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Coordenadas polares (completo)

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Coordenadas Polares 
 
O sistema de coordenadas polares é um outro recurso que podemos utilizar para 
localizar pontos no plano e conseqüentemente, representar lugares geométricos através de 
equações, o que é de grande utilidade em várias áreas da Matemática, como por exemplo, 
no cálculo de áreas limitadas por duas ou mais curvas planas, áreas de superfícies, etc. Este 
fato você terá oportunidade de comprovar quando cursar as disciplinas de Cálculo II-A e 
Cálculo IV. 
Este sistema é geralmente utilizado quando a equação cartesiana de um lugar 
geométrico apresenta dificuldades operacionais na sua utilização, devido, por exemplo, ao 
grau elevado de suas variáveis. Na maioria das vezes a equação deste lugar geométrico em 
coordenadas polares é simples e de fácil manipulação. 
 
O Sistema Polar 
 
O sistema polar é constituído de um eixo e um ponto fixo sobre este. O eixo 
chamamos de eixo polar e o ponto fixo de pólo. 
A todo ponto P do plano associamos um par de elementos: o primeiro é a distância 
do ponto P ao polo e o segundo é o ângulo formado pelo eixo polar e a semi-reta de origem 
O e que passa por P (figura1). 
 
 
 
Marcamos este ângulo como fazemos em trigonometria, ou seja, no sentido anti-
horário o ângulo é positivo, caso contrário, o ângulo é negativo. Observemos o plano polar 
da figura 2. 
 
 
 
Ao pólo podemos associar o par de coordenadas (0, θ ), onde θ representa qualquer 
ângulo. O ponto A podemos também associar as coordenadas (2, 2θ ). Dê pelo menos mais 
um par de coordenadas polares para os outros pontos que aparecem nesta figura. 
Costumamos também utilizar o sinal negativo anterior à primeira coordenada polar 
do ponto P, distância do ponto P ao polo, para significar que esta distância deve ser 
marcada na semi-reta oposta a semi-reta de origem O e que passa por P. Deste modo, ao 
ponto A podemos também associar o par de coordenadas (-2,�). Dê um par de coordenadas 
polares para o ponto F da figura 2, com a primeira coordenada negativa. 
Costumamos chamar o par de coordenadas polares de um ponto P(r,�), onde r>0 e 
� é maior ou igual a zero e menor que 2�, de conjunto principal do ponto P. Observemos 
que, por esta definição, o polo é o único ponto do plano polar que não possui um conjunto 
principal. O conjunto principal do ponto F na figura 2 é o par (3,�/3). 
Podemos concluir então que cada par de coordenadas polares está associado a um 
único ponto do plano, mas um ponto do plano está associado a um conjunto infinito de 
pares de coordenadas polares. 
Vamos investigar se é possível obter uma expressão matemática que represente 
todas as coordenadas de um ponto P, com exceção do polo. 
Seja P( r,�) o conjunto principal do ponto P. Considerando o sentido anti-horário, 
observemos a figura 3: 
 
 
 
Se considerarmos o sentido horário, figura 4, temos: 
 
 
 
 
Podemos então concluir que a expressão matemática dada a seguir representa todas 
as coordenadas polares do ponto P. 
 
 
Equações polares de curvas 
 
 
De modo análogo ao sistema de coordenadas cartesianas, uma equação polar de uma 
curva estabelece uma relação entre as coordenadas polares (r,�) de todos os pontos desta 
curva. Por exemplo, a equação r = 2 é uma equação polar da curva constituída de todos os 
pontos do plano que possuem um par de coordenadas (2,�), � podendo assumir um valor 
real qualquer.Observemos a figura 5 
 
 
 
Que curva esta equação representa? 
E a equação r = -2 representa que curva? 
O ponto P(-2, 45o) pertence à curva de equação r = 2? 
 
Podemos concluir que se um par de coordenadas polares de um ponto P não satisfaz 
a uma equação polar, não podemos garantir a não existência de um outro par de 
coordenadas polares deste mesmo ponto que satisfaça a esta equação. Em outras palavras, o 
fato que um par de coordenadas polares de um ponto P não satisfaz a uma equação polar de 
uma curva, não garante que este ponto não pertença à esta curva. 
 
Esboce a curva de equação � = 45o. 
 
Definição: Dizemos que duas ou mais equações são equivalentes se elas representam o 
mesmo lugar geométrico. 
 
As equações r = 2 , 2r = 4 e r = -2 são equações equivalentes, pois representam o 
círculo de centro no polo e raio 2. Observemos que a segunda equação pode ser obtida da 
primeira, bastando multiplicar ambos os membros por 2. No entanto, a terceira não pode ser 
obtida da primeira através das operações fundamentais. Mesmo assim, são equivalentes. 
 
Teorema: Seja f(r,�) = 0 uma equação polar de uma curva C. As equações polares da 
forma 
 
 
 
são equivalentes a equação f(r,�) = 0, ou seja representam também a curva C. 
 
Definição: Um conjunto M de equações polares é chamado conjunto abrangente de uma 
curva C, se qualquer ponto de C, distinto do polo, com qualquer par de coordenadas polares, 
satisfaz a uma das equações de M. Por exemplo: M ={ r = -2 , r = 2 } é um conjunto 
abrangente do círculo de centro no polo e raio 2. Mas, N = { r = 2} não é um conjunto 
abrangente para este círculo, pois o ponto P(- 2, 45o) não satisfaz a uma equação de N. 
 
O conjunto M = { x2 = 4 } é um conjunto abrangente do círculo descrito acima? 
Um conjunto abrangente de uma curva é uma ferramenta matemática de grande 
utilidade na verificação se um dado ponto P(r,�), distinto do polo, pertence ou não à uma 
dada curva C. 
O Teorema dado a seguir estabelece um processo de determinação de um conjunto 
abrangente de uma curva C. 
 
Teorema: Seja F(r,�) = 0 uma equação de uma curva C. O conjunto 
 
 
 
é um conjunto abrangente de C. 
 
 
 
Sistema de transformação de coordenadas polares e cartesianas 
 
 
Uma das maneiras de se relacionar os sistemas de coordenadas polares e cartesianas 
é considerando o eixo polar coincidindo com o eixo OX e o polo coincidindo com a origem 
do sistema cartesiano. Seja um ponto P de coordenadas cartesianas (x,y) e coordenadas 
polares (r,� ). A figura a seguir nos ajuda a estabelecer as relações: 
 
 
 
Exemplo 1 - Determine: 
(a) as coordenadas polares do ponto P(-2 , 2); 
(b) as coordenadas cartesianas do ponto Q(2, arctg 1/2( 1o quadrante)); 
(c) uma equação polar da curva C: y = 2x +1; 
(d) uma equação cartesiana da curva G: r(1 + cos�) = 2. 
 
Solução: 
 
 
C: y = 2x + 1 
r sen� = 2 r cos� + 1 . Daí, r (sen� - 2 cos�) = 1. 
Ou ainda, sen� - 2 cos� = 1/r 
 
 
Simetrias 
 
O fato de sabermos se uma dada curva é, ou não, simétrica em relação a um 
ponto(ou a um eixo) é, sem sombra de dúvidas, muito útil no esboço dessa curva. 
Estudaremos nesta seção as simetria em relação: ao polo, ao eixo polar e ao eixo 
que possui equação, � = 90o. Este último eixo é também conhecido por eixo à 90o. 
Seja P(r,� ) um ponto do plano polar e P' o seu simétrico em relação ao polo. 
Observe a figura a seguir, ela nos ajuda a obter um par de coordenadas polares de P'. 
 
 
 
De modo análogo, a figura a seguir nos fornece um par de coordenadas polares dos 
pontos A e B, simétricos de P em relação ao eixo polar e ao eixo à 90o, respectivamente. 
 
 
 
Exemplo 2 - Determine as coordenadas polares dos pontos A, B e C simétricos de P 
(2,3�/4) em relação ao polo, ao eixo polar e ao eixo à 90o, respectivamente. 
 
 
Definição: Dizemos que uma curva G é a curva simétrica da curva C em relação ao eixo s 
(ou em relação ao ponto O), se para todo ponto P de C, o ponto P’, simétrico de P em 
relação ao eixo s (ou em relação ao ponto O), é um ponto de G, e todo ponto Q’ de G é 
simétrico em relação ao eixo s (ou em relação ao ponto O), de algum ponto Q de C. 
 
 
Sejam P( r, �) um ponto da curva C e P’( r’,�’) o ponto de G simétrico de P em 
relação ao eixo s( ou em relação ao ponto O). Podemos então estabelecer as relações de 
transformações entre coordenadas de P e P’. 
 
 
 
Considerando F(r,�) = 0 uma equação polar da curva C e utilizando as igualdades 
acima obtemos: F(g(r’), h(�’)) = 0, que é uma equação polar que relaciona as coordenadas 
de P’, logo é uma equação da curva G. 
 
Exemplo: Determine a curva simétrica da curva C : r = 2 sen 2� , em relação: 
a) ao eixo polar; 
b) ao eixo à 90º; 
c) ao polo. 
 
 
Quando a simétrica de uma curva C em relação ao eixo s ( ou ao ponto O) coincide 
com ela própria, dizemos que a curva C é simétrica em relação a s ( ou em relação a O). 
No exemplo anterior, podemos concluir diretamente que C é simétrica em relação 
ao eixo à 90o. No entanto, mesmo que as equações dos itens a e b sejam diferentes da 
equação de C, temos que averiguar se estas são equações equivalentes à equação de C. Para 
isso, vamos determinar um conjunto abrangente de C. 
 
 
O que podemos concluir? 
 
Equação Polar da Reta 
 
É bem comum defrontarmos com problemas de interseção de curvas em polar, onde 
uma delas é uma reta. Assim, embora a equação cartesiana de uma reta seja simples, 
necessitamos conhecer equações polares de retas. 
Para determinarmos uma equação polar de uma reta, consideraremos dois casos: 
 
I - A reta passa pelo polo. 
 
 
 
Neste caso, todos os pontos dessa reta satisfazem à equação = , assim esta é uma 
equação polar dessa reta. Exemplos: r : = 3 /2 , s : = 0 , t : = 75 . Verifique que o 
conjunto abrangente de uma reta deste tipo é M = { = + n ; n }, que é infinito. 
 
II - A reta não passa pelo polo 
 
 
 
Consideremos uma reta s tal que a distância do polo à reta s é n. Seja N( n, ) o pé 
da perpendicular traçada à reta s que passa por O. 
Se o ponto P(r, ) pertence à reta s e é distinto de N, podemos considerar o triângulo 
ONP. Observemos que - é a medida de um dos ângulos deste triângulo. Assim, todos os 
pontos P(r, ) que pertence à reta s, satisfaz a equação: 
r cos( - ) = n . 
 
É fácil verificar que o ponto N( n, ) também satisfaz esta equação, daí podemos 
concluir que esta equação é uma equação polar da reta s. 
 
Exemplo: Considere o paralelogramo ABCD, onde A(0, 123 ), B(4, /3) e o ponto C é o 
simétrico de B em relação ao eixo à 90 . Determine um par de coordenadas polares do 
vértice D e as equações polares das retas suporte dos lados e das diagonais deste 
paralelogramo. 
 
 
Solução: Como o ponto C é simétrico de B em relação à eixo à 90 , podemos concluir que 
o triângulo ABC é isósceles da base CB. Por outro lado, como a reta CB e o eixo polar são 
perpendiculares ao eixo à 90 , temos que a reta CB é paralela ao eixo polar. Daí podemos 
concluir que: o vértice D é ponto do eixo polar e o ângulo ABC é igual a /3 . Portanto o 
triângulo ABC é equilátero. Consequentemente, d(C,B) = d(A,B) = 4. Mas, ABCD é um 
paralelogramo, podemos então concluir que d(A,D) também é 4. Logo, um par de 
coordenadas polares de D é ( 4, ). 
 
As retas AB, AC e AD passam pelo polo, daí suas equações polares são: = /3, = 
2 /3 e = 0 , respectivamente. 
A reta CB não passa pelo polo e o pé da perpendicular traçada do polo à esta reta é o 
ponto (2 3, /2) . Assim, r cos( - /2 ) = 2 3 , ou ainda, r sen = 2 3 é uma equação 
polar da reta BC. 
 
 
A reta DB também não passa pelo polo e o pé da perpendicular traçada do pólo à 
esta reta é o ponto N'( 2, 2 /3) , pois as diagonais de um losango são perpendiculares e se 
interceptam no ponto médio de ambas. Daí, r cos( - 2 /3 ) = 2 é uma equação da reta DB. 
Finalmente a reta DC, que também não passa pelo polo. Seja M(m, ) o pé da 
perpendicular traçada do polo à reta DC. No triângulo DMA os ângulos com vértices em M 
e D são /2 e /3, respectivamente. Daí, o ângulo com vértice em O é /6. 
Conseqüentemente, w = - /6 = 5 /6 e m = 4 cos /6 = 2 3 . Logo, r cos( - 5 /6 ) = 
2 3 é uma equação polar da reta DC. 
 
Observações: 
 
I - Consideremos M um conjunto abrangente de uma s de equação r cos( - ) = n. Daí, 
M = {(-1) r cos( ( + m ) - ) = n , m }. 
 
Assim temos , (-1) r cos( ( - ) + m ) = n. 
 
m par : r cos( - ) = n. 
m ímpar : (-r) (- cos( - ) = n. Ou ainda, r cos( - ) = n. 
 
Logo, M = { r cos( - ) = n } é um conjunto abrangente de s. Portanto, qualquer 
ponto de s, com qualquer par de coordenadas polares, tem que satisfazer a esta equação! O 
que é, sem sombra de dúvidas, muito útil, como veremos mais adiante. 
 
II - Quando uma reta s não passa pelo polo, além de utilizarmos a equação r cos( - ) = n , 
costumamos desenvolver o cos( - ) , obtendo: 
 
r [cos cos + sen sen ] = n cos (cos )/n + sen (sen )/n = 1/r 
 
Fazendo, A = (cos )/n e B = (sen )/n obtemos uma outra forma da equação polar da reta 
s : A cos + B sen = 1/r . 
 
No exemplo anterior, a equação polar da reta DC tomaria a forma: 
M = ( 2 3 , 5 /6 ), 
A = (cos 5 /6) / 2 3 = (- 3 /2 ) / 2 3 = - 1/4 
B = (sen 5 /6) / 2 3 = ( 1/2 ) / 2 3 = 1 / 4 3 = ( 3) / 12 
Daí, reta DC: ( -1/4) cos + ( 3 / 12)sen = 1/r . 
 
Nós ainda podemos obter a equação da reta DC acima , utilizando a observação I. 
De fato, consideremos a reta DC: A cos + B sen = 1/r . 
Como sabemos que os pontos C(4, 2 /3) e D(4, ) satisfazem a equação da reta CD, 
podemos fazer as substituições abaixo: 
A cos 2 /3 + B sen 2 /3 = 1/4 
A cos + B sen = 1/4 
Temos então o sistema: 
 
 
Cuja solução é A = -1/4 e B = 3 / 12 . 
 
Exemplo: Determine uma equação polar reta t que passa pelo ponto P( 4, /2) e é 
perpendicular à reta s: 3 cos - 4 sen = 25/r. 
 
Solução: Como a reta s não passa pelo polo, temos: 
A = 3/25 = (cos )/n 
B = - 4/25 = (sen )/n 
Daí, tg = - 4/25 . 25/3 = - 4/3 , = arc tg - 4/3 , que podemos escolher no segundo 
quadrante. 
 
Então: cos = - 3/5 e 3/25 = (- 3/5) /n . Daí, n = ( - 3/5)(25/3) = - 5 .Consequentemente, 
Ns(-5, arc tg - 4/3 [2 quadrante] ) é o pé da perpendicular traçada do polo à reta s. 
 
 
 
Observemos a figura anterior, como a reta t é perpendicular à reta s podemos 
concluir que o quadrilátero ON QN é um retângulo. 
Além disso, o ângulo de N é arc tg 3/4 , sen = 3/5 e cos = 4/5. 
Utilizando o fato do ponto P( 4, /2) pertence a t, temos: t : r cos( - ) = n. 
Assim, 4 cos ( /2 - ) = n 4 sen = n , daí, n = 4 .3/5 = 12/5. 
Logo, t : r cos( - arc tg 3/4(1 quadrante) ) = 12/5 , ou na outra forma: 
A = (cos ) /n = 4/5 . 5/12 = 1/3 
B = (sen ) /n = 3/5 . 5/12 = 1/4 
t : 1/3 cos + 1/4 sen = 1/r. 
 
 
Equação Polar do Círculo 
 
A equação cartesiana de um círculo é bem simples, como a equação cartesiana da 
reta. Entretanto, não são raros os momentos que precisamos determinar soluções de 
problemas que envolvem o círculo e outras curvas cujas equações cartesianas não são 
simples, mas suas equações polares são. Daí, a necessidade de conhecermos a equação 
polar de um círculo. 
Para estabelecermos uma equação polar do círculo, utilizaremos a noção de 
distância entre dois pontos, por isso precisaremos determinar uma fórmula de distância 
entre dois pontos em coordenadas polares. Um modo razoavelmente simples para isso é 
utilizar a bem conhecida fórmula da distância entre dois pontos em coordenadas cartesianas. 
De fato, sejam P (x ,y ) e P (x ,y ) , assim, 
 
 
 
Então se P (r , ) e P (r , ) , utilizando as fórmulas de transformações entre 
cartesianas e polares, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
Agora estamos aptos a estabelecer a equação polar do círculo. 
Consideremos um círculo de centro no ponto C(r , ) e de raio R. 
 
 
Para todo ponto P(r, ) deste círculo temos que d(P,C) = R , assim: 
 
ou seja, R = r - 2 r r cos( - ) + r . Que é umaequação polar do círculo. 
 
Exemplo: O segmento PQ é uma diagonal de um quadrado. Sabendo que P(4, /3) e Q(4, 
5 /6) determine uma equação polar do círculo inscrito e do círculo circunscrito a este 
quadrado. 
 
 
 
Solução: Sabemos que um quadrado é decomposto por uma de suas diagonais em dois 
triângulos retângulos isósceles e congruentes, cuja hipotenusa coincide com esta diagonal. 
Como o triângulo OPQ satisfaz estas condições, podemos concluir que o pólo é um vértice 
desse quadrado. Além disso, os centros dos círculos inscrito e circunscrito a um quadrado 
coincidem o ponto de interseção de suas diagonais e estas são congruentes e se cortam no 
ponto médio de ambas. 
 
 
Então, por Pitágoras obtemos que d(P,Q) = 4 2, assim: 
C( 2 2, /3 + /4) = (2 2, 7 /12). 
 
Por outro lado, os raios dos círculos inscrito e circunscrito são 2 ( metade do lado) e 
2 2 ( metade da diagonal), respectivamente. Daí, 
Cinsc: r - 4 2 r cos( - 7 /12) + 8 = 4 , ou ainda, 
Cinsc: r - 4 2 r cos( - 7 /12) + 4 = 0 
Ccirc: r - 4 2 r cos( - 7 /12) + 8 = 8 , ou ainda, 
Ccirc: r - 4 2 r cos( - 7 /12) = 0 
 
Observações 
 
I - Consideremos M um conjunto abrangente de um círculo C de equação 
r - 2 r r cos( - ) + r = R . Então, 
M = {[(-1) r] - 2 [(-1) r] r cos( [ + m ] - ) + r = R , m }. 
Daí, [(-1) r] - 2 [(-1) r] r cos( [ - ] + m ) + r = R 
m par : r - 2 r r cos( - ) + r = R 
m ímpar: (- r ) - 2(- r )r (- cos( - )) + r = R , 
ou ainda, r - 2 r r cos( - ) + r = R 
 
Logo, o conjunto M = {r - 2 r r cos( - ) + r = R } é unitário. Daí, um ponto qualquer 
do círculo, distinto do pólo, com qualquer par de coordenadas polares satisfaz a equação 
polar desse círculo, na forma anterior. 
 
II - De modo análogo ao que fizemos para reta, desenvolvendo o cos( - ) temos : 
r - 2 r r [cos cos + sen sen ] + r - R = 0 
r + r ( - 2 r cos ) cos + r ( - 2 r sen ) sen + ( r - R ) = 0 
Fazendo, 
a = - 2 r cos 
b = - 2 r sen 
c = r - R 
obtemos uma outra forma para a equação polar de um círculo: 
r + a r cos + b r sen + c = 0 
 
No exemplo anterior, temos C = (2 2, 7 /12) e Rcric = 2 2 , então: 
a = -2 2 2 cos 7 /12 = - 4 2 2/4 (1 - 3) = - 2 + 2 3 
b = -2 2 2 sen 7 /12 = - 4 2 2/4 (1 + 3) = - 2 - 2 3 
c = ( 2 2) - (2 2) = 0 
Logo, Ccirc: r + (- 2 + 2 3) r cos + (- 2 - 2 3) r sen = 0 . 
Poderíamos também utilizar a observação I. De fato, os pontos C, D e O pertencem ao 
círculo circunscrito, logo satisfazem a equação r + a r cos + b r sen + c = 0 
Ou seja, 
O ( 0, 0) 0 + a 0 cos 0 + b 0 sen 0 + c = 0, daí, c = 0. 
( Observemos que o contrário também é verdade, ou seja, quando c = r - R = 0 , temos r 
= R . E portanto o círculo passa pelo polo). 
P(4, /3) 4 + a 4 cos /3 + b 4 sen /3 = 0 , ou seja, 16 + 4 a 1/2 + 4 b 3/2 = 0. 
Daí, 8 + a + b 3 = 0. 
Q(4, 5 /6) 4 + a 4 cos 5 /6 + b 4 sen 5 /6 = 0 , ou seja, 16 + 4 a ( - 3/2 ) + 2 b = 0. 
Daí, 8 - a 3 + b = 0. Temos então o sistema: 
8 + a + b 3 = 0 
8 - a 3 + b = 0 
Cuja solução é a = - 2 + 2 3 e b = - 2 - 2 3. 
 
Determine os coeficientes a, b e c , para o círculo inscrito do exemplo anterior e 
compare com os coeficientes determinados para o círculo circunscrito. 
O que você pode concluir quando dois círculos são concêntricos? 
 
Exemplo : Determine uma equação polar do círculo C tangente ao eixo polar e que é 
concêntrico com o círculo C : r - 4 r sen - 5 = 0 . 
 
Solução : Comparando as equações r - 4 r sen - 5 = 0 e r + a r cos + b r sen + c = 
0 , temos que: 
a = 0 = - 2 r cos 
b = - 4 = - 2 r sen 
Observemos que a = 0 e r não é zero, pois b = - 4. 
Daí, cos = 0 e pode ser /2 . 
Consequentemente, r = 2 e ( 2, /2 ) é um par de coordenadas polares do centro do 
círculo C , que coincide com o centro do círculo C. 
Por outro lado, C é tangente ao eixo polar, assim, R = 2. 
 
 
Daí, a = 0 , b = - 4 e c = r - R = 0. 
Logo, C : r - 4 r sen = 0 
 
 
Discussão e traçado de curvas 
 
Um dos problemas estudados pela Geometria Analítica é: "Dado uma equação 
esboçar o lugar geométrico que ela representa" . Resolver este problema, nem sempre é 
uma tarefa simples, muitas vezes requer recursos avançados do cálculo. Aqui, nos 
restringiremos a recursos matemáticos elementares, pois cálculo não é pré-requisito 
para MAT.002. 
Tudo começa com análise ou discussão de uma equação da curva e posteriormente 
compõe-se uma tabela de pontos que orientará o esboço do lugar geométrico. 
Vamos dividir a análise ou discussão da equação nas seguintes etapas: 
 
I - Verificação se a curva passa pelo polo. 
II - Construção de um conjunto abrangente da curva. 
III - Interseções com eixos polar e à 90 . 
IV - Estudo de simetrias. 
V - Análise da extensão da curva. 
 
O exemplo dado a seguir pode ser utilizado como modelo para o esboço de uma 
curva qualquer. 
 
Exemplo: Esboce a curva C de equação r = 2 + 2 cos . 
 
Solução: Análise ou discussão da equação: 
 
I - Verificação se a curva passa pelo polo. 
 
Aqui, basicamente procuramos a resposta para a pergunta: " Existe para o qual r = 0? " 
No nosso exemplo, temos: 0 = 2 + 2 cos , daí cos = -1 . E pode ser . 
Assim, o polo satisfaz a essa equação com o par de coordenadas O( 0 , ). Portanto, a curva 
C passa pelo polo. 
 
II - Construção de um conjunto abrangente da curva. 
 
( -1) r = 2 + 2 cos( + n ) , n 
n par r = 2 + 2 cos 
n ímpar -r = 2 + 2( - cos ), ou seja, r = - 2 + 2 cos 
M = { r = 2 + 2 cos , r = -2 + 2 cos } 
 
III - Interseção com os eixos: 
 
 a) Eixo polar: todo ponto P do eixo polar possui um par de coordenadas ( r, 0). Aqui, 
vamos verificar que pontos com esta característica satisfazem às equações do conjunto M, 
ou seja, 
r = 2 + 2 cos r = 2 + 2 cos 0 = 4 , P ( 4 , 0). 
r = -2 + 2 cos r = - 2 + 2 cos 0 = 0 , O (0 , 0) . 
 b) Eixo à 90 : todo ponto P do eixo à 90 possui um par de coordenadas ( r, /2). De 
modo análogo ao item anterior, vamos verificar que pontos com esta característica 
satisfazem às equações do conjunto M, ou seja, 
r = 2 + 2 cos r = 2 + 2 cos /2 = 2 , P ( 2 , /2). 
r = -2 + 2 cos r = - 2 + 2 cos /2 = 0 , P (- 2 , /2) . 
 
 
Observemos que com apenas estes quatro pontos fica difícil imaginarmos o traçado 
da curva C. 
 
IV - Estudo de simetrias. 
 
Simetria em relação: 
 a) Ao eixo polar: Seja G a curva simétrica de C em relação ao eixo polar: 
G : r = 2 + 2 cos( - ) r = 2 + 2 cos 
Daí, G coincide com C e portanto a curva C é simétrica em relação ao eixo polar. 
Este fato nos sinaliza que, para a construção do esboço dessa curva é suficiente fazermos 
variar de 0 até e utilizarmos esta simetria para obtermos os outros pontos necessários. 
 b) Ao eixo à 90 : Seja G' a curva simétrica de C em relação ao eixo à 90 : 
G' : - r = 2 + 2 cos( - ) 
G' : - r = 2 + 2 cos r = - 2 - 2 cos 
Como esta equação não pertence ao conjunto M, G' não coincide com C e portanto a curva 
C não é simétrica em relação ao eixo à 90 
 c) Ao polo: Seja G'' a curva simétrica de C em relação ao polo: 
G'' : - r = 2 + 2 cos r = - 2 - 2 cos 
Como esta equação não pertence ao conjunto M, G'' não coincide com C e portanto 
a curva C não é simétrica em relação ao polo. 
 
V - Análise da extensão da curva. 
 
Este item tem como um dos objetivos determinar se existe, ou não, um círculo de 
raio R, tal que todos os pontos da curva são pontos interiores a este círculo. Ora, como r 
representa a distância dos pontos da curva ao polo, basta verificar se r assume um menor e 
um maior valor. 
Quando este círculo existe, dizemos que a curva possui extensão limitada. Caso 
contrário, dizemos que a curva não possui extensão limitada. 
No nosso exemplo C: r = 2 + 2 cos, o menor valor que r assume é zero, pois a 
curva passa pelo polo. E o maior valor é 4, pois o maior valor que o cosseno assume é 1. 
Logo, os pontos de C são pontos interiores do círculo de centro no polo e raio 5, por 
exemplo. Portanto, C possui extensão limitada. 
Por outro lado, como a Geometria que estudamos trabalha com os números reais, 
interessa-nos apenas os valores de que estão associados a um número real r. Os valores de 
que não satisfazem a essa condição devem ser excluídos e portanto não fazem parte da 
Tabela. 
Observemos que para a curva C: r = 2 + 2 cos , qualquer valor de está associado a 
um número real r. 
Pela análise acima, podemos concluir que é suficiente considerarmos 0 , para 
construímos um esboço da curva C. 
 
Tabela e Esboço 
 
 
 
Como vimos no exemplo anterior, fazer um esboço de uma curva é uma tarefa 
trabalhosa. Esta tarefa pode ser simplificada se conseguimos identificar a curva através de 
sua equação, pois neste caso, alguns pontos principais são suficientes para fazermos um 
esboço. Daremos a seguir as equações de algumas curvas mais conhecidas em Matemática 
e os seus respectivos esboços. 
 
Limaçon 
 
Esta curva também conhecida de Caracol possui equação polar do tipo: 
 r = a + b cos ou r = a + b sen 
onde, a, b são números reais distintos de zero. 
 
 
 
Quando os números a e b possuem módulos iguais, costumamos chamar o Limaçon 
de Cardióide, devido a sua forma que lembra o desenho de um coração. 
Clique nas equações a seguir para ver as animações das curvas. 
r = 1 + 2 cos r = 2 + 2 cos r = - 3 + 2 cos 
 
Após identificarmos um Limaçon através de sua equação, o seu traçado rápido pode 
ser obtido, verificando se este passa pelo polo e determinando seus pontos de interseção 
com os eixos polar e à 90 . 
 
Exemplos 
 
Esboce as curvas dadas a seguir: 
1. C : r = 2 + cos 
C é um Limaçon e não passa pelo polo, pois quando r = 0 , cos = -2 e não existe que 
satisfaça a essa condição. 
Cálculo do conjunto abrangente de C : 
( -1) r = 2 + cos( + n ), n 
n par r = 2 + cos 
n ímpar - r = 2 + ( - cos ) , ou seja, r = - 2 + cos 
M = { r = 2 + cos , r = - 2 + cos } 
Interseção com: 
a) Eixo polar: 
r = 2 + cos r = 2 + cos 0 = 3 , P ( 3, 0) 
r = - 2 + cos r = - 2 + cos 0 = - 1 , P (-1,0) 
b) Eixo à 90 : 
r = 2 + cos r = 2 + cos /2 = 2 , P ( 2, /2) 
r = - 2 + cos r = - 2 + cos /2 = 2 , P (- 2, /2) 
Esboço 
 
2. C : r = 1 + 3 sen 
C é um Limaçon. 
Observemos que para r = 0, temos que sen = - 1/3 . Daí, = arc sen - 1/3 e ( 0 , arc sen -
1/3) é par de coordenadas polares do polo que satisfaz a esta equação. Logo a curva passa 
pelo polo. 
Cálculo do conjunto abrangente de C : 
( -1) r = 1 + 3 sen( + n ), n 
n par r = 1 + 3 sen 
n ímpar - r = 1 + 3( - sen ), ou seja, r = - 1 + 3 sen 
M = { r = 1 + 3 sen , r = - 1 + 3 sen } 
Interseção com: 
a) Eixo polar: 
r = 1 + 3 sen r = 1 + 3 sen 0 = 1 , P ( 1, 0) 
r = - 1 + 3 sen r = - 1 + 3 sen 0 = - 1 , P (- 1, 0) 
b) Eixo à 90 : 
r = 1 + 3 sen r = 1 + 3 sen /2 = 4 , P ( 4, /2) 
r = - 1 + 3 sen r = - 1 + 3 sen /2 = 2 , P (2, /2) 
Esboço 
 
 
 
Rosáceas 
 
Toda curva de equação polar do tipo: 
 r = a cos n ou r = a sen n 
onde, a * , n e n 1 , chamamos de Rosácea. 
 
O número de pétalas de uma Rosácea depende do número n: 
Se n é par, temos 2n pétalas. 
Se n é ímpar, temos n pétalas. 
 
 
 
Clique nas equações a seguir para ver as animações das curvas. 
r = 3 sen 2 r = 4 cos 5 
 
Observações: 
 
I - Para = /2n ou = /n , temos r = 0 . Daí, toda Rosácea passa pelo polo. 
 
II - As extremidades das pétalas de uma Rosácea distribuem - se igualmente espaçadas no 
intervalo de 0 à 2 . Assim, se conhecemos uma dessas extremidades, as outras são 
facilmente determinadas, adicionando ao arco dessa extremidade o ângulo obtido quando 
dividimos 2 pelo números de pétalas. Chamaremos a medida desse ângulo de 
espaçamento entre as extremidades. 
 
III - Sem perda de generalidade, consideremos a Rosácea C: r = a sen n . Para os pontos 
dessa curva mais afastados do polo, temos r = a . Chamamos estes pontos de 
extremidades de uma pétala. Por exemplo, se r = a , temos sen n = 1 , daí podemos 
escolher = /2n e o ponto P(a , /2n ) é uma extremidade de uma pétala. 
Por outro lado, observemos que os pontos de uma Rosácea são pontos interiores ao 
círculo de centro no polo e raio igual a a + 1. Daí, a Rosácea tem extensão limitada. 
Além disso, se consideramos uma reta s que passa pelo polo e por uma das 
extremidades de uma pétala, por exemplo, podemos considerar s: = /2n . Estudando a 
simetria em relação a s, temos: 
 
 
r = r e = + 2 ( – ) = 2 - 
Aqui, = /2n , daí r = r e = 2( /2n) - = /n - 
Seja G a curva simétrica de C em relação à reta s , então: G: r = a sen n ( /n - ) 
r = a sen ( - n ), daí , G : r = a sen n 
Ou ainda, G : r = a sen n , logo a curva C é simétrica em relação à reta s. 
 
Raciocínio análogo nos leva a concluir que uma Rosácea é simétrica em relação às 
retas que passam pelo polo e por uma das extremidades de suas pétalas. 
 
IV - Consideremos ainda a Rosácea C: r = a sen n , pelo item anterior, o ponto P (a, /2n) 
é uma extremidade de uma pétala. Seja o menor ângulo tal que P (0, /2n + ) satisfaz a 
equação dessa Rosácea, ou seja: 
0 = a sen n( /2n + ) . Daí, sen ( /2 + n ) = 0 . 
E então: /2 + n = n = - /2 = /2n 
Como a Rosácea é simétrica em relação à reta = /2n , temos que P (0, /2n - /2n) 
satisfaz também a equação da mesma. 
Daí podemos concluir que cada pétala dessa Rosácea está compreendida entre os 
lados de um ângulo que mede o dobro de /2n , ou seja, /n. 
De modo análogo, pode-se mostrar que se a Rosácea possui equação r = a cos n , 
cada pétala está compreendida entre os lados de ângulo que mede /n. 
 
Exemplos: 
a)Seja C = 2 cos 2 . Observemos que o valor de n é igual a 2. Assim, que cada pétala 
dessa Rosácea está compreendida entre os lados de um ângulo que mede /2.( Figura 
abaixo e à esquerda ) . 
b) Seja C = - 2 sen 3 . Observemos que o valor de n é igual a 3. Assim, que cada pétala 
dessa Rosácea está compreendida entre os lados de um ângulo que mede /3.( Figura 
abaixo e à direita ) . 
 
 
 
Após identificarmos uma Rosácea através de sua equação, o seu traçado rápido pode 
ser obtido, determinando as seguintes características de suas pétalas: número, espaçamento 
entre as extremidades e extremidades. 
 
Exemplos 
 
Esboce as curvas dadas a seguir: 
C : r = - 3 cos 2 
C é uma Rosácea de 4 pétalas. O espaçamento entre as extremidades das pétalas é igual a 
2 /4, ou seja /2. Podemos calcular as coordenadas de uma das extremidades de uma 
pétala, fazendo r = 3 em sua equação: 
3 = - 3 cos 2 , daí cos 2 = -1 e 2 pode ser . Portanto, = /2 e P ( 3, /2) é uma 
extremidade de uma pétala. Utilizando o espaçamento entre as extremidades das pétalas , 
obtemos as outras extremidade das pétalas: P ( 3, ) , P ( 3, 3 /2) e P ( 3, 2 ) . 
 
 
 
C : r = 2 sen 3 
C é uma Rosácea de 3 pétalas. O espaçamento entre as extremidades das pétalas é igual a 
2 /3. 
Podemos calcular as coordenadas de uma das extremidades de uma pétala, fazendo r = 2 
em sua equação: 
2 = 2 sen 3 , daí sen 3 = 1 , daí , 3 = /2 e = /6 . Logo, P ( 2, /6) é uma extremidade 
de uma pétala. Utilizando o espaçamento entre as extremidades das pétalas , obtemos as 
outras extremidade das pétalas: P ( 2, 5 /6) e P ( 2, 3 /2) . 
 
 
Lemniscata 
 
Toda curva de equação polar do tipo: 
 
 r = a cos 2 ou r = a sen 2 
onde, a * , chamamos de Lemniscata. 
 
 
 
Observações: 
 
I- Para = /4 ou = /2, temos r = 0 . Daí, toda Lemniscata passa pelo polo. 
 
II - Como r está elevado a uma potência par, a Lemniscata é simétrica em relação ao polo. 
 
III - Consideremos C: r = a cos 2 , assim, r = (a cos 2 ) . Daí, r é real quando a cos 2 
0. 
Se a > 0, temos que cos 2 0 . E então 2 é um arco do 1 e 4 quadrantes, ou seja: 
- /2 2 /2 . Daí, - /4 /4. 
 
Utilizando a simetria em relação ao polo, podemos concluir que esta curva está 
localizada na região ilustrada a seguir. 
 
 
 
Se a < 0, temos que cos 2 0 . E então 2 é um arco do 2 e 3 quadrantes, ou seja: 
/2 2 3 /2 . Daí, /4 3 /4. 
Utilizando a simetria em relação ao polo, podemos concluir que esta curva está 
localizada na região ilustrada a seguir. 
 
 
 
Faça um estudo análogo para C : r = a sen 2 . 
 
IV - Observemos que os pontos P( a , ) que satisfaz a equação de uma Lemniscata 
são os mais afastados do polo. Chamamos estes dois pontos de extremidades. 
Daí, os pontos de uma Lemniscata são pontos interiores do círculo de centro no polo 
e raio R = a + 1 . Logo, a Lemniscata possui extensão limitada. 
 
V - De modo análogo ao feito para a Rosácea, podemos mostrar que a Lemniscata é 
simétrica em relação à reta que passa pelo polo e por uma das suas extremidades. 
Após identificarmos uma Lemniscata através de sua equação, o seu traçado rápido 
pode ser obtido, determinando as seguintes características: região onde a curva se localiza e 
as extremidades. 
 
Exemplos 
 
Esboce as curvas dadas a seguir: 
C : r = - 9 cos 2 
C é uma Lemniscata e podemos escrever: 
r = (- 9 cos 2 ) 
Daí, cos 2 0 . E então 2 é um arco do 2 e 3 quadrantes, ou seja: 
/2 2 3 /2 . Assim, /4 3 /4. 
As suas extremidades são A( 3 , ) e B ( -3 , ). Substituindo na equação obtemos: 
9 = - 9 cos 2 , daí, cos 2 = -1, ou seja, 2 = . Assim, podemos considerar = /2 , A(3, 
/2) e B(-3, /2). 
Utilizando a simetria em relação ao polo, podemos esboçar: 
 
 
 
C : r = 9 sen 2 
C é uma Lemniscata e podemos escrever: 
r = (9 sen 2 ) 
Daí, sen 2 0 . E então 2 é um arco do 1 e 2 quadrantes, ou seja: 0 2 . 
Assim, 0 /2. 
As suas extremidades são A( 3 , ) e B ( -3 , ). Substituindo na equação obtemos: 
9 = 9 sen 2 , daí, sen 2 = 1, ou seja, 2 = /2. 
Assim, podemos considerar = /4 , A(3, /4) e B(-3, /4). 
Utilizando a simetria em relação ao polo, podemos esboçar: 
 
 
 
 
Espiral de Arquimedes 
 
Toda curva de equação polar do tipo r = a , a *, chamamos Espiral de Arquimedes. 
 
Observações: 
 
I - Para = 0, temos r = 0 . Daí, toda Espiral de Arquimedes passa pelo polo. 
 
II - Estudando a simetria desta curva em relação ao eixo à 90 , temos : r' = - r e ' = - . 
Então a equação da curva G simétrica de C será: - r' = a (- ') . Daí , G: r'= a '. Ou ainda, 
G: r = a , logo G coincide com C e portanto C é simétrica em relação ao eixo à 90 . 
 
III - Não existe um círculo tal que os pontos de uma Espiral de Arquimedes sejam pontos 
interiores. Logo, esta curva não possui extensão limitada. 
 
IV - Consideremos a Espiral C: r = 2 e observemos as tabelas a seguir: 
 
 
 
 
 
Distinguimos então dois ramos dessa curva unidos pelo polo e que são simétricos, 
um do outro, em relação ao eixo à 90 . Por esta razão estes ramos se interceptam em 
pontos sobre este eixo. 
 
 
Clique na equação para ver a animação da curva: r = 2 
 
Após identificarmos uma Espiral de Arquimedes através de sua equação, o seu 
traçado rápido pode ser obtido, determinando alguns pontos de um dos seus ramos( 
0 ou 0 ) e utilizar a simetria em relação ao eixo à 90 . 
 
Exemplo: 
Esboce a curva C : r = - 3 . 
 
C é uma Espiral de Arquimedes. Construindo a tabela para 0 e utilizando a simetria em 
relação ao eixo à 90 , temos o esboço: 
 
 
 
 
Interseção de curvas 
 
Muitas vezes a resolução de uma situação problema recai na determinação dos 
pontos de interseção de curvas. Este problema em geral é resolvido determinando as 
soluções do sistema construído pelas equações das curvas envolvidas. 
Em coordenadas polares, a resolução deste problema requer um pouco mais de 
cuidado, pois um ponto do plano possui um número infinito de pares de coordenadas 
polares e pode acontecer que um ponto de interseção das curvas envolvidas, satisfaça uma 
equação com um par de coordenadas e a uma outra com outro par de coordenadas. 
Consequentemente, nenhum desses pares será uma solução para o sistema formado 
pelas equações das curvas envolvidas. 
Contornamos desta dificuldade, utilizando as equações dos conjuntos abrangentes 
das curvas. Constituímos sistemas combinando as equações desses conjuntos abrangentes. 
As soluções encontradas constituirão as coordenadas polares de todos os pontos de 
interseção das curvas, exceto talvez o polo. Assim, para concluímos a interseção, teremos 
ainda que verificar se cada uma dessas curvas passa pelo polo. 
O fato de conhecermos as curvas através das suas equações, poderá fornecer dados 
concretos que, na maioria das vezes, reduzem a necessidade de resolução de todos os 
sistemas construídos com as equações dos conjuntos abrangentes das curvas envolvidas, 
como veremos nos exemplos dados a seguir. 
 
Exemplos: 
Determine o conjunto S dos pontos de interseção das curvas dadas a seguir: 
a)C : r = 4 cos 2 e C : r = 2. 
 
Resolução: 
Consideremos os conjuntos M = {r = 4 cos 2 , r = - 4 cos 2 } e M = {r = 2, r = -
2}, conjuntos abrangentes de C e C , respectivamente. Então temos os sistemas: 
 
 
Por substituição podemos obter as soluções do sistema I: 
2 = 4 cos2 . Daí, cos 2 = 1/2 e assim, 2 = /3 ou 2 = - /3. Ou ainda, = - /6 ou = - 
/6. 
Logo, temos os pontos P (2, /6) e P (2, - /6). 
Resolvendo o sistema II: 
-2 = r cos 2 . Daí, cos 2 = - 1/2 e assim, 2 = 2 /3 ou 2 = 4 /3. Ou ainda, = /3 ou = 
2 /3. Logo, temos os pontos P (-2, /3) e P (-2, 2 /3). 
De modo análogo, com as soluções dos sistema III e IV, Obtemos os pontos de 
interseção: 
P (2, /3) e P (2, 2 /3) ( Sistema III) 
P (-2, /6) e P (-2, /6) ( Sistema IV) 
Finalizando, observemos que a curva C : r = 2, não passa pelo polo. Assim, 
podemos concluir que o polo não é um dos pontos de interseção dessas curvas. Logo, 
 
Gostaríamos de chamar a atenção que poderíamos obter o conjunto S resolvendo 
apenas um dos sistemas acima se utilizarmos o nosso conhecimentos sobre as curvas 
envolvidas. De fato, a curva C é uma Rosácea de quatro pétalas, o espaçamento entre as 
pétalas é /2 e uma extremidade é o ponto Q (4,0). E a curva C é um círculo de 
centro no polo e raio 2 . 
 
 
Se considerarmos os pontos obtidos no sistema I, os outros pontos são facilmente 
determinados utilizando as simetrias da Rosácea e do círculo. 
b) C : r = 4 - 6 sen e C : = - /6 
 
Resolução: 
Consideremos os conjuntos abrangentes de C e C , M ={ r = 4 - 6 sen 2 , r = - 4 
- 6 sen 2 } e M { = (1+6n)(- /6), n }, respectivamente. 
Aqui precisamos um pouco mais de cuidado, pois M é infinito. Uma opção é 
resolvermos os sistemas obtidos combinando uma equação de M com as equações de M e 
esboçarmos as curvas envolvidas. Então temos os sistemas: 
 
 
Por substituição podemos obter as soluções do sistema I: 
r = 4 – 6 sen (- /6) = 4 – 6 ( -1/2) = 7 . Daí, Q ( 7,- /6). 
De modo análogo, resolvemos o sistema II: 
r = - 4 – 6 sen ( - /6) = - 4 – 6 (-1/2) = -1 . Daí, Q ( -1,- /6). 
A curva C : r = 4 - 6 sen é um Limaçon. Observemos que para r = 0 temos que sen 
= 2/3 . Daí, = arc sen 2/3. Logo a curva passa pelo polo. 
 
Interseção com: 
a) Eixo polar: 
r = 4 - 6 sen r = 4 - 6 sen 0 = 4 , P ( 4, 0) 
r = - 4 - 6 sen r = - 4 - 6 sen 0 = - 4 , P (- 4,0) 
b) Eixo à 90 : 
r= 4 –6 sen r = 4 – 6 sen /2 = - 2 , P ( -2, /2) 
r = - 4 - 6 sen r = - 4 - 6 sen /2 = - 10 , P (- 10, /2) 
Por outro lado, C : = - /6 é uma reta que passa pelo polo e faz um ângulo de - /6 
com o eixo polar. Como as duas curvas passam pelo polo, este é um dos pontos de 
interseção. Observemos a tabela a seguir: 
 
 
 
Ela nos assegura que os esboços das curvas C e C é: 
 
 
E, portanto, 
 
 
Lista de exercícios 
 
1. Dados os pontos P ( 3, 5 /3) , P (-3, 330 ) , P (-1, - /3) , P ( 2, -315 ) , P (0, 53 ) , 
P ( 0, %e% ) e P (1,3), determine: 
 
a) A representação gráfica de cada um desses pontos no plano polar. 
b) Três outros conjuntos de coordenadas polares para os pontos P e P . 
c) Quais desses pontos coincidem com o ponto P(3,2310 ). 
d) O conjunto principal de coordenadas polares do ponto P . 
e) Um conjunto de coordenadas polares (r, ) do ponto P , tal que r > 0 e ( -7 , - 5 ). 
 
2. Em cada um dos itens a seguir, identifique o lugar geométrico do ponto que se move e 
faça um esboço desse lugar. 
a) Um ponto P(r, ) se move de maneira que, para todos os valores de seu ângulo vetorial 
( ), seu raio vetor( r) permanece constante e igual a 4. 
b) Um ponto se move de maneira que, para todos os valores de seu raio vetor, seu ângulo 
vetorial permanece constante e igual a 45 . 
 
3. Determine um conjunto abrangente para cada uma das curva dadas a seguir: 
 a) C : r = 4 b) C : = /2 
 c) C : r = 2 cos d) C : r = 2 cos4 
 
4. Verifique se o ponto P pertence à curva C, quando: 
a) P( -1, /6) e C: r 2 - 2 cos 2 = 0. 
b) P(-1, /2) e C: r(1- 3 sen ) = 4. 
c) P(4, /2) e C: r = 4 sen 3 . 
d) P(0, /11) e C: r - 3 cos + r sen = 0. 
 
5. Determine as interseções das curvas C e C , analiticamente. 
a) C : r = 2 + 2 cos e C : = /4. 
b) C r = 3 e C : r = 6 sen 2 . 
c) C : r = 2 - 2cos e C : r = 16 cos 2 . 
d) C : r = 4 - 2sen e C : r - r sen = 4. 
 
6. Determine o conjunto principal de coordenadas polares dos pontos de coordenadas 
retangulares: 
a) (3/2, (-3 3)/2) b) ( 3,-2) c) (cos2, sen2) 
 
7. Transforme a equação retangular dada em sua forma polar: 
a) 2x - y = 0 b) x + y - 2y = 0 c) x y = 2 d) x - 4y = 4 
 
8. Transforme a equação polar dada em sua forma retangular: 
a) r cos - 2 = 0 b) r = 4 cos 2 c) r(1 + 2 cos ) = 4 
 
9. Determine os pontos do eixo polar distando 5 unidades do ponto P(4,4 /3). 
 
10. Dado o círculo C: r + 4 r cos - 3r sen - 15 = 0 , determine uma equação polar do 
círculo concêntrico com o círculo C e que passa pelo ponto P(4,45 ). 
 
11. Dado o círculo C : r - 4 3 r cos + 4 r sen + 7 = 0 , determine uma equação polar do 
círculo concêntrico com C e cujo raio é o dobro do raio de C . 
 
12. Determine uma equação polar da reta s que passa pelo P(3,60 ), sabendo que o 
segmento OP é normal à reta s. 
 
13. Determine a altura do triângulo ABC relativa ao lado BC, sabendo que o vértice A é o 
polo e que os vértices B e C pertencem à reta s: r cos( + 15 ) = 1. 
 
14. Determine uma equação polar da reta m que passa pelo ponto P(-2,330 ) e que: 
a) é paralela ao eixo à 90 . 
b) é perpendicular ao eixo à 90 . 
c) é paralela à reta s: = /6. 
d) é perpendicular à reta t: r(cos + sen ) = 2. 
e) passa pelo ponto Q(1,-30 ). 
f) passa pelo ponto R(4,210 ). 
 
15. Determine todos os pares de coordenadas polares do ponto Q simétrico de P(2, /3) em 
relação : 
a) ao eixo polar b) ao eixo à 90 c) ao polo. 
 
16. Considere a curva C: r = 2 sen 2 . 
a) Determine uma equação polar da curva C’ simétrica de C em relação: 
(i) ao eixo polar (ii ) ao eixo à 90 (iii) ao polo. 
b) Verifique se C é simétrica em relação: 
(i) ao eixo polar (ii ) ao eixo à 90 (iii) ao polo. 
 
17. Determine uma equação polar do círculo de centro no ponto C´, simétrico de C(-2,-60 ) 
em relação ao polo e que é tangente à reta s: 1/r = - 3/6 cos - 1/6 sen . 
 
18. Esboce as curvas dadas a seguir: 
a) r = 2 sec b) r = -2 sen 2 c) r = 3 - 4 cos 
d) r = 2 sen e) r = 8 cos 2 f) r = 2 sen3 
g) r = 2 h) r = 4 + 2 sen i) r = 4 cos 2 
Respostas: 
 
1. b) P (1,120 ), P (1,480 ) e P (- 1,300 ). 
P ( 2,45 ) , P (- 2,-135 ) , P (- 2,225 ). 
c) P d) P (3,150 ) e) P (1, -16 /3) 
2. a) Círculo : r = 4 b) reta � = 45o. 
3. a) E(C) = { r = 4 , r = -4} b) E(C) = { = (2n+1) /2 ; n } 
c) E(C) = {r = 2 cos }. d) E(C) = { r = 2 cos 4 , r = - 2 cos 4 } 
4. a) Sim b) Sim c) Não d) Sim. 
5. a) S = { (0, /4), ( 2 + 2, /4), (2 - 2, 5 /4)} 
b) S = { (3 , /12), ( 3, 5 /12), (3 ,13 /12), (3 , 17 /12), (-3 , 7 /12), (- 3 ,19 /12), 
(-3 , 11 /12), (-3 , 23 /12)} 
c) S = { (4, ), ( 0,0), ( 4/7, arc cos 5/7 ( 1 quadrante)) ,( 4/7, - arc cos 5/7(4 quadrante))} 
d) S = { (4, ) , ( 4,0)} 
6. a) ( 3, 5 /3) b) ( 13, 2 + arc tg(-2/3) ) c) ( 1,2) 
7. a) = arc tg 2 b) r = 2 sen 
c) r sen 2 = 4 d) r cos - 4 r sen = 4 
8. a) x = 2 b) x + y = 2 ( (x - y )) ; x y . c) 3x - y - 16x + 16 =0 
9. A( - 2 + 13, 0) e B( - 2 - 13, 0). 
10. r + 4 r cos - 3 r sen - 16 - 2 2 = 0 
11. r - 4 3 r cos + 4 r sen - 20 = 0 
12. s : 3 = r cos( - 60 ) 
13. h = 1 
14. a) m: 3 = r cos( - ) b) m: r cos( - /2) = 1 
c) m: 3 = r cos( - 120 ) d) m : ( 2 + 6) /2 = r cos( - 135 ) 
e) m: = 150 ; f) m: 1/r = - 3/4 cos + 1/4 sen . 
15. a) ( (-1)n 2 , - �/3 + n�) , n �Z 
b) ( (-1) 2 , 2 /3 + n ) , n c) ( (-1) 2 , 4 /3 + n ) , n . 
16. a) ( i ) r = -2 sen 2 ( ii ) r = -2 sen 2 r = 2 sen 2 
b) ( i ) Não ( ii ) Não (iii ) Sim 
17. r - 2 r cos + 2 3 r sen - 5 = 0. 
18.

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