Baixe o app para aproveitar ainda mais
Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original
Capítulo 13 Relações Termodinâmicas 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Centro de Gravidade de um corpo bidimensional: Capítulo 5 – Centróides e Baricentros = A placa horizontal abaixo pode ser dividida em n pequenos elementos. As coordenadas do primeiro elemento são x1 e y1, assim como para o segundo elemento pode se escrever x2 e y2. As forças exercidas pela Terra sobre os elementos da placa são ΔP1, ΔP2, ..., ΔPn que podem ser consideradas como paralelas, ou seja, sua resultante é uma única força numa única direção. O módulo P dessa força é dada por: o z x y G o z x y ΔP P Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Coordenadas e do ponto G, onde a resultante P deve ser aplicada: e, Aumentando-se o número de elementos, no limite, tem-se que: ; ; Tais equações definem o peso P e as coordenadas e do baricentro G da placa. Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros O mesmo procedimento pode ser adotado para um arame no plano y e, neste caso, o baricentro G não está sobre o arame. Esta fato também ocorrerá em placas com furos: x y z P x y z ΔP ; = Capítulo 5 – Centróides e Baricentros G Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Placa homogênea de espessura uniforme: Centróides de Superfícies Curvas: Módulo do Peso de um elemento de placa γ : peso específico do material; t : espessura da placa; ΔA: Área do elemento. Para a placa inteira, o módulo P do peso é dado por A: Área total da placa. Introduzindo-se ΔP e P na equação de momentos My e Mx Então, Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros e, assim, Simplificando-se as equações de x e y, e, Para um número elevado de elementos, ; Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Estas equações definem as coordenadas e do baricentro para uma placa homogênea. o y x C = o x ΔA y ; No caso de placas não-homogêneas as integrais não podem ser empregadas para determinar o baricentro, mas definem o centróide da superfície. Capítulo 5 – Centróides e Baricentros A Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Arames homogêneos: Centróides de Superfícies Curvas: γ : peso específico do material; a : área da seção transversal do arame; Δl : comprimento do elemento. Assim, o baricentro do arame é coincidente com o centróide da curva L associada à forma do arame, isto é, o y x C o y x ΔL = Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas As integrais ∫xdA e ∫ydA denotam os momentos de primeira ordem da superfície A em relação aos eixos y e x, respectivamente. Desta forma, ; onde, Qy : Momento de primeira ordem de A (superfície) em relação ao eixo y; Qx : Momento de primeira ordem de A (superfície) em relação ao eixo x. Uma vez que, ; 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas As coordenadas e do centróide podem ser obtidas, reciprocamente, por ; Observa-se que se o centróide de uma superfície estiver situado sobre um eixo, os momentos de primeira ordem serão nulos. 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Superfícies com um eixo de simetria: Eixos de Simetria: o y x A C Cada elemento dA referente a uma abscissa x corresponde a um elemento dA’ com abscissa –x, desta forma, ou 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Superfícies com dois eixos de simetria: B x D C D’ Dois Eixos de simetria não ortogonais não têm centro de simetria B B’ D D’ Dois Eixos de simetria perpendiculares. O ponto de interesse dos eixos é um centro de simetria 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros C B’ Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Superfícies com um centro de simetria: y x o Figuras com um centro de simetria não tem, necessariamente, um eixo de simetria como se observa abaixo, 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros A Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas o z x G ∑ P y o z x G1 P1 y P2 P3 G2 G3 = A placa abaixo pode ser dividida em retângulos e triângulos para a determinação das coordenadas e de seu baricentro. 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Assim, ou, ; 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Se a placa for homogênea e apresentar espessura constante, haverá a coincidência entre o baricentro e o centróide. Neste caso, utilizando-se os momentos de 1ª ordem, será possível determinar as coordenadas e do centróide. Coordenada : Duas opções para determinação i. ii. Subdivisão da placa em triângulos e retângulos Coordenada : Duas opções para determinação i. ii. Subdivisão da placa em triângulos e retângulos 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas o x C ∑ A y o x C1 A1 y A2 A3 C2 C3 = Então, graficamente, 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Ex: Determine, para a superfície plana abaixo, ( a ) os momentos estáticos com relação aos eixos x e y, e ( b ) a posição do centróide. x y 60 mm 40 mm 120 mm 80 mm 60 mm 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Solução: Basta subdividir a placa em várias partes mais simples, x y 60 mm 40 mm x y 40 mm -20 mm + 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas x y 60 mm 60 mm 80 mm 4r/3π = 25 mm x y 40 mm 60 mm 80 mm _ 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros + Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Calculando as figuras individualmente, Retângulo: Triângulo: 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Semi-Círculo: Círculo: 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Posição do Centróide: Desta forma, 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Devem ser escolhidos retângulos estreitos, faixas finas ou triângulos como elementos diferenciais de área dA. Desta forma, utilizando-se os momentos estáticos em relação às coordenadas xel e yel do elemento dA, obtém-se, ; x y ; x y 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros ; Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Devem ser escolhidos retângulos estreitos, faixas finas ou triângulos como elementos diferenciais de área dA. Desta forma, utilizando-se os momentos estáticos em relação às coordenadas xel e yel do elemento dA, obtém-se, ; x y Área de um setor circular Obs.: As coordenadas e são expressas em função das coordenadas de um ponto localizado sobre a curva limitante desta superfície. 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Para uma linha definida por uma equação algébrica, o centróide pode ser calculado por, ; Para o elemento dL, Estas equações dependem do tipo de expressão que define a linha 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Teoremas de Pappus – Guldin associados a superfícies e corpos de revolução: Conceito de Superfície de Revolução: É aquela obtida a partir da rotação de uma curva plana em torno de um eixo fixo, conforme apresentado abaixo, C A B A superfície de uma esfera é obtida pela rotação de uma semi-circunferência ABC em torno de eixo AC. C A B A superfície lateral de um cone é determinada pela rotação da reta AB em torno do eixo AC. 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas É aquela obtida a partir da rotação de uma curva plana em torno de um eixo fixo, conforme apresentado abaixo, C A B A superfície de um toróide é obtida pela rotação de uma circunferência B em torno de eixo AC. 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Conceito de um corpo de Revolução: É aquele gerado pela rotação de uma superfície plana em torno de um eixo fino. Assim, uma esfera sólida é obtida pela rotação de um semi-círculo e um cone pela rotação de uma superfície triangular. Teorema I : “A área de uma superfície de revolução é igual ao comprimento da curva geratriz multiplicado pela distância percorrida pelo centróide da curva durante a revolução” 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Considere o elemento dL da linha L girando ao redor do eixo x, x C x A curva geratriz não intercepta o eixo x! Área, , então Todavia, . Logo, Distância percorrida pelo centróide de L. Ordenada do centróide C. 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Teorema II : “O volume de um corpo de revolução á igual à área da superfície geratriz vezes a distância percorrida pelo centróide durante a revolução” x x C A superfície geratriz não intercepta o eixo x! Volume gerado: Mas, Ordenada do centróide C. Denota a distância percorrida pelo centróide de A. 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Ex: A partir dos teoremas de Pappus-Guldin, determinar: (a) o centróide de uma superfície semi-circular, e (b) o centróide de uma semi-circunferência. Dados: e Solução: r x Lembrando que, , então , o que produz, 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas r x Lembrando que, , assim No caso do item (b), tem-se, O que fornece, 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Baricentros e Centróides de Sólidos: A representação esquemática abaixo mostra que o baricentro G do sólido é obtido dividindo-se o mesmo em pequenos elementos de forma que o peso P seja associado aos incrementos ΔP de cada elemento individual. x z y Δ P = -ΔP j G r P = -P j x z y ΔP r 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Assim, Desta forma, reescrevendo a última equação, Portanto, ; E, no caso limite, ; Estas relações independem do eixo adotado, ou seja, da orientação do corpo! 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Expandindo os dois vetores posição em termos das componentes cartesianas, Tem-se que, ; ou, Assim, verifica-se a equivalência, equivalente a 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Para corpos homogêneos de peso específico γ, O que resulta, após a relação com os vetores posição, então, Em termos de componentes escalares, ; Estas últimas equações são momentos estáticos do sólido em relação aos planos yz, zx, xy, respectivamente. ; , fornecendo, e 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas O ponto de coordenadas , e denota o centróide de um sólido de volume V. Caso tal sólido seja homogêneo, há coincidência entre seus centróides e o baricentro do volume. As equações integrais anteriores definem apenas o centróide de sólidos não-homogêneos. 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics Capítulo 13 Relações Termodinâmicas Se um mesmo corpo pode ser divido em formas geométricas ilustradas na tabela anterior, o baricentro G pode ser determinado igualando-se o momento em relação à origem O de seu peso total à soma dos momentos dos pesos de cada figura também em relação ao ponto O, ou seja, E, para corpos homogêneos, a coincidência entre o baricentro e o centróide de volume permite escrever, 5 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros Capítulo 5 – Centróides e Baricentros Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Compartilhar