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Universidade Estadual de Maringá
Profa. Maria Elenice R. Hernandes
2a. Lista de Exercícios de Álgebra Linear
1. Seja V = {(a, b); a, b ∈ R} cuja adição e multiplicação por escalar em V são definidas por
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) e k(a, b) = (ka, 0).
Verifique se V é ou não um espaço vetorial.
2. Verifique se os subconjuntos W abaixo são subespaços de seu respectivo espaço vetorial V :
(a) W = {(x, y, z) ∈ R3; ax + by + cz = 0, com a, b, c ∈ R} que descreve um plano em R3
passando pela origem.
(b) W = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y + z = 0}
(c) W = {(x, y, z) ∈ R3; x ≤ y ≤ z}
(d) W = {(x, y, z, t) ∈ R4; x+ y = 0 e z − t = 0}
(e) W = {f : R→ R; f(0) = f(1)}
(f) W = {f : R→ R; f é contínua}
(g) W = {f : R→ R; f(x) + f ′(x) = 0}.
(h) W = {A ∈Mn×n(R); A = −At} o conjunto das matrizes antissimétricas.
3. Seja U o seguinte subconjunto deM2×2(R) definido por: U =
{[
2a a+ 2b
0 a− b
]
: a, b ∈ R
}
.
(a) U é subespaço vetorial deM2×2(R)?
(b)
[
0 −2
0 1
]
,
[
0 2
3 1
]
∈ U?
4. Seja W o subespaço vetorial deM3×2(R) gerado por
 0 01 1
0 0
 ,
 0 10 −1
1 0

e
 0 10 0
0 0

. O vetor 0 23 4
5 0

pertence a W?
5. O espaço vetorial R2 é um subespaço vetorial de R3?
6. Mostre que os polinômios 1− t3, (1− t)2, 1− t e 1 geram o espaço dos polinômios de grau ≤ 3.
7. Expresse o polinômio p(t) = t2 + 4t − 3 sobre R como combinação linear dos polinômios p1(t) =
t2 − 2t+ 5, p2(t) = 2t2 − 3t e p3(t) = t+ 3.
8. Mostre que A =
(
4 −4
−6 16
)
pode ser escrita como combinação linear das matrizes
(
1 2
3 4
)
,
( −1 2
3 −4
)
e
(
1 −2
−3 4
)
.
9. Determinar m e n para que os conjuntos de vetores de R3 dados abaixo sejam L.I.
(a) { (3, 5m, 1), (2, 0, 4), (1,m, 3) }
(b) { (6, 2, n), (3,m+ n,m− 1) }.
1
10. (a) Mostre que v = (1− i, i) e w = (2,−1 + i) em C2 são L.I. sobre R.
(b) Mostre que os vetores (3 +
√
2, 1 +
√
2) e (7, 1 + 2
√
2) em R2 são L.D. sobre R, mas são L.I.
sobre o conjunto dos números racionais Q.
11. No espaço K3[x] dos polinômios de grau ≤ 3, os polinômios p(x) = x3 − 3x2 + 5x + 1, q(x) =
x3 − x2 + 6x+ 2 e r(x) = x3 − 7x2 + 4x são L.D. ou L.I.?
12. Seja V =M2×2(R). Determine se os vetores abaixo formam uma base de V :
A =
(
1 1
0 0
)
, B =
(
0 1
1 0
)
, C =
(
0 0
1 1
)
, D =
(
0 0
0 1
)
.
13. Mostre que C é um espaço vetorial de dimensão 2 sobre R. E qual é a dimensão de C2 visto como
espaço vetorial R.
14. Exiba uma base e determine a dimensão do espaço vetorial real das matrizes diagonais n× n.
15. Ache uma base e a dimensão do subespaço W de R3, onde
(a) W = {(a,b,c); a+b+c = 0 } (b) W = {(a,b,c); a=b=c } (c) W = {(a,b,c); c = 3a }.
16. Sejam U = {(a, b, c, d) ∈ R4; b − 2c + d = 0} e W = {(a, b, c, d) ∈ R4; a = d, b = 2c}. Ache uma
base e a dimensão dos subespaços:
(a) U (b) W (c) U ∩W .
17. SejamW1 =
{[
a b
c d
]
; a = d e b = c
}
eW2 =
{[
a b
c d
]
; a = c e b = d
}
subespaços deM(2, 2).
(a) Determine W1 ∩W2 e exiba uma base.
(b) Determine W1 +W2. É soma direta? W1 +W2 =M2×2(R)?
18. Determine se os vetores (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 2), (2, 5, 6, 4) e (2, 6, 8, 5) formam uma base para R4.
19. Considere o sistema linear (∗)
 2x1 + 4x2 − 6x3 = ax1 − x2 + 4x3 = b
6x2 − 14x3 = c.
E seja W = {(x1, x2, x3) ∈ R3; (x1, x2, x3) é solução de (*)}.
(a) Que condições devemos impor sobre a, b e c para que W seja subespaço vetorial de R3?
(b) Nas condições determinadas em (a), encontre uma base para W .
(c) Que relação existe entre a dimensão de W e o grau de liberdade do sistema? Seria este
resultado válido para quaisquer sistemas homogêneos?
20. Ache uma base e a dimensão do espaço solução W de cada sistema homogêneo.
(a)
 x+ 2y − 2z + 2s− t = 0x+ 2y − z + 3s− 2t = 0
2x+ 4y − 7z + s+ t = 0
(b)
 x+ 2y − z + 3s− 4t = 02x+ 4y − 2z − s+ 5t = 0
2x+ 4y − 2z + 4s− 2t = 0
21. Sejam β = {(1, 0), (0, 1)}, β1 = {(−1, 1), (1, 1)}, β2 = {(
√
3, 1), (
√
3,−1)} e β3 = {(2, 0), (0, 2)}
bases ordenadas de R2.
(a) Ache as matrizes de mudança de base:
(i) [I]β1β (ii) [I]
β
β1
(iii) [I]ββ2 (iv) [I]
β
β3
(b) Quais são as coordenadas do vetor v = (3,−2) em relação à base:
(i) β (ii) β1 (iii) β2 (iv) β3
2