AP2 Métodos Determinísticos 1 2018.2 Gabarito

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AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018.2
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais:
I
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questo˜es e uma Folha
de Resposta, para desenvolver suas resoluc¸o˜es.
2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova.
Caso contra´rio verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine o Caderno de Questo˜es no local indicado
para este fim.
4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es,
preencha (pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF,
o co´digo da disciplina (indicado no cabec¸alho da pro´xima folha) e o nu´mero da folha.
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
5. Confira e assine cada Folha de Respostas solicitada.
6. Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
7. E´ expressamente proibido o uso de aparelho celular e qualquer outro aparelho com
conexa˜o a` Internet durante a aplicac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade sera´ reportada
pelo aplicador a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es devidas.
8. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas,
devidamente assinadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos.
Orientac¸o˜es para o preenchimento da(s) Folha(s) de Respostas:
I
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das resoluc¸o˜es
das questo˜es nas Folhas de Respostas.
2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´-las
de acordo com as questo˜es.
3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Por-
tanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o
ignoradas.
4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar
a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸a˜o espec´ıfica:
I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo comotambe´m qualquer material que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 17/11/2018
Co´digo da disciplina EAD 06075
Nome: Matr´ıcula:
Polo:
Atenc¸a˜o!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, preencha (pintando os
respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o co´digo da disciplina (indicado acima em
negrito) e o nu´mero da folha.
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
• Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula e
Polo.
• E´ expressamente proibido o uso de qualquer instru-
mento que sirva para ca´lculo como tambe´m qualquer
material que sirva de consulta.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
• Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta
para registro das resoluc¸o˜es nas Folhas de Respostas.
• As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado
para correc¸a˜o. Quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o,
mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas.
• Na˜o amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois
isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 a 5 a seguir.)
Um pa´ıs aplica uma tabela progressiva para o Imposto de Renda. A al´ıquota varia de acordo com o
rendimento anual total de cada pessoa, da seguinte forma
• Se o rendimento e´ menor ou igual a $ 20.000,00, na˜o ha´ tributac¸a˜o.
• O rendimento que superar $ 20.000,00 e´ tributado em 20% do que exceder $ 20.000,00 e for
inferior a $ 40.000,00.
• O rendimento que superar $ 40.000,00 e´ tributado em 30% do que exceder $ 40.000,00 e for
inferior a $ 60.000,00.
• O rendimento que superar $ 60.000,00 e´ tributado em 40% do que exceder $ 60.000,00.
Um rendimento anual de $ 70.000, por exemplo, e´ tributado da seguinte forma:
20% de 20.000,00 = 4.000,00 (Parcela entre $ 20.000,00 e $ 40.000,00)
+ 30% de 20.000,00 = 6.000,00 (Parcela entre $ 40.000,00 e $ 60.000,00)
+ 40% de 10.000,00 = 4.000,00 (Parcela que excede $ 60.000,00)
Imposto total = 14.000,00
Resultando em um imposto total de $14.000,00.
Me´todos Determin´ısticos I AP2 3
Um rendimento anual de $ 55.000, por exemplo, e´ tributado da seguinte forma:
20% de 20.000,00 = 4.000,00 (Parcela entre $ 20.000,00 e $ 40.000,00)
+ 30% de 15.000,00 = 4.500,00 (Parcela entre $ 40.000,00 e $ 60.000,00)
Imposto total = 8.500,00
Resultando em um imposto total de $8.500,00.
Questa˜o 1 (0.7 pt) Qual e´ o imposto pago por uma pessoa com rendimento anual x, com
20.000, 00 6 x < 40.000, 00? A resposta deve estar, obviamente, em func¸a˜o de x.
Soluc¸a˜o: Incidira´ imposto de 20% sobre a parcela x− 20.000. Assim, o imposto sera´ de
20% · (x− 20.000) = 20100 · (x− 20.000) =
1
5 · (x− 20.000) =
x
5 − 4.000.
Questa˜o 2 (0.7 pt) Qual e´ o imposto pago por uma pessoa com rendimento anual x, com
40.000, 00 6 x < 60.000, 00? A resposta deve estar, obviamente, em func¸a˜o de x.
Soluc¸a˜o: Incidira´ imposto de 20% sobre 20.000 e de 30% sobre x− 40.000. Assim, o imposto sera´
de
20% · 20.000 + 30%(x− 40.000) = 20100 · 20.000 +
30
100(x− 40.000)
= 15 · 20.000 +
3
10(x− 40.000)
= 4.000 + 3x10 − 12.000
= 3x10 − 8.000
Questa˜o 3 (0.7 pt) Qual e´ o imposto pago por uma pessoa com rendimento anual x, com
x > 60.000, 00? A resposta deve estar, obviamente, em func¸a˜o de x.
Soluc¸a˜o: Incidira´ imposto de 20% sobre 20.000, de 30% sobre 20.000 e de 40% sobre x− 60.000.
Assim, o imposto sera´ de
20% · 20.000 + 30% · 20.000 + 30% · (x− 60.000) = 20100 · 20.000 +
30
100 · 20.000 +
40
100 · (x− 60.000)
= 4.000 + 6.000 + 25(x− 60.000)
= 4.000 + 6.000 + 2x5 − 24.000
= 2x5 − 14.000.
Questa˜o 4 (1.6 pt) Deˆ a expressa˜o e esboce o gra´fico da func¸a˜o f : [0,+∞)→ R que representa
o imposto a ser pago por uma pessoa que teve rendimentos anuais iguais a x.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 4
Soluc¸a˜o: Pelo que foi visto nas questo˜es anteriores, a func¸a˜o que representa o imposto em func¸a˜o
dos rendimentos e´ dada por
f(x) =

0, se x < 20.000
x
5 − 4.000, se 20.000 6 x < 40.000
3x
10 − 8.000, se 40.000 6 x < 60.000
2x
5 − 14.000, se x > 60.000
Em cada intervalo acima, a func¸a˜o sera´ afim, e seu gra´fico sera´ um segmento reta. Sabendo disso,
determinando os pontos dos extremos dos segmentos, podemos trac¸ar o gra´fico da func¸a˜o.
f(0) = 0,
f(20.000) = 20.0005 − 4.000 = 0,
f(40.000) = 3 · 40.00010 − 8.000 = 4.000,
f(60.000) = 2 · 60.0005 − 14.000 = 10.000.
Calculemos agora algum ponto com x maior que 60.000, por exemplo, o x = 80.000:
f(80.000) = 2 · 80.0005 − 14.000 = 18.000.
Marcando estes pontos e esboc¸ando o gra´fico, temos
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 5
Questa˜o 5 (0.8 pt) Qual o rendimento anual de uma pessoa que pagou $11.000,00 de imposto?
Soluc¸a˜o: Pelo gra´fico, vemos que uma pessoa que pagou $11.000 de imposto esta´ teve rendimentos
anuais maiores que $ 60.000, assim,
f(x) = 11.000⇔ 2x5 − 14.000 = 11.000⇔
2x
5 = 25.000⇔ 2x = 125.000⇔ x = 62.500.
Questa˜o6 (1.5 pt) Represente, como intervalo ou unia˜o de intervalos, o conjunto dos nu´meros
reais que satisfazem simultaneamente a`s duas inequac¸o˜es a seguir:
|3x + 5| 6 8 e |−6x + 3| − 4 < 10.
Soluc¸a˜o: Primeiro, vamos encontrar em separado o conjunto soluc¸a˜o de cada uma das inequac¸o˜es.
Em seguida, determinamos o conjunto soluc¸a˜o, S, dos nu´meros reais que satisfazem simultaneamente
a`s duas inequac¸o˜es, fazendo a intersec¸a˜o do conjunto soluc¸a˜o de cada uma das inequac¸o˜es.
Para resolver |3x + 5| 6 8, observe que: |y| ≤ a ⇔ −a ≤ y ≤ a, tomando y = 3x + 5 e a = 8.
Neste caso,
|3x + 5| 6 8
m
−8 6 3x + 5 6 8
m
−13 6 3x 6 3
m
−13
3 6 x 6 1
Logo, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S1, dado por
S1 =
{
x ∈ R | − 133 6 x 6 1
}
=
[
−133 , 1
]
.
Agora, vamos resolver a segunda inequac¸a˜o.
Observe que |−6x+3|−4 < 10⇔ |−6x+3| < 14. Desta forma, vamos utilizar utilizar o Teorema
2, item (1) do Enunciado do EP8: |y| < a ⇔ −a < y < a, tomando y = −6x + 3 e a = 14. Neste
caso,
| − 6x + 3| < 14
m
−14 < −6x + 3 < 14
m
−17 < −6x < 11
m
17
6 > x > −
11
6
m
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 6
−116 < x <
17
6
Logo, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S2, dado por
S2 =
{
x ∈ R | − 116 < x <
17
6
}
=
(
−116 ,
17
6
)
.
Para encontrar o conjunto S, dos nu´meros reais que satisfazem ao mesmo tempo a`s duas inequac¸o˜es,
temos que determinar o conjunto dos nu´meros que esta˜o ao mesmo tempo nos dois intervalos
encontrados, isto e´, a intersec¸a˜o destes intervalos.
S1
S2
S1 Ý S2
-
13
3 -
11
6 1
17
6
Conclusa˜o:
S = S1 ∩ S2 = [−13/3, 1] ∩ (−11/6, 17/6) = (−11/6, 1]
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 8 a 10 e a seguir.)
Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado produto sa˜o dadas, respecti-
vamente, por
D(P ) = −0,5P 2 + P + 7,5 e Q(P ) = 3P − 3,
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, em
milho˜es de unidades.
Questa˜o 7 (1.0 pt) Quais sa˜o os prec¸os ma´ximo do produto (valor acima do qual na˜o ha´ demanda
pelo mesmo)? E qual e´ o prec¸o m´ınimo (valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta)?
Soluc¸a˜o: O prec¸o m´ınimo Pmin do produto e´ aquele em que a oferta Q(Pmin) = 0. Assim,
Q(Pmin) = 0⇔ 3Pmin − 3 = 0⇔ 3Pmin = 3⇔ Pmin = 1.
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Me´todos Determin´ısticos I AP2 7
O prec¸o ma´ximo Pmax do produto e´ aquele em que a demanda D(Pmax) = 0. Assim,
D(Pmax) = 0 ⇔ −0,5P 2max + Pmax + 7,5 = 0
⇔ −12 P
2
max + P 2max +
15
2 = 0
⇔ −P 2max + 2P 2max + 15 = 0
⇔ Pmax =
−2±
√
22 − 4 · (−1)(15)
2 · (−1)
⇔ Pmax = −2±
√
64
−2
⇔ Pmax = −2− 8−2 ou Pmax =
−2 + 8
−2
⇔ Pmax = 5 ou Pmax = −3.
Como o prec¸o Pmax deve ser positivo, temos Pmax = 5.
Assim, os prec¸os m´ınimo e ma´ximo do produto sa˜o, respectivamente, 1,00 e 5,00.
Questa˜o 8 (1.0 pt) Determine a demanda ma´xima do produto e o prec¸o para o qual ela ocorre.
Soluc¸a˜o: Como a expressa˜o da demanda e´ uma func¸a˜o quadra´tica da forma Q(P ) = aP 2 + b P +c,
a demanda ma´xima sera´ dada por
Dv = −∆4a = −
12 − 4(−0,5)(7, 5)
4(−0,5) = −
1 + 15
−2 = 8
Assim, a demanda ma´xima e´ de 8 milho˜es de unidades. O prec¸o para o qual a demanda e´ ma´xima e´
dado por
Pv = − b2a = −
1
2 · (−0,5) = 1.
Questa˜o 9 (1.0 pt) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto? Quais sa˜o os valores da
demanda e da oferta referentes a este prec¸o?
Soluc¸a˜o: O prec¸o de equil´ıbrio P e´ aquele em que D(P ) = Q(P ). Assim,
D(P ) = Q(P ) ⇔ −0,5P 2 + P + 7,5 = 3P − 3
⇔ −P 2 + 2P + 15 = 6P − 6
⇔ −P 2 − 4P + 21 = 0
⇔ P = −(−4)±
√
(−4)2 − 4(−1)(21)
2 · (−1)
⇔ P = 4±
√
100
−2
⇔ P = 4± 10−2
⇔ P = −7 ou P = 3.
Como o prec¸o de equil´ıbrio P na˜o pode ser negativo, temos P = 3.
Questa˜o 10 (1.0 pt) Esboce em um mesmo gra´fico as curvas de demanda e de oferta deste pro-
duto, destacando os pontos onde a oferta ou a demanda sa˜o iguais a zero, os pontos de equil´ıbrio e
o ponto de demanda ma´xima.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP2 8
Soluc¸a˜o: O gra´fico da func¸a˜o demanda D e´ uma para´bola com concavidade para baixo (a = −0,5 <
0), ve´rtice em (1, 8) (calculado na questa˜o 8) e raiz 5 (calculado na questa˜o 7).
O gra´fico da func¸a˜o oferta Q e´ uma reta passando pelo ponto (1, 0) (na questa˜o 7, calculamos que
a oferta e´ 0 para P = 1). Ale´m disso, para P = 3 (o prec¸o de equil´ıbrio), temos
Q(3) = 3 · 3− 3 = 6.
Assim, outro ponto do gra´fico de Q e´ (3, 6). Com isso, podemos esboc¸ar os gra´ficos:
Note que os gra´ficos foram esboc¸ados apenas para 1 6 P 6 5, o intervalo entre os prec¸os m´ınimo e
ma´ximo.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
Polo:
Atenc¸a˜o!
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.