 
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
f(x) = x
Série seno, 3 parcelas
Série seno, 8 parcelas
 
 Vamos agora efectuar a expansão em série co-seno: 
( )0 0
1 1
( ) cos cos
2 2n nn n
a an
f x a x a n x
L
p
p
¥ ¥
= =
æ ö= + = +ç ÷
è ø
å å 
Calculemos os coeficientes: 
1
0
0 0
2
( ) 2 1
L
a f x dx x dx
L
= = =ò ò 
( )
1
2
0 0
4
, par2
( )cos ( ) 2 cos
0, impar
L
n
nn
na x f x dx n x x dx
L L
n
p
pp
ì-ïæ ö= = = íç ÷
è ø ïî
ò ò 
com n = 1,2,… 
Então, f(x) será dada por: 
2 2 2
1 4 1 1
( ) cos( ) cos(3 ) cos(5 ) ...
2 3 5
f x x x xp p p
p
ì ü= - + + +í ý
î þ
 
Mais uma vez, podemos ver a representação gráfica desta série, considerando apenas os 
primeiros termos: 
9. Equações de derivadas parciais 
Página 14 da Secção 9 
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
f(x) = x
Série coseno, 2 parcelas
Série coseno, 8 parcelas
 
Vemos agora que se obtém uma muito melhor representação da função f(x), mesmo usando 
apenas oito parcelas. A série co-seno é assim uma melhor escolha para representar a função 
f(x) = x . 
 
 
 
 
9. Equações de derivadas parciais 
Página 15 da Secção 9 
Sumário da Secção 9 
• Resolução analítica de EDPs 
I. Integração directa 
II. Separação de variáveis 
III. Transformada de Laplace 
• Apêndice: Séries de Fourier