Resumo Metodologia para o ensino de matematica

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RESUMO – METODOLOGIA ENSINO MATEMÁTICA
AULA 1
Metodologia do Ensino da Matemática
Aula 1
Prof. Me. Roberto José Medeiros Junior
Ementa da Disciplina
O ensino da matemática
Tendência de ensino-aprendizagem da matemática
Metodologia da matemática
Análise e organização de programas de ensino
Organização da Disciplina em 6 aulas
Aula 1 e 2:
O ensino da matemática:
• A importância do ensino da matemática na Educação Básica
• Estruturação do pensamento e do raciocínio dedutivo
• Conceitos, procedimentos e estratégias de resolução de problemas
• Resolução de problemas por diferentes métodos e técnicas
Aula 3 e 4:
Tendências de ensino-aprendizagem da matemática:
• História da matemática
• Resolução de Problemas
• Utilização de materiais manipuláveis
• Etnomatemática
• Modelagem matemática
• Tecnologias Educacionais
Aula 5
Metodologia da matemática:
• Breve histórico do ensino da matemática
• A função do professor de matemática
• Aprender e ensinar matemática
Aula 6
Análise e organização de programas de ensino:
• Diferença entre programa de ensino e plano de aula
• Como planejar a aula
• Diário de bordo
• Forma de Avaliação e elaboração de atividade
 Organização da Aula 1
Em duas partes principais
1a – Considera as contribuições da pedagogia, da filosofia e da psicologia no Ensino e aprendizagem de Matemática e os principais autores (pensadores)
2a – busca conhecer, analisar e aplicar a matemática na estruturação do pensamento e do raciocínio dedutivo com recortes históricos
Novas possibilidades educativas da metodologia da Matemática, que são os jogos, a informática, a história da matemática, a modelagem matemática, a etnomatemática e a resolução de problemas.
Fundamentos iniciais da construção do ensino de matemática:
- Projeto Político Pedagógico (PPP)
- planejamento da disciplina
- plano de aula
Visão de mundo da escola (PPP) – caráter democrático de participação e discussão permanente proporciona uma visão crítica de qual é a função da escola e onde ela quer chegar. Será???
Planejamento escolar: conteúdos, objetivos específicos, a metodologia das aulas, a avaliação e o período de desenvolvimento.
Funções do planejamento escolar conforme Libâneo:
- deve ter coerência com o PPP da escola e articulado com as demais áreas do conhecimento.
- vínculos entre teoria e prática do educador em sala de aula, postura, leitura de mundo.
- racionalização dos princípios de organização do trabalho do professor, objetivos concluídos pontualmente e com determinado sucesso.
- prever objetivos, o conhecimento e a clientela garantirá transformação na realidade do educando.
- coerência correlaciona objetivos, conteúdos e até a avaliação.
- preparação das aulas é o vínculo primário do educador com o domínio e a transmissão do conteúdo. Requer pesquisa, seleção de recursos e escolha correta da metodologia.
Plano de aula: é o roteiro pelo qual o educador desenvolverá o conteúdo, definirá a metodologia, os recursos didáticos e a forma de avaliação.
O plano de aula depende de escolhas, realizadas por meio de pesquisas, sitematização de conteúdo e utilização de facilitadores (recursos midiáticos, didáticos, tecnológicos).
Os recursos didáticos são facilitadores do ensino-aprendizagem e têm como objetivo estimular o aluno nas aulas. (despertar o interesse)
Os recursos mais comuns são quadro-negro, o giz, a televisão, o rádio, o computador, a filmadora, a máquina fotográfica,os filmes, os jornais, as revistas, o livro didático.
Um dos recursos mais importantes para o bom andamento das aulas é o caderno e lição de casa. É no caderno que o aluno registra... A lição de casa como uma orientação prática de aprofundamento na disciplina.
Duas últimas características norteadoras do processo de formação do professor: a pesquisa e a metodologia do ensino.
O educador e a pesquisa: ação reflexiva, simples capacitação do professor e pela análise de sua atuação em sala de aula. Pontos positivos de uma determinada metodologia, do sistema de avaliação, dos recursos didáticos, análise de resultados quantitativos e qualitativos.
Metodologia de ensino: deve ser orientada pelo PPP da escola. O professor deve decidir todos os processos que devem nortear sua prática docente. Essa autonomia é pressuposto elementar das premissas de um PPP democrático e participativo.
Libâneo, as metodologias de ensino são trilhas que visam a assimilação do conteúdo, à investigação científica por meio da utilização de métodos adequados e de procedimentos que organizam idéias e reflexões, para compreender as atividades de ensino.
Metodologia se fundamenta em princípios de aprendizagem:
- ter caráter científico e sistemático
- o conhecimento tem que ser compreensível e de fácil assimilação.
- foco no planejamento escolar.
- possibilitar a aplicação do conhecimento na sua práxis.
Barreiras primárias no processo de ensino aprendizagem:
- o aluno não presta atenção no professor.
- o aluno não compreende a explicação do desenvolvimento da resolução dos problemas.
Dedicação: para os educandos, possibilita entender mecanismos de aprendizagem, facilita o desenvolvimento das habilidades específicas, melhor interação com as relações de interdisciplinaridade e um maior envolvimento com o sistema educacional.
Experimentação: o conhecimento tem de ser algo tangível, ser experimentado. Independente de ser na forma de atividades de manuseio ou tato, atividades de construção lógica ou de produção de conhecimento.
Curiosidade: os fatores que influenciam o processo de ensino da Matemática – atenção, dedicação, experimentação. São correlatos da curiosidade. 
Só amplia o conhecimento aquele que pesquisa, dedica-se e concretiza o processo de experimentação.
Tentativa: falta do fazer, do tentar é com certeza o caminho mais difícil.
Quanto ao método tracioncional, enfatiza mais a quantidade que a qualidade, o aluno que já aprendeu é aquele que obteve êxito nas avaliações, independente da compreensão.
História da Matemática: aliar a sua prática ao contexto histórico da compreensão e resolução de problemas do homem durante diversos períodos de contrução da sociedade.
O conhecimento matemático é construído historicamente.
Quando o educador trabalha um conteúdo em sala de aula, deve mostrar em que época foi construído e que isso se deu em razão de determinado fato social. Guiar o trabalho em sala de aula a partir de autores clássicos; há livros que trazem satisfação na leitura e proporcionam uma construção no desenvolvimento do aprendizado.
Relacionar com outras ciências, constrói elos de herança cultural como artes, astronomia, sociologia, filosofia entre outras.
Pondera-se muito a falta de literatura específica em relação a história da matemática.
D´Ambrósio, aspectos importantes no aprendizado da Matemática, o lúdico e o crítico:
- aspecto crítico, que resulta em assumir que a Matemática que está nos currículos é um estudo de matemática histórica? Um estudo crítico do seu contexto histórico, fazendo uma interpretação das implicações sociais dessa matemática, sem dúvida pode ser mais atrativo para a formação do cidadão.
- aspecto lúdico, associado ao exercício intelectual que é tão característico da matemática, e que tem sido totalmente desprezado. Porque não introduzir no currículo uma matemática construtiva, lúdica, desafiadora, interessante, nova e útil para o mundo moderno? Lúdicos como jogo a a brincadeira.
Um dos aspectos na escolha de um bom livro didático ou material pedagógico é verificar se a história da matemática está contemplada no início de cada capítulo.
Descobertas relacionadas com a história da matemática:
- relatos históricos 477 a C
- principais contribuições do trabalho de Pitágoras 540 aC
- numerais hindus asnos 650 Dc
- Influencia Galileu Galilei, 1564 a 1642, a matemática foi reconhecida como linguagem imprescindível para a física.
- 1596 a 1650, Descartes trabalhou com interpretações algébricas e geometria
- 1823a 1825, Gauss na teoria da Geometria não Euclidiana.
- 1903 a 1957, Jhon Von Neumann, teoria dos jogos.
- 1994, Andrew Wiles, demonstra o último Teorema de Fermat.
Capítulo 2
Princípios da organização do ensino em matemática.
Planejamento, plano de aula, recursos didáticos (tecnologia), pesquisa e metodologia de ensino.
A história da matemática foi o nosso primeiro contato direto com a metodologia da matemática.
Competências e habilidades do currículo do curso de graduação em matemática:
- capacidade de expressar-se pela escrita e oralmente com clareza e precisão.
- trabalhar em equipes multidisciplinares
- compreender, criticar e utilizar novas idéias e tecnologias para a resolução de problemas.
- aprendizagem continuada, prática profissional frente a produção de conhecimento.
- identificar, formular e resolver problemas na sua área de aplicação, utilizando rigor lógico científico na análise da situação-problema.
- estabelecer relações entre matemática e outras áreas do conhecimento
- conhecimento de questões contemporâneas
Diretrizes do ensino da matemática:
- visão cartesiana, livros de matemática, definindo início, meio e fim do desenvolvimento do aprendizado, conhecimento é algo técnico, estruturado e com respostas muitas vezes previsíveis.
- possibilidade de novas formas de indagações, soluções, crença nos erros, novas formas de aprendizado, utilizando conceitos de lógica e estruturação total ou parcial do conhecimento voltado ás diversas formas de saberes.
O aprendizado em matemática propicia ao educando uma reconstrução contínua de pensamentos e habilidades cognitivas.
Objetivos gerais da disciplina:
O objetivo da educação matemática é instrumentalizar o educando com ferramentas de aprendizagem baseadas na construção de conhecimento de um conjunto de resultados, métodos, algoritmos, regras e procedimentos. Dependendo da clientela podemos ter abordagens diferenciadas com crianças, jovens e adultos.
	
Diretrizes curriculares do ensino da matemática:
Dispõe de um perfil claro para que o educando, destacando-se a criticidade e a autonomia nas suas relações sociais, fundamentos necessários para a apropriação do conhecimento matemático.
Como se daria essa interação nas relações sociais: quando se amplia o conhecimento matemático, o educando tem uma melhor compreensão das relações da matemática com o mundo a sua volta. Com a generalização, transforma o aluno em crítico das ponderações sociais, históricas, políticas e da cidadania.
Os principais enfoques da disciplina de matemática são: FORMAS e QUANTIDADES.
Diretrizes curriculares de matemática para a educação básica, conteúdos estruturantes:
- ensino fundamental: números, operações e álgebra, medidas, tratamento da informação.
- ensino médio: números e álgebra, funções, geometria, tratamento da informação.
Do 6º ao 9º ano: sistematização do conhecimento matemático, que são divididos em aritméticos, geométricos e métricos.
- Conhecimentos aritiméticos: é o ramo da ciência da matemática que trabalha com números, operações e relações existentes entre eles. Boa parte da aritmética da rua não serve para ajudar a ensinar nada de aritmética na escola.
Sabemos ser pouco provável na sociedade atual o educando desenvolva plenamente uma autonomia na qual suas relações sociais sejam incentivadas a criar mecanismos formais para que, quando chegue à escola, essas teias sejam apenas estimuladas. (página 69).
Conteúdos de aritmética mais em evidencia: adição, subtração, multiplicação, divisão.
Operações de aritmética mais avançados: potenciação, radiciação, porcentagens.
A aritmética também fundamenta a realização de: números naturais, números int=eiros, números racionais (na forma de frações).
Utilizada nas soluções de: equações, funções aritméticas entre outras.
Os livros didáticos seguem a linha cartesiana, mais simples e nas séries finais mais complexos.
A aritmética tem uma rotina simples segue, resolução das operações mais complexas e se concluem nas mais fundamentais: chamada ordem das operações.
Preparar um educando para o aprendizado da adição inclui a aplicação de atividades que visem a compreensão do sistema de numeração.
A adição parece ser assimilada como uma operação fácil, mas é complexa na sua construção. O educador deve estimular no aluno algum tipo de correspondência mental que facilite a operação já construída.
Propriedades da adição:
- a de fechamento;
- a associativa;
- a de elemento neutro;
- a comutativa.
Conceitos e relações constroem novos aspectos de exploração indutiva, intuitiva e lógica, importando também nas demais operações com números naturais.
Maria Montessori – o material dourado.
É importante que as operações com números naturais sejam trabalhados em situações problema.
A subtração e a divisão de números naturais: podem ser consideradas para o educador um complemento das operações de adição e multiplicação.
Encaminhamentos metodológicos é de trabalhar com o material dourado, resolução de problemas, com jogos e brincadeiras, principalmente aqueles que tem pontuação.
No desenvolvimento de técnicas de adição e multiplicação, é importante incentivar o aluno aos processos indutivos e dedutivos encontrados nessas operações. A lógica utilizada para encontra resultados produz aproveitamento qualitativo.
A metodologia da potenciação contempla o material concreto, as dobraduras, os encaminhamentos lúdicos, a utilização de calculadora, o computador, os softwares educativos.
Conceitos que serão essenciais para o bom desenvolvimento do educando no ensino médio. Serão abordados em ciências, estudo das línguas, geografia, história, arte, química, física entre outras.
Multiplos e divisores de números naturais: o desenvolvimento desse conteúdo deve partir de relações com as habilidades de raciocínio das operações de multiplicação, adição e conteúdos correlatos, tais como a potenciação e a radiciação.
O trabalho com números primos é desenvolvido a partir do conceito que esses números são aqueles divisíveis por 1 e por eles mesmos.
No método tradicional, apresenta-se uma lista de números e suas relações com múltiplos divisores. Utilizando a lógica de construção coletiva, os educandos correlacionam e montam os critérios específicos.
A utilização de situações-problema, em que a metodologia cola as peças necessárias para o quebra-cabeça do aprendizado do ensino da matemática.
O educador deve, ter no mínimo, para um bom desenvolvimento metodológico, visão de fechamento, na qual sempre deve ser realizada uma atividade prática, construída com os alunos, atividades que sejam relevantes para suas relações sociais, que sejam interdisciplinares e que possibilitem uma visão crítica do conteúdo, da ciência e da construção do saber elaborado permanente.
Critérios de divisibilidade: a metodologia mais indicada para fugir da decoreba é dividir os alunos em grupos para que estabeleçam critérios de divisão por determinados números. Essa atividade estimula o raciocínio lógico, dedutivo, importante no conhecimento matemático.
Frações: oriundo da civilização egípcia (300 Ac), cordas eram utilizadas em medições.
Alguns alunos tem dificuldades para representar frações (quebras). Comi ¼ de pizza, a mesma representação de comi ¼ de unidades de pizza. Correlação mental pode auxiliar no aprendizado. Podemos moldar nosso conteúdo também com o uso de figuras geométricas.
Este é um dos conteúdos mais difíceis de serem assimilados pelos educandos. Dificuldades de aprendizado de frações são:
- dificuldades de aprendizado de operações básicas da aritmética.
- não contextualizam o aprendizado das frações.
- operações envolvendo frações requerem raciocínio rápido.
- as regras ensinadas pelos educadores, requerem procedimentos metódicos.
- a linguagem da utilização das frações é pouco comum no linguajar dos educandos.
Como utilizar corretamente a metodologia para o ensino de frações???
- utilizar material concreto, régua, pizzas, bolos, copos.
- contextualizar o ensino, autilização de situações problema.
- utilizar a interdisciplinaridade.
Frações e números decimais: O encaminhamento metodológico das frações e dos números decimais deve proporcionar ao educando.
- a leitura dos números decimais e suas relações com os sistemas de medidas e com a moeda vigente no país.
- as relações entre números inteiros e decimais.
- as relações entre números decimais e frações.
- as operações com números decimais envolvendo situações problema.
Os principais conteúdos:
- o conceito de números decimais.
- a leitura de números decimais.
- a transformação de números decimais em frações e vice-versa.
- as propriedades.
- as operações: adição, subtração, multiplicação, divisão, potência e raiz.
- a comparação
- porcentagens.
A leitura de 2,7 como dois inteiros e sete décimos.
Relações de compra de mercadorias, medidas. Há várias formas de problematizarmos os números decimais.
Números inteiros: Renascimento, 1300 a 1650, aparecem as letras que auxiliavam alguns cálculos. 
Como representar os valores que estavam abaixo da escala de zero? 
Indicar forças contrárias que ocorrem em campos magnéticos, das relações de comércio para indicar perdas, ganhos, saldos. Houve a necessidade de aprendizado de números negativos e positivos.
Os conteúdos mais importantes: conjunto dos números inteiros; reta numérica e módulo dos número inteiros.
As operações envolvendo os números inteiros: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
Metodologias utilizadas para ensino de números inteiros + e -:
- Relacionar atividades que desenvolvam as relações existentes entre os números positivos e negativos. Saldos positivos e negativos nas transações comerciais e extratos bancários.
- correlacionar o tema com outras áreas do conhecimento, temperatura, geografia na utilização de medidas de um ponto da terra em relação ao mar. Recursos como jornais, revistas, computador e internet. O chamado material concreto proporciona uma efetiva construção do saber. Também trabalhos em grupos, histórias em quadrinhos e produção de vídeo pelos alunos.
Números racionais, irracionais e reais:
O chamado Q dos números racionais apresenta especificidades em relação aos conteúdos:
- reta numérica.
- as operações com números racionais, tais como adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
Todo número que pode ser inscrito na forma de fração é um número racional, como é o caso da dízima periódica. Já o irracional não pode ser inscrito na forma de fração. Exemplo de irracional é o pí (3,1415...).
Os números irracionais estão ligados diretamente à aplicação do famoso Teorema de Pitágoras, exemplo a raiz quadrada de 2.
O número real de forma geral, é o conjunto que representa a somatória dos conjuntos inteiros, racionais e irracionais.
Capítulo 3 – Sistematização dos conhecimentos matemáticos
Conhecimento da álgebra entre os babilônicos 2000 a. C. A aritmética é o ramo que fundamenta todo o ensino da matemática. A álgebra é carregada de todos conceitos da aritmética, aritmética transformada numa álgebra bem estabelecida. 
A cultura egípcia desenvolveu a álgebra no mesmo período que a babilônica. O sistema aritmético dos babilônicos, mais avançado, enquanto os egípcios utilizavam métodos geométricos para desenvolver cálculos algébricos.
O grego aprimorou a álgebra por meio de Euclides, que por meio da geometria, aprimorou a aplicação de fórmulas com conceitos pitagóricos. Muitos problemas babilônicos foram objeto do trabalho de Euclides.
A álgebra teve seu ápice no renascimento europeu, melhor desenvolvimento, como o sistema de numeração indo-arábico, padronização dos símbolos, criação da imprensa, as grandes viagens e a troca de conhecimentos, tecnologias e saberes.
As equações algébricas nasceram principalmente da utilização de números negativos e do estudo das raízes.
No Brasil, a partir da construção de periódicos didáticos produzidos na Europa no século XVIII. Foram a separação entre álgebra e aritmética nas disciplinas de Matemática.
Os conteúdos estruturantes de álgebra são aqueles que se relacionam com a aritmética, como operações com números naturais e reais. Conteúdos transitórios com percentagens, proporções, números decimais, aplicação de regra de três simples e composta.
Conceitos de álgebra:
- conceito da utilização de incógnitas
- utilização de letras na resolução de problemas.
- aprendizado da resolução de equações numéricas e algébricas, inequações, sistemas de equações, equações do 2º grau, biquadradas e irracionais.
Princípios fundamentais da álgebra
Entrada da álgebra, para o educando, mudança implica algumas dificuldades. Os educandos que apresentam dificuldades na aritmética requerem encaminhamentos pedagógicos criteriosos.
Requer uma experiência didática e metodológica do educador, falta de atenção nesta idade escolar.
Principais conteúdos que estruturam a álgebra:
- equação do 1º grau
- inequação do 1º grau
- sistemas de equação do 1º grau
- razões
- proporções
- regra de 3 simples
- porcentagens
- juros simples
-expressoes algébricas
- monômios e polinômios
- produtos notáveis
- fatoração
- equação do 2º grau
- equação biquadrada
- equação irracional
- função afim
- função quadrática
Objetivos de ensino de álgebra:
- expandir e edificar uma nova abrangência dos números reais por meio da interpretação algébrica.
- exprimir dados contidos em tabelas, gráficos em linguagem algébrica
- interpretar ações, acontecimentos do cotidiano por meio de linguagem algébrica e encontrar resultados utilizando equações, porcentagens, proporções e funções.
- compreender a utilização da linguagem algébrica em situações problema.
Equações do 1º grau
As equações do primeiro grau começam a ser trabalhadas em sala de aula após os conteúdos dos números inteiros ou negativos. Os conceitos iniciais dos números negativos devem ser objeto de atenção e, quando necessário devem ser retomados.
As regras para o aprendizado das equações, quando trabalhadas antes das problemáticas, facilitam o desenvolvimento da resolução de problemas, mas não constroem um saber elaborado. 
As equações do 1º grau é o conteúdo que mais terá influência no aprendizado correlacionado à disciplina de matemática, na física, na química.
Há softwares para facilitar o aprendizado das equações, sites e vídeos.
Podemos aplicar a etnomatemática, a modelagem matemática.
Estratégias utilizadas é a de que os educandos construam seus próprios problemas e apresentem, por meio das equações, seus resultados.
Inequação do 1º grau
Aplica o conceito da desigualdade, o nível de dificuldade de construção desse conhecimento é baixo. (menor, maior, menor igual e maior igual).
Sistemas de equação do 1º grau:
Encontrar amplas possibilidades nas soluções com mais de uma incógnita.
Razões e proporções:
Estimulam, principalmente, a noção espacial do aluno e a construção de raciocínio que utiliza a aritmética, a geometria e a álgebra.
Pela modelagem podemos construir conceitos de frações: velocidade média, probabilidade, correlatos com razões e proporções, o nosso movimento, o tempo e todas as demais grandezas.
Regra de três simples, porcentagens e juros simples:
Apresentam características que mais se aproximam da práxis de qualquer educando.
A porcentagem tem diversas formas de aplicação. A utilização da porcentagem deve ser feita com os princípios da regra de três.
Matemática financeira, juro simples, novos conceitos serão absorvidos pelos alunos, tais como, capital, taxa e juros.
Metodologicamente, o trabalho desses conteúdos deve ser apresentado com atividades concretas e que estimulem o sendo crítico.
Custo simples, apuram os percentuais utilizados de cada ingrediente, calculam os percentuais de cada ingrediente em relação a receita, preço de venda do produto, lucro ou prejuízo, podendo relacionar ainda conceitos de educação fiscal. Utilização da régua para muitos cálculos geométricos.
Expressões algébricas, monômios e polinômiosNos últimos anos do ensino fundamental, verdadeira coleção de regras. Exigem concentração, raciocínio e habilidades como as operações fundamentais com números naturais, potenciação, radiciação e as dinâmicas da resolução das equações do 1º grau.
A maior dificuldade encontrada pelos educadores é a mudança muitas vezes radical da personalidade de alguns educandos nesta fase da vida.
O educador hoje , além de ter uma boa didática, conhecimento do conteúdo e metodologias variadas, terá que ser um pesquisador para poder entender os jovens contemporâneos que possuem valores diferentes atrelados ao desenvolvimento da época em que vivem.
Produtos notáveis e fatoração:
São ensinados por estratégias de memorização na educação tradicional, e representa uma metodologia imprópria para a construção do conhecimento.
As técnicas mais comuns para o desenvolvimento do aprendizado das fatorações e produtos notáveis são a modelagem matemática. Na construção de problemas, o uso de planilhas que apontem as dificuldades dos alunos. A utilização de vídeos, utilização do laboratório de informática.
Equações do 2º grau, equação biquadrada e equação irracional:
As equações irracionais, que abrangem definições de equações e raízes são importantes, pois relembram conceitos, equacionam muitas dificuldades de aprendizado anteriores. Geralmente a maior dificuldade se encontra na aplicabilidade dos conceitos em problemas que gerem significado para o educando.
Funçao afim e função quadrática:
As funções agregam conteúdos gráficos e equações, e os educandos desenvolvem os princípios de construção cartesiana juntamente com os algébricos.
Além da modelagem, as problemáticas nesses conteúdos são opções mais utilizadas para a construção do saber. As resultantes apresentam a construção de um gráficos gerado pelas equações de 1º e 2º graus.
Conceitos das funções podem ser trabalhados em qualque área do conhecimento. Exibem além da habilidade matemática, interpretação.
Podemos utilizar jornais, revistas, livros didáticos de outras disciplinas que auxiliem na resolução de problemas, em que os alunos construam situações reais, além de softwares.
Os conhecimentos de geometria:
A humanidade iniciou todo o processo de estudo das noções hoje conhecidas como conceitos geométricos desde que tomou contato com objetos e formas. Dessa maneira, não podemos precisar uma data real do início da sua utilização. No egito antigo, o conflito de delimitação da área do terreno era tão intenso que, no Livro do Morteos há relatos.
A influencia de Tales de Mileto e Euclides em sua obra Elementos de 13 volumes.
- representação da demarcação de uma reta sobre dois pontos quaisquer.
- verificação da igualdade de todos os ângulos retos.
A matemática como ciência deve muito aos conceitos de Euclides, pois encontramos hoje na geometria a estruturação da geometria plana espacial com seus padrões harmônicos de lógicas e formas.
A física, utiliza muitos conceitos euclidianos.
A geometria analítica, emergente no século XVII:
- o calculo em relação a distância entre dois pontos
- as relações entre curvas, seus pontos de intercecção, entre outros.
A geometria não euclidiana, a partir do século XIX, teoria da relatividade.
A geometria nos traz novos caminhos e procedimentos metodológicos em relação a outros conhecimentos matemáticos, principalmente na construção curricular dos conteúdos da álgebra, das medidas e da aritmética.
Conteúdos estruturantes, segundo as Diretrizes Curriculares:
- geometria plana
- geometria espacial
Habilidades e conceitos aos quais se espera que o aluno apreenda:
- geometria plana: ponto, reta e plano, relações entre retas, tais como paralelismo, perpendicularismo, etc.
- Figuras geométricas planas: cálculo das áreas, perímetros correlacionado suas unidades e medidas.
- produção de gráficos: aprendizado das coordenadas cartesianas.
- geometria espacial: dos sólidos, calculo de volumes.
- geometria analítica: premissas iniciais utilizando plano cartesiano.
- geometria euclidiana: conceitos da geometria projetiva, aprendizado dos pontos de fuga são predominantes.
Desenvolvendo os princípios fundamentais da geometria:
O aluno inicia geometria nos anos iniciais do ensino fundamental, manuseio de objetos, matemática real.
Conteudos das Diretrizes curriculares de Matemática:
- formas geométricas planas e espaciais.
- retas e ângulos
- polígonos.
- triângulos e quadriláteros
- áreas e perímetros
- circunferência
Objetivos:
- expandir e edificar nova abrangência dos números reais, da interpretação da linguagema algébrica.
- exprimir dados contidos em tabelas, gráficos em linguagem algébrica e suas interpretações.
- interpretar ações no cotidiano por meio de linguagem algébrica e encontrar resultados utilizando equações, porcentagens, proporções e fuções.
- linguagem algébrica em situações problema.
Não separaramos a geometria como uma área isolada da matemática.
É necessário desenvolver a noção espacial que estabelece um critério de visualização na geometria e um paralelo na aritmética.
Conceitos iniciais de formas planas e não planas.
Diferenciar superfícies redondas e retas, por meio do tato, do concreto.
Coleta de caixinhas de remédio, latinhas, embalagens também fundamenta o trabalho com reciclagem.
O uso do compasso, do transferidor, da régua é atividade de fácil aplicação e motivação para os educandos.
Devemos estimula os alunos a construir conceitos dos polígonos e não polígonos. Um encaminhamento interessante é a utilização de palitos, inicia-se os conceitos elementares de geometria, que são ponto, reta e plano. Podemos usar softwares educativos.
Um encaminhamento metodológico é a correlação de polígonos e ângulos.
Operações com ângulos, é uma das maneiras de estimular os alunos na resolução de problemas com comparações mais simples, como o estudo com o movimento dos ponteiros do relógio.
Utilização do complemento e suplemento de ângulos (ângulo consecutivo, complementar, adjacentes, suplementares e opostos pelo vértice).
Criar com os alunos uma tabela ou um quadro de definições.
A separação simbólica das famílias de polígonos, três lados (triângulo), quatro lados (quadriláteros) serão objetos de aprofundamento dos anos finais do ensino fundamental.
Áreas e perímetros:
Opção interessante de atividades que levem a uma prática alicerçada nas relações de medidas e resultantes. O educando trabalhe com objetos que estão a sua volta é uma boa opção metodológica. Aproriamos conceitos da construção civil.
Circunferência:
Os mesmos conceitos metodológicos de perímetro (contorno). Com o número pi, componentes do círculo e circunferência, tais como raio, diâmetro.
A modelagem matemática contribui para o arranjo metodológico do círculo e da circunferência. Problematizar as pedaladas de uma bicicleta, tamanho do pneu com a distância percorrida.
Triângulos e quadriláteros:
Os princípios metodológicos básicos do ensino dos conteúdos que são desenvolvidos utilizando figuras de três e quato lados são uma constante volta às definições básicas da geometria. A geometria é extremamente lógica e indutiva.
O educando deve ter em mente que qualquer problemática apresentada tem uma solução; o que ele necessita saber qual daquelas ferramentas (conteúdos) apreendidos durante o aprendizado da educação matemática resolverá o problema.
Quanto mais conteúdos assimilados, melhor será a qualidade da caixa de ferramentas.
Conhecimentos de medidas:
Novas medidas, novas grandezas. Evolução das relações comerciais. Necessidade de padronizar as grandezas no final do século XVII. Capacidade (litro), massa (quilograma), comprimento (metro). SI – Sistema Internacional de Medidas.
- capacidade – litro – l
- massa – kilograma – kg
- comprimento – metro – m
- tempo – segundos - s
- temperatura – kelvin – k.
Os conteúdos estruturantes relacionados as grandezas:
Quanto ao sistema – monetário
Quanto ás medidas – comprimento, tempo, massa, derivadas(áreas e volumes), ângulos, temperatura,velocidade.
Quanto a trigonometria: relações métricas do triângulo retângulo, relações trigonométricas nos triângulos.
É importante que os estudadantes se tornem familiarizados com os diferentes sistemas de medidas e sejam capazes de efetuá-las tanto no sistema métrico como em outro sistema.
Encaminhamento metodológico: como objeto de reflexão o nosso ponto de vista construtivo, utilização de recursos didáticos existentes para um concreto desenvolvimento de aprendizagem.
Conteúdos:
- sistema monetário e ângulos
- unidades de comprimento
- unidades de capacidade
- relações métricas do triângulo retângulo
Objetivos:
- analisar, reconhecer, fazer analogia e interpretar conhecimentos métricos do cotidiano.
- transformar, relacionar, identificar e selecionar informações
- resolver problemáticas
Sistema monetário:
Encaminhamento metodológico utilizado é aquele em que a escola usufrui de seu espaço físico para a construção de pequenas cidades. Aprende a trabalhar a moeda.
Um exemplo são as feiras, as oficinas construídas pelos alunos com auxílio do professor.
Unidades de comprimento e capacidades:
O desenvolvimento metodológico será de relacionar, principalmente, as unidades de litros, mililitros, por meio, inicialmente, da comparação entre cilindros pequenos e maiores. Conversões entre unidades de comprimento e as de capacidade.
Um clássico metodológico é que os alunos produzam objetos.
As problemáticas, deve ser finalizado com instruções práticas. Perímetro de objetos, área da cancha de esportes, e quanto seria gasto para pintar uma sala.
Relações métricas do triângulo retângulo.
Conceituar as razões seno, cosseno e tangente permite que o educando construa o aprendizado da resolução de problemas envolvendo triângulos e retângulos.
A metodologia mais significativa é por meio da resolução de problemas, têm a função de estimular o raciocínio lógico.
Conhecimentos estatísticos e probabilísticos:
O aprimoramento do estado. Surgiram as informações estatísticas, os dados populacionais e econômicos trazidos pela contribuição da matemática na sociedade.
As outras áreas beneficiadas com o advento da estatística foram a física, a genética, a medicina, a biologia, a educação, a meteorologia, a astronomia, entre outras. Indústria, comércio e os serviços.
A matemática do acaso como probabilidade. Pierre de Fermat
Jogos de azar como cartas, dados e roleta. Objetivo de quantificar a possibilidade de ocorrência de determinado evento.
Proposta metodológica:
- O desenvolvimento da criticidade, problemática que abordem sua práxis.
- alargamento de ferramentas de ascendência nas soluções de decisões, quando de posse da informação e dados estatísticos e probabilísticos.
- aumento no nível crítico, estruturam melhor um discurso abrangente, analítico e crítico do educando.
As estratégias metodológicas desses conteúdos utilizam a construção e interpretação de gráficos, cálculos, tabelas e a descrição de dados e investigação coletados sobre uma determinada problemática.
Conteúdos:
- noções de probabilidade
- estatística
- matemática financeira
Estudos dos gráficos e análise de tabelas:
O desenvolvimento metodológico começa por meio de uma pergunta. Coletam-se os dados dos entrevistados, tabula-se as informações coletadas por meio de tabelas e constroem-se diversos tipos de gráficos.
Funções das tabelas e que elas compõe o aprendizado dos gráficos, que visam organizar dados para análise, estruturam respostas. Transformam em argumentação os resultados obtidos.
Média aritmética simples:
Médidas aritméticas: simples e composta. Apuração de notas.
Porcentagens e juros:
Porcentagem e os juros, devem ser trabalhados a partir de conhecimentos adquiridos pelos alunos durante a práxis. Regra de três, calculadora.
Noções de probabilidade:
Nos últimos anos do ensino fundamental, tema da probabilidade, que é conceito inerente a possibilidade de ocorrer um determinado evento. Critério de trabalhar as problemáticas em grupos; são os encaminhamentos metodológicos. Como simulações de jogar a moeda, dados.
Trabalhos em grupos não apenas propicia troca de informações, mas cria situações que favorecem o desenvolvimento da sociabilidade, da cooperação e do respeito mútuo entre os alunos, possibilitando aprendizagens significativas.
Capítulo 4
Novas possibilidades educativas e conteúdos do ensino da matemática na educação infantil e nos anos iniciais do ensino fundamental
As estratégias de ensino devem nortear esses conhecimentos são a análise e a construção de significados matemáticos que são aplicáveis no dia a dia do aluno.
Novas possibilidades educativas: 
Encaminhamento metodológico dos seguintes recursos:
- jogo;
- informática;
- modelagem matemática;
- etnomatemática;
- resolução de problemas;
- história da matemática.
O educador, quando queira contemplar essas novas práticas, siga alguns procedimentos metodológicos e os roteiros básicos de uma boa aula, que são o planejamento e o plano de aula, além de ser um constante pesquisador.
O Jogo
Brincadeiras e os jogos são encaminhamentos metodológicos. Trabalham de integração, cooperação, competição, socialização, concentração e estimulação do ludismo, visando o aprendizado do aluno.
A pesquisa e o estudo podem levar o educador à utilização correta desses encaminhamentos. Recomendações para que eles sejam utilizados.
- estimular o aprendizado da matemática.
- aprimorar o processo de análise.
- construir o saber.
- condicionar a conteúdos do ensino da matemática.
- buscar novos caminhos durante as estratégias do jogo.
- pensar em organizar atividades e analisar o tempo.
- viabilizar um período para discussão sobre a importância das atividades.
Outro motivo para a introdução de jogos nas aulas de matemática é a possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de nossos alunos que temem a matemática.
Brincadeiras, sociabilidade e da interiorização de valores nesse tipo de encaminhamento metodológico.
Os conteúdos que são trabalhados com as brincadeiras. Operações fundamentais, os conjuntos numéricos, as medidas, as figuras geométricas com suas explorações planas e espaciais.
Reflexão da atividade, diálogo, início da atividade como no término. A principal função dos jogos é estimular a aplicação da matemática na resolução de problemas. Metodologia dos jogos.
Informática
Internet. Depende do projeto político-pedagógico, planemanento inovador, domínio da tecnologia, do educador, criatividade dos softwares disponibilizados para o aprendizado. Aplicações metodológicas, recursos visuais. Uso constante da informática é uma práxis, caminho mais tranquilo no desenvolvimento de encaminhamentos metodológicos.
Fique atento que a utilização de recursos não substitui a mediação do educador no processo de ensino-aprendizagem. 
Laboratório de informática, qual atividades, terão a duração de uma aula, quantidade de atividades.
Deve ser criteriosa, jamais utilizar esse recurso sem a relação entre planejamento e conteúdo didático.
Recurso de fechamento de conteúdo, função de ampliar o aprendizado.
Modelagem matemática:
Procura estimular um determinado modelo que gere uma rede de construção mental. O modelo gerado na modelagem matemática é um conhecimento estruturado da disciplina. Pode partir de um conhecimento que não seja uma problemática específica da realidade matemática para aplicação das correlações matemáticas existentes. O tema da sustentabilidade, como a reciclagem.
A modelagem matemática não é um conceito novo. Os novos paradigmas contemporâneos trouxeram para debates novas tendências educacionais agora codificadas, para serem objetos de estudo.
Modelagem matemática o educador estará proporcionando aos educandos habilidades de análise, formulação de hipótese, validação de conceitos matemáticos, organização lógica de conhecimentos matemáticos, correlação da matemática com outras áreas do conhecimento.
Etnomatemática:
O educando traz consigouma bagagem da comunidade onde vive, das relações socioculturais, são saberes que modelam e estruturam alguns conhecimentos prévios e interferem na forma como aprendem em um conteúdo.
Validar, reconhecer e utilizar esses aspectos culturais, em conformidade com os conceitos e os conteúdos. Uma das habilidades mais importantes que a educação matemática proporciona é a resolução de problemas.
Resolução de problemas:
O que seria um problema matemático? São todas as situações que requerem a investigação de informações matemáticas desconhecidas. O objetivo é resolvê-las com base na aplicação da educação matemática. Para chegar ao resultado encontrado, devemos utilizar várias estratégias e roteiros que facilitam o objetivo principal: a resolução do problema.
Quatro fases para a resolução de problemas:
- primeiro temos que compreender o problema, temos que perceber claramente o que é necessário.
- segundo ver como os diversos itens estão inter-relacionados, como a incógnita está ligada aos dados, para termos a idéia da resolução.
- terceiro executamos nosso plano.
- quarto, fazemos um retrospecto da resolução completa, revendo-a e discutindo-a.
Compreensão de um problema: leitura, interpretação.
Importante no final da formação do aluno, quando apresentamos um problema, abrir sua caixa de ferramentas, a ferramenta mais adequada a solução de um problema.
As tecnologias, as tics e as mídias na educação:
Tecnologia é a palavra que designa o método, o artefato ou a técnica criada pelo homem para facilitar um determinado trabalho.
A TIC é oriunda do cruzamento da informática com as diversas tecnologias da comunicação.
Termo mídia, um complexo sistema de comunicação (rádio, televisão, jornal) (filmadora) imprensa eletrônica.
As revistas retirada de dados estatísticos relevantes.
Os jornais, ótimo gerador de possibilidades criativas e críticas, utilizados para debates.
Na televisão aconselha-se o uso de vídeos com duração de 10 minutos.
Blog na escola, a capacitação do professor é o principal elemento propagador de metodologias inovadoras. O acesso do educador a estas Metodologias é a pesquisa.
Novos conhecimentos exploram realidades, aspectos fundamental para a metodologia do ensino que é a tentativa. No máximo, o que pode ocorrer são erros, mas erros são princípios de aprendizagem. É importante que o aprendizado não se distancie da realidade do mundo moderno.
Matemática na educação infantil:
O educador, na educação infantil, não tem como função ensinar a criança a educação matemática mas, sim auxiliar na contrução de conceitos. Muitas vezes instintivas.
O professor deverá levar em conta os conhecimentos adquiridos pela criança nas suas relações sociais, tais como a da família, a das brincadeiras, a das informações retiradas dos programas de TV, as quais proporcional situações em que esse aprendizado se relacione com os novos saberes.
1º ciclo representação gráfica 0 a 3.
2º ciclo representação gráfica 3 a 6.
3º ciclo representação gráfica até o número 10.
Matemática nos anos iniciais do ensino fundamental:
- números
- grandezas e medidas
- espaço e forma
Contextualiezação
Dois contextos:
• Didático-prático: a figura da escola no Ensino da Matemática
• Epistemológico (definição do todo, teoria do conhecimento):
estudo dos postulados, conclusões e métodos, seus paradigmas estruturais e as relações com a sociedade e a história
Escola Para Quê?
Para Quem?
O
Em 1930, com o nome de Ministério dos Negócios da Educação e Saúde Pública, (...)
(...) atual Ministério da Educação – MEC (que tem o “C” de Cultura, mas não tem mais a cultura na sigla desde 1990), era encarregado pelo estudo 
e pelo despacho de todos os assuntos relativos ao ensino, à saúde pública e à assistência hospitalar
Indagações
Há diferenças entre as formas de adquirir conhecimento matemático e as relações didáticas entre alunos e professores?
Como esse conhecimento difere do conhecimento que as pessoas adquirem no seu cotidiano?
Como o conhecimento matemático e o cotidiano se relacionam entre si?
Como o conhecimento matemático é tratado em termos pedagógicos?
Contextualização do Ensino da Matemática
O conhecimento matemático dependente do contexto –
pode se desenvolver ao se resolver problemas específicos no cotidiano: prático ou procedimental
Não explica 
aplica!
Mas, pode e deve!
Conhecimento matemático independente de contexto – é desenvolvido para fornecer generalizações e busca a universalidade (conhecimento teórico)
Fornece base para se fazer julgamentos nas ciências
Origens Históricas e Desenvolvimento da Matemática Escolar no Brasil
Ano de 1699 
em defesa do Brasil, a Coroa Portuguesa decide impulsionar a formação de militares 
Aula de Artilharia e Fortificações
Ano de 1822 
Independência
Criação das primeiras Universidades, sendo a Ufpr a mais antiga do país (1912)
Você Sabia?
A primeira faculdade de Matemática no Brasil, a Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da USP, só foi criada em 1934
Criação do Colégio Pedro II, em 1837
Júlio César de Melo e Sousa
Malba Tahan (professor – 1921)
Substituto de Euclides Roxo
Diretor do colégio e criador
do primeiro
Programa de ensino de Matemática no Brasil – 1929
Críticas ao Professor de Matemática, por Malba Tahan
“O professor de Matemática em geral é um sádico. Ele sente prazer em complicar tudo”
“Por que dar zero se há tantos números?”
O “inútil da Matemática” e as “noções parasitárias”:
contas com números astronômicos
critérios de divisibilidade por sete
prova dos nove
demonstrações extensas e complicadas
A Influência da Psicologia: Piaget, Vygotsky e Vergnaud Jean Piaget (1896 – 1980)
• Epistemologia genética – maturação biológica
• Construtivismo
• Provas piagetianas
- Lev Vygotsky (1896-1934)
• Zona de Desenvolvimento Proximal Iminente (ZDI)
• Os seres humanos nascem “mergulhados em cultura”
Gérard Vergnaud, professor de Matemática e psicólogo (1933 – Centro Nacional de Pesquisa Científica, em Paris)
• Teoria dos campos conceituais
• Investigação em didática da Matemática
TCC:
• Campo aditivo
Relações entre o todo e suas partes com conceitos de adição, subtração, transformação de tempo, comparação etc.
• Campo multiplicativo
Conceitos, procedimentos e representações simbólicas como as funções lineares e não lineares, espaço vetorial, combinatória, área, análise dimensional, fração
A Organização e a Sistematização da Matemática nos Currículos Escolares
Francisco Campos
1931: Reforma Francisco Campos – primeira organização nacional da educação no Brasil. Legislação prevê uma única disciplina: “Matemática”; gradativamente vão desaparecendo os livros didáticos separados de Aritmética, Álgebra, Geometria e Trigonometria.
Gustavo Capanema
1939: Reforma Gustavo Capanema – início dos estudos para a elaboração de uma reforma no ensino secundário, desdobramento da aula de Matemática em Aritmética, Álgebra e Geometria com o complemento Trigonométrico
Recortes: Espacial e Temporal
Recorte espacial:
África versus Europa 
• África (20.000 a.C.) Congo: bastão de Ishango (ciclo menstrual ou calendário lunar; a soma dos traços da 60)
• Egípcios (sistema de numeração estritamente simbólico, porém decimal) Geometria no triângulo:
• Europa (800 a.C.) comércio competitivo, agricultura diversificada e armamento bélico (guerra) mais eficiente
• Geometria euclidiana (Grécia 600 a.C.) Numeração romana (260 a.C.) Sistema indo-arábico (império Árabe 670 d.C.)
Matemática como necessidade e utilidade...
Conceitualização
Lógica: questões que envolvem V ou F; estruturação do raciocínio
Abstração: operação intelectual que consiste em isolar, por exemplo, o objeto em um conceito
Raciocínio: mecanismo de comparações e abstrações, para responder a uma proposição verdadeira, falsa ou provável
Dedução: inferência lógica de um raciocínio
Indução: Raciocínio que vai do particular ao geral
Aplicação Prática: Uma Famosa SérieDivergente
Quanto dá a soma infinita: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
Lógica: a soma é infinita (V)
Abstração: trata-se de uma série e que poderá ser representada graficamente
Raciocínio: é provável que a soma seja um número finito da ordem de milhões (F);
Dedução: lei de formação da série = n + 1
Indução: Resposta = -1/12 -1/12
Síntese
O ensino da matemática no Brasil teve início com os colonizadores e manteve o modelo euclidiano (eurocentrista) da abordagem histórica dos conteúdos considerados por elites militares e políticas como sendo importantes para a manutenção do conhecimento teórico A estruturação do pensamento e o raciocínio dedutivo matemático dependem de abstração, lógica e indução, sendo que são complementares entre si
Referências de Apoio
BOYER, C. B. História da Matemática. 2.ed. [s.l.]: Blucher, 1991.
CABRAL, T. C. B. Contribuições da psicanálise à educação matemática: a lógica da intervenção nos processos de aprendizagem. Tese de doutorado, S.P. : USP, 1998.
CARAÇA, B. de J. Conceitos Fundamentais da Matemática. 9.ed. Lisboa: Livraria Sá da Costa Editora, 1989.
Friedrich Ratzel. Disponível em: <http://www.biografiasyvidas.c om/biografia/r/ratzel.htm> Acesso em: 16 ago. 2014.
Geografia La Guia. Paul Vidal de La Blache. Disponível em: http://geografia.laguia2000.com /general/paul-vidal-de-la-blache Acesso em: 14 Ago. 2014.
Georadical. Geografia Pragmática. Disponível em: http://geografiageoradical.blog spot.com.br/2009/11/geografia -pragmatica-nova-geografiaou. html. Acesso em: 14 Ago. 2014.
La théorie des centres de Christaller. Disponível em: <http://www.cairn.info/revue -flux-2005-4-page-10.htm> Acesso em: 14 ago. 2014.
LIMA, E. L., CARVALHO, P. C. P., WAGNER, E. & MORGADO, A. C. A Matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2001.
CSLSS (Center For Spatially Integrated Social Science) Alfred Weber. Disponível em: http://www.csiss.org/classics/c ontent/51 Acesso em: 14 ago. 2014.
MORAES, A. C. R. Geografia: pequena história crítica. São Paulo: Hucitec, 1983.
SINCLAIR, R. Von Thünen and Urban Sprawl. Anais da Associação de Geógrafos Americanos. v. 57, n.1, p. 72- 87, 1967.
UNIVERSIDADE DE ROSTCOCK. Von Thünen. Disponível em: http://www.wiwi.unirostock. de/vwl/thuenenreihe/. Acesso em: 14 ago. 2014.
WEBER, A. Alfred Weber’s theory of the location of industries. Chicago: University of Chicago Press, 1929.
AULA 2
Metodologia do Ensino da Matemática
Prof. Me. Roberto José
Medeiros Junior
Aula 2 O Ensino da Matemática
Organização da Aula 2
Duas partes principais
1. Apresentação das principais teorias com aplicação prática da resolução de problemas em aulas de matemática
2. Apresentação da tipologia da resolução de problemas
Contextualização
Dois contextos
Didático-prático: resolução de problemas como metodologia de ensino e ação didática em Matemática
Epistemológico: a arte de resolver problemas segundo Polya e Escola Americana de Resolução de Problemas
Momento pedagógico da resolução de problemas (situando as situações-problema no contexto dos livros de matemática atuais)
Metodologia de Ensino em Matemática
Resolução de Problemas
1. Conteúdo em si, objetivo
2. Processo, meio, modo didático (potencial heurístico)
3. Metodologia
1. Conteúdo em si:
 • ensinar matemática para ser um bom “resolvedor” de problemas
• exposição de teorias e a aplicação de problemas prontos para reprodução
2. Metodologia:
• 1980: “agenda para ação” (NCTM); norma no 3: resolução de problemas; medida essencial para a matemática escolar
• PCN de matemática (1998)
3. Contribuições
• Ação-didática: o problema vem antes da definição, a RP é o estopim para a discussão/construção dos conceitos matemáticos
Contextualização do Ensino da Matemática
“Um dos objetivos essenciais do ensino de matemática é precisamente que o que se ensine esteja carregado de significado, tenha sentido para o aluno.”
(Roland Charnay)
______:
	
_ +
_ = 1
___é_____:
	
_ +
_ = 1
___á____: 	 = _
1. Contextualização? Que contextos?
2. Conceitualização? Que conceitos?
3. Matemática do cotidiano? Cotidiano de quem?
Potencial Heurístico
4. Matemática como atividade? Quais atividades?
5. Problema para mim é problema para você?
Descobrir
Inventar/criar
Desafiar
Competir
Potencial Heurístico na RP
O que entendo por problema-padrão e problema-problema?
Palavra-chave nos enunciados: “Quanto gastei?”, “... a mais”, “ao todo”, para cada um”, “perdeu” etc. Favorecem os processos heurísticos da resolução de problemas? Não, são problemas-padrão!
Diferentes modos de resolver um mesmo problema (valorização dos saberes dos alunos)
Crianças fazendo Matemática
CARRAHER, T. N.
Exemplo Prático Críticas ao Uso dos Algoritmos Sem Compreensão Organização e Sistematização da RP nos Planos de Aula Currículo em Rede
Celia Maria Carolino Pires
Vantagens
 • Mais conexões
 • Possibilidade de rever conteúdos sem estar amarrado ao planejamento (trabalho interdisciplinar)
• Grande aproximação com a rede formada pela memória humana
Conceitualização
Stanic e Kilpatrick (1990) — resolução de problemas nos currículos de matemática nas escolas:
1. a resolução de problemas como contexto, dividido em cinco subtemas: como justificativa, como motivação, como recreação, como veículo e como prática
2. A resolução de problemas como capacidade: resolve problemas rotineiros e não rotineiros
STANIC, G. M. A.; KILPATRICK, J; CHARLES, R. I.; SILVER, E. A. (Eds.) The Teaching and Assessing of Mathematical Problem
Solving. NCTM, 1990.
3. A resolução de problemas como arte: surge a partir dos trabalhos de George Polya, com a ideia da heurística (a arte da descoberta), levar os alunos a compreenderem como a Matemática foi descoberta e fazer suas próprias descobertas
Figura I
_ = _ + _
Figura II
__ = __ + __ Síntese
Deve-se considerar a resolução de problemas como um processo em que o aluno se envolve na atividade de fazer matemática, um processo semelhante ao do matemático durante sua atividade profissional
A ação didática, o potencial heurístico, dá-se de modo mais efetivo na conversa entre professor e aluno enquanto resolvem problemas
Deve-se investir didaticamente no diálogo, provocando-os com perguntas
O momento da descoberta pelo aluno é a didática do aluno, ou heurística do aluno
E aí está a arte de resolver problemas!
Referências de Apoio
PIRES, C. M. C. P. Currículos de matemática: da organização linear à ideia de rede. São Paulo: Editora FTD, 2000.
POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Editora Interciência, 1974
POLYA, G. Matemáticas y razonamiento plausible. Tradução Jose Luis Abellan. Madrid: Ed. Tecnos, 1996.
POZO, J. I. A solução de problemas — aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Ed. Artes Médicas, 1998.
AULA 3
Metodologia do Ensino da Matemática
Prof. Me. Roberto José Medeiros Junior
Aula 3
Hoje veremos...
Aula 3
Tendências de ensino-aprendizagem da matemática
• História da matemática
• Resolução de problemas
Organização da Aula 3 Em duas partes principais
1. Os principais historiadores da matemática e as contribuições para as origens dos conceitos de número, geometria e álgebra
2. Conhecer, analisar e aplicar as tendências em educação matemática na matemática escolar
Contextualização
Com a história da matemática, podemos entender porque cada conceito foi introduzido e avaliar se foi sempre algo natural (inato) ao ser humano ou se foi conduzido pelo determinismo da ciência
História: quais são as fontes?
O estudo das ruínas de antigas civilizações
Estudos de fósseis
O estudo da linguagem escrita
A avaliação do comportamento de diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos (etnomatemática)
Origem do Termo
Mavqhsi" (máthesis), "ação ou fato de aprender" (chegando, por alargamento de sentido, até "conhecimento, instrução, ciência"), (...) (...) e o resultativo mavqhma(máthema), "aquilo que é aprendido" (culminando, por extensão, com "aprendizagem, ciência mãe" e, também, como no grego moderno, "lição")
Matemática — Egípcios e Romanos
Construção de um sistema Letra I V X L C D M Valor 1 5 10 50 100 500 1000 Leitura Um Cinco Dez Cinquenta Cem Quinhentos Mil
Contextualização
Origens Históricas
Os egípcios observaram que as inundações do Nilo eram separadas por 365 dias (estrela Sirius se levantava a leste logo antes do sol) Dessa observação, surge o calendário solar: 12 meses de 30 dias mais cinco dias de festas
Você sabia?
Que a base “natural” de contagem não é a decimal e sim a sexagesimal e duodecimal?
Mais Aplicações
Elevado número de divisores de 60 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60)
Nas medidas usuais de tempo, uma hora é dividida em 60 minutos, e cada minuto em 60 segundos
Frações das dúzias
1/12 = 1
1/6 = 2
1/4 = 3
1/3 = 4
1/2 = 6
3/4 = 9
Inteiro = 12
Principais Livros
Tipologia da Resolução de Problemas
1. Reconhecimento
2. Algoritmo
3. Padrão simples
4. Padrão composto
5. Processo ou heurístico (as situações/ resoluções não são descobertas?)
6. Aplicação
7. Quebra-cabeça
8. Recreativo
9. Tirinhas
10.Insuficiência/ excesso de dados
11.Raciocínio combinatório
12.Lógica
13.Estatístico
14.Paradidáticos
15.Completar enunciados
16.Problemas sem números
17.Leitura de uma imagem
18.Mídia escrita
19.Tabela simples/dupla entrada
Resolução de Problemas Geométricos
Existe um quadrado cujos lados meçam –3 cm?
Existe um cubo cujos lados meçam –3 cm?
Resolução de Problemas e História da Matemática
Arithmetica de Diophanto (275 d.C.)
• Um triângulo retângulo tem área igual a 7 e seu perímetro é de 12 unidades. Encontre o comprimento dos seus lados
24__ − 172_ + 336 = 0
Só no Brasil
“O quadrado de um positivo é positivo; e a raiz quadrada de um positivo é dupla: positiva e negativa. Não há raiz quadrada de um negativo; pois ele não é um quadrado.” (BHÁSKARA, 1114–1185)
Equações de Graus 3 e 4
Girolamo Cardano publica a Ars Magna (A Arte Maior), em 1545 • Problema: “dividir um segmento de comprimento 10 em duas partes cujo produto seja 40.”
Em 1575, um outro algebrista italiano chamado Raphael Bombelli publicou um livro chamado Álgebra
Problema: • "Seja x3 o volume de um cubo de aresta x e 15x o volume de um paralelepípedo retangular cuja área da base é 15 e a altura é igual à aresta do cubo. Determine x de modo que x3 = 15x + 4.”
Solução Nada Convencional
Bombelli decidiu trabalhar como se raízes quadradas de números negativos fossem verdadeiros números. Continuou a equação admitindo que raiz de –121 é igual a 11 qualquer coisa
História dos Complexos Não Surge da Equação do 2o Grau
Quando os números complexos foram mais difundidos, Leonhard Euler, em 1777, (...) 7
(...) utilizou o símbolo i pela primeira vez para representar o imaginário. Ele apareceu impresso pela primeira vez em 1794 e se tornou amplamente aceito após seu uso por Gauss em 1801
Síntese
Podemos notar que a história da matemática é um recurso pedagógico muito relevante. (...) (...) Quando utilizado de forma adequada, poderá motivar o aluno e despertar o desejo por aprender como surgiram os conteúdos matemáticos que conhecemos hoje
Referências de Apoio
BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgar Bluncher Ltda., 1996.
CARNEIRO, J. P. Q. Resolução de equações algébricas. Rio de Janeiro: Univ. Santa Úrsula, 1998.
EVES, H. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, 1997. 
AULA 4
Metodologia do Ensino da Matemática
Aula 4
Hoje Veremos
Materiais manipuláveis
Organização da Aula 4
Em duas partes principais:
1ª Dois dos principais recursos didáticos que auxiliam na compreensão de número, geometria e álgebra
2ª Conhecer, analisar e aplicar as teorias que fundamentam o Construtivismo e as ações didático-práticas da aula de matemática via materiais manipuláveis
Contextualização
Empirismo – principal teórico: o John Locke (1632-1704)
• Tábula Rasa
• As aprendizagens se dão por meio de tentativas e erros
• Teorias não bastam
• Prática vs. teoria
Construtivismo Piagetiano
Manipulável é diferente de concreto
Nem tudo que é manipulável se tornará concreto (sedimentado e consciente)
Esquema assimilação acomodação equilíbrio
O Concreto está na fase da acomodação
Epistemologia Genética
Teoria Cognitiva
Conceitualização Atividade Prática Tangram
Com as peças espalhadas na tela, reconstrua o quadrado original:
Com o quadrado e os dois triângulos pequenos do TANGRAM, formar:
a) Um trapézio:
b) Um retângulo:
c) Um paralelogramo:
Atividade Prática Geogebra
MENUS do GeoGebra
MENUS do GeoGebra MENUS do GeoGebra
MENUS do GeoGebra MENUS do GeoGebra
MENUS do GeoGebra MENUS do GeoGebra
MENUS do GeoGebra Intersecção de retas no GeoGebra
Qual a solução do sistema de equações abaixo?
Intersecção de retas no GeoGebra
Dada a equação f(x)= x² - 2x – 3 encontre as coordenadas do vértice.
X (vértice) = 1
Y (vértice) = -4
Podemos observar que as coordenadas do vértice são V = (1, -4).
Síntese
Importantíssimo saber que existe diferença entre o manipulável e o concreto, segundo a teoria da Epistemologia Genética de Piaget
O Geogebra é um dos principais Softwares de geometria dinâmica
Deve ser utilizado para manipular conceitos matemáticos Principais Livros
AULA 5
Metodologia do Ensino da Matemática
Teleaula 5
Prof. Me. Roberto José Medeiros Junior
tutoriamatematica@uninter.com
O Ensino da Matemática
Teleaula 5
Metodologia da matemática
• Breve histórico do ensino da matemática
• A função do professor de matemática
• Aprender e ensinar matemática
Organização da Teleaula 5
Em duas partes principais
1. Considera as contribuições da Pedagogia, Filosofia e da Psicologia no ensino e aprendizagem de Matemática e os (...) (...) principais congressos e encontros relacionados ao ensino de Matemática
2. Busca conhecer, analisar e aplicar a didática prática e teórica da Matemática na formação de professores
Contextualização
O Professor de Matemática
 1928-2015
• Esquizofrênico
• Sozinho
• Cruel
• Provoca medo e ojeriza
O que faz um matemático?
Teorema de Pitágoras • Xn + Yn = Zn com n = 2 existam números inteiros X, Y e Z que satisfazem a igualdade
• Pierre de Fermat garantia que se n fosse inteiro e n > 2 não existiriam números inteiros X, Y e Z que satisfazem esta igualdade
“Encontrei uma demonstração verdadeiramente maravilhosa disto, mas esta margem é estreita demais para contê-lo.” Andrew Willes, após 7 anos de cálculos, provou que existia solução em 1994
Medalha Fields Artur Avila foi escolhido pelo conjunto da obra, um sinal de maturidade e vigor criativo para elucidar o caos
Contexto Atual –
Ensino da Matemática
VII Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática – SIPEM
V Simpósio Internacional de Pesquisa em Educação Matemática – SIPEMAT
Reunião Anual da Associação Nacional de Pós-graduação e Pesquisa em Educação – ANPEd
Encontro Nacional de Didática e Prática de Ensino – ENDIPE
XIX Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-graduação em Educação Matemática – EBRAPEM
2013 – XI Encontro Nacional de Educação Matemática (ENEM) em Curitiba, em comemoração aos 25 anos da SBEM
ENEM 2016 – São Paulo – Universidade Cruzeiro do Sul
EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Origens Históricas e Desenvolvimento do Ensino da Matemática
Uma Definição
“A matemática possui não apenas verdade, mas também suprema beleza – uma beleza fria e austera, como a da escultura.” Filósofo e matemático inglês Bertrand Russell (1872-1970)
Um Livro José Adelino Serrasqueiro
Livros traduzidos para o Colégio Pedro II
De quando é? • 1920
Críticas ao Professor de Matemática por Malba Tahan
“O professor de Matemática em geral é um sádico. Ele sente prazer em complicar tudo.”
“Por que dar zero se há tantos números?”
O “inútil da Matemática” e as “noções parasitárias”
• Contascom números astronômicos
• Critérios de divisibilidade por sete
• Prova dos nove, demonstrações extensas e complicadas
Vai de Malba
Didática Prática e Teórica
Campo da didática prática e da didática na prática (WACHOWICZ, 1989)
Conceitualização
Didática prática busca compreender o momento didático do aluno, ou ainda, o potencial heurístico do aluno quando faz uso (...) 5 (...) didaticamente da resolução de problemas, mesmo quando se depara com problemas de diferentes contextos, seja com enunciados curtos ou longos
Didática na prática é o movimento dialético (contradição de ideias que levam a outras ideias) próprio da atividade docente
Aplicação Prática
Três amigos foram comer num restaurante e no final a conta deu R$ 30,00. Fizeram o seguinte: cada um deu R$ 10,00. O garçom levou o dinheiro até o caixa e o dono do restaurante disse o seguinte:
– Esses três são clientes antigos do restaurante, então vou devolver R$ 5,00 para eles.
E entregou ao garçom cinco moedas de R$ 1,00. O garçom, muito esperto, fez o seguinte: pegou R$ 2,00 para ele e deu R$ 1,00 para cada um dos amigos
No final cada um dos amigos pagou o seguinte:
R$ 10,00 – R$ 1,00 que foi devolvido = R$ 9,00
Logo, se cada um de nós gastou R$ 9,00, o que nós três gastamos juntos, foi R$ 27,00. E se o garçom pegou R$ 2,00 para ele, temos:
• Amigos: R$ 27,00
• Garçom: R$ 2,00
• Total: R$ 29,00
_ Pergunta-se: Onde foi parar o outro R$ 1,00???
Solução
_ R$ 25,00 estão com o dono do restaurante
_ R$ 2,00 estão com o garçom
_ R$ 3,00 estão com os amigos
_ R$ 25,00 + R$ 2,00 + R$ 3,00 = R$ 30,00
Ou ainda
_ Se o dono do restaurante deu R$ 5,00 de desconto, a conta final foi de R$ 25,00
_ R$ 25,00 dividido por 3 = R$ 8,3333 para cada amigo
_ Como cada um deles recebeu R$ 1,00 de volta: • R$ 8,3333 + R$ 1,00 = R$ 9,3333
• R$ 9,3333 x 3 = R$ 28,00
• R$ 28,00 + R$ 2,00 (do garçom) = R$ 30,00
Síntese
_ Ao “fazer-se escutar” acontece a relação didática e a ocorrência dos processos heurísticos
_ Como decorrência didática, o potencial heurístico se dá de modo mais efetivo na conversa entre professor e aluno quando resolvem problemas
_ Deve-se investir didaticamente no diálogo, instigando o aluno com perguntas. Existe a didática dos alunos, ou heurística dos alunos. Se não os ouve, perde a oportunidade de trabalhar procedimentos heurísticos com maior aprofundamento
Referências de Apoio 
_ MARTINS, P. L. O. A Didática e as Contradições da Prática. São Paulo: Papirus Editora, 1998. 
_ MARTINS, P. L. O. Didática teórica/didática prática: para além do confronto. São Paulo: Edições Loyola,1993.
_ VILA, A.; CALLEJO, M. L. Matemática para aprender a pensar: o papel das crenças na resolução de problemas. Tradução: Erani Porto. Alegre: Editora Artmed, 2006.
_ WACHOWICZ, L. A. O Método Dialético na Didática. 2. ed. Campinas/SP: Papirus, 1989.
AULA 6
Metodologia do Ensino da Matemática
Aula 6
Análise e Organização de Programas de Ensino
_ Diferença entre programa de ensino e plano de aula
_ Como planejar a aula
_ Diário de bordo
_ Forma de Avaliação e
elaboração de atividade
Organização da Aula 6
_ Em duas partes principais
1a apresentação, conceitualização e diferenciação das práticas docentes
2a analisar e aplicar os diferentes tipos de registros escolares para a avaliação em Matemática
Contextualização
_ Dois contextos:
• Didático-prático: a profissão docente e as práticas escolares
• Epistemológico: a estruturação psicopedagógica e os instrumentos avaliativos
_ Planejamento:
• Urbano
• Estratégico
Escola pra quê? Para quem? Planejar e avaliar? Para quem?
• Financeiro
• Econômico
• Social
• Familiar
• Escolar
Contextualização do Ensino e do Planejamento Escolar
_ Planejar é tentar amarrar os acontecimentos futuros à nossa vontade. Para isso, é fundamental o conhecimento da realidade a fim de usufruí-la ou transformá-la. (...) Organização e Sistematização da Matemática via Planejamento (...) Partimos sempre da realidade e nela retornamos, só que já transformada
_ Mas, como transformar a realidade escolar quando se trata de:
• Seriação escolar
• Matematização escolar
• Parametrização curricular –
Diretrizes municipais e estaduais
Voltamos aos liceus e escolas de instrução militar?
Esquema de Planejamento Escolar – Programa de Ensino
_ Objetivos (Para que ensinar?)
_ Conteúdos (O que ensinar?)
_ Os alunos (Para quem ensinar?)
_ Os métodos e técnicas (Como ensinar?)
_ Avaliação (O que devo rever e planejar?)
O Plano de Aula
_ Detalhamento do plano de ensino
_ Deve orientar as ações do professor e servir de instrumento de revisão e aprimoramento, de ano para ano
_ Pode abarcar uma aula, ou um conjunto de aulas
_ Cada tópico novo articula-se ao anterior
_ Deve prever o tempo necessário para cada atividade
Conceitualização
_ Níveis de planos:
• Da escola/instituição: documento global, orientações gerais 
• De ensino: tarefa a ser desenvolvida no ano/módulo, dividida em unidades sequenciais
• De aula: desenvolvido para uma aula, ou conjunto de aulas; caráter específico _ Atividades que supõem o conhecimento da dinâmica interna do processo de ensino e aprendizagem e das condições externas que codeterminam a sua efetivação
_ O planejamento articula-se à avaliação porque, além de previsão e de organização, também é pesquisa e reflexão
Aplicação Prática: Diário de Bordo Estrutura Mínima
_ Capa
_ Folha de rosto
_ Desenvolvimento
_ Notas do aluno
_ Notas do professor
_ Conclusão
_ Bibliografia
Portfólio: Um Tipo de Diário
_ Sumário
_ Introdução
_ Itens e materiais escolhidos
_ Reflexões
_ Autoavaliação
Reflexão:
“Essa conta da lista é legal pelo comparativo com a realidade, utilizando como exemplo comercial em vez de um simples paralelepípedo”.
Eu a resolvi do seguinte modo (...) resolução na perspectiva do aluno (didática do aluno)
Autoavaliação (o que imaginava aprender e o que aprendi)
Síntese
_ O planejamento escolar é uma tarefa docente que inclui tanto a previsão das atividades em termos de organização e coordenação em face dos objetivos propostos (...)
(...) quanto a sua revisão e sua adequação no decorrer do processo de ensino. O planejamento é um meio para programar as ações docentes, mas é também um momento de pesquisa e reflexão intimamente ligado à avaliação
Referências de Apoio
_ BARDIN, L. Análise de conteúdo. Trad. Luís Antero Reto e Augusto Pinheiro. Lisboa: Edições 70, 2002.
_ BASSO, M. V. A. Espaços de aprendizagem em rede: novas orientações na formação de professores de matemática. Tese (doutorado). UFRGS – Programa de Pós-Graduação em Informática na Educação. Porto Alegre: UFRGS, 2003.
_ BROUSSEAU, G. A Teoria das situações didáticas e a formação do professor. Palestra. São Paulo: PUC, 2006.
_ CHAVES, I. Sá. Portfólios Reflexivos: estratégias de formação e de supervisão. Aveiro: Universidade, 2000.
_ D’AMBROZIO, U. Educação Matemática: da teoria à praxis. Campinas, SP: Papirus, 1996. (Coleção Perspectivas em Educação Matemática).
_ FREIRE, P. Pedagogia da Autonomia: saberes necessários à prática educativa. São Paulo: Paz e Terra, 1996.
_ ______. Educação com prática de liberdade. 23. ed. São Paulo: Paz e Terra, 1999.