10 INTEGRAL aplicações

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INTEGRAL
APLICAÇÕES
INTEGRAL INDEFINIDA
EXEMPLO:
Estima-se que, daqui a t meses, a população de uma certa cidade variará
segundo a taxa de 2 + 6 𝑡 pessoas por mês. A população atual é de 5.000
pessoas. Qual a população daqui a 9 meses?
INTEGRAL INDEFINIDA
SOLUÇÃO:
Seja P(t) a população da cidade daqui a t meses. Então, a derivada de P é a
taxa de variação da população em relação ao tempo, ou seja,
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 2 + 6 𝑡
Segue-se que a função população P(t) é uma primitiva de 2 + 6 𝑡, ou seja,
𝑃 𝑡 = 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 2 + 6 𝑡 𝑑𝑡 = 2𝑡 + 4𝑡
3
2 + 𝐶 .
INTEGRAL INDEFINIDAINTEGRAL INDEFINIDA
INTEGRAL INDEFINIDA
SOLUÇÃO:
Para determinar C, usamos a informação de que a população atual
(quando t = 0) é de 5.000, ou seja: 𝑃 0 = 5000.
Assim, 5000 = 2.0 + 4. 0
3
2 + 𝐶 ⇒ 𝐶 = 5000.
Então, P 𝑡 = 2𝑡 + 4𝑡
3
2 + 5000 e a população daqui a 9 meses será:
P 9 = 2.9 + 4.9
3
2+5000 = 5126
INTEGRAL INDEFINIDA
EXERCÍCIOS
1. Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade esteja
aumentando à taxa de 4 + 5𝑡2/3 habitantes, qual será a população
daqui a 8 meses, sabendo que a população atual é de 10 mil
habitantes? R: 10 128 habitantes
2. Um corpo está se movendo de tal forma que sua velocidade após t
minutos é 𝑣 𝑡 = 1 + 4𝑡 + 3𝑡2m/min. Que distância o corpo percorre
no terceiro minuto. R: 30 m
EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS
3. Um botânico descobre que certo tipo de árvore cresce de tal forma que
sua altura ℎ(𝑡), após t anos, está variando a uma taxa de 0,06𝑡2/3+0,3𝑡1/2
metros/ano. Se a árvore tinha 60 cm de altura quando foi plantada, que
altura terá após 27 anos? R: 37,41 metros.
4. Um fabricante calculou que o custo marginal de uma produção de q
unidades é de 3q2 – 60q + 400 reais por unidade. O custo de produção das
duas primeiras unidades foi de R$ 900,00. Qual será o custo total de
produção das cinco primeiras unidades? R: R$ 1.587,00
EXERCÍCIOS
Sabemos calcular a área de algumas figuras planas como, por exemplo,
retângulos, triângulos, círculos e assim por diante. Dependendo da figura,
esse problema está resolvido.
Imaginemos porém que o problema é o do cálculo da área do tampo de uma
mesa que tem o seguinte formato:
Regiões desse tipo nos levam a perceber que as ferramentas de que
dispomos para o cálculo de áreas não são suficientes.
INTEGRAL DEFINIDA: ÁREA
Seja f contínua em [a, b], com 𝑓(𝑥) ≥ 0 em [a, b]. Estamos interessados em
definir a área do conjunto A do plano limitado pelas retas x = a , x = b , y = 0
e y = f(x).
Aproximação por falta Aproximação por excesso
dx )(
b
a
xfA
0  ixmáx
A A
INTEGRAL DEFINIDA: ÁREA
⇓
INTEGRAL DEFINIDA: ÁREA
CASO 1: 𝑓(𝑥) ≥ 0
 −𝟐
𝟐
𝟒 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙
INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAINTEGRAL DEFINIDA: ÁREA
CASO 2: 𝑓(𝑥) ≤ 0
 
−𝟐
𝟐
−𝟒 + 𝒙𝟐 𝒅𝒙

b
a
xfÁrea dx )(
INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAINTEGRAL DEFINIDA: ÁREA
CASO 3: ÁREA ENTRE CURVAS
𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟐; 𝒈 𝒙 = 𝒙𝟐 ⇒ 𝑨 = 𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒅𝒙
INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAINTEGRAL DEFINIDA: ÁREA
EXERCÍCIOS
1. Calcule a área sob o gráfico de y =
𝑓(𝑥) entre 𝑥1 = 𝑎 e 𝑥2 = 𝑏, se:
a) 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥2, 𝑥1 = −1; 𝑥2 = 1;
b) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3, 𝑥1 = 1; 𝑥2 = 3;
c) 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 , 𝑥1 = 0; 𝑥2 = 2𝜋;
2. Calcule a área das regiões
limitadas pelas seguintes curvas:
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2, 𝑔 𝑥 = 2;
b) 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 4, 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2;
c) 𝑓 𝑥 = 25 − 𝑥2; 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 5;
EXERCÍCIOS
Uma outra aplicação de integrais é para o cálculo de volumes.
A ideia é a mesma que para o cálculo de áreas de regiões planas. Isto é,
aproximaremos o sólido pela união de sólidos pequenos cujos volumes
são conhecidos, para depois aplicar o limite quando o número destes
pequenos sólidos inseridos vai para o infinito.
INTEGRAL DEFINIDA:VOLUMEINTEGRAL DEFINIDA: VOLUME
 Superfícies de Revolução
As superfícies de revolução são geradas por uma
curva, chamada curva geratriz que gira em torno a
uma reta L chamada de eixo de revolução. Por
exemplo, quando a parábola y = x2 gira sobre o
eixo Y gera um parabolóide, como ilustra a figura
ao lado.
INTEGRAL DEFINIDA:VOLUMEINTEGRAL DEFINIDA: VOLUME
INTEGRAL DEFINIDA:VOLUMEINTEGRAL DEFINIDA: VOLUME
 1º CASO:
INTEGRAL DEFINIDA:VOLUMEINTEGRAL DEFINIDA: VOLUME
 2º CASO
INTEGRAL DEFINIDA:VOLUMEINTEGRAL DEFINIDA: VOLUME
SOLUÇÃO
INTEGRAL DEFINIDA:VOLUMEINTEGRAL DEFINIDA: VOLUME
 3º CASO
INTEGRAL DEFINIDA:VOLUMEINTEGRAL DEFINIDA: VOLUME
SOLUÇÃO
INTEGRAL DEFINIDA:VOLUMEINTEGRAL DEFINIDA: VOLUME
 4º CASO
INTEGRAL DEFINIDA:VOLUMEINTEGRAL DEFINIDA: VOLUME
 5º CASO
INTEGRAL DEFINIDA:VOLUMEINTEGRAL DEFINIDA: VOLUME
SOLUÇÃO
INTEGRAL DEFINIDA:VOLUMEINTEGRAL DEFINIDA: VOLUME
 6º CASO
INTEGRAL DEFINIDA:VOLUMEINTEGRAL DEFINIDA: VOLUME
SOLUÇÃO
INTEGRAL DEFINIDA:VOLUMEINTEGRAL DEFINIDA: VOLUME
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOS