Apostila Integral Frações Parciais

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Integração de Funções Racionais por Decomposição em 
Frações Parciais 
 
Uma função racional 
)(xf
 é definida como quociente de duas 
funções polinomiais: 
 
)(
)(
)(
xq
xp
xf 
 , em que 
)(xp
 e 
)(xq
são polinômios: 
Exemplos de funções racionais: 
01. 
1
2
)(
2 

x
x
xf
 02. 
1
1
)(
3



x
x
xf
 03. 
2
5
)(
2 


xx
x
xf
 
 
Para integração da função do exemplo 01, teremos uma 
integral que pode ser resolvida por substituição simples: 
 
Exemplo 01: 
Calcular 


dx
x
x
1
2
2
 
 
 Cuu
du
||ln
 
Cx  )1ln( 2
 
 
 
 
No exemplo 02, o termo de maior grau do polinômio encontra-
se no numerador 
)(xp
. Nesse caso, dividimos 
)(xp
 por 
)(xq
 
(denominador da função racional). Obs: Essa divisão será 
necessária nos casos em que p(x) tiver grau maior ou igual a q(x). 
Exemplo 02: 
Calcular 
 

dx
x
x
1
13 
A divisão 
1
13


x
x resulta em 
)1( 2  xx
, com resto 2, então: 
 
1
2
1
1
1 2
3




x
xx
x
x , logo: 
 
 

dx
x
x
1
13 
  dxxdxxx 1
2
).1( 2
 
 =
    u
du
dxdxxdxx 2..2
 
 =
Cux
xx
 ||ln.2
23
23 
 = 
Cxx
xx
 |1|ln2
23
23 
 
Substituição: 
dxxdu
x
dx
du
xu
 2
2
12



 
Substituição: 
dxdu
dx
du
xu



1
1
 
 Para integrarmos a função do exemplo 03, precisaremos 
expressá-la como uma soma de frações mais simples, denominadas 
frações parciais. 
 Para isso utilizaremos um processo algébrico que leva em 
consideração a seguinte preposição. 
 “Se q(x) é um polinômio com coeficientes reais, q(x) pode ser 
expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, 
todos com coeficientes reais.” (FLEMMING, 2007). 
 
 Dependendo de como o denominador q(x) se decompõe nos 
fatores lineares e/ou quadráticos irredutíveis, teremos distintos 
casos, os quais são detalhados na sequência. 
Caso I – O denominador q(x) é um produto de fatores lineares 
distintos. 
Exemplo 3: Calcular 
dx
xx
x
 

2
5
2
 
Fatorando 
22  xx
, teremos 
)2).(1(  xx
, 
21)2)(1(
5
2
5
2 








x
B
x
A
xx
x
xx
x
 
 =
)2)(1(
)1()2(
)2)(1(
5





xx
xBxA
xx
x
 
 
)1()2(5  xBxAx 
 
 
 
fazendo: 
2x
, fazendo x =1, 
)12()22(52  BA
 
)11()21(51  BA
 
 
B33 
 
A36 
 
 
1B
 
2A
 
 
logo: 
 
 
dx
x
dx
x
dx
xx
x
 






2
1
1
2
2
5
2
 
 
 



21
2
x
dx
x
dx
 
 
  v
dv
u
du
2
 
 
Cvu  ||ln||ln2
 



 dxxx
x
2
5
2
 
Cxx  |2|ln|1|ln2
 
 
 
 
 
 
Subs1: 
dxdu
dx
du
xu



1
1
 
Subs2: 
dxdv
dx
dv
xv



1
2
 
Exemplo 4: Calcular 
dx
x
xxx
 

1
1556
2
23
 
Obs: Como p(x) tem grau maior que q(x), inicia-se o processo fazendo: 
p(x)/q(x). 
A divisão resulta em (x-6), com resto (6x+9), então: 
 
1
96
)6(
1
1556
22
23





x
x
x
x
xxx , logo: 
  




dx
x
x
dxxdx
x
xxx
.
1
96
).6(
1
1556
22
23 
Decompondo 
1
96
2 

x
x
em frações parciais temos: 
 
)1()1()1)(1(
96
1
96
2 








x
B
x
A
xx
x
x
x 
Reduzindo ao mesmo denominador: 
)1)(1(
)1()1(
)1)(1(
96





xx
xBxA
xx
x
 
)1()1(96  xBxAx
 
 
Fazendo x = -1 fazendo x = 1 
-6+9=0-2B 6+9=2A 
B=-3/2 A=15/2 
logo: 
   
 
dx
x
dx
x
dxxdx
x
xxx
11
)6(
1
1556 2
3
2
15
2
23 
   

dx
x
dx
x
dxxdx
x
xxx
1
1
2
3
1
1
2
15
)6(
1
1556
2
23 
 
 
 
 
 
Cxxx
x
dx
x
xxx



 |1|ln2
3
|1|ln
2
15
6
21
1556 2
2
23
 
2
3
2
152
2
23
|1|ln|1|ln6
21
1556



 xxx
x
dx
x
xxx
 
C
x
x
x
x
dx
x
xxx







2
3
2
15
2
2
23
|1|
|1|
ln6
21
1556
 
 
 
 
 
Subs1: 
dxdu
dx
du
xu



1
1
 
Subs2: 
dxdv
dx
dv
xv



1
1
 
Exemplo 5: Calcular 
 

dx
xxx
xx
232
12
23
2 
Fatorando 
)(xq
temos: 
)2)(12()232( 2  xxxxxx
 obs: verifique o motivo dessa resposta 
 
212232
12
23
2






x
C
x
B
x
A
xxx
xx
 
)2)(12(
)12()2()2)(12(
)2)(12(
122





xxx
xCxxBxxxA
xxx
xx
 
)12()2()2)(12(122  xCxxBxxxAxx
 
 
Fazendo 
2
1
x
 
0.
2
1
.
2
5
.
2
1
.
2
5
)0(11
4
1
CBA 






 
4
5
.
4
1
B
 logo, 
5
1
B
 
 
Fazendo 
2x
 
  )5).(2.()0).(2.(0)5(144  CBA
 
10.1 C
 logo, 
10
1
C
 
Fazendo 
0x
 
  002)1(1  A
 
A21 
 logo, 
2
1
A
 
Portanto, 
  






dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
xxx
2
10
1
12
5
1
2
1
1
356
2
23 
   



210
1
125
1
2
1
x
dx
x
dx
x
dx
 
 
 
   v
dv
u
du
x
dx
10
1
25
1
2
1
 
Cxxx  |2|ln
10
1
|12|ln
10
1
||ln
2
1
 
 
Caso II – 
)(xq
é um produto de fatores lineares, e alguns dos fatores 
são repetidos. 
Exemplo 6: Calcule 
 

dx
xx
xx
24
3
4
13
 
)2)(2()4(4 22224  xxxxxxx
 
Então: 
Subs1: 
dx
du
dx
du
xu



2
2
12
 
Subs2: 
dxdv
dx
dv
xv



1
2
 
22
3
22)2)(2(
13
x
D
x
C
x
B
x
A
xxx
xx







 
)2)(2(
)2)(2()2)(2(..)2(..)2(
)2)(2(
13
2
22
2
3





xxx
xxDxxxCxxBxxA
xxx
xx
 
)2)(2()2)(2()2()2(13 223  xxDxxCxxBxxAxxx
 
 
Fazendo: 
0x
 fazendo: 
2x
 Fazendo x = 2 
)20)(20(1  D
 
)4(415  B
 
A1613 
 
 
4
1
D
 
16
15
B
 
16
13
A
 
Substituindo os valores de A, B e D na equação, temos: 
)2)(2(
4
1
)2)(2()2(
16
15
)2(
16
13
13 223  xxxxCxxxxxxx
 
Fazendo x = 1 
4
3
3
1615
16
39
3



 C
 
4
3
C
 
 
dx
xx
dx
x
dx
x
dx
xxx
xx
  








22
3
4
1
4
3
2
16
15
2
16
13
)2)(2(
13 
C
x
xxxdx
xxx
xx



 4
1
ln
4
3
2ln
16
15
2ln
16
13
)2)(2(
13
2
3 
 
Caso III – 
)(xq
contém fatores quadráticos irredutíveis distintos 
Exemplo 7: 
 

dx
xx
xx
4
42
3
2 
)4(4 23  xxxx
 em que (
42 x
) é irredutível 
44
42
23
2





x
CBx
x
A
xx
xx
 
Reduzindo ao mesmo denominador: 
)()4(42 22 CBxxxAxx 
 
CxBxAAxxx  222 442
 
ACxxBAxx 4)(42 22 
 
 
44 A
 
2 BA
 
1C
 
1A 21  B 
 1B 
 
 
  

 dx
x
x
x
dx
4
1
2
 
=
  


 dx
x
dx
x
x
x
4
1
4
||ln
22
 
Resolvendo
 
dx
x
x
42
: 
42  xu
 
dxxdu .2
 
||ln
2
1
2
1
u
u
du
 
 
Resolvendo
 
dx
x 4
1
2
: 
C
x
dx
x









 2
tan
2
1
2
1 1
22
 
 
 
Pela regra: 
C
u
u
dx
ux









 2
tan
11 1
22
 
 
então: 
 
 

dx
xx
xx
4
42
3
2 = 
C
x
xx 





 
2
tan
2
1
|4|ln
2
1
||ln 12
 
 
 
Caso IV – 
)(xq
contém fatores quadráticos irredutíveis repetidos 
Exemplo 8: 
dx
xx
xxx
.
)1(
21
22
32
 

 
22 )1( x
é um fator quadrático irredutível que se repete. 
 
 
22
222
22
32
)1(
)()1()()1(
)1(
21





xx
xEDxxxCBxxA
xx
xxx
 
22
222
22
32
)1(
)()1()()1(
)1(
21





xx
xEDxxxCBxxA
xx
xxx
 
ExDxxCxBxxxAxxx  2222432 )1)(()12(21
 
ExDxCxCxBxBxAAxAxxxx  23242432 221
 
AxECxDBACxxBAxxx  )()2()(12 23423
 
0 BA
 (1) 
22  DBA
 (2) 
1 EC
 (3) 
1A (4) 
1C
 (5) 
Substituindo (4) em (1) temos: 
01  B
 
 1B 
Substituindo (4) e (5) em (2) temos: 
2)1()1(2  D
 
 
3D
 
Substituindo (5) em (2) temos: 
11  E
 
 
0E
 
Substituindo os valores de A, B, C, D e E na integral teremos: 
   




dx
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
xx
xxx
22222
32
)1(
3
1
11
)1(
21
 
22222
32
)1()1()1(
21








x
EDx
x
CBx
x
A
xx
xxx
Resolvendo separadamente as três integrais (I1, I2 e I3), 
respectivamente, temos: 
I1 
1ln
1
Cxdx
x

 (1ª) 
I2 
   






111
1
222 x
dx
dx
x
x
dx
x
x
 
 
Resolvendo separadamente as duas integrais (I2A,I2B), 
respectivamente, temos: 
I2A 
 

dx
x
x
12
 
 Substituição: 
12  xu
, 
dxxdu .2
 
 
 

dx
x
x
12
 =
 u
du
2
1
 = 
||ln
2
1
u
 = 
2
2 )1ln(
2
1
Cx 
 
 
I2B 
 12x
dx
 
Regra: 
  Cxdv
x


1
2
tan
1
1
 
 12x
dx
=
  3
1tan Cx  
 
então: 
I2 
  Cxxdx
x
x




12
2
tan)1ln(
2
1
 
1
1 (2ª) 
 
Resolvendo I3 temos: 
I3
  


dx
x
x
dx
x
x
2222 )1(
3
)1(
3
 
Substituição: 
12  xh
, 
dxxdh .2
 



dhhdx
x
x
.
2
3
)1(
.3 2
22
 
4
1
22 1
.
2
3
)1(
3 C
h
dx
x
x






 
4222 )1(2
3
)1(
3 C
x
dx
x
x





 (3ª) 
 
Com (1ª), (2ª) e (3ª), chegamos a resolução final: 
C
x
xxxdx
xx
xxx




 

)1(2
31
)(tan)1ln(
2
1
||ln
)1(
21
2
12
22
32 
 
 
 
 
Material elaborado por: Prof ª. Dayse Regina Batistus, Dr ª Eng. 
Referências: 
FLEMMING, D.; GONÇALVES, M.. Cálculo A. São Paulo: Prentice Hall, 2007. 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo, vol.1 e 2. 5ª ed. LTC Editora, Rio de 
Janeiro, RJ: 2002. 
STEWART, James. Cálculo. Vol. 2. 6ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 
2009. 
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. Vol. 1. 2ª ed. São Paulo: 
Makron Books do Brasil,1994.