semana_07f_extra_02_2014_r

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Fixac¸a˜o – Semana 7
Temas abordados : Regra da cadeia; Derivac¸a˜o Impl´ıcita; Derivada de func¸o˜es inversas
Sec¸o˜es do livro: 3.6, 3.7, 3.8 e 3.9
1) Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) =
(
a x+b
c
)3
(b) f(x) =
√
1− x2
(c) f(x) = (a + b x3)1/3 (d) f(x) =
√
2x2−2x+1
x
(e) f(x) = 4
3
(
x−1
x+2
)1/4
(f) f(x) = (x2(a− 2x3))2
(g) f(x) = x
3
3
√
(1+x2)3
(h) f(x) =
(
a+b xn
a−b xn
)m
2) Sabendo que g e´ uma func¸a˜o deriva´vel em seu domı´nio, calcule as derivadas de f se:
(a) f(x) = g(a x + b) (b) f(x) = x g(
√
1− x2)
(c) f(x) = g(x)1/3 (d) f(x) = g( 1
x
)
(e) f(x) = g(x2) (f) f(x) = x2 g(a− 2x3)
(g) f(x) = (x + g(cos x))3 (h) f(x) = g
(
a+b xn
a−b xn
)
3) Calcule as derivadas de y′ =
dy
dx
usando a regra da cadeia:
a)
{
x = 2 t− 1
y = t3;
b)
{
x = 1
t+1
y =
(
t
t+1
)2
;
4) Use a regra da cadeia para encontrar
dy
dx
:
(a)
{
x = a cos2 t
y = b sen2t;
(b)
{
x = arccos 1√
1+t2
y = arcsen 1√
1+t2
.
5) Considerando que y = y(x) esta´ determinada implicitamente nas expresso˜es abaixo,
determine
dy
dx
:
a) x y = arctan x
y
; b) x3 + y3 = a3; c) y − 0, 3 seny = x.
6) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente de cada uma das curvas abaixo nos pontos indicados.
(a) (y − x)2 + y3 = xy + 7, em (1, 2) (b) x3 − y3 = 7xy , em (4,2)
(c)
x3 − y
1− y3 = x , em (1,-1) (d) 2y = xy
3 + 2x3 + 5 , em (-1,1)
7) Uma escada gigante com 13m de comprimento se apoia contra a parede de um pre´dio.
Apo´s um incidente, a base da escada passa a se afastar da base da parede do pre´dio a
uma taxa de 5m por segundo. Quanto varia a medida em radianos do aˆngulo entre a
escada e o solo no momento em que a base da escada se encontrar a 12m da base da
parede?
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 7 - Pa´gina 1 de 3
RESPOSTAS
1) (a) f ′(x) =
3a(ax + b)2
c3
(b) f ′(x) =
−x√
1− x2
(c) f ′(x) =
bx2
3
√
(a + bx3)2
(d) f ′(x) =
x− 1
x2
√
2x2 − 2x + 1
(e) f ′(x) =
(
x + 2
x− 1
)3/4
1
(x + 2)2
(f) f ′(x) = 2x2(a− 2x3)(−10x4 + 2ax)
(g) f ′(x) =
x2√
(1 + x2)5
(h) f ′(x) =
2abnmxn−1(a + bxn)m−1
(a− bxn)m+1
2) (a) f ′(x) = ag′(ax + b)
(b) f ′(x) = g
(√
1− x2)− x2g′(√1− x2)√
1− x2
(c) f ′(x) =
g(x)−2/3g′(x)
3
(d) f ′(x) =
−g′(1/x)
x2
(e) f ′(x) = 2xg′(x2)
(f) f ′(x) = 2xg(a− 2x3)− 6x4g′(a− 2x3)
(g) f ′(x) = 3(1− g′(cos x)sen x)(x + g(cos x)2
(h) f ′(x) = g′
(
a + bxn
a− bxn
)
2abnxn−1
(a− bxn)2
3) (a)
dy
dx
=
3(x + 1)2
8
(b)
dy
dx
− 2(1− x)
4) (a)
dy
dx
= −b/a
(b)
dy
dx
= ±1
5) (a)
dy
dx
=
y [1− x2 − y2]
x [1 + x2 + y2]
(b)
dy
dx
=
−x2
y2
(c)
dy
dx
=
1
1− 0, 3 cos y
6) (a) y =
4
13
x +
22
13
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 7 - Pa´gina 2 de 3
(b) y =
17
20
x− 7
5
(c) y =
−1
2
x− 1
2
(d) y =
7
5
x +
12
5
7) −1 rad/seg
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 7 - Pa´gina 3 de 3