EXERCICIOS DE FLEXÃO OBLIQUA

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07/09/2018
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Cabo Frio, 2018
UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA – UVA
DEPARTAMENTO D ENGENHARIA CIVIL
EXEMPLO 01
Uma viga de madeira AB de seção transversal retangular servindo como uma
terça de telhado (conforme figura a seguir) está simplesmente apoiada pelos
banzos superiores de duas treliças adjacentes do telhado. A viga suporta o
peso do revestimento do telhado e do material do telhado, mais o seu peso
próprio e qualquer outra carga adicional que possa afetar o telhado (como
vento, neve, etc.). Será considerado somente os efeitos de uma carga
uniformemente distribuída de intensidade q=3,0 kN/m agindo na direção
vertical através dos centroides das seções transversais. A carga age ao longo
de todo o comprimento da viga e inclui seu peso próprio. Os banzos
superiores da treliça têm uma inclinação de 𝛼 = 26,57°e a viga tem largura
b=100 mm, altura h=150 mm e comprimento=1,60m.
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EXEMPLO 01
Determine:
a) As tensões de tração e compressão máximas;
b) Localize a linha de influência
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EXEMPLO 01 - RESOLUÇÃO
A carga aplicada não atua num dos eixos de simetria da viga, logo o plano
de solicitação (PS) não coincide com tais eixos. A peça está sob flexão
oblíqua.
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EXEMPLO 01 - RESOLUÇÃO
Cargas e momentos fletores
A carga q deverá ser reescrita em função de suas componentes e y e z,
assim:
qy = qcosα qz = qsenα
Considerando a viga biapoiada, os momentos fletores máximos ocorrem na
metade do vão e pode ser escrito da seguinte forma:
My=
qy𝐿²
8
=
q. 𝐿²cosα
8
Mz =
qz𝐿²
8
=
q. 𝐿2senα
8
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EXEMPLO 01 - RESOLUÇÃO
Cálculo dos momentos de inércia:
𝐼𝑦 =
ℎ𝑏³
12
; 𝐼𝑦 =
𝑏ℎ³
12
Determinação das tensões de flexão:
𝜎𝑥 =
𝑀𝑦𝑧
𝐼𝑦
−
𝑀𝑧𝑦
𝐼𝑧
Substituindo os valores:
𝜎𝑥 =
q.𝐿2senα
8ℎ𝑏3/12
𝑧 −
q.𝐿2cosα
8𝑏ℎ3/12
𝑦
Simplificando, tem-se que:
𝜎𝑥 =
3q.𝐿2
2𝑏ℎ
senα
𝑏²
𝑧 −
cosα
ℎ²
𝑦
A tensão em qualquer ponto poderá ser calculado por esta equação, substituindo-
se os valores de Z e y.
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EXEMPLO 01 - RESOLUÇÃO
Analisando o esquema apresentado percebe-se que:
• a maior tensão de compressão ocorre no ponto “D” (y=h/2 e z=-b/2)
• A maior tensão de tração ocorre no ponto “E” (y=-h/2 e z=b/2)
(D e E são equidistantes!)
Substituindo os valores na equação obtida tem-se que:
𝜎𝑥 =
3q.𝐿2
2𝑏ℎ
senα
𝑏²
𝑧 −
cosα
ℎ²
𝑦
Substituindo os valores das coordenadas:
𝜎𝐸 = −𝜎𝐷=
3q.𝐿2
4𝑏ℎ
senα
𝑏
+
cosα
ℎ
Realizando as substituições dos valores de 
q=3,0 kN/m, L=1,60 m, b=0,010 m, h=0,15 m e α = 26,57°
𝜎𝐸 = −𝜎𝐷= 4,01 𝑀𝑃𝑎
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EXEMPLO 01 - RESOLUÇÃO
a) Obtenção da linha neutra
A linha neutra é posição na seção transversal no qual as tensões são nulas.
Desta forma, sua localização pode ser realizada assumindo a tensão 𝜎 como
zero. Assim:
3q. 𝐿2
2𝑏ℎ
senα
𝑏²
𝑧 −
cosα
ℎ²
𝑦 = 0
A linha neutra é posicionada em relação ao ângulo 𝛽 com o eixo z até a linha
neutra é obtido a partir da última equação e da relação:
tgβ =
y
z
=
h²
b²
tgα
Substituindo: 
tgβ =
1502
1002
tg 26,57° = 1,125
artg(1,125)=48,4°
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EXEMPLO 02 - RESOLUÇÃO
Uma viga engastada de 4m de comprimento é construída com uma seção
IPN 500 ( ver tabela). Uma carga P= 45 kN age na direção vertical na
extremidade da viga. Como a viga é bastante estreita em relação a sua
altura( esbelta) o momento de inércia em relação a z é muito maior que o
momento de inércia em relação ao eixo y. Assim, determine:
a) As tensões de flexão máximas na viga se o eixo y da seção transversal é
vertical e, por isso, alinhada com a carga P;
b) As tensões de flexão máximas se a viga está inclinada em um pequeno
ângulo 𝛼 = 1° em relação à carga P ( imperfeição construtiva).
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EXEMPLO 02
Tabela de propriedades de seções em aço
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EXEMPLO 02 - RESOLUÇÃO
Objetivo: Comparar a seção sem e com o desaprumo da viga.
a) Tensão de flexão máximas com a carga alinhada ao eixo y.
• Se há um total alinhamento entre o plano de aplicação da carga (PS) e os
eixos do perfil, a linha neutra passará no eixo Z e as tensões máximas(
geradas pelo engastamento) na viga serão calculadas pela formulação:
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑀𝑦
𝐼𝑍
=
𝑃𝐿(
ℎ
2)
𝐼𝑍
Substituindo os valores:
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
45 𝑘𝑁 4000𝑚𝑚 (250𝑚𝑚)
(68740 𝑐𝑚4)
= 65,5 𝑀𝑃𝑎
Neste caso, haverá tração na parte inferior e compressão na superior.
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EXEMPLO 02 -RESOLUÇÃO
b) Tensões de flexão máximas com o desaprumo de 𝛼 = 1 °
Escrever a carga P em função de suas componentes, ou seja:
𝑃𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑃𝐶𝑜𝑠𝛼
Assim, os momentos fletores são escritos da seguinte maneira:
𝑀𝑦 = − 𝑃𝑠𝑒𝑛𝛼 𝐿 = − 45 𝑠𝑒𝑛1° 4 = −, 314 𝑘𝑁.𝑚
𝑀𝑧 = − 𝑃𝑐𝑜𝑠𝛼 𝐿 = − 45 𝑐𝑜𝑠1° 4 = −180 𝑘𝑁.𝑚
Da relação σx =
Myz
Iy
−
Mzy
Iz
= 0 utilizada para calcular
A linha neutra pode-se obter a seguinte relação:
tgβ =
y
z
=
𝑀𝑦𝐼𝑧
𝑀𝑧𝐼𝑦
=
(−3,14)(68740)
(−180)(2480)
= 0,878
Arctgβ=25,8°
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EXEMPLO 02 -RESOLUÇÃO
• Conclui-se que a linha neutra está inclinada 25,8° a partir de z, embora o
plano de solicitação (PS) esteja inclinado 1° a partir de y;
• As maiores tensões estarão nas maiores distâncias da linha nn, que neste
caso, são os pontos A e B.
A tensão de tração será então obtido segundo:
σA =
My𝑍𝐴
Iy
−
Mz𝑌𝐴
Iz
σA =
(−3,14)(−0,0925)
0,248
−
(−180)(0,25)
6,8740
σA = 7,72 𝑘𝑁/𝑚²
σB = −7,72 𝑘𝑁/𝑚²
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EXEMPLO 03 - PROPOSTO
Uma seção em canal (UPN 220) está submetida a um momento fletor M=2
kN.m orientado a um ângulo θ=10° em relação ao eixo z. Calcule as tensões
de flexão em A e B, respectivamente.
O centroide c= 2,14 cm
O perfil não é simétrico em relação aos dois eixos.
𝐼𝑧 = 2690 𝑐𝑚
4
𝐼𝑦 = 197 𝑐𝑚
4
Além disto, sabe-se que:
𝑦𝐴 = 110 𝑚𝑚
𝑧𝐴 = −80 𝑚𝑚 + 21,4𝑚𝑚 = −58,4𝑚𝑚
𝑦𝐵 = −110 𝑚𝑚
𝑧𝐵 = 21,4 𝑚𝑚
𝑦𝐷 = 𝑦𝐴; 𝑧𝐵 = 𝑧𝐷
𝑦𝐸 = 𝑦𝐴; 𝑧𝐸 = 𝑧𝐴
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