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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS - CCNE
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
EXPERIMENTO II
 Pêndulo Simples 
SANTA MARIA -RS
2018
Sumário
1 Experimento: Pêndulo Simples………………………………………………………….3
 1.1 Objetivos do Experimento………………………………………………………...3
 1.2 Fundamentação Teórica………………….………………………..………………3
 1.3 Materiais Utilizados……………………………………………………...………..5
 1.4 Procedimento……...……………………………………………………………….5
 1.5 Resultados……………………..…………………………………………….……..7
 1.6 Discussão dos Resultados………………………………………………………….10
2. Referências………………………………………………………………………………...11
ANEXOS
1. Experimento: Pêndulo Simples
1.1 Objetivos do Experimento 
 Verificar o movimento periódico do pêndulo simples é um MHS para pequenas oscilações.
 Determinar o período de oscilação de um pêndulo simples e verificar sua dependência com o
comprimento do fio, com a massa e com a amplitude de oscilação. 
 Estimar o valor de g ( aceleração da gravidade ).
1.2 Fundamentação Teórica
 Os movimentos periódicos ou oscilatórios são aqueles que se repetem em intervalos regulares ou 
indefinidamente. Em nosso dia-a-dia estamos cercados destes movimentos: barcos oscilando no 
cais, movimento dos pistões nos motores dos carros, vibrações sonoras produzidas por um clarinete,
por exemplo, entre outros. E é por, isso que as oscilações desempenham um papel fundamental em 
todos os ramos da física (mecânica, óptica, acústica, etc.)
 Um tipo importante desses movimentos é o pêndulo simples que consiste numa massa pontual m 
presa numa extremidade uma haste reta, de comprimento L, inextensível e sem massa, cuja outra 
extremidade está presa num ponto fixo. Se ele estiver submetido a um campo gravitacional cuja 
aceleração correspondente é g e deslocado de um ângulo θ da vertical (a direção para onde o campo 
puxa os corpos), é possível mostrar através de argumentos físicos e geométricos que a força 
resultante sobre ele age sempre no sentido de fazer o pêndulo retornar à posição θ=0 e, se θ for 
suficientemente pequeno, tem módulo dado por 
 FR=mgθ (1)
 Esse tipo de força, de módulo proporcional ao deslocamento em relação a uma posição de 
equilíbrio e contrária a este deslocamento, é típico de um movimento conhecido como “Movimento 
Harmônico Simples” (MHS); a principal característica desse movimento é que ele é periódico. Uma
comparação com o Movimento Circular Uniforme (MCU) é capaz de fornecer o período do MHS; 
no caso do pêndulo com ângulos pequenos, ele é dado pela expressão 
 T=2 π √ Lg (2)
Assim, conhecendo L e medindo T, é possível estimar g.
 A base matemática da comparação com o MCU reside no fato de que este é uma combinação de 
dois MHS, um na direção horizontal e outro na direção vertical . Assim, precisamos resolver a 
equação do MHS. Sabendo que a aceleração equivale à taxa de variação da velocidade, a equação 
do MHS é 
 m dv
dt
=−ks (3)
 onde k é a constante de proporcionalidade entre a força e o deslocamento em relação ao equilíbrio s
e v é a taxa de variação de s. Um dos resultados dessa equação é que o MHS tem um período dado 
por 
 T=2π √mk (4)
De posse dessa fórmula, basta adapta-la à situação do pêndulo para se obter a expressão do período 
apresentada acima.
 
Figura 1: Pêndulo simples e as 
forças que agem sobre ele
Na figura 1 está representado um pêndulo simples e as forças que agem sobre o peso, que são: a 
força gravitacional Fg e a tensão T do fio. A componente tangencial −mgsenθ da força 
gravitacional é a força restauradora que tende a levar o pêndulo de volta a posição de equilibrio.
Quando não é utilizada uma aproximação dos pequenos ângulos, em vez de (2), teríamos obtido a 
relação 
 T=2π √ Lg (1+ 14 sen ²(θ2 )+...) (5)
1.3 Materiais Utilizados
Para realização do experimento foram utilizados os seguintes materiais:
 Uma esfera de massa m
 Um fio inextensível
 Um suporte com base
 Cronômetro
 Trena
 Transferidor de ângulo
1.4 Procedimentos
1. Regulamos o comprimento do fio para aproximadamente 10 cm. Em seguida, afastamos-o da 
posição de equilíbrio em um ângulo de aproximadamente 12° e deixamos oscilar. Determinamos o 
período de uma oscilação, dividindo o tempo necessário para o pêndulo executar dez períodos de 
oscilação por dez, para se obter o período as oscilação.
2. Repetimos o processo para dez comprimentos diferentes de fio, alterando de 10 em 10 cm, e 
sempre anotando o período e obtendo seu período médio.
3. Com os valores de perídodo e obtidos, foi possível contruir em papel milimetrado, e também 
com uso de software, dois gráficos de T(s) em função de L(cm).
4. Elevando os períodos encontrados ao contrado, contruimos um gráfico de T² x L (cm) para 
encontrar a aceleração da gravidade, utilizando a equação (2).
5. Para determinar a função T= f(L), foi contruído um gráfico log (T) x log ((L)
6. Por fim, foi selecionamos os valores obtidos com o comprimento L = 50 cm, para calcular os 
resultados com ângulos grandes, para fim de comparação.
Figura 2: Pêndulo 
semelhante ao utilizado em 
aula prática
1.5 Resultados
L (cm) T1(s) T2(s) T3(s) T4(s) T5(s) T médio T²
10 0,58 0,53 0,56 0,55 0,55 0,55 0,3
20 0,79 0,78 0,78 0,84 0,79 0,8 0,64
30 0,92 0,96 0,93 0,95 0,99 0,95 0,9
40 1,22 1,1 1,08 1,2 1,2 1,16 1,35
50 1,31 1,35 1,37 1,39 1,35 1,35 1,82
60 1,48 1,53 1,49 1,48 1,49 1,5 2,25
70 1,61 1,6 1,6 1,62 1,62 1,61 2,59
80 1,73 1,73 1,74 1,72 1,73 1,73 2,99
90 1,89 1,85 1,85 1,86 1,85 1,86 3,46
100 1,96 1,99 1,97 1,95 1,95 1,96 3,84
Tabela 1: Valores de período, período médio e período ao quadrado obtidos a partir de 5 medições 
de 10 oscilações para 10 comprimentos diferentes.
Com os valores obtidos na tabela, foi plotado os seguinte gráficos:
Gráfico 1: Período (s) x Comprimento (cm)
Gráfico 2: Período ao quadrado (s) x Comprimento (cm)
A partir do Gráfico 2, é possível determinar a aceleração da gravidade, utilizando a equação (2), 
através da relação de potência, T=A Ln , se conhecemos n=12
, temos T=A L
1
2 .
Elevando ao quadrado ambos os lados, temos T ²=A ² L . Tomando A² = α , obtemos T ²=αL .
Sabemos que α pode ser obtido através do gráfico da forma α= ΔT
2
ΔL
.
Atribuindo à equação (2), T=2 π √ Lg = T2=4 π2g L . Logo g=4 π2α .
Escolhendo os pontos no gráfico, e transformando as medidas de L para metros, determinamos
α=3,84−2.99
0.8−0.6
=0,85
0,2
=4,25 .
Então, 
 g= 4 π
2
4,25
=9,29 m /s ²
A seguir, como solicitado no roteiro, foi plotado o gráfico log(T)xLog(L) com o objetivo de 
encontrar a função T=f(L). Para isso foram aplicadas as propriedades logarítmicas
T=ALn→ logT=log A+ log Ln
log T=log A+n log L onde, 
t= logT
a=log A
nl=n log L
 assim, T=a+nL .
Se a=logA , 10a= log A→A=10a ; e n=
logT 2−log T 1
log l2−log l1
≈1
2
a=T2 inicial=0,3 s2 , então A=100,3=1,99≈2 s2 .
Partindo da equação T=ALn temos que T=2 π
g
L
1
2 logo, A=2 π
√g
→√g=2 πA
g=(2 π
2
)
2
=9,87 m /s2
Voltando, a equação T=a+nl obtemos a função T = f(L) igual à T=2 L
1
2 cujo gráfico plotado 
fica, 
Em seguida, para fins de comparação, foi atribuído ao comprimento de L = 50 cm, à um ângulo de 
60°, utilizando a equação (5)
T=2π √ Lg (1+ 14 sen ²(θ2 )+...)→T=2 π √ 0,59,81 (1+ 14 sen ²( 602 )+...)=1,43 s
1.6 Discussão dos Resultados
 O valor obtido para a aceleração da gravidadeapresentou um desvio de 5,1% em comparação 
com o valor habitualmente utilizado (9,81 m/s²). Provavelmente o desvio apresentado deve-se ao 
fato de que o ar aplica uma força de arrasto ao objeto, de sentido oposto ao movimento, retardando-
o, e assim impedindo que o experimento tenha total precisão. 
 Com a construção do gráfico Log T x Log L foi possível estudar a dependência do período das 
oscilações do pêndulo com o comprimento da linha de suspensão. Como resultado da análise pode 
ser tirada a conclusão de que somente com comprimento muito maior que o raio da massa, a função 
T = ƒ( L ) aproxima-se da função T∼√L .
 Comparando o período medido para um ângulo pequeno, de aproximadamente 12°, com um de 
60°, ocorreu um desvio de 5,9%. Quando se deduz a conhecida expressão para o período do 
Gráfico 3: Log T x Log L
pêndulo simples ou mesmo do pêndulo físico diversas idealizações são feitas. Assim, durante a 
dedução, se considera que a amplitude angular de oscilação seja pequena, próxima de zero, tal que 
valha a conhecida aproximação do seno da amplitude angular pela própria amplitude angular (em 
radianos). Por exemplo, 10° graus equivalem a 0,1745 rad e o seno de 10° é 0,1736, portanto a 
aproximação é válida com um erro percentual de cerca de 0,5%. Se o ângulo aumentar o erro 
percentual na aproximação também aumenta.
 A implicação prática desta discussão é que usualmente nos experimentos que realizamos em 
laboratório com pêndulos, existem fontes de erro e de incerteza.
 Finalmente é importante notar que estas considerações são válidas também para pêndulos 
físicos pelo fato de que para um dado pêndulo físico sempre existe um pêndulo simples que lhe 
equivale.
2. Referências
HALLIDAY, D avid. RESNICK, Robert. WA LKER, J earl. Fundamentos de 
Física, Volume 2, 8ª edição. Rio de Janeiro, LTC 2009.
H. MOYSÉS NUSSENGZVEIG. Curso de Física Básica: Fluidos, Oscilações, Ondas
 e Calor. 4ª edição – . São Paulo, Blucher 2002.
SOUZA, M., GUERRINI, I. – “Experimento 6 – Pêndulo simples e a medição da aceleração da 
gravidade” – Disponível em: http://educar.sc.usp.br/sam/pendulo.html. Acesso em: 27/10/2018.
LANG, Fernando. Determinando a aceleração gravitacional. 1995. Disponível em: 
<http://www.if.ufrgs.br/~lang/Textos/GRAVIDADE.pdf>. Acesso em 27/10/2018.
ROQUE, Antônio. Movimento harmônico simples: exemplos. Disponível em: 
<http://sisne.org/Disciplinas/Grad/Fisica2FisMed/aula4.pdf>. Acesso em 27/10/2018.
WIKIPEDIA. Pêndulo. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/P%C3%AAndulo> . Acesso 
em 27/10/2018.
ANEXOS