CÁLCULO NUMÉRICO - AVALIANDO O APRENDIZADO - AULAS 1 A 5

Prévia do material em texto

CÁLCULO NUMÉRICO - AVALIANDO O APRENDIZADO – AULAS 1 A 5 
AULA 01: 
 
 
1. 
 
 
Sejam os vetores u = (0,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u + v, 
devemos ter x + y igual a: 
 
Quest.: 1 
 
 
5 
 
10 
 
 
9 
 
2 
 
18 
 
 
 
2. 
 
 
Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v 
 
Quest.: 2 
 
 
(13,13,13) 
 
(11,14,17) 
 
(10,8,6) 
 
(8,9,10) 
 
(6,10,14) 
 
 
 
3. 
 
 
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2). 
 
Quest.: 3 
 
 
 
-3 
 
3 
 
2 
 
-11 
 
-7 
 
 
4. 
 
 
Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado 
nas vendas. Sendo x o valor em reais correspondente às vendas mensais da referida 
vendedora, expresse seu salário em função de x. 
 
Quest.: 4 
 
 
1000 
 
 
1000 + 0,05x 
 
1000 - 0,05x 
 
1000 + 50x 
CÁLCULO NUMÉRICO - AVALIANDO O APRENDIZADO – AULAS 1 A 5 
 
50x 
 
 
5. 
 
 
 
Quest.: 5 
 
 
-3 
 
3 
 
 
-7 
 
-11 
 
2 
 
 
6. 
 
 
Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule 2u + v 
 
Quest.: 6 
 
 
(6,10,14) 
 
(8,9,10) 
 
 
(13,13,13) 
 
(10,8,6) 
 
(11,14,17) 
 
AULA 02: 
 
1. 
 
 
Seja uma grandeza A = B.C, em que B = 5 e C = 10. Sejam também Ea = 0,1 e Eb = 
0,2 os erros absolutos no cálculo A e B, respectivamente. Assim, o erro no cálculo de C 
é, aproximadamente: 
 
Quest.: 1 
 
 
 
2 
 
 
4 
 
0,1 
 
0,2 
 
0,3 
 
 
 
2. 
 
A sentença: "Valor do modulo da diferença numérica entre um numero exato e sua 
 
Quest.: 2 
CÁLCULO NUMÉRICO - AVALIANDO O APRENDIZADO – AULAS 1 A 5 
 
representação por um valor aproximado" apresenta a definição de: 
 
 
 
Erro absoluto 
 
Erro conceitual 
 
Erro relativo 
 
Erro derivado 
 
Erro fundamental 
 
 
 
3. 
 
 
Dentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO 
pode ser enquadrada como fator de geração de erros: 
 
Quest.: 3 
 
 
 
Uso de dados de tabelas 
 
Uso de dados provenientes de medição: sistemáticos (falhas de construção ou regulagem de 
equipamentos) ou fortuitos (variações de temperatura, pressão) 
 
Uso de rotinas inadequadas de cálculo 
 
 
Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo. 
 
Uso de dados matemáticos inexatos, provenientes da própria natureza dos números 
 
 
 
4. 
 
 
Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente 
o erro absoluto e o erro relativo. 
 
Quest.: 4 
 
 
 
0,026 E 0,023 
 
0,013 E 0,013 
 
0,026 E 0,026 
 
0,023 E 0,026 
 
0,023 E 0,023 
 
 
5. 
 
 
Considere o valor exato 1,026 e o valor aproximado 1,000. Determine respectivamente 
o erro absoluto e o erro relativo. 
 
Quest.: 5 
 
 
0,024 e 0,024 
 
 
0,026 e 0,024 
 
0,024 e 0,026 
 
0,012 e 0,012 
CÁLCULO NUMÉRICO - AVALIANDO O APRENDIZADO – AULAS 1 A 5 
 
0,026 e 0,026 
 
 
 
6. 
 
 
as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de 
sen(x) pode ser representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que 
precisaremos trabalhar com um número finito de casas decimais, esta aproximação 
levará a um erro conhecido como: 
 
Quest.: 6 
 
 
erro de truncamento 
 
 
erro relativo 
 
erro absoluto 
 
erro booleano 
 
erro de arredondamento 
 
AULA 03: 
 
 
1. 
 
 
Seja a função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Falsa Posição para cálculo da raiz, e os valores 
iniciais para pesquisa 1 e 2. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser 
pesquisada no valor: 
 
 
 
1,5 
 
-6 
 
3 
 
2 
 
-3 
 
 
 
2. 
 
 
Suponha a equação 3x
3
 - 5x
2
 + 1 = 0. Pelo Teorema de Bolzano é fácil verificar que existe pelo 
menos uma raiz real no intervalo (0,1). Utilize o método da bisseção com duas iterações para 
estimar a raiz desta equação. 
 
 
 
0,625 
 
 
0,750 
 
0,715 
CÁLCULO NUMÉRICO - AVALIANDO O APRENDIZADO – AULAS 1 A 5 
 
0,687 
 
0,500 
 
 
 
 
3. 
 
 
Com relação ao método da falsa posição para determinação de raízes reais é correto afirmar, 
EXCETO, que: 
 
 
 
Necessita de um intervalo inicial para o desenvolvimento 
 
A precisão depende do número de iterações 
 
É um método iterativo 
 
Pode não ter convergência 
 
 
A raiz determinada é sempre aproximada 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
4. 
 
 
Considere uma função real de R em R denotada por f(x). Ao se representar a função f(x) num par de 
eixos xy. percebe-se que a mesma intercepta o eixo horizontal x. Quanto a este ponto, é correto 
afirmar que: 
 
 
 
É o valor de f(x) quando x = 0 
 
É a abscissa do ponto em que a derivada de f(x) é nula 
 
É a ordenada do ponto em que a derivada de f(x) é nula 
 
É a raiz real da função f(x) 
 
Nada pode ser afirmado 
 
 
 
5. 
 
 
O método da falsa posição está sendo aplicado para encontrar a raiz aproximada da equação f(x) =0 
no intervalo [a,b]. A raiz aproximada após a primeira iteração é: 
 
 
 
O encontro da função f(x) com o eixo x 
 
O encontro da reta que une os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo y 
 
A média aritmética entre os valores a e b 
 
O encontro da função f(x) com o eixo y 
 
O encontro da reta que une os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x 
CÁLCULO NUMÉRICO - AVALIANDO O APRENDIZADO – AULAS 1 A 5 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
6. 
 
 
Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da 
raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração. 
 
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com: 
 
 
 
Ponto fixo 
 
Newton Raphson 
 
Gauss Jacobi 
 
Gauss Jordan 
 
 
Bisseção 
 
AULA 04: 
 
1. 
 
 
Para utilizarmos o método do ponto fixo (MPF) ou método iterativo linear (MIL) devemos trabalhar 
como uma f(x) cont ínua em um intervalo [a,b] que contenha uma raiz de f(x). O método inicia -se 
reescrevendo a função f(x) em uma equivalente, uma vez que f(x) não facilita a procura da raiz. 
Considere a função f(x) = x
3
 + x
2
 - 8. A raiz desta função é um valor de x tal que x
3
 + x
2
 - 8 = 0. Se 
desejarmos encontrar a raiz pelo MIL, uma possível função equivalente é: 
 
 
 
(x) = 8/(x
2
 - x) 
 
(x) = 8/(x
3
+ x
2
) 
 
(x) = x
3
 - 8 
 
(x) = 8/(x
3 
- x
2
) 
 
 
(x) = 8/(x
2
 + x) 
 
 
 
 
2. 
 
 
A raiz de uma função f(x) deve ser calculada empregando o Método das Secantes, empregando 
como dois pontos iniciais x0e x1.Com base na fórmula de cálculo das iterações seguintes, tem-se que 
x0e x1 devem respeitar a seguinte propriedade: 
 
 
 
 
f(x0) e f(x1) devem ser negativos 
CÁLCULO NUMÉRICO - AVALIANDO O APRENDIZADO – AULAS 1 A 5 
 
 
f(x0) e f(x1) devem ser iguais. 
 
 
f(x0) e f(x1) devem ser diferentes 
 
 
f(x0) e f(x1) devem ser positivos 
 
 
f(x0) e f(x1) devem ter sinais diferentes 
 
 
 
3. 
 
 
A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método de Newton Raphson. Assim, 
considerando-seo ponto inicial x0= 2, tem-se que a próxima iteração (x1) assume o valor: 
 
 
 
0 
 
-2 
 
-4 
 
4 
 
2 
 
 
 
4. 
 
 
A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método de Newton Raphson. Assim, 
considerando-se o ponto inicial x0= 4, tem-se que a próxima iteração (x1) assume o valor: 
 
 
 
0 
 
2,4 
 
1,6 
 
0,8 
 
3,2 
 
 
 
5. 
 
 
De acordo com o método do ponto fixo, indique uma função de iteração g(x) adequada para 
resolução da equação f(x) = x3 - 4x + 7 = 0 
 
 
 
7/(x2 + 4) 
 
x2 
CÁLCULO NUMÉRICO - AVALIANDO O APRENDIZADO – AULAS 1 A 5 
 
7/(x2 - 4) 
 
-7/(x2 + 4) 
 
-7/(x2 - 4) 
 
 
 
 
6. 
 
 
A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método das Secantes. Assim, 
considerando-se como pontos iniciais x0 = 4 e x1= 2,4, tem-se que a próxima iteração (x2) assume o 
valor: 
 
 
 
2,43 
 
1,83 
 
2,03 
 
2,63 
 
2,23 
 
AULA 05: 
 
 
 
1. 
 
 
A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com 
relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que: 
 
 
 
 
Sempre são convergentes. 
 
Consistem em uma sequência de soluções aproximadas 
 
Existem critérios que mostram se há convergência ou não. 
 
As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo. 
 
Apresentam um valor arbitrário inicial. 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
2. 
 
 
Considere o seguinte sistema linear: 
 
 
 
Utilizando o método da eliminação de Gauss Jordan, qual o sistema escalonado na forma 
reduzida? 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO - AVALIANDO O APRENDIZADO – AULAS 1 A 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
3. 
 
 
No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os 
métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos: 
 
 
 
no método direto o número de iterações é um fator limitante. 
 
o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não. 
 
não há diferença em relação às respostas encontradas. 
 
 
o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir. 
 
os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o 
problema. 
 
 
 
4. 
 
 
Na resolução de sistemas de equações lineares é possívela a utilização de métodos diretos, como o 
de Gauss-Jordan. Com relação aos métodos diretos é correto afirmar que: 
 
 
 
Fornecem a solução exata do sistema linear a partir das iterações consecutivas. 
 
Nunca fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir. 
 
Fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir, a menos de erro de arredondamento. 
 
Nunca fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir, por conta das iterações que 
ocorrem 
 
Não são adequados para a resolução de sistemas de equações lineares. 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
5. 
 
 
O método Gauss- Seidel gera uma sequência que converge independente do ponto x0. Quanto 
menor o β, mais rápido será a convergência. Assim, calcule o valor de β1, β2 e β3 para o sistema a 
seguir e assinale o item correto: 5 X1 + X2 + X3 = 5 3 X1 + 4 X2 + X3 = 6 3 X1 + 3 X2 + 6X3 = 0 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO - AVALIANDO O APRENDIZADO – AULAS 1 A 5 
 
β1 = 0,5 ; β2 = 0,6 ; β3 = 0,4 
 
β1 = 0,6 ; β2 = 0,6 ; β3 = 0,4 
 
β1 = 0,4 ; β2 = 0,5 ; β3 = 0,4 
 
β1 = 0,4 ; β2 = 0,6 ; β3 = 0,5 
 
β1 = 0,4 ; β2 = 0,6 ; β3 = 0,4 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
6. 
 
 
O método de Gauss-Jacobi é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares. Como todo 
método iterativo, existe a possibilidade ou não de convergência. Um dos critérios adotados para 
garantir a convergência é denominado: 
 
 
 
Critério das colunas 
 
Critério das diagonais 
 
Critério das linhas 
 
Critério dos zeros 
 
Critério das frações