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Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 
Analítica II 
 Unidade I – ESTUDO DAS CÔNICAS 
 
1) Equação da circunferência 
 
De maneira geral, denominamos de uma curva a toda equação em x e y cujas soluções ( x,y) são as 
coordenadas dos pontos da curva. 
No caso de um circunferência de centro C ( xC , yC ) e raio r dados, temos: y 
 r • P 
P (x,y) ∈ curva ⇔ d (CP) = r C • 
 
 x 
 
Assim, usando a fórmula de distância entre dois pontos, obtemos: 
 d = 2
c
2
c
)y(y)x(x −+− 
 
r = 
2
c
2
c
)y(y)x(x −+− 
 
r² = ( x – xc ) ² + ( y – yc ) ² que é denominada equação reduzida da circunferência. 
 
 
Exemplos: 
1) Determine a equação reduzida da circunferência de centro C ( 3, -1) e raio r = 2. 
Solução : 
( x – 3 ) ² + (y – (-1))² = 2², ou seja, ( x – 3 )² + ( y +1)² = 4 
 
2) Verifique se os pontos A (2, -1) e B (3,0) pertencem a circunferência de equação (x-2)²+(y-3)²=16. 
 
 
 
 
3) Identifique o centro e o raio da circunferência de equação ( x+3)² + (y-1)² = 9 
 
 
 
4) Determine a equação da circunferência de centro ( 0,0) e raio 5. 
 
 
 
 
Já conhecemos a equação reduzida da circunferência, que é r² = ( x – xc ) ² + ( y – yc ) ². 
Desenvolvendo esta equação, temos: 
r² = ( x – xc ) ² + ( y – yc ) ² 
r² = x² - 2xxc + xc ² + y² - 2yyc +yc² 
Reorganizando, teremos: 
x² - 2xxc + xc ² + y² - 2yyc +yc² - r² = 0 
Pondo 
-2xc = a , –2yc = b e xc ² + yc² - r² = c, teremos: 
 
x² + y² + ax + by + c = 0 que é a equação geral da circunferência. 
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Analítica II 
 
 
Observamos que: -2 xc = a ⇒ 
2
a
x
c
−
= 
 
-2 yc = b ⇒ 
2
by
c
−
= 
 
 
xc² + yc² - r² = c ⇒ cyxr 2c
2
c
−+= 
 
Exemplos: 
1) Determine a equação geral da circunferência de centro C(2,3) e raio 1. 
 
 
 
2) Determine o centro e o raio da circunferência de equação x² + y²- 8x + 12y + 3 = 0. 
 
 
 
 
2) O gráfico da circunferência 
 
Dada a equação (x-1)² + (y-2)² = c, podemos observar os seguintes casos: 
a) Se c > 0, então a equação representa uma circunferência de centro (1,2) e raio r = c . 
b) Se c = 0, então a equação representa o ponto (1,2) 
c) Se c < 0, então ela representa o conjunto vazio. 
Faça o gráfico para visualizar melhor. 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) Determine a equação da circunferência ( reduzida e geral) em cada caso: 
a) C ( 3,3) e r = 6 
b) C(-1,-3) e r = 2 
 
2) Sendo dado o ponto P(1,1) pertencente a circunferência e o centro C(3,3), determine a equação 
reduzida e geral da circunferência. 
 
3) Determine o centro e o raio da circunferência em cada caso: 
a) x² + y² - 4x – 8y + 19 = 0 
b) 2x² + 2y² + 4x – 8y – 8 = 0 
c) 2x² - y² = 9 
d) 4x² + 4y² + 8x – 4y – 3 = 0 
 
 
Respostas: 
1) a) (x-3)² + (y-3)² = 36 e x² + y² - 6x – 6y –18 = 0 
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Analítica II 
 b) (x+1)² + (y+3)² = 4 e x² + y² + 2x + 6y + 6 = 0 
2) (x-3)² + (y-3)² = 8 e x² + y² - 6x – 6y + 10 = 0 
3) a) C (2,4) r = 1 b) C(-1,2) e r = 3 c) não é circunferência d) C(-1, ½ ) r= 2 
3) A circunferência definida por três pontos 
 
1) Determine a equação da circunferência de centro C(2,0) e que passa pelo ponto P(4,1). 
Solução: 
 Para obtermos o raio, basta usar a fórmula da distância: 
 r = 22 )01()24( −+− 
 r P r = 5 
 C • 
 
 
A equação da circunferência fica então definida como ( x – 2) ² + y² = 5. 
 
 
2) Vamos agora determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos M(2,0) e N(4,-2) e 
tem centro na reta s: y = 2x. 
Solução: 
Como o centro equidista de todos os pontos na circunferência, temos que N s 
 d(CM) = d(CN) M 
2
c
2
c
2
c
2
c
)y2()x(4)y(0)x(2 −−+−=−+− • 
Ficamos com 4xc – 4 yc = 16 ou xc – yc = 4. C 
 
Como C(xc ,yc ) pertence a s: y = 2x, temos que yc = 2xc . 
 
Substituindo esta equação na equação acima, vem: xc = -4 e yc = - 8. 
Assim, o centro é C = ( -4, -8) e podemos obter o raio: 
r = 10)80()42( 22 =+++ 
 
A equação da circunferência é ( x + 4 )² + ( y + 8 ) ² = 100 
 
 
 
 
3) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos M(3, -1) , N(0,8) e P (0,0) . 
Situação: 
 N 
 
 
 C • 
 
 M 
 P 
 
 
 
 
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Exercícios: 
1) Encontre a equação da circunferência sabendo que os pontos A(4,-2) e B(2,0) pertencem a 
circunferência e cujo centro é o ponto médio de AB. 
 
2) Determine a equação de um circunferência de raio igual a 3, tangente aos eixos coordenados e 
contida no 2º quadrante. 
 
3) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(-1,0) e B(1,0) e tem raio igual a 
10 . 
 
4) Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(7,10), B(-9,2) e D(9,-4) 
 
 
 
Respostas: 1) (x-3)² +(y+1)² = 2 2) (x+3)² + (y-3)² = 9 
 3) x² + (y +3)² = 10 ou x² + ( y-3)² = 10 4) (x-1)²+(y-2)²=100 
 
 
 
 
 
 
4) Posições relativas: 
 
I ) Posição relativa entre ponto e circunferência: 
 
Dado um ponto P qualquer e um circunferência, podemos ter três casos: 
 
 γ P • P 
 • 
 •P 
 • C • C • C 
 γ 
 γ 
 
P ∈ γ P ∈ interior de γ P ∈ exterior de γ 
 
 
Exemplos: 
Verifique qual é a posição do ponto P dado em relação à circunferência de equação dada: 
a) P (5,-1) e x² + y² - 6x – 2y + 8 = 0 
b) P ( 1, -2) e x² + y² - 2x + 4y – 3 = 0 
c) P (1, -3) e x² + y² -2x + 4y – 3 = 0 
 
Conclusão: 
- Se d(CP) > r o ponto é exterior à circunferência 
- Se d (CP) = r o ponto pertence à circunferência 
- Se d(CP) < r o ponto é interior à circunferência. 
Ainda com relação a posição entre ponto e circunferência, podemos observar algumas inequações e 
gráficos . 
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Considere a equação da circunferência de centro (2,3) e raio 2 . 
a) Se ( x-2)² + (y-3)² < 2, teremos pontos dentro da circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Se ( x-2)² + (y-3)² ≤ 2, teremos pontos dentro e sobre a circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Se ( x-2)² + (y-3)² = 2, teremos pontos sobre a circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Se ( x-2)² + (y-3)² > 2, teremos pontos fora da circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Se ( x-2)² + (y-3)² ≥ 2, teremos pontos fora e sobre a circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
1) Determine a posição de P em relação a γ nos casos: 
a) P (4,4) e γ : (x-3)² + (y-2)² - 4 = 0 
b) P (3,1) e γ : x² + y² -4x – 2y + 4 = 0 
c) P (5,3) e γ: x² + y² - 8x = 0 
 
2) Determine k para que o ponto P(3,k) pertença ao interior da circunferência de equação x² + y² - 4x 
= 0. 
 
3) Determine k para quea equação x² + y² - 2x + 4y + k = 0 represente uma circunferência. 
 
4) Idem para x² + y² - 4x – 3y + m = 0. 
 
5) Faça o gráfico que represente as relações abaixo: 
a) x² + y² < 1 b) x² + y² > 4 c) 1 ≤ x² + y² ≤ 4 
 
6) Represente graficamente as soluções do sistema: 



<+
≤+
2yx
4yx 22
 
 
 
Respostas: 
1) a) exterior b) pertence à circunferência c) interior 
2) 33 <<− k 
3) k < 5 
4) m < 25/4 
 
 
 
 
 
 
II ) Posição relativa entre reta e circunferência: 
 
Uma reta t e uma circunferência γ do plano cartesiano podem apresentar as seguintes posições 
relativas: 
 
 
 Secante Tangente Exterior 
 
 P P 
 t 
 t 
 d Q d d 
 • C t C • • C 
 
 
 
 
d < r e t ∩∩∩∩ γγγγ = { P, Q} d = r e t ∩∩∩∩ γγγγ = { P} d > r e t ∩∩∩∩ γγγγ = ∅∅∅∅ 
 
 
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Dada a equação de t, ax + by + c = 0, o centro e o raio de γ, C ( xc, yc ) e r, podemos estabelecer a 
posição relativa calculando a distância d entre o centro e a reta: 
 
 
ba
cbyax
 d
22
cc
+
++
= 
 
Comparando d com r, temos: 
 
d < r ⇔⇔⇔⇔ t e γγγγ são secantes 
d = r ⇔⇔⇔⇔ t e γγγγ são tangentes 
d > r ⇔⇔⇔⇔ t e γγγγ são exteriores 
 
 
 
Exemplos: 
1) Considere a reta t: x + y – 4 = 0 e a circunferência γ: x² + y² = 16 e verifique a posição relativa 
entre t e γ. 
Solução: 1º modo: centro e raio de γ: C ( 0, 0) e r = 4 
Distância entre C e t: 22
2
4
 
11
)4(00
 d
22
==
+
−++
= 
Como 422 < , temos d < r e concluímos que t e γ são secantes. 
 
2º modo: vamos resolver o sistema das equações de t e γ : 
S = 



=+
=−+
16yx
04yx
22
 
Teremos duas soluções: x = 0 ou 4. 
Para x = 0 teremos y = 4 enquanto que para x = 4 termos y = 0. 
Logo, os pontos de intersecção são (4,0) e (0,4). 
Ou seja, há dois pontos de intersecção, logo a reta e a circunferência são secantes. 
 
 
 
 
III ) Posição relativa entre duas circunferências: 
 
Duas circunferências γ1 e γ2 do plano cartesiano podem apresentar as seguintes posições relativas: 
 
a) EXTERIORES b) TANGENTES EXTERNAMENTE 
 
 
 
 
 
 
 
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c) SECANTES d) UMA NO INTERIOR DA OUTRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) TANGENTES INTERIORMENTE f) CONCÊNTRICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
1) Verifique a posição relativa das circunferências: γ1 = ( x – 1 )² + ( y – 2 ) ² = 5 
γ2 = ( x – 3 )² + ( y – 3 )² = 10 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Determine a posição relativa entre a reta x + y – 3 = 0 e a circunferência x² + y² -2x –2y –3 = 0. 
 
2) Idem para x + y = -3 e x² + y² - 4x –2y –13 = 0. 
 
3) Idem para x = y + 1 e x² + y² - 2x + 2y – 3 = 0 
 
4) Determine o valor de m para que o ponto P (-1,3) pertença a circunferência x²+y²-2x+3y + m = 0. 
 
5) Quais os pontos de intersecção entre a reta x+y+15=0 e a circunferência x² + y² - 4x -10y - 35=0. 
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6) Calcule o comprimento da corda que a reta x + y - 3 = 0 determina na circunferência de equação 
(x+2)² + (y-1)² = 10. 
 
7) Quais são os valores de k para que a reta t, de equação 4x + 3y + k = 0 e a circunferência de 
equação x² + y² - 12x + 6y + 9 = 0 sejam secantes? 
8) Verifique a posição entre as circunferências: 
a) α: ( x-1)² + y² = 1 
β: ( x-1)² + (y-4)² = 1 
 
b) α: ( x-1)² + y² = 1 
β: ( x-2)² + y² = 4 
 
c) α: ( x-2)² + (y-2)² = 4 
β: x² + y² = 25 
 
d) α: ( x-4)² + y² = 4 
β: ( x-2)² + y² = 1 
 
9) As circunferências de equações x² + y² + 2x – 4y = 0 e x² + y² - x – y = 0 cortam-se nos pontos A 
e B. Obtenha a equação da reta AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1) secantes 
2) tangentes 
3) secantes 
4) m = -21 
5) ∅ 
6) 22 
7) k > -45 e k < 15 
8) a) exteriores b) tangentes internamente 
 c) interiores não concêntricas d) secantes 
9) x – y = 0 
 
 
 
 
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ELIPSE 
 
Algumas aplicações das cônicas são: 
• As órbitas dos planetas têm a forma de elipse; 
• A hipérbole é utilizada no estudo descritivo da expansão de gases em motores a explosão; 
• A parábola é a curva que descreve a trajetória de um projétil, desprezando a resistência do ar. 
Aparece ainda na construção de espelhos parabólicos, utilizados em faróis de automóveis, e de 
antenas parabólicas. 
 
Neste capítulo, vamos estudar a elipse. 
 
Uma maneira prática de desenhar a elipse é a seguinte: espetamos um alfinete em cada foco e 
amarramos neles as pontas de um pedaço de linha com comprimento 2 a . Deslizando a ponta do lápis 
pela linha, de modo a mantê-la sempre bem esticada, faremos o desenho de uma elipse. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Definição: 
A elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano os quais a soma das distâncias a dois pontos 
fixos desse plano, F1 e F2 é uma constante 2a (maior que a distância 21FF ). 
 
 P • 
 
 
 F1• • F2 
 
 
 
 
Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que: 
d(P,F1 ) + d(P,F2 ) = 2a 
ou 
 
|PF1 | + | PF2 | = 2 a 
 
dá-se o nome de ELIPSE. 
 
Observação: a distância 2a é o tamanho do fio que se usou para construir a elipse. 
 
 
 
 
 
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2) Elementos da elipse: B2 
 • 
 a a 
 b 
 A1 F1• c c • F2 A2 
 a a 
 b 
 
 B1 
 
• F1 e F2 são ditos FOCOS; 
• d( F1 , F2 ) = distância focal; 
• C = centro 
• A1 , A2 , B1 e B2 = vértices 
• | A1 A2 | = 2 a ( eixo maior) 
• | B1 B2 | = 2 b ( eixo menor) 
• a = semi eixo maior 
• b = semi eixo menor 
 
Em toda a elipse vale a relação: a² = b² + c² 
 
Excentricidade: e = 
a
c
 ( 0 < e < 1 ) 
 
 
 
 
 
3) Equação da Elipse de centro na origem do sistema: 
1º CASO: o eixo maior está sobre o eixo dos x. 
 
 
 B2 P ( x,y) 
 
 
 
 A1 F1(-c,0) F2(c,0) A2 
 b 
 
 B1 a 
 
 
Usando a definição, temos: 
d(P,F1 ) + d(P,F2 ) = 2a 
 
ou, em coordenadas: 
2ayc)(xyc)(x 2222 =+−+++ 
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Isolando um dos radicais, temos: 
2222 yc)(x2ayc)(x +−+=++ 
 
e elevando ao quadrado, temos: 
x² + 2cx + c² + y² = 4a² - 4 a 222222 yc2cxxc2cxyx ++−++−+ 
Isolando o radical e tornando a elevar ao quadrado ficamos com: 
4a 4cx4ac2cxyx 2222 −=+−+ 
a cxac2cxyx 2222 −=+−+ 
Elevando novamente ao quadrado: 
a² [ x² - 2cx + c² + y² ] = a4 – 2a²cx + c²x² 
 
a²x² - 2a²cx + a² c² + a²y² = a4 – 2 a²cx + c²x² 
 
(a² - c²)x² + a² y² = a² ( a² - c²) 
 
Dividindo por a² ( a² - c²) fica 
1
ca
y
a
x
22
2
22
=
−
+ 
 
Como já sabemos que a² = b² + c², podemos escrever a² - c² = b² 
Logo, substituindo esta relação teremos: 
 
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+ que é a equação reduzida da elipse. 
 
 
 
2º CASO: o eixo maior está sobre o eixo dos y. 
 
 b 
 A2 
 (0,c) 
 a •F2 
 
 
 B1 0 B2 
 
 •F1 
 (0,-c) 
 A1 
 
 
Com um procedimento análogo ao 1º caso, obteremos a equação reduzida 
1
a
y
b
x
2
2
2
2
=+ 
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Observação: 
Tendo em vista que a² = b² + c², segue que 
a² > b² e daí a > b 
Então, sempre o maior dos elementos na equação reduzida representa o número a², onde “a” é a 
medida do semi-eixo maior. 
Exemplos: 
1) Dadas as elipses 3 
a) b) 
 2 
 -2 2 
 -3 3 
 
 -3 
 -2 
as equações em cada caso são: 
 
a) 1
2
y
3
x
2
2
2
2
=+ ou 1
4
y
9
x
22
=+ b) 1
3
y
2
x
2
2
2
2
=+ ou 1
9
y
4
x
22
=+ 
 
 
2) Determine a equação da elipse de centro na origem e eixo maior horizontal sendo 10 cm e a 
distância focal 6 cm. 
 
Solução: 
Se o eixo maior = 10, temos que 2a = 10 logo, a = 5. 
E se a distância focal = 6, temos que 2c = 6, logo, c = 3 
Assim, a equação fica: 
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+ com a= 5, c = 3 e b = ???? 
Como achar b? 
Da relação a² = b² + c² temos que b = 4 
Logo, a equação da elipse fica 
 
 1
16
y
25
x
ou 1
4
y
5
x
22
2
2
2
2
=+=+ 
 
 
3) Determine o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, os focos, a excentricidade e o gráfico da 
elipse de equação x² + 4y ² = 16. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4) Idem para a equação 9x² + 25 y² = 225. 
 
 
 
 
 
 
 
5) Idem para a equação 4x² + y² = 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Idem para a equação x² + y² - 9 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto ( 3,0) e a medida do eixo maior é 8. 
Determine sua equação. 
 
 
 
 
A excentricidade 
A excentricidade de uma elipse de eixo maior 2a e distância 2c é o número tal que e = 
a
c
. 
Imaginemos uma seqüência de elipses, todas com mesmo eixo maior, porém com distância focais cada 
vez menores: 
 
 
 a a a 
 • c1 • • c2 • • c3 • 
 F1 F2 F1 F2 F1 F2 
 
 
e1 = 
a
c1
 e2 = 
a
c 2
 e3 = 
a
c 3
 
 
Conforme os focos vão se aproximando, a excentricidade da elipse vai diminuindo ( e1 > e2 > e3 ). Veja 
que quando a excentricidade é menor, a elipse fica mais arredondada.(Se e = 0, temos circunferência). 
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Analítica II 
Como curiosidade, saiba que tanto a trajetória da Terra em torno do Sol, como a da Lua em torno da 
Terra, são elipses, porém muito próximas de circunferências, pois têm excentricidade próximas de 
zero: a primeira tem excentricidade e = 0,016, enquanto a segunda tem excentricidade e = 0,054. 
 
4) Equação da Elipse com centro fora da origem do sistema: 
 
1º CASO: o eixo maior é paralelo ao eixo dos x. 
Considere a elipse de centro C ( xc , yc ) e seja P (x, y) um ponto qualquer da mesma. 
 
 
 • P (x,y) 
 F1 F2 
 yc A1 • • A2 
 
 
C 
 
 
 
 xc 
 
A equação de uma elipse de centro C (0,0) e eixo maior sobre o eixo dos x dada por 1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+ 
passa agora, quando o eixo maior for paralelo ao eixo dos x e o centro for C( xc , yc ), para equação 
 
1
b
)y-(y
a
)x-(x
2
2
c
2
2
c
=+
 
 
 
 
 
2º CASO: o eixo maior é paralelos ao eixo dos y. 
 
 A2 
 •F2 
 
 
 yc C 
 
 
 •F1 
 A1 
 
 xc 
 
De forma análoga, temos: 
 
1
a
)y-(y
b
)x-(x
2
2
c
2
2
c
=+
 
 
 
16 
 
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Analítica II 
Exemplo: 
1) Determine a equação da elipse de centro C(2,-1) e tangente aos eixos coordenados, sendo os eixos 
de simetria paralelos aos eixos x e y. 
 
2) Determine o centro, os focos, o eixo maior e o eixo menor da elipse 4x² + 9y² - 16x – 18y – 11 = 0. 
 
Exercícios: 
1) Dê a equação e a excentricidade da elipse nos casos seguintes: 
a) O eixo menor mede 8 e os focos são F1 (-6,0) e F2 (6,0). 
b) Um foco é F1 (0,4), o centro dela é C(0,0), ela passa em P(2,0). 
c) O eixo maior mede 14 e os focos são F1 (0,-5) e F2 (0,5). 
 
2) Determine o centro, os focos, o eixo maior e o eixo menor da elipse em cada caso: 
a) 25x² + 16y² + 50x + 64y – 311 = 0 
b) 4x² + 9y² - 24x + 18y + 9 = 0 
c) 16x² + y² + 64x – 4y + 52 = 0 
d) 4x² + 9y² - 8x – 36y + 4 = 0 
 
3) Determine a equação da elipse em cada caso: 
a) eixo maior = 10, focos (-4,0) e (4,0) 
b) centro ( 0,0), um foco em F1 =( ¾ , 0) e um vértice em A1 = (1,0) 
c) eixo menor = 4, Centro (0,0) e um foco em F1 = (0, 5− ). 
d) Centro C(2,4), um foco F(5,4) e excentricidade ¾. 
e) Eixo maior mede 10 e focos em F1 (2,-1) e F2 = (2,5). 
 
4) Determine o centro, os vértices A1 e A2 , os focos F1 e F2 , e a excentricidade das elipses dadas: 
a) 1
9
3)(y
16
2)(x 22
=
+
+
−
 b) 1
100
y
36
x
22
=+ 
c) 9x² + 25y² - 25 = 0 d) 9x² + 5y² = 45 
 
Respostas: 
1) a) 1
16
y
52
x 22
=+ , e ≅ 0,83 b) 1
20
y
4
x
22
=+ , e ≅ 0,89 
c) 1
49
y
24
x
22
=+ , e ≅ 0,71 
2) a) C(-1,-2) , F1 (-1,1) e F2 (-1,-5), eixo maior = 10, eixo menor = 8 
b) C(3,-1), F1 ( 1,53 −+ ) e F2 ( 1,53 −− ), eixo maior = 6, eixo menor = 4 
c) C(-2,2), F1 ( 152 ,2 +− ) e F2 ( 152 ,2 −− ), eixo maior = 8, eixo menor = 2 
d) C(1,2), F1 ( 2 ,51 − ) e F2 ( 2 ,51 + ), eixo maior = 6, eixo menor = 4 
 
3) a) 9x² + 25y² = 225 
 b) 7x² + 16y² = 7 
 c) 9x² + 4y² - 36 = 0 
 d) 7x² + 16y² - 28x – 128y + 172 = 0 
 e) 25x² + 16y² - 100x – 64y – 236 = 0 
4) a) C(2,-3), A1 (-2,-3), A2 (6, -3), F( 2± 7 , -3), e = 4
7
 
17 
 
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Analítica II 
b) C(0,0), A(0, ± 10), F ( 0, ±8) , e =
5
4
 
c) C(0,0), A (± 
3
5
, 0 ) , F (±
3
4
, 0) , e =
5
4
 
d) C(0,0), A ( 0, ± 3) , F ( 0, ± 2) , e = 
3
2
 
18 
 
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Analítica II 
HIPÉRBOLE 
 
1) Definição: 
 
Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valor 
absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante. 
 
Consideremos no plano dois pontos distintos F1 e F2 tal que a distância d (F1, F2 ) = 2c. 
Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que: 
 
 | d (P, F1) - d (P, F2) | = 2 a ou | PF1| - | PF2 | = 2a 
 
 dá-se o nome de hipérbole. 
 
 
 
 • P 
 
 
 • •F1 F2 
 
 
 
 
 
Na verdade, | d (P, F1) - d (P, F2) | = 2 a significa que d (P, F1) - d (P, F2) = ±±±± 2 a 
 
Quando P estiver no ramo da direita, a diferença é + 2a e, em caso contrário, será – 2a . 
 
 
 
 
 P3 • P1 
 
 F1 A1 A2 F2 
 C 
 
 P4 • P2 
 
 2 a 
 
 2c 
 
 
A hipérbole é uma curva simétrica em relação a estas duas retas, como também em relação ao ponto C. 
Se P1 é um ponto da hipérbole, existem os pontos P2 , P3 e P4 tais que: P2 é o simétrico de P1 em 
relação à reta horizontal, P3 é o simétrico de P1 em relação à reta vertical, P4 é o simétrico de P1 em 
relação à origem. 
Ainda pela simetria, conclui-se que 
d (A1 , F1) = d (A2 , F2) 
19 
 
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Analítica II 
e da própria definição vem 
d (A1 , A2) = 2a 
2) Elementos: 
 
 B1 
 
 c 
 b 
 F1 A1 a A2 F2 
 
 
 
 B2 
 2 a 
 
 2c 
 
Focos: F1 e F2 
Distância focal: 2 c entre os focos 
Centro: ponto médio do segmento F1F2 
Vértices: A1 e A2 
Eixo real ou transverso: é o segmento A1A2 de comprimento 2a 
Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 de comprimento 2b 
 
O valor de b é definido através da relação: 
c² = a² + b² 
onde a, b e c são as medidas dos lados do triângulo retângulo no desenho. 
 
Excentricidade: e = 
a
c
 com c > a e e > 1 . 
 
 
 
3) Equação da hipérbole com centro C ( 0,0) na origem do sistema: 
 
1º CASO: eixo real sobre o eixo dos x: 
 
| d (P, F1) - d (P, F2) | = 2 a 
 
2a |0)(yc)(x0)(yc) -(x| 2222 =−+−−−+ 
 
Com o mesmo procedimento da equação da elipse, chegamos a equação: 
 
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=− que é a equação reduzida da hipérbole de centro na origem e 
eixo real sobre o eixo dos x. 
 
2º CASO: eixo real sobre o eixo dos y: 
 
20 
 
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Analítica II 
1
b
x
a
y
2
2
2
2
=− que é a equação reduzida da hipérbole de centro na origem e 
eixo real sobre o eixo dos y. 
Exemplos: 
1) A hipérbole da figura a seguir tem equação reduzida ............ 
 
 
 
 2 
 
 
 -3 3 
 
 
 
-2 
 
 
 
1
2
y
3
x
2
2
2
2
=− ou 1
4
y
9
x
22
=− 
 
 
2) No exemplo anterior, determine os vértices A1 e A2 e os focos F1 e F2 . 
Basta fazermos y = 0, encontrando na equação 3. ou x 1
9
x
2
±== Logo, A1 (3,0) e A2 (-3,0) . 
Para encontrarmos os focos, precisamos encontrar a distância focal, ou seja, o valor de c. 
Como c² = a² + b², temos c² = 9 + 4 = 13 
Assim, c = 13± 
Logo, F1 ( 13 , 0) e F2 (- 13 , 0). 
 
 
4) Equação da hipérbole com centro C ( xc , yc ) fora da origem do sistema: 
 
1º CASO: eixo real sobre o eixo dos x: 
 
 1
b
)y-(y
a
)x-(x
2
2
c
2
2
c
=− 
 
 
2º CASO: eixo real sobre o eixo dos y: 
 
 1
b
)x-(x
a
)y-(y
2
2
c
2
2
c
=− 
 
 
 
21 
 
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Analítica II 
5) Hipérbole Equilátera: 
 
Os semi eixos real e imaginário são iguais: 
 
Logo, a = b 
Exemplos: 
Em cada caso ( 1 até 5) , determine: 
- a equação reduzida; 
- a medida dos semi-eixos; 
- um esboço do gráfico; 
- os vértices; 
- os focos; 
- a excentricidade. 
 
1) 9x² - 7y² - 63 = 0 
 
Solução: 9x² - 7y² - 63 = 0 ou 1
9
y
7
x
ou 
63
63
63
7y
63
9x 2222
=−=− 
a² = 7 logo, a = 7 
b² = 9 logo, b = 3 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vértices: A1 (- 7 ,0) e A2 ( 7 , 0) 
 
Focos: precisamos do valor de c: 
c² = a² + b² 
c = 4 
Logo, os focos são F1 (-4,0) e F2 (4, 0) 
 
Excentricidade: e = c/a = 4 / 7 
 
 
 
 
2) x² - 4y² + 16 = 0 
 
 
3) x² - y² = 4 
 
22 
 
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Analítica II 
 
4) 16x² - 25y² - 1600 = 0 
 
 
 
5) x² - y² = 1 
 
Exercícios: 
6) Determine a equação de uma hipérbole de Focos (-5, 0) e (5,0) e a medida do eixo real é igual a 
6. 
 
7) Sendo dados os vértices A1 ( 5,5) e A2 (5, -1), e a excentricidade e = 2, determine a, b e c, 
grafique a hipérbole e determine sua equação. 
 
8) Ídem ao exercícios 7, sendo dados os focos F1 (3,4) e F2 (3, -2), e a excentricidade e = 2. 
 
9) Sendo F1 ( -1,-5) e F2 (5, -5), determine a equação da hipérbole equilátera. Faça também um 
esboço do gráfico. 
 
10) Determine a equação da hipérbole de vértices A1 ( 1,-2) e A2 (5, -2), sabendo que F(6,-2) é um de 
seus focos. 
 
11) Determine o centro, um esboço do gráfico, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles 
de equação: 
a) 9x² - 4y² - 18x – 16y – 43 = 0 
b) 9x² - 4y² - 54x + 8y +113 = 0 
c) 4x² - y² - 32x + 4y + 24 = 0 
d) x² - 4y² + 6x + 24y – 31 = 0 
 
Respostas: 
6) 1
16
y
9
x
22
=− 
7) a=3, b= 3 3 e c = 6, 1
27
5)-(x
9
2)-(y 22
=− 
 
8) 4x² - 12y² - 24x + 24y + 51 = 0 
 
9) 2x² - 2y² - 8x – 20y – 51 = 0 
 
10) 5x² - 4y² - 30x - 16y + 9 = 0 
 
11) a)C(1,-2) , A1 (-1,-2), A2 (3, -2) , F ( 1 13± , -2) , e = 2
13
 
b) C(3,1) , A1 (3,-2), A2 (3, 4) , F (3, 1 13± ) , e = 3
13
 
c) C(4,2) , A1 (1,2), A2 (7, 2) , F ( 534 ± , 2) , e = 5 
 
d) C(-3,3) , A1 (-5,3), A2 (-1,3) , F ( 53 ±− , 3) , e = 2
5
 
23 
 
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Analítica II 
PARÁBOLA: 
 
Consideremos em um plano uma reta d e um ponto F não pertencente a d. 
Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são eqüidistantes de F e d. 
 
 
 
 
 F• F• 
 = _ _ = • P 
 • 
 = _ _ = V 
d 
 A P’ 
 
 
 
 
Elementos: 
F = ponto fixo ( FOCO) 
d = diretriz ( reta) 
eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz 
Vértice: é o ponto V de interseção da parábola com o seu eixo. 
 
Por definição, temos que 
 
d(PF) = d(PP’) 
 
 
1) Equação da Parábola de Vértice na origem do sistema: 
 
1º CASO: O eixo da parábola é o eixo dos y: 
 
 
 
 • F • P 
2
p
 
 
2
p
 x 
 d 
 P’ 
 
 
Da definição de parábola, temos que: 
d(PF) = d(PP’) 
 
Como, F ( 0, 
2
p ) e P’( x, -
2
p ) temos: 
| (x - 0, y -
2
p )| = | (x - x, y +
2
p )| 
24 
 
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Analítica II 
ou 
 
2222 )2
p(yx)(x)2
p(y0)(x ++−=−+− 
 
Elevando ambos os membros ao quadrado, obteremos: 
(x - 0)² + ( y -
2
p )² = ( x – x ) ² + ( y + 
2
p )² . 
ou 
 
x² + y² - py + 
4
2p
= y² + py + 
4
2p
 
 
ou, simplesmente: 
 
x² = 2 py 
 
 
Esta equação é chamada equação reduzida da parábola e constitui a forma padrão da equação da 
parábola de vértice na origem tendo para eixo o eixo dos y. 
 
Da análise desta equaçãoconclui-se que, tendo em vista ser 2py sempre positivo (pois é igual a x²>0), 
os sinais de p e de y são sempre iguais. Consequentemente, se p > 0 a parábola tem concavidade 
voltada para cima e , se p < 0 a parábola tem concavidade voltada para baixo. 
 
Este número real p ≠ 0 é conhecido como parâmetro da parábola. 
 
 
 
2º CASO: O eixo da parábola é o eixo dos x: 
 y 
 
 P’ • • P(x,y) 
 
 
 A V • F(
2
p
, 0) x 
 
2
p
 
2
p
 
 
 
 
 d 
 
Sendo P(x,y) um ponto qualquer da parábola de foco F(
2
p
,0), obteremos de forma análoga ao 1º caso a 
equação reduzida: 
 
 
y² = 2 px 
 
25 
 
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Analítica II 
 
Conforme o sinal de p termos: se p > 0, a parábola tem concavidade voltada para a direita e , se p < 0 
a parábola tem concavidade voltada para a esquerda. 
 
Exemplos: 
1) Determine o foco e a equação da diretriz das parábolas x² = 8y e y² = -2x. 
Construir o gráfico: 
Solução: 
a) x² = 8y 
A equação é da forma x² = 2py, logo: 
2p = 8 p = 4 
2
p
 = 2 
Portanto, foco : F ( 0, 2) 
Diretriz = y = -2 y 
 
 F •2 
 
 
 x 
 0 4 
 
 diretriz 
 -2 
 
 
b) y² = -2x 
A equação é da forma y² = 2px, logo: 
2p = -2 p = -1 
2
p
 = -
2
1
 
Portanto, foco: F = (-
2
1
 , 0) d: x = ½ 
diretriz: x = 
2
1
 • 2 
 
 F • 
 -2 
 
 -2 
 
 
 
 
 
3) Determine a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: 
a) vértice ( 0,0) e foco ( 1,0) ; 
b) vértice ( 0,0) e diretriz y = 3; 
c) vértice (0,0), passa pelo ponto P (-2,5) e concavidade voltada para cima. 
d) Vértice ( 0,0) e foco ( 0, -3) ; 
e) Foco ( 2,0) e diretriz x + 2 = 0. 
 
 
26 
 
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Analítica II 
3) Translação de eixos: 
Consideremos no plano cartesiano xOy um ponto O’(h,k) arbitrário. 
Usando um novo sistema x’O’y’ tal que os eixos O’x’ e O’y’ tenham a mesma unidade de medida, a 
mesma direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Assim, podemos obter este novo sistema pela 
translação de eixos. y y’ 
 
 
 • P 
 y’ 
 x’ 
 O’ 
 y x’ 
 k 
 
 x 
 
 h 
 x 
 
 
Podemos observar que x = x’+ h e y = y’+ k 
 
Logo, teremos: x’= x – h e y’= y – k 
 
Estas são as fórmulas de translação. 
 
A principal finalidade da transformação de coordenadas é modificar a forma de equações. Por 
exemplo, seja a parábola de equação 
x’² = 4y’ no novo sistema. 
Se tivermos h = 3 e k = 2, isto é, O’( 3,2) e sabendo que x’= x – h e y’ = y – k, temos 
 
x’= x – 3 e y’= y – 2 
Logo, a equação da parábola em relação ao sistema xOy é: 
(x-3)² = 4 (y-2) 
 
ou 
x² - 6x + 9 = 4y – 8 
 
ou 
x² - 6x – 4y + 17 = 0 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
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Analítica II 
4) Equação da Parábola de Vértice fora da origem do sistema: 
 
1º CASO: O eixo da parábola é o eixo dos y: 
 y 
 y’ 
 
 • P 
y’ 
 y 
 O’ = V x’ 
 k x’ 
 x 
 
 h 
 
 x 
Seja P(x,y) um ponto qualquer desta parábola. 
Sabe-se que a equação da parábola referida ao sistema x’O’y’ é: 
x’² = 2py’ 
mas 
x’= x – h e y’= y – k, logo: 
 
( x – h )² = 2 p ( y – k ) 
 
que é a forma padrão da equação de uma parábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo ao eixo dos y. 
 
 
2º CASO: O eixo da parábola é o eixo dos x: 
 
De modo análogo ao caso anterior, teremos: 
 
( y – k )² = 2 p ( x – h ) 
 
 
Observamos que se V(h,k) = (0,0) voltamos a ter o caso inicial de vértice na origem. 
Exemplos: 
1) Determine a equação da parábola de vértice V(3,-1) sabendo que y-1=0 é a equação de sua 
diretriz. 
Solução: 
Vejamos o gráfico para facilitar 
 y 
 
 1 y = 1 diretriz 
2
p
 
 3 x 
 
 -1 V 
 
 
 
28 
 
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Analítica II 
A equação da parábola é da forma : ( x-h)² = 2p(y-k) 
Mas 
h=3 k= - 1 e p/2 = -2 , p = -4 
substituindo na equação , vem: 
(x-3)² = 2 . (-4) ( y+1) 
ou 
x² - 6x + 9 = -8y – 8 
ou melhor: 
 
x² - 6x + 8y + 17 = 0 
 
 
2) Determine a equação da parábola de vértice V(4,1) e equação de diretriz x + 4 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine a equação da parábola de foco em F(1,2), sendo x=5 a equação da diretriz: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Determine o vértice, o foco, a equação da reta diretriz e o gráfico de cada uma das parábolas: 
a) x² + 4x + 8y + 12 = 0 
b) y² - 12x – 12 = 0 
c) y² + 2y – 16x – 31 = 0 
d) x² - 2x – 20y – 39 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
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Analítica II 
 
 
5) Equação da parábola na forma explícita: 
 
Sabemos que a equação de uma parábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo ao eixo dos y tem a forma 
padrão : 
(x-h)² = 2p(y-k) 
 
Por exemplo, para V(2,-1) e p = 1/8, teríamos: 
 
(x-2)² = ¼ (y+1) 
 
Como o objetivo é escrever a forma explícita, vamos explicitar y na equação: 
x² - 4x + 4 = ¼ y + ¼ 
ou 
4x² - 16x + 16 = y + 1 
 
de onde vem: 
y = 4x² - 16x + 15 
 
que é a forma explícita mais conhecida por nós, ou seja, está na forma: y = ax² + bx + c. 
 
 
Reciprocamente, dada uma equação na forma explícita, podemos sempre conduzi-la à forma padrão. 
Assim, se a equação é : 
y= 4x² - 16x + 15 temos: 
 
4x² - 16x = y – 15 
4 ( x² - 4x ) = y – 15 
Completando quadrados: 
4 ( x² - 4x + 4 ) = y – 15 + 16 
4(x-2)² = y + 1 
( x – 2 )² = ¼ (y+1) 
 
Logo, o vértice é V ( 2, -1) e 
2p = ¼ portanto p = 1/8 . 
 
 
OBS.: Se a parábola tem eixo paralelo ao eixo dos x, sua equação na forma explícita é 
 
x = ay² + by + c, correspondente a forma padrão ( y – k )² = 2p(x - h) 
 
Exemplos: 
1) Determine a equação da parábola que passa pelos pontos ( 0,1), (1,0) e (3,0) conforme a figura: 
 
 
 1 
 
 
 1 3 
 
30 
 
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Analítica II 
Exercícios: 
1) Em cada caso estabeleça a equação de cada uma das parábolas sabendo que: 
a) vértice V(0,0) e diretriz d: y = -2 
b) vértice V(0,0) e foco F(0,-3) 
c) foco F(0,-1) e diretriz d: y – 1 = 0 
d) vértice V(-2,3) e foco F(-2,1) 
e) vértice V(0,0), eixo y = 0 e passa por (4,5). 
f) Foco F(6,4) e diretriz y = -2 
g) Eixo de simetria paralelo ao eixo dos y e a parábola, passa pelos pontos A(0,0), B(1,1) e C (3,1). 
 
 
 
 
2) Em cada caso, determine o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo 
da parábola de equação dada. Esboce o gráfico: 
a) x² = -12 y 
b) y² = -3x 
c) y²+ 4y + 16x – 44 = 0 
d) 6y = x² - 8x + 14 
e) y² - 16x + 12y + 49 = 0 
 
 
Respostas: 
1) a) x² = 8y 
b) x² = - 12y 
c) x² = - 4y 
d) x² + 4x + 8y – 20 = 0 
e) 5x² - 16y = 0 
f) (x-6)² = 12 (y-1) 
g) y = x
3
4
x
3
1 2 +− 
2) a) V(0,0), F(0,-3) , y = 3 e x =0 
b) V(0,0), F(- ¾ , 0), x = ¾ e y =0 
c) V(3,-2), F(-1,-2), x=7 e y =-2 
d) V(4, -1/3 ), F(4, 7/6), 6y + 11 = 0 e x-4=0 
e) V(
16
13
,-6), F(
16
77
,-6), x =
16
51−
 e y = -6 
 
31 
 
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Analítica II 
Aplique seus conhecimentos e descubra as equações das cônicas e retas das embalagens representadas 
em seu corte transversal longitudinal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 
Analítica II 
Unidade II - ESPAÇOS VETORIAIS 
 
 
Relembrando vetores e suas operações ( Geometria Analítica): 
 
Sejam ur = (x1 , y1 , z1) e vr = (x2 , y2 , z2) vetores no R³ e α número real, então: 
 
a) ur = vr se x1 = x2 , y1 = y2 e z1 = z2 ; 
b) ur + vr = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ); 
c) αur = (αx1 , αy1 , αz1); 
d) ur • vr = x1 . x2 + y1 . y2 + z1 . z2 ; 
e) |ur | = u.u rr = 212121 zyx ++ 
f) proj v ur = |v|
vu
r
rr
•
 
 
1. Propriedades de vetores: 
 
1) (ur + vr ) + wr = ur + ( vr + wr ) (Propr. Associativa da Adição) 
2) ur + vr = vr + ur ( Propr. Comutativa da Adição) 
3) ur + 0 = 0 + ur = ur ( elemento neutro da Adição) 
4) ur + (-ur ) = 0 ( elemento oposto da Adição) 
 
5) (αβ) ur = α (βur ) ( Propr. Associativa da Multiplicação) 
6) (α+β) ur = α ur + βur ( Propr. Distributiva da Mult.) 
7) α (ur + vr ) = α ur + αvr ( Propr. Distributiva da Mult.) 
8) 1 . ur = ur ( Elemento neutro da Mult. ) 
 
 
2. Definição: 
 
Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações adição e 
multiplicação por escalar, isto é: 
→ ∀ u
r
, v
r
 ∈ V, temos u
r
+ v
r
 ∈ V 
→ ∀ α ∈ R, ∀ u
r
 ∈ V, temos α u
r
 ∈ V 
 
 
O conjunto V com essas duas operações é chamado ESPAÇO VETORIAL REAL se forem 
verificados os seguintes axiomas: 
A1 (ur + vr ) + wr = ur + (vr + wr ) ∀ ur, vr , wr ∈ V 
A2 u
r
 + v
r
 = v
r
 +u
r
 ∀ u
r
, v
r
 ∈ V 
A3 ∃ 0 ∈ V, ∀ u
r
 ∈ V , u
r
 + 0 = 0 + u
r
 = u
r
 
A4 ∀ u
r
 ∈ V , ∃ (-ur) ∈ V , ur + (-ur) = 0 
 
M1 (αβ) ur = α (βur) ∀ α, β ∈ R e ∀ ur ∈ V 
M2 (α+β) ur = α ur + βur ∀ α, β ∈ R e ∀ ur ∈ V 
M3 α (ur + vr ) = α ur+ αvr ∀ α ∈ R e ∀ ur, vr ∈ V 
33 
 
Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 
Analítica II 
M4 1 . u
r
 = u
r
 ∀ u
r
 ∈ V 
 
Obs.: Os elementos do Espaço Vetorial V serão chamados vetores, independentes de sua 
natureza. 
Exemplo: 
1) O conjunto V = R² = { (x, y) / x, y ∈ R } é um espaço vetorial com as operações de adição 
e multiplicação por número real definidas por: 
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 +x2 , y1 + y2 ) 
 α (x
 
, y ) = ( αx
 
, αy ) 
 
Demonstração: 
Sejam ur = (x1 , y1 ) , vr = (x2 , y2 ) e wr = ( x3 , y3 ) 
A1 ) (ur + vr ) + wr = [( x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) ] + (x3 , y3 ) 
 = [( x1 + x2 , y1 + y2 ) ] + (x3 , y3 ) 
 = ( x1 + x2 + x3 , y1 + y2 + y3 ) 
 = [ x1 + (x2 + x3 ), y1 + (y2 + y3 )] 
 = ( x1 , y1 ) + [ (x2 + x3 , y2 + y3 )] 
 = u
r
 + (vr + wr ) 
 
A2 ) ur + vr = ( x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) 
 = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) 
 = ( x2 + x1 , y2 + y1 ) 
 = (x2 , y2 ) + (x1 , y1) 
 = v
r
+ u
r
 
 
A3) ∃ 0 = (0,0) → ur + 0 = ( x1 , y1 ) + (0,0) = ( x1 , y1 ) = ur 
 
A4) ∀ ur ∈ V , ∃ (-ur) ∈ V → ur + (-ur) = ( x1 , y1 ) + ( -x1 , -y1 ) = ( x1 - x1 , y1 - y1 ) = (0,0) = 0 
 
M1) (αβ) ur = (α β) ( x1 , y1 ) = (αβx1 , αβy1 ) 
 = (α (βx1 ), α (βy1)) = α ( βx1 , βy1 ) 
 = α[β ( x1 ,y1)] = α (βur) 
 
M2) (α+β) ur = (α+β) ( x1 , y1 ) = ((α+β) x1 , (α+β) y1 ) 
 = (α x1 + βx1 , αy1 + βy1 ) = ( αx1 , αy1 ) + (βx1 , βy1 ) = α (x1 , y1 ) + β (x1 , y1 ) 
 = αu
r
 + βur 
 
 
M3 ) α (ur + vr ) = α (( x1 , y1 ) + (x2 , y2 )) = α ( x1 + x2 , y1 + y2 ) 
 =( α x1 + αx2 , αy1 + αy2 ) = (α x1 , α y1 ) + ( α x2 , α y2 )) 
 = α u
r
+ αv
r
 
 
M4 ) 1 . ur = 1 .( x1 , y1 ) = ( x1 , y1 ) = ur 
 
 
Outros exemplos de Espaços Vetoriais: 
2) R³ 
3) Rn 
4) M (m,n) de matrizes 
34 
 
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Analítica II 
5) Pn = { a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn } dos polinômios de grau n 
6) O conjunto V = { (x, x²) / x ∈ R } com as operações de adição e multiplicação por número 
real definidas por: (x1 , x12 ) ⊕ (x2 , x22 ) = (x1 +x2 , x1 ² + x2 ² ) 
 α * (x
 
, x² ) = ( αx
 
, αx² ) 
 
Exercícios: 
1) Verifique se o conjunto R² = {(a, b) / a,b ∈ R} com as operações ( a,b) + ( c,d) = (a+c, b+d) 
e k ( a,b) = (ka, b) é um espaço vetorial, mostrando os axiomas. 
 
 
 
 
2) Verifique se o conjunto M 2x2 = 





d c
b a
 e as operações usuais de soma e multiplicação 
por escalar é um Espaço Vetorial . 
 
 
 
3) Verifique se o conjunto V = { (x, x²) / x ∈ R } com as operações de adição e multiplicação 
por número real definidas por: (x1 , x12 ) ⊕ (x2 , x22 ) = (x1 +x2 , x1 ² + x2 ² ) 
 α * (x
 
, x² ) = ( αx
 
, αx² ) 
é um espaço vetorial. 
 
 
 
 
 
3. Subespaços Vetoriais 
 
Seja V um Espaço Vetorial e S um subconjunto não vazio de V. O subconjunto S é um 
Subespaço Vetorial de V se S é um Espaço Vetorial em relação à adição e à multiplicação 
por escalar definidas em V. 
 
Teorema: 
Um subconjunto S, não vazio de um espaço vetorial de V é um subespaço de V se 
estiverem satisfeitas as condições: 
i) para qualquer ur , vr ∈ S, tem-se que ur + vr ∈ S ; 
ii) para qualquer α ∈ R, ur ∈ S tem-se que αur ∈ S . 
 
 
Obs.: todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o conjunto {0}, chamado 
subespaço zero ou nulo, e o próprio espaço vetorial V. Estes dois são os subespaços 
triviais. Os demais subespaços são denominados próprios. 
 
 
Exemplos: 
1) Sejam V = R² e S = {(x,y) ∈ R² / y = 2x} ou S = {(x, 2x) / x∈ R}, isto é, S é o conjunto de 
vetores do plano que tem a segunda componente igual ao dobro da primeira. Mostre que 
S é subespaço de V. 
35 
 
Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 
Analítica II 
 
Solução: 
Verificando as condições i e ii acima: 
Sejam ur = ( x1 , 2x1 ) e vr = (x2 , 2x2 ). Então 
i) ur + vr = ( x1 , 2x1 ) + (x2 , 2x2 ) = ( x1 + x2 , 2x1 + 2x2 ) = ( x1 + x2 , 2(x1 + x2 )) ∈ S . 
ii) αur = α ( x1 , 2x1 ) = (α x1 , 2(αx1 )) ∈ S 
Logo, S é subespaço de V. 
 
2) Sejam V = M2x2 = 






∈




 R d c, b, a, ,
d c
b a
 e S = 






∈




 R b a, ,
0 0
b a
. Verifique se S 
é subespaço de V. 
 
Solução: 
Para qualquer 





=
0 0
b a
u
11r
∈ S e 





=
0 0
b a
v
22r
∈ S e α ∈ R, tem-se que: 
 
i) ur + vr ∈ S pois: 
 
ii) αur ∈ S pois: 
 
 
 
 
 
 
 
3) Verifique se S é subespaço de V em cada caso: 
 
a) V = R4 e S = {( x, y, z,0 ), x, y, z ∈ R } 
 
 
b) V = R² e S = {(x, y) / x > 0} 
 
 
c) V = R² e S = { ( x, |x| ) , x ∈ R } 
 
 
d) V = R² e S = {(x,y) ∈ R² / y = -2x} 
 
 
e) V = R² e S = {(x,y) ∈ R² / y = 4-2x } 
 
 
f) V = R² e S = {(x,y) ∈ R² / x + 3y = 0 } 
 
 
 
 
36 
 
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Analítica II 
4. Combinação Linear: 
 
Sejam os vetores vr 1 , vr 2 , ... , vr n do espaço vetorial V e os escalares a1, a2 ,..., an . 
Quaisquer vetores vr ∈ V da forma : 
 
v
r
 = a1v
r
1 + a2 v
r
2 + ... + an v
r
n 
 é uma combinação linear dos vetores vr 1 , v
r
2 , ... , v
r
n . 
 
 
Exemplos: 
1) Considere os vetores no R³ : vr 1 = (1, -3, 2) e vr 2 = ( 2, 4, -1). 
a) Escreva vr = ( -4, -18, 7) como combinação linear de vr 1 e vr 2 . 
Sol.: 
 v
r
 = a1v
r
1 + a2 v
r
2 + ... + an v
r
n 
 
( -4, -18, 7) = a1 (1, -3, 2) + a2 (2, 4, -1) 
 





=−
−=+−
−=+
7a2a
184a3a
42aa
21
21
21
 
Resolvendo o sistema, temos: a1 = 2 e a2 = -3. 
 
Logo, vr = 2 vr 1 – 3v
r
2 . 
 
 
b) Mostre que o vetor vr = ( 4, 3, -6) não é combinação linear de vr 1 e vr 2 . 
Sol.: 
v
r
 = a1v
r
1 + a2 v
r
2 + ... + an v
r
n 
 
( 4, 3, -6) = a1 (1, -3, 2) + a2 (2, 4, -1) 
 





=−
=+−
=+
-6a2a
34a3a
42aa
21
21
21
 
Resolvendo o sistema, não conseguimos encontrar uma solução que valha para as três 
equações. Logo, não tem solução, ou seja, não é possível escrever vr como combinação 
linear de vr 1 e v
r
2 . 
 
c) determine k para que o vetor vr = ( -1, k, -7) seja combinação linear de vr 1 e vr 2 . 
 
v
r
 = a1v
r
1 + a2 v
r
2 + ... + an v
r
n 
 
( -1, k, -7) = a1 (1, -3, 2) + a2 (2, 4, -1) 
 
37 
 
Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 
Analítica II 





=−
=+−
−=+
-7a2a
4a3a
12aa
21
21
21
k 
Resolvendo o sistema, encontramos a1 = -3, a2 = 1, e portanto k = 13. 
2) No Espaço Vetorial P2 dos polinômios de grau ≤ 2 , verifique se o polinômio 
v
r
 = 7x² +11x – 26 é uma combinação linear dos polinômios vr 1 = 5x² - 3x + 2 e 
v
r
2 =-2x² +5x–8. 
Sol.: 
De fato, vr = a1v
r
1 + a2 v
r
2 + ... + an v
r
n 
 
7x² +11x – 26 = a1 (5x² -3x +2) + a2 ( -2x² +5x–8 ) 
 





=−
=+−
=−
-26a82a
11a53a
72a5a
21
21
21
 
 
Resolvendo o sistema, encontramos a1 = 3 e a2 =4, portanto 
v
r
 = 3vr 1 + 4 v
r
2 
 
 
 
3) Mostre que o vetor vr = ( 3, 4 ) ∈ R² pode ser escrito de infinitas maneiras como 
combinação linear de vr 1 = ( 1,0) , vr 2 = ( 0,1) e vr 3 = ( 2,-1) . 
 
 
5. Subespaços Gerados 
 
 
Seja V um espaço vetorial. Consideremos um subconjunto A = { vr 1, vr 2 , ..., vr n } ⊂ V, A ≠ 0. 
O conjunto S de todos os vetores de V que são combinação linear dos vetores de A é um 
subespaço vetorial de V. 
 
De fato, se u
r
 = a1 v
r
1 + a2 v
r
2 + ... + an v
r
n e v
r
 = b1 v
r
1 + b2 v
r
2 + ... + bn v
r
n são dois 
vetores quaisquer de S, pode-se escrever 
 
u
r
 + v
r
 = ( a1 + b1 )vr 1 + (a2 + b2 )vr 2 + ... + (an+ bn)vr n 
 
α u
r
 = (αa1 )vr 1 + (αa2)vr 2 + ... +(α an)vr n 
 
Tendo em vista que ur + vr ∈ S e que α ur ∈ S, por serem combinações de vr 1, v
r
2 , ..., v
r
n 
, conclui-se que S é um subespaço vetorial de V. 
 
Simbolicamente, o subespaço S é 
S = { vr ∈ V / vr = a1 vr 1 + a2 vr 2 + ... + anvr n , a1 , a2 , ..., an ∈ R } 
 
Observações: 
 
38 
 
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Analítica II 
1) O subespaço S diz-se GERADO pelos vetores vr 1, vr 2 , ..., vr n ou gerado pelo conjunto 
A, e se representa por: 
S = [vr 1, vr 2 , ..., vr n ] ou S = G(A) 
 
Os vetores vr 1, v
r
2 , ..., v
r
n são chamados geradores do subespaço S, enquanto A é o 
conjunto gerador de S. 
 
 
2) Para o caso particular A = ∅, defini-se [ ∅ ] = {0} 
 
3) A ⊂ G(A) ou seja, { vr 1, vr 2 , ..., vr n } ⊂ [vr 1, vr 2 , ..., vr n ]. 
 
4) Todo conjunto A ⊂ V gera um subespaço vetorial de V, podendo ocorrer G(A) = V. Nesse 
caso, A é o conjunto gerador de V. 
 
 
Exemplos: 
1) Os vetores (1,0)i =
r
 e (0,1)j =r geram o espaço vetorial R², pois qualquer vetor (x,y) 
∈ R² é combinação linear de i
r
 e jr . 
 
Demonstração: 
(x,y) = x i
r
 + y jr = x ( 1,0) + y ( 0,1) = ( x,0) + ( 0, y) = ( x, y). 
 
Então: [ i
r
 , jr ] = R² . 
 
 
2) Os vetores (1,0,0)i =
r
 e (0,1,0)j =r do R³ geram o subespaço S={ (x,y,0) ∈ R³ / x,y ∈ R}. 
Demonstração: 
(x,y,0) = x i
r
 + y jr = x ( 1,0, 0) + y ( 0,1,0) = ( x,0,0 ) + ( 0, y, 0 ) = ( x, y, 0) 
 
Assim, [ i
r
 , jr ] = S é um subespaço próprio do R³ e representa geometricamente o plano 
xOy . 
 z 
 
 
 
 
 k
r
 
 jr 
 y 
 i
r
 
 
 
 x 
 
39 
 
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Analítica II 
 
Exercícios: 
1) Mostre que o conjunto A = { (3,1), (5,2) } gera o R². 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Seja V = R³. Determine o subespaço gerado pelo vetor vr 1 = ( 1, 2, 3). 
 
 
 
 
 
 
3) Considere os vetores ur = ( 1,2 ,-1) e vr = ( 6, 4, 2 ) em R³. Mostre que w = ( 9, 2, 7 ) é 
combinação linear de ur e vr e que s = ( 4, -1, 8) não é combinação linear de ur e vr . 
 
 
 
 
 
 
4) Verifique se vr 1 = ( 1, 1, 2 ), vr 2 = ( 1, 0, 1) e vr 3 = (2, 1, 3) geram o espaço vetorial R³. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Idem para vr 1 = ( 2, -1, 3 ), vr 2 = ( 4, 1, 2) e vr 3 = (8, -1, 8). 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Idem para vr 1 = ( 2, 2, 2 ), vr 2 = ( 0, 0, 3) e vr 3 = (0, 1, 1). 
 
 
 
 
40 
 
Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 
Analítica II 
 
 
 
7) Determine se os seguintes polinômios geram P2 : p1 = 1 – x + 2x² 
 p2 = 3 + x 
 p3 = 5 – x + 4x² 
 p4 = -2 – 2x + 2x² 
 
 
 
 
 
 
 
8) Seja M2x2 o espaço vetorial das matrizes de ordem 2. Encontre quatro matrizes que 
geram M2x2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Sejam vr 1 = ( 2, 1, 0, 3 ), vr 2 = ( 3, -1, 5, 2) e vr 3 = (-1, 0, 2, 1). Quais dos seguintes 
vetores podem ser gerados por [vr 1 ,vr 2 , vr 3 ]. 
a) ( 2, 3, -7, 3) 
b) ( 0, 0, 0, 0 ) 
c) ( 1, 1, 1, 1) 
d) ( -4, 6, -13, 4) 
 
 
 
 
6. Dependência e Independência Linear 
 
 
Definição: 
Sejam V um espaço vetorial e A = { vr 1 ,vr 2 , ..., vr n } ⊂ V. Consideremos a equação 
 
a1 v
r
1 + a2 v
r
2 + ... + anv
r
n = 0 
 
Sabemos que essa equação admite pelo menos uma solução: a1 = 0 , a2 = 0, ..., an = 0, 
chamada solução trivial. 
 
O conjunto A diz-se linearmente independente ( LI ) ou os vetores vr 1 ,vr 2 , ..., vr n são LI 
caso a equação admita apenas a solução trivial. 
 
Se existirem soluções ai ≠ 0, diz- se que o conjunto A é linearmente dependente ( LD) ou 
que os vetores vr 1 ,v
r
2 , ..., v
r
n são LD. 
41 
 
Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 
Analítica IIExemplos: 
1) Verifique se são LI ou LD os conjuntos abaixo: 
a) no espaço V = R³ e os vetores vr 1 = ( 2, -1, 3 ), vr 2 = ( -1, 0, -2) e vr 3 = (2, -3, 1). 
 
 
 
 
 
 
b) no espaço V = R4 e os vetores vr 1 = ( 2, 2, 3, 4 ), vr 2 = ( 0, 5, -3, 1) e vr 3 = (0, 0, 4, -2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) no espaço V = R³ e os vetores e1 = ( 1, 0, 0 ), e2 = ( 0, 1, 0 ) e e3 = (0, 0, 1). 
 
 
 
 
 
 
 
d) no espaço V = M2x2 e o conjunto A = 
























−
−
1 3
4- 3
,
0 3
3- 2
,
1 3
2 1
. 
 
 
 
 
 
 
Teorema: 
 
Um conjunto A = {vr 1 ,vr 2 , ..., vr n } é LD se e somente se pelo menos um desses vetores é 
combinação linear dos outros. 
 
 
Obs.: 
1) O teorema também pode ser enunciado como: “Um conjunto A = {vr 1 ,vr 2 , ..., vr n } é LI 
se e somente se nenhum desses vetores for combinação linear dos outros. ” 
 
2) Dois vetores vr 1 e vr 2 são LD se e somente se um vetor é múltiplo escalar do outro. 
Ex.: v
r
1 = ( 1, -2, 3) e vr 2 = ( 2, -4, 6) são LD. 
 
42 
 
Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 
Analítica II 
 v
r
1 = ( 1, -2, 3) e vr 2 = ( 2, 1, 5) são LI. 
 
 
 
 
 
Interpretação geométrica: 
 
 
 
 
 v
r
2 v
r
1 v
r
2 
 
 v
r
1 
 
 
 
 
 
 
{vr 1 ,vr 2 } são LD . {vr 1 ,vr 2 } são LI. 
 
 
 
 
Obs.: quando tivermos espaço vetorial V = R³ devemos usar a idéia de coplanaridade vista 
em Geometria Analítica ou Álgebra Analítica e Linear I . 
Para tanto, cabe lembrar que três vetores estão no mesmo plano ( são coplanares) se o 
produto misto entre eles for igual a zero. Se isto ocorrer, os vetores são LD. 
 
 
7. Base de um Espaço Vetorial 
 
Um conjunto B = { v1, v2, ..., vn } ⊂ V é uma base do espaço vetorial V se: 
- B é LI; 
- B gera V. 
 
Ex.: 
1) Seja B = { (1,1) , ( -1, 0)}. Verifique se B é base do R². 
 
Solução: 
B é LI, pois a1 ( 1,1) + a2 ( -1,0) = (0,0) somente se a1 = 0 e a2 = 0. 
 
B gera R² pois ( x, y) = a1 ( 1,1) + a2 ( -1,0) . Teremos a1 = y e a2 = y – x. 
Logo, ( x, y ) = y ( 1,1) + (y-x) ( -1,0) e portanto, B gera R². 
 
Logo, B é base do R². 
 
 
2) O conjunto B = { ( 1,0) , ( 0,1)} é uma base do R² pois B é LI e gera R². B é conhecida 
como BASE CANÔNICA DO R². 
43 
 
Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 
Analítica II 
 
3) O conjunto B = 






























1 0
0 0
 ,
0 1
0 0
 ,
0 0
1 0
 ,
0 0
0 1
 é dita base canônica de M2x2. 
 
4) O conjunto B = { 1, x, x², x³, ..., xn } é uma base do espaço vetorial dos polinômios Pn . 
 
5) O conjunto B = { ( 1,2) , ( 2, 4)} não é uma base do R² pois B é LD. 
 
6) O conjunto B = { ( 1,0) , ( 0, 1), ( 3,4) } não é uma base do R² pois B é LD. 
 
7) O conjunto B = { ( 2, -1)} não é uma base do R² pois B é LI mas não gera R². 
 
8) O conjunto B = { ( 1,2, 1) , (-1, -3, 0)} não é uma base do R³ pois B é LI mas não gera 
R³. 
 
 
Teorema: 
Se B = { v1, v2, ..., vn } for uma base de um espaço vetorial V, então todo conjunto com mais 
de n vetores será linearmente dependente. 
 
Corolário: 
Duas bases quaisquer de um espaço vetorial tem o mesmo número de vetores. 
 
 
Ex.: 
1) A base canônica do R³ tem três vetores. Logo, qualquer outra base do R³ também terá 
três vetores. 
 
2) A base canônica das matrizes M 3x3 tem nove vetores. Logo, toda base de M 3x3 terá 9 
vetores. 
 
 
8. Dimensão 
 
Seja V um espaço vetorial. Se V possui uma base com n vetores, então V tem dimensão n e 
escrevemos dim V = n 
 
Ex.: 
1) dim R² = 2 
2) dim R³ = 3 
3) dim M2x2 = 4 
4) dim Mmxn = m x n 
5) dim Pn = n+1 
6) dim {0} = 0 
 
Obs.: 
1) Se dim S = 0, então S = {0} é a origem. 
2) Se dim S = 1, então S é uma reta que passa pela origem. 
3) Se dim S = 2, então S é um plano que passa pela origem. 
4) Se dim V = n, qualquer subconjunto de V com n vetores LI é uma base de V. 
44 
 
Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 
Analítica II 
Ex.: B = { (2,1),(-1,3)} é uma base do R² pois dim B = 2 e os vetores são LI. 
 
 
Exercícios: 
1) Explique porque os seguintes conjuntos de vetores não são base dos espaços 
indicados: 
a) u= ( 1, 2) v = ( 0,3) e w = ( 2, 7 ) em R² 
b) u = ( -1, 3, 2) v = ( 6, 1, 1,) em R³ 
c) p1 = 1 + x + x² p2 = x – 1 em P2 
d) A = 





3 2
1 1
 B = 





4- 2
0 6
 C = 





7 1
0 3
 D = 





2 4
1 5
 E = 





9 2
1 7
 em M 2x2 
 
2) Quais dos seguintes conjuntos de vetores são base de R²? 
a) ( 2,1 ) e ( 3, 0) 
b) ( 4,1 ) e ( 1, 3) 
c) ( 0,0 ) e ( 1, 3) 
d) ( 3,9 ) e (-4, -12) 
 
 
3) Mostre que o conjunto de vetores dados é uma base de M2x2 : 






6- 3
6 3
, 





0 1-
1- 0
, 





4- 12-
8- 0 
, 





2 1-
0 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 
Analítica II 
Exercícios – Espaços Vetoriais 
 
1) Expresse os seguintes vetores como combinações lineares de u = ( 2 , 1 , 4 ), v =(1, -1, 
3) e w = (3, 2, 5): 
 
a) ( -9, -7, -15) b) ( 6, 11, 6 ) c) ( 0, 0, 0) 
 
 
 
2) Expresse os seguintes polinômios como combinações lineares de p1 = 2 + x + 4 x² , 
p2 = 1 – x + 3x² e p3 = 3 + 2x + 5x² : 
 
a) –9 – 7x – 15x² b) 0 c) 7 + 8x + 9x² 
 
 
3) Verifique se são LI ou LD os seguintes conjuntos: 
a) 












−−






−− 9 12
6 3 
,
3 4
2 1 
⊂ M 2x2 
 
b) { ( 2, -1), ( 1, 3) } ⊂ R². 
 
c) { ( -1, -1, 0, 3) , ( 2, -1, 0, 0) , ( 1, 0, 0, 0) } ⊂ R4. 
 
d) { 1 + 2x – x², 2 – x + 3x² , 3 – 4x + 7x² } ⊂ P2 . 
 
 
4) Determine o valor de k para que o conjunto { ( 1, 0, -1), ( 1, 1, 0) , ( k, 1, -1) } seja LI. 
 
 
5) Suponha que v1 , v2 e v3 são vetores em R³ com pontos iniciais na origem. Em cada caso, 
determine se os três vetores estão num mesmo plano, ou seja, se isto ocorrer, eles são LD. 
Faça o desenho no plano cartesiano. 
a) v1 = ( 2, -2, 0), v2 = ( 6, 1, 4 ) e v3 = ( 2, 0, -4) 
b) v1 = ( -6, 7, 2), v2 = ( 3, 2, 4 ) e v3 = ( 4, -1, 2) 
 
 
 
6) Para quais valores reais de “k” os vetores v1 = ( k, - ½ , - ½ ) , v2 = ( -½ , k, -½ ) e 
v3 = (-½ , -½ , k) formam um conjunto linearmente dependente em R³ ? 
 
 
 
Respostas: 
1) a) –2u + v – 2w b) 4u – 5v + w c) 0u + 0v + 0w 
2) a) –2p1 + p2 – 2p3 b) 0p1 + 0p2 + 0p3 c ) 0p1 - 2 p2 + 3p3 
3) a) LD b) LI c) LI d) LD 
4) k ≠ 2 
5) a) não b) sim 
6) k = – ½ e k = 1 
46 
 
Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 
Analítica II 
Unidade III - TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
1. Introdução 
 
Neste momento veremos um tipo especial de função ( ou aplicação), onde o domínio e o 
contradomínio são espaços vetoriais reais. Assim, tanto a variável independente como a 
variável dependente são vetores, razão pala qual essas funções são chamadas vetoriais.Vamos usar funções vetoriais lineares, que serão denominadas Transformações 
Lineares. 
 
 “T” é uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W , e escrevemos: 
 T: V → W 
Ex.: T: R → R² 
 T: R² → R³ 
 
Sendo T uma função, cada vetor v ∈ V tem um só vetor imagem w ∈ W, que será indicado 
por w = T(v) . 
 
Ex.: 
Seja T : R² → R³ que associa vetores v =(x, y) ∈ R² com vetores w =( x,y,z ) ∈ R³. 
 T(x,y) = ( 3x, -2y, x – y ) 
 
Se quisermos calcular T ( 2,1), basta usar x = 2 e y = 1 na transformação, assim: 
 T(2,1) = ( 6, -2, 1) 
 
Ou em outros casos, podemos ver a correspondência entre v e T(v): 
 
 
 
 (2,1) (6,-2, 1) 
 
(-1,3) (-3,-6,-4) 
 
 (0,0) (0,0,0) 
 
 
 v T(v) 
 
 
 
Definição: 
Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T : V → W é chamada Transformação 
Linear de V em W se: 
 
i) T ( u + v ) = T (u) + T (v) 
ii) T ( αu) = α T (u) 
 
 
Obs: uma transformação linear de V em V é chamada Operador Linear sobre V. 
 
 
47 
 
Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 
Analítica II 
Exemplos: 
1) Seja T: R² → R³ tal que T ( x, y ) = ( 3x, -2y, x – y ). Verifique se T é transformação 
linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Seja T: R → R tal que T ( x ) = ( 3x ). Verifique se T é transformação linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Seja T: R → R tal que T ( x ) = ( 3x + 1 ). Verifique se T é transformação linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Seja T: R³ → R² tal que T ( x, y, z ) = ( 3x + 2, 2y - z ). Verifique se T é transformação 
linear. 
 
 
 
 
 
5) Seja a matriz A = 










−
4 0 
3 2
2 1 
. Essa matriz determina a transformação T: R² → R³ tal que v 
→ Av ou T(v) = Av. Verifique se T(v) é linear e encontre a matriz Av da transformação 
linear. 
 
 
 
48 
 
Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 
Analítica II 
Solução: 
T( u + v ) = A ( u + v ) = Au + Av = T ( u) + T (v) 
T ( α u) = A (αu) = α Au = α T(u) 
 
Logo, T(v) é transformação linear. 
 
Efetuando Av, onde v = ( x, y ) ∈ R² é um vetor coluna de ordem 2x1, resulta: 
 
 










−
4 0 
3 2
2 1 
 . 





y
x
 = 










+−
+
4y 
3y 2x 
y 2 x 
 
 
portanto T é definida por T(x,y) = ( x+2y, -2x+3y, 4y) 
 
 
 
Obs.: uma matriz A mxn sempre determina uma transformação linear. 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) Verifique quais transformações são lineares. Justifique: 
a) T : R² → R³, T(x,y) = ( x - y , 2x + y, 0) 
b) T : R² → R², T(x,y) = ( x + 2 , y + 3 ) 
c) T : R² → R , T(x,y) = |x| 
d) T : V → V , H(v) = λ v , λ ∈ R, λ fixo. 
 
 
 
 
 
Propriedade: 
 
Se T: V → W for uma transformação linear e se v = a1 v1 + a2 v2 então temos: 
 
T (a1 v1 + a2 v2 ) = a1 T ( v1 ) + a2 T ( v2 ) 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Seja T: R³ → R² uma transformação linear e B = { v1 , v2 , v3 ) uma base do R³, sendo v1 
= ( 0, 1, 0), v2 = ( 1, 0, 1) e v3 = ( 1, 1, 0) . Determine T ( 5, 3, -2) sabendo que T( v1 ) 
= ( 1, -2), T( v2 ) = ( 3, 1 ) e T(v3 ) = ( 0, 2) . 
 
Solução : 
Expressamos v = ( 5, 3, -2) como combinação linear de v1 , v2 , v3 . 
Logo: 
49 
 
Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 
Analítica II 
 v = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 
 
(5, 3, -2) = a1 (0, 1, 0) + a2 ( 1, 0, 1) + a3 ( 1, 1, 0) 
Encontramos então : 
a1 = 
a2 = 
a3 = 
 
 
 
 
 
Agora, usamos a propriedade da T.L. 
T(5, 3, -2) = a1 T(0, 1, 0) + a2 T( 1, 0, 1) + a3 T( 1, 1, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, conseguimos, mesmo sem sabermos a lei da T.L., encontrar T(5, 3, -2). 
 
 
 
2) Considere T: R³ → R³ uma transformação linear definida por T( x, y, z) = ( x+2y+2z , x 
+ 2y – z , -x + y + 4z) . Determine: 
a) u ∈ R³ tal que T (u) = ( -1, 8, -11) 
b) v ∈ R³ tal que T(v) = v 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Sabendo que T: R² → R³ é uma transformação linear e que T( 1, -1) = ( 3, 2, -2) e T 
(-1,2) = (1, -1, 3), determine T( x , y ) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 
Analítica II 
4) Sabendo que T: R² → R² é uma transformação linear e que T ( 1, 0) = ( 3, -2) e T(0, 
1) = (1, 4), determine T( x , y ) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Consideremos a transformação linear T : R² → R² definida por T(x,y) = (3x-2y, x + 4y). 
Utilize os vetores u = ( 1,2) e v = (3,-1) para mostrar que T (3u+4v) = 3T(u) + 4 T(v). 
 
 
2) Dada a transformação linear T : V → W, tal que T(u) = 3u e T(v) = u – v , calcule em 
função de u e v : 
a) T ( u + v ) = 
b) T ( 3v) = 
c) T ( 4u – 5v) = 
 
 
3) Dentre as transformações T : R²→ R² definidas pelas seguintes leis, verifique quais são 
lineares: 
a) T(x,y) = ( x-3y, 2x+5y) 
b) T(x,y) = ( x², y² ) 
c) T(x,y) = ( x+1, y) 
d) T(x,y) = ( y, x) 
e) T(x,y) = ( xy, x-y) 
 
4) Dentre as seguintes transformações , verifique quais são lineares: 
a) T: R² → R³ ; T(x,y) = ( x – y , 3x – 2y) 
b) T: R² → R² ; T(x,y) = ( | x | , y) 
c) T: R² → M2x2 ; T(x,y) = 












+− 2yy x
3x2y 
 
 
 
5) a) Determine a transformação linear T: R² → R³ tal que T(-1,1) = ( 3, 2, 1 ) e 
 T(0,1) = ( 1,1,0). 
 b) Encontre v ∈ R² tal que T(v) = ( -2, 1, -3). 
 
 
 
51 
 
Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 
Analítica II 
6) a) Determine a transformação linear T : R³ → R² tal que T(1, -1, 0) = ( 1,1 ), 
 T( 0, 1, 1) = ( 2,2) e T(0,0,1) = (3,3) . 
b) Ache T(1,0,0) e T( 0,1,0). 
 
 
7) Seja T um transformador linear no R³ tal que T(1,0,0) = ( 0,2,0) , T( 0,1,0) = ( 0, 
0,-2) e T(0,0,1) = ( -1, 0,3). Determine T( x, y, z) e o vetor v ∈ R³ tal que T(v) = ( 5, 4, 
-9). 
 
 
Respostas: 
2) a) 4u – v 
 b) 3u – 3v 
 c) 7u + 5v 
3) São lineares a, d 
4) São lineares: a, c 
5) a) T(x,y) = (-2x+y, -x + y, -x) b) v = (3,4) 
6) a) T(x,y,z) = ( -y+3z, -y+3z) 
 b) T(1,0,0) = ( 0,0) e T(0,1,0) = ( -1,-1) 
7) T(x,y,z) = (-z, 2x, -2y + 3z) v = ( 2, -3, -5) 
 
 
 
 
2. Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear: 
 
Núcleo: 
Chama-se núcleo de um Transformação Linear T : V → W ao conjunto de todos os vetores v 
∈ V que são transformados em 0 ∈ W. Indica-se por N(T) ou Ker (T). 
 
 
Imagem: 
Chama-se imagem de uma transformação linear T : V → W ao conjunto de todos os vetores 
w ∈ W que são imagens de pelo menos um vetor v ∈ V. Indica-se esse conjunto por Im(T) 
ou T(v). 
 
 
 
3. Transformações Lineares : Funções de Rn em R 
 
Lembre que uma função é uma regra f que associa a cada elemento de um conjunto 
A um, e exatamente um, elemento de um conjunto B. Se f associa o elemento b ao elemento 
a então escrevemos b = f(a) e dizemos que b é a imagem de a por f ou que f(a) é o valor de f 
em a . O conjunto A é chamado domínio de f e o conjunto B é chamado o contradomínio de 
f. A imagem de f é o subconjunto de B consistindo de todos os possíveis valores de f à 
medida que a percorre A . Para funções mais elementares, A e B são conjuntos de 
números reaise então dizemos que f é uma função real de uma variável real. Outras 
funções comuns ocorrem quando B é um conjunto de números reais e A é um conjunto de 
vetores em R² ou R³ ou, mais geralmente, em Rn . Alguns exemplos são dados na tabela 
abaixo: 
 
52 
 
Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 
Analítica II 
Fórmula Exemplo Classificação Descrição 
f(x) f(x) = x² Função real de uma 
variável real 
Função de R em R 
f( x, y ) f( x, y ) = x² + y² Função real de 
duas variáveis reais 
Função de R² em R 
f( x, y, z ) f(x,y,z) = x² + y² + z² Função real de três 
variáveis reais 
Função de R³ em R 
 
 
No caso especial em que as equações são lineares, a transformação é dita linear. Assim 
uma transformação linear T : Rn → Rm é definida por equações da forma: 
 
w1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn 
w2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + ... + a2n xn 
w3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + ... + a3n xn 
. 
. 
. 
wm = am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + ... + amn xn 
 
ou então em notação matricial: 
 
 












































=






















n
3
2
1
mnm3m2m1
3n333231
2n232221
1n131211
n
3
2
1
x
.
.
.
x
x
x
 . 
a ... a a a
.
.
.
a ... a a a
a ... a a a
a ... a a a
 
w
.
.
.
w
w
w
 
 
ou bem mais simples: w = A x ou [ T ] = A x 
 
 
Obs.: A matriz A = [ aij ] é chamada matriz canônica da transformação linear T e a 
transformação T é chamada multiplicação por A . 
Exemplos: 
1) Uma transformação do R² em R³: 
- as equações w1 = x1 + x2 
 w2 = 3x1 + 2x2 
 w3 = - x1 + x2 
 
definem uma transformação T: R² → R³. A imagem do ponto ( x1 , x2 ) por esta 
transformação é o ponto T ( x1 , x2 ) = (x1 + x2 , 3x1 + 2x2 , - x1 + x2 ) . 
 
Assim, por exemplo,. T ( 1,-2) = 
 
 
53 
 
Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 
Analítica II 
E a matriz canônica desta transformação é : A = 
 
 
 
2) Uma transformação linear do R4 em R³ definida pelas equações 
 w1 = 2x1 - 3x2 + x3 – 5x4 
 w2 = 4x1 + x2 - 2x3 + x4 
 w3 = 5x1 - x2 + 4 x3 
 
pode ser escrita na forma matricial como 






















=










4
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
 . 
0 4 1- 5
1 2- 1 4
 5- 1 3- 2
 
w
w
w
 
 
de modo que a matriz canônica de T é: 
 
 
0 4 1- 5
1 2- 1 4
 5- 1 3- 2
 A 










= 
 
A imagem do ponto ( x1 , x2 , x3 , x4 ) pode ser calculada diretamente das equações 
definidoras ou da matriz por multiplicação matricial. 
Por exemplo: 
se o ponto for (1, -3, 0, 2) , e substituirmos nas equações inicias, teremos 
w1 = 1, w2 = 3 e w3 = 8 
 
Ou então, de forma alternativa, usando a forma matricial teremos: 










=






















=










8
3
1
 
2 
0 
3-
1 
 . 
0 4 1- 5
1 2- 1 4
 5- 1 3- 2
 
w
w
w
3
2
1
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Encontre a matriz canônica da transformação linear T: R³ → R³ dada por 
w1 = 3x1 + 5x2 – x3 
w2 = 4x1 - x2 + x3 
w3 = 3x1 – x3 + 2x2 
e em seguida calcule T(-1, 2, 4) por substituição direta nas equações e também por 
multiplicação matricial. 
 
2) Encontre a matriz canônica do operador linear T definido pela fórmula: 
a) T ( x, y ) = ( 2x – y, x + y) 
54 
 
Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 
Analítica II 
b) T ( x, y) = ( x, y) 
c) T ( x, y, z) = ( x + 2y + z, x + 5y, z) 
d) T ( x, y, z) = ( 4x, 7y, -8z) 
e) T(x,y) = ( y, –x, x + 3y, x – y) 
f) T ( x, y, z, t) = ( 7x + 2y – z + t, y + z, -x) 
 
 
3) Em cada parte é dada a matriz canônica [ T ] de uma transformação linear T. Use a 
matriz para obter T (x). Expresse as respostas em forma matricial. 
a) [ T ] = 





4 3
2 1
; x = 





2-
3 
 b) [ T ] = 





5 1 3 
0 2 1-
; x = 










3 
1 
1- 
 
c) [ T ] = 










1- 0 6 
7 5 3 
4 1 2-
; x = 










3
2
1
 x
 x
 x
 d) [ T ] = 










8 7 
4 2 
1 1 -
; x = 





2
1
 x
 x
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) 










1- 2 3
1 1- 4
1- 5 3
 ; T(-1, 2, 4) = ( 3, -2, -3) 
2) a) 





1 1
1- 2
 b) 






1 0
0 1
 c) 










1 0 0
0 5 1
1 2 1
 d) 










 8- 0 0
0 7 0
0 0 4
 e) 












 1- 1 
3 1 
0 1-
1 0 
 f) 










 0 0 0 1-
0 1 1 0
1 1- 2 7
 
3) a) 






1 
1-
 b) 






13 
3 
 c) 










++
++
31
321
321
 x- 6x 
 x7 x5 3x 
 x4 x 2x- 
 d) 










+
+
+
21
21
21
8x 7x 
x4 2x 
 x x- 
 
 
 
 
 
55 
 
Elaborado pela Professora Mirian Bernadete Bertoldi Oberziner – Disciplina Álgebra Linear e Geometria 
Analítica II 
4. A geometria das Transformações Lineares: 
 
Dependendo de como encaramos uma n-upla , se como um ponto ou um vetor, o efeito 
geométrico de um operador T : Rn → Rn é o de transformar cada ponto ( ou vetor) de Rn 
em algum novo ponto ( ou vetor). 
 
 
 
 T(x) 
 T(x) 
 
 x 
 x 
 
 
 
 T leva pontos em pontos T leva vetores em vetores 
 
 
 
 
O operador identidade: 
 
Se I é a matriz identidade n x n, então, para cada vetor x em Rn temos 
 
 TI (x) = I x = x 
 
de modo que a multiplicação por I leva cada vetor em Rn em si mesmo. Nós chamamos esta 
transformação em operador identidade de Rn . 
 
 
 
Entre os operadores lineares mais importantes de R² e R³ estão os que produzem reflexões, 
projeções e rotações. Vejamos estes operadores: 
 
a) REFLEXÕES: 
Considere o operador T: R² → R² que aplicada cada vetor na sua imagem simétrica em 
relação ao eixo y . 
 
 y 
 
 
 ( -x, y) (x, y) 
 
 
 x 
 -x x 
 
 
Se escrevermos w = T(x), então as equações relacionando os componentes de x e de w são 
: 
56 
 
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Analítica II 
w
 1 = -x = -x + 0y 
w 2 = y = 0x + y 
 
Ou em formato matricial: 
 






=










−
=