Matemática Financeira - Aula 04

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
AULA 4 –TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, 
NOMINAL E REAL
Tema da Apresentação
TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Conteúdo Programático desta aula
 Taxa equivalente
 Taxa nominal ou efetiva
 Taxa real.
Tema da Apresentação
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TAXAS DE JUROS: EQUIVALENTE, NOMINAL E REAL – AULA 04 
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TAXA EQUIVALENTE 
Taxas equivalentes são aquelas que referidas a períodos de tempo diferentes, mas que quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, geram o mesmo Montante. 
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TAXA EQUIVALENTE 
 1
 1 / q 1 / q 
 
 VF = VP (1 + i)1 = VP (1 + iq) q
 (1 + i)1/q = (1 + iq) q/q
 iq = (1 + i) 1/q - 1
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Seja o capital C (VP) aplicado por um ano a uma taxa anual ia. O montante M (VF) ao final do período de 1 ano será igual a :
VF = VP (1 + ia)1 
Consideremos agora, o mesmo capital C (VP) aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im.
 O montante VF’ ao final do período de 12 meses será: 
VF’ = VP (1 + ia)1 = VP (1 + im)
TAXA EQUIVALENTE 
,
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ia = taxa de juros anual is = taxa de juros semestral im = taxa de juros mensal id = taxa de juros diária
As conversões das taxas podem ser feitas assim: 1 + im = (1 + id) 30 1 + ia = (1 + im ) 12 1 + ia = (1 + is) 2 1 + is = (1 + im ) 6 
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ia = taxa de juros anual is = taxa de juros semestral im = taxa de juros mensal id = taxa de juros diária
As conversões das taxas podem ser feitas assim: 1 + id = (1 + im) 1/30 1 + im = (1 + ia ) 1/12 1 + is = (1 + ia ) 1/2 1 + im = (1 + is ) 1/6 
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Todas baseadas no princípio fundamental de que taxas equivalentes aplicadas a um mesmo capital, produzem montantes iguais.
Não é necessário memorizar todas as fórmulas. Basta verificar a lei de formação que é bastante clara. 
Por exemplo, se iq = taxa de juro num quadrimestre, poderíamos escrever: 1 + ia = (1 + iq) [1 ano = 3 quadrimestres] 
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Exemplo 1: 
Seja 
im = 1% a.m. (Período mês)
Qual a taxa equivalente ao ano (ia) ? (Período ano)
(1 + ia ) = ( 1 + im)
(1 + ia ) = ( 1 + 0,01)
(1 + ia ) = 1.1268 (da Tabela)
Logo: ia = 1,1268 - 1 = 0,1268 ou 12,68% a.a.
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CÁLCULO DE “n” - LOGARITMOS
Aplicar propriedades logaritmas!!!
logab = logka / logkb ou 
log10x = ln x / ln 10 
Antilogaritmo:
é o inverso do logaritmo. Para calcular o antilog de um número é só elevar 10 a esse número.
Exemplo: 
log 100 = 2 
logo antilog 2 = 10^2= 100 
Lê-se 10^2= 10 elevado a dois. 
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Exemplo 2: 
Qual o montante no final de um ano, a partir de um principal de R$100,00, com uma taxa de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos?
VP = 100
i = 1% a.m. ou i = 0,01 a.m.
t = 1 ano  n = 12 meses
VF = ?
 VF = VP (1 + i) 
VF= 100 ( 1 + 0,01)
VF= 100 x 1,126825 (da Tabela)
VF= R$112,68
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Exemplo 3: 
Calcular a taxa ao mês equivalente a 60% ao ano.
im = ? % am (Período mês)
(ia = 60% aa )? (Período ano)
( 1 + ia ) = ( 1 + im )
1,60 = ( 1 + im )
Da Tabela de Acumulação de Capital:
n = 12, encontramos 1,60, que corresponde à taxa de 4%.
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Exemplo 4: 
Calcular a taxa ao trimestre equivalente a 60% ao ano.
it = ? % at (Período trimestre)
(ia = 60% aa )? (Período ano)
(1 + ia ) = ( 1 + it ) (1 ano = 4 trimestres)
(1 + 0,60 ) = ( 1 + it )
1,6 = ( 1 + it )
Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
na linha n = 4, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna 
it = 12% am. Utilizando calculadora : 12,47 % a. t.
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Exemplo 5: 
Calcular a taxa ao mês equivalente a 60% ao trimestre.
im = ? % at (Período mês)
(it = 60% at )? (Período trimestre)
(1 + it ) = ( 1 + im ) 
(1 + 0,60 ) = ( 1 + im )
1,6 = ( 1 + im )
Da Tabela:
na linha n = 3, encontramos 1,60 (aproximado) na coluna
 im = 17% am
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Exemplo 6.
Qual o montante acumulado no final de dois anos, a partir de um principal de R$2.000,00, com taxa de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos?
C = R$2.000,00
i = 1% am ou i = 0,01
t = 2 anos 
n = 24 meses M = ?
Temos: M = C ( 1 + i )
M = 2000 ( 1 + 0,01 )
M = 2000 x 1,269735 (da Tabela)
M = R$2.539,47
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Exemplo 7.
Qual a taxa anual equivalente a 5% ao semestre? Solução: Teremos: 1 + ia = (1 + is) Como 5% a.s. = 0,05
1 + ia = 1,05
1 + ia = 1,1025
ia = 0,1025 = 10,25% 
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Exemplo 8.
Qual a taxa mensal equivalente a 60,1% ao ano? Solução: Teremos: 1 + ia = (1 + im) Como 60,1% = 0,601 1 + 0,601 = (1 + im) 1,601 = (1 + im) Consultando a Tabela de Acumulação de Capital:
im = 4% am (vide TAB prox. Pag.)
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TAXA NOMINAL OU TAXA PROPORCIONAL OU EFETIVA
Taxa nominal é aquela que está definida em período de tempo diferente do período de capitalização.
A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira pode ser calculada pela expressão: 
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Exemplo
Um empréstimo de $100.000,00 deve ser quitado ao final de um ano pelo valor de $150.000,00.
Então, a taxa de juros nominal será dada por: Juros pagos = jp = 150.000 – 100.000 = 50.000
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CAPITALIZAÇÃO
Um empréstimo de $100.000,00 deve ser quitado ao final de um ano pelo valor de $150.000,00.
Então, a taxa de juros nominal será dada por: Juros pagos = jp = 150.000 – 100.000 = 50.000
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Taxa real é a taxa de remuneração do capital, descontada a taxa de inflação.
Um capital VP é aplicado a uma taxa
nominal in. O montante VF1 ao final do período será dado por 
 VF1 = VP ( 1 + in )
Durante o mesmo período, a taxa de inflação j
O montante será: VF2 = VP ( 1 + j ) 
Fórmula: (1 + in) = (1 + r) . (1 + j) r é a taxa real
TAXA REAL
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TAXA REAL 
Fórmula: 
(1 + in) = (1 + r) . (1 + j) onde r é a taxa real
 j taxa de inflação
Ou (1+r) = 
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Solução
( 1+r ) = = 
 
( 1+ r ) = 1,0385
r = 0,0385 
r = 3,85%
(1 + in ) = 1,35
(1 + j ) = 1,30
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Exemplo 2:
Um banco empresta
120.000,00 para ser pago
em um ano com
R$150.000,00. Sendo a
inflação igual a 10%, calcule 
a taxa real. 
Solução
in = 30.000 / 120.000 = 0,25
(1 + r) = = 
 
(1 + r) = 1,1364
r = 0,0385 
r = 3,85%
(1 + in ) = 1,25
(1 + j ) = 1,10
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Exercícios:
Qual a taxa anual equivalente a 5% ao trimestre?
Fórmula: 1 + ia = (1 + it )4
1 + ia = (1 + 0,05)4
ia = 1,2155 – 1 = 21,55%
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Exercícios:
Qual a taxa anual equivalente a 4% ao bimestre?
Fórmula: 1 + ia = (1 + ib )6
1 + ia = (1 + 0,04) 6 
ia = 1,2653 – 1 = 26,53%
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Um empréstimo de R$ 170.000,00 deve ser pago ao final de um ano pelo valor de R$ 243.100,00, a taxa de juros nominal será dada por:
Fórmula: Taxa nominal = juros/valor nominal 
Taxa Nominal = (243100 – 170000) / 170000 
= 73100 / 170000 = 0,43 = 43%
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Um empréstimo de R$ 160.000,00 deve ser quitado ao final de um ano pelo valor de R$ 230.400,00. Se a inflação no período foi de 25%, qual a taxa real?
Fórmula: (1+ r ) = (1 + in ) / (1 + j )
in = (230400 - 160000) / 160000 = 0,44
j = 0,25  inflação
(1 + in ) = 1,44 (1 + j ) = 1,25
(1+ r ) = (1 + in ) / (1 + j ) = 1,44 / 1,25 = 1,152
r = 1,152 – 1 = 0,152 ou 15,2%
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Um empréstimo de R$ 190.000,00 deve ser pago ao final de um ano pelo valor de R$ 267.900,00. Se a inflação no período foi de 25%, qual a taxa real?
Fórmula: (1+ r ) = (1 + in ) / (1 + j )
in = (267900 - 190000) / 190000 = 0,41
j = 0,25  inflação
(1 + in ) = 1,41 (1 + j ) = 1,25
(1+ r ) = (1 + in ) / (1 + j ) = 1,41 / 1,25 = 1,128
r = 1,128 – 1 = 0,128 ou 12,8%
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Resumo desta aula
 Taxa equivalente
 Taxa nominal, taxa proporcional
 ou efetiva
 Taxa real.
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Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros
Taxa de juros