UERJ MATEMATICA 6

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Sinal da função do 1º grau
Estudar o sinal de qualquer função y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
Considerando uma função afim y = f(x) = ax + b, vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis:
1º) a > 0 (a função é crescente)
y > 0       ax + b > 0         x > 
y < 0      ax + b < 0         x < 
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz
2º) a < 0 (a função é decrescente)
y > 0  ax + b > 0            x < 
y < 0  ax + b < 0        x > 
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é  negativo para valores de x maiores que a raiz.
Função do 1º grau
Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,  y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Por exemplo, vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
a)    Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
b)    Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .
Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
	x
	y
	0
	-1
	
	0
Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.
Zero ou raiz da função do 1º grau
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a0, o número real x tal que  f(x) = 0. Temos:
f(x) = 0    ax + b = 0  
Vejamos alguns exemplos:
Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
f(x) = 0    2x - 5 = 0     
Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
g(x) = 0    3x + 6 = 0     x = -2
   
Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abscissas: 
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:
h(x) = 0     -2x + 10 = 0      x = 5 
Função crescente ou decrescente
Consideremos a função do 1º grau y=3x-1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:
	
		x
	-3
	-2
	-1
	0
	1
	2
	3
	y
	-10
	-7
	-4
	-1
	2
	5
	8
	
Perceba que, quando aumentamos o valor de x, os valores correspondentes de y também aumentam. Dizemos então que a função y = 3x - 1 é crescente. Observe o seu gráfico: 
Regra geral:
- a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);
- a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);
Justificativa:
para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).
para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2). 
Em uma função do 1º grau temos que a taxa de variação é dada pelo coeficiente a. Temos que uma função do 1º grau respeita a seguinte lei de formação f(x) = ax + b, onde a e b são números reais e b ≠ 0. A taxa de variação da função é dada pela seguinte expressão: 
Exemplo 1 
Vamos através de uma demonstração provar que a taxa de variação da função f(x) = 2x + 3 é dada por 2. 
f(x) = 2x + 3 
f(x + h) = 2 * (x + h) + 3 → f(x + h) = 2x + 2h + 3 (h ≠ 0) 
Dessa forma temos que: 
f(x + h) − f(x) = 2x + 2h + 3 – (2x + 3) 
f(x + h) − f(x) = 2x + 2h + 3 – 2x – 3 
f(x + h) − f(x) = 2h 
Então: 
Observe que após a demonstração constatamos que a taxa de variação pode ser calculada diretamente, identificando o valor do coeficiente a na função dada. Por exemplo, nas funções seguintes a taxa de variação é dada por: 
a) f(x) = –5x + 10, taxa de variação a = –5 
b) f(x) = 10x + 52, taxa de variação a = 10 
c) f(x) = 0,2x + 0,03, taxa de variação a = 0,2 
d) f(x) = –15x – 12, taxa de variação a = –15 
Exemplo 2 
Observe mais uma demonstração comprovando que a taxa de variação de uma função é dada pelo coeficiente angular da reta. A função dada é a seguinte: f(x) = –0,3x + 6. 
f(x) = –0,3x + 6 
f(x + h) = –0,3(x + h) + 6 → f(x + h) = –0,3x –0,3h + 6 
f(x + h) − f(x) = –0,3x –0,3h + 6 – (–0,3x + 6) 
f(x + h) − f(x) = –0,3x –0,3h + 6 + 0,3x – 6 
f(x + h) − f(x) = –0,3h 
A taxa de variação de uma função do 1º grau é determinada nos cursos superiores através do desenvolvimento da derivada de uma função. Para tal aplicação precisamos estudar alguns fundamentos envolvendo noções de Cálculo I. Mas vamos demonstrar uma situação mais simples envolvendo a derivada de uma função. Para isso considere as seguintes afirmações: 
A derivada de um valor constante é igual a zero. Por exemplo:
f(x) = 2 → f’(x) = 0 (lê-se f linha) 
A derivada de uma potência é dada pela expressão: 
f(x) = x² → f’(x) = 2*x2–1 → f’(x) = 2x 
f(x) = 2x³ – 2 → f’(x) = 3*2x3–1 → f’(x) = 6x² 
Portanto, para determinarmos a derivada (taxa de variação) de uma função do 1º grau, basta aplicarmos as duas definições demonstradas acima. Observe: 
f(x) = 2x – 6 → f’(x) = 1*2x1–1 → f’(x) = 2x0 → f’(x) = 2 
f(x) = –3x + 7 → f’(x) = –3 
 
Taxa de Variação da Função Afim
O parâmetro a de uma função afim f(x) = ax + b é chamado de taxa de variação (ou taxa de crescimento). Para obtê-lo bastam dois pontos quaisquer, porem distintos (g, f(g)) e (h, f(h)), da função considerada.
Assim, f(g) = ag +b e f(h) = ah + b, onde obtemos que f(h) – f(g) = a(h – g) e, portanto:
A taxa de variação a é sempre é sempre constante para cada função afim, e isso é uma característica importante das funções afins. Por exemplo, a taxa de variação da função afim f(x) = 5x + 2 é 5 e a da função g(x) = -2x + 3 é – 2.
Observação: a taxa de variação de uma função afim f(x) = ax + b pode ser obtida fazendo f(1) – f(0). Note que f(1) = a + b e f(0) = b. Logo, f(1) – f(0) = (a + b) – b = a. Assim, f(1) – f(0) = a.
Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x ∈ R. A lei que define função afim é:
f(x)=ax+b (a \in \mathbb{R})
O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox.
Domínio: D = R
Imagem: Im = R
São casos particulares de função afim as funções lineares e constante.
Função linear
Uma função definida por f: R→R chama-se linear quando existe uma constante a ∈ R tal que f(x) = ax para todo x ∈ R. A lei que define uma função linear é a seguinte:
f(x)=ax (a \in \mathbb{R})
O gráfico da função linear é uma reta, não perpendicular ao eixo Ox e que cruza a origem do plano cartesiano.
Domínio: D = R
Imagem: Im = R
Função constante
Uma função definida por f: R→R chama-se constante quando existe uma constante b R tal que f(x) = b para todo x ∈ R. A lei que define uma função constante é:
f(x)=b (b \in \mathbb{R})
O gráfico de uma função constante, é uma reta paralela ou coincidente ao eixo Ox q que cruza o eixo Oy no ponto de ordenada b.
Coeficientes numéricos
Cada coeficiente numérico de uma função caracteriza um elemento do gráfico dessa função.
• Coeficiente a: coeficiente angular de uma reta. A é igual à tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x.
a=y2−y1x2−x1
Quando a > 0, a função é crescente.
Quando a < 0, a função é decrescente.
• Coeficienteb: é a ordenada do ponto em que o gráfico de f cruza o eixo das ordenadas, ou seja, b = f(0).
A função afim é qualquer função que possua a lei de formação y = ax + b, sendo a e b números reais e a diferente de zero. Desse modo, uma função afim é também uma função do primeiro grau, pois não apresenta produto ou potência de variáveis. Vamos entender melhor o que é uma função?
→ O que é função?
Uma função é uma regra que liga cada elemento de um conjunto (domínio) a um único elemento de outro conjunto (contradomínio). Esses elementos são representados por letras, pois podem representar qualquer elemento de um conjunto.
Essa definição mostra que muitos elementos do primeiro conjunto podem estar ligados a um mesmo elemento do segundo e que o inverso é impossível.
A função y = 2x, por exemplo, com domínio nos números naturais, liga cada elemento do conjunto dos números naturais (números positivos e inteiros) a um único elemento do conjunto dos números pares. Observe os resultados:
Observe agora este segundo exemplo: a função y = 2x2, que possui domínio nos números inteiros. Observe alguns elementos do domínio e do contradomínio:
Cada número inteiro tem um único correspondente, embora simétricos possuam correspondente igual. O que a definição diz é que não podem existir elementos no domínio com dois resultados simultâneos no contradomínio.
Essa última função é do segundo grau por apresentar uma variável elevada ao quadrado. A primeira função é do primeiro grau por não apresentar expoente (ou apresentar expoente 1) na variável.
→ A função afim
As funções do primeiro grau podem ser apresentadas na forma de função afim. Na realidade, no Ensino Fundamental, todas as funções do primeiro grau são apresentadas dessa maneira. Portanto, qualquer função em que a e b são números reais e que y = ax + b, com a diferente de zero, é uma função afim.
Exemplos:
a) y = 2x + 1 é uma função afim, pois a = 2 e b = 1.
b) y = 2x é uma função afim, pois a = 2 e b = 0.
→ Gráfico da função afim
Como a função afim possui a mesma lei de formação das funções do primeiro grau vistas no Ensino Fundamental, o seu gráfico é igual ao gráfico da função do primeiro grau: uma reta.
Para desenhá-lo, siga este procedimento: Escolha dois valores de x e encontre os valores correspondentes de y a fim de obter dois pontos da reta. Marque esses pontos no plano cartesiano e ligue-os.
Exemplos:
a) Observe o gráfico da função y = 2x + 1 para o qual foram escolhidos os valores 1 e 2 para x e encontrados seus correspondentes y, que são iguais a 3 e 5:
b) Observe agora o gráfico da função y = – x + 2 para o qual foram escolhidos os valores 1 e 2 para x e encontrados seus correspondentes y (1 e 0):
 
Função Quadrática
Ao estudarmos a função afim vimos que sua lei de formação é baseada em um polinômio do primeiro grau na variável x. Analogamente a lei de formação de uma função quadrática é baseada num polinômio do segundo grau na variável x.
Toda função na forma , com (, e ) é denominada função quadrática, ou função polinomial do 2° grau.
Lembre-se que o polinômio ax2 + bx + c é um polinômio do segundo grau na variável x.
Representação Gráfica de uma Função Quadrática
Devido ao fato de o gráfico de uma função polinomial do 2° grau ser uma parábola e não uma reta, como no caso de uma função afim, para montarmos o seu gráfico não nos basta conhecer apenas dois pares ordenados pertencentes à curva da função, no caso da função quadrática precisamos de mais alguns pontos para termos uma boa ideia de como ficará a curva no gráfico.
Vamos analisar o gráfico ao lado e a tabela abaixo que contém alguns pontos deste gráfico:
	 x 
	y = -x2 + 10x - 14
	2
	y = -22 + 10 . 2 - 14 = 2
	3
	y = -32 + 10 . 3 - 14 = 7
	4
	y = -42 + 10 . 4 - 14 = 10
	5
	y = -52 + 10 . 5 - 14 = 11
	6
	y = -62 + 10 . 6 - 14 = 10
	7
	y = -72 + 10 . 7 - 14 = 7
	8
	y = -82 + 10 . 8 - 14 = 2
Na tabela temos cada um dos sete pontos destacados no gráfico.
Para traçá-lo primeiro identificamos no plano cartesiano cada um dos pontos sete pontos da tabela e depois fazemos as interligações, traçando linhas curvas de um ponto a outro seguindo a curvatura própria de uma parábola.
Normalmente é mais fácil traçarmos a parábola se a começarmos pelo seu vértice, que neste caso é o ponto (5, 11), visualmente o ponto máximo do gráfico desta parábola.
Ponto de Intersecção da Parábola com o Eixo das Ordenadas
De uma forma geral a parábola sempre intercepta o eixo y no ponto (0, c).
Na função y = -x2 + 10x - 14, vista acima, o coeficiente c é igual a -14, portanto a intersecção da parábola do gráfico da função com o eixo das ordenadas ocorre no ponto (0, -14).
Raiz da Função Quadrática
Observe no gráfico anterior que a parábola da função intercepta o eixo das abscissas em dois pontos. Estes pontos são denominados raiz da função ou zero da função.
Uma função quadrática possui de zero a duas raízes reais distintas.
Sendo a função, para encontramos as suas raízes basta igualarmos y a 0 e solucionarmos a equação do segundo grau obtida:
Estes são os valores de x que levam a y = 0, estes valores são portanto as raízes desta função.
Vértice e Concavidade da Parábola
Podemos observar que no gráfico da função y = -x2 + 10x - 14 o seu vértice é o ponto máximo e que a sua concavidade é para baixo.
Agora vamos observar o gráfico da função y = x2 + 3x + 1:
Como podemos perceber, esta outra parábola é côncava para cima e o seu vértice é o seu ponto mínimo.
Observando apenas a lei de formação das duas funções, qual o seu palpite para esta divergência entre os dois gráficos?
Vamos identificar os coeficientes destas funções.
Para a função y = -x2 + 10x - 14 temos:
Já para a função y = x2 + 3x + 1 temos:
Já tem algum palpite?
Observe que na primeira função o coeficiente a é negativo, ao passo que na segunda função este mesmo coeficiente é positivo.
O gráfico da função é côncavo para baixo quando a < 0:
Por outro lado quando a > 0 o gráfico da função tem a sua concavidade voltada para cima:
Coordenadas do Vértice da Parábola
A abscissa do vértice xv é dada pela fórmula:
Já ordenada do vértice yv pode ser obtida calculando-se yv = f(xv), ou ainda através da fórmula:
Vamos tomar como exemplo novamente a função y = -x2 + 10x - 14 e calcularmos as coordenadas do seu vértice para conferirmos com o ponto indicado na tabela inicial.
Seus coeficientes são:
Então para a abscissa do vértice xv temos:
A ordenada do vértice yv vamos obter pelas duas formas indicadas. Primeiro utilizando a fórmula, mas para isto antes precisamos calcular o discriminante da equação -x2 + 10x - 14 = 0:
Visto que o discriminante é igual a 44, a ordenada do vértice é:
Da outra maneira o cálculo seria:
Portanto o vértice da parábola é o ponto (5, 11) como apontado inicialmente pela tabela.
Valor Mínimo ou Máximo da Função Quadrática
Acima aprendemos a identificar pela lei de formação de uma função se a parábola do seu gráfico tem concavidade para cima ou para baixo e também aprendemos como calcular as coordenadas do vértice desta parábola.
Ficamos sabendo também que as funções polinomiais do 2° grau com coeficiente a < 0 possuem um valor máximo, ao ponto que quando o coeficiente a > 0 possuem um valor mínimo.
Com base nestes conhecimentos podemos calcular qual é o valor máximo ou mínimo de uma função quadrática.
Valor Mínimo e Ponto de Mínimo da Função Quadrática
Vamos analisar o gráfico da função f(x) = x2 - 4x + 5:
Os seus coeficientes são:
Esta função é côncava para cima, pois o seu coeficiente a > 0.
O ponto (2, 1) é o vértice da parábola.
2 é a abscissa do vértice, isto é xv, assim calculado:
1 é a ordenada do vértice, ou seja yv, que obtemos iniciando pelo cálculo do discriminante:
Conhecendo o discriminante podemos calcular yv:
Observe que para valores de x menores que a abscissa do vértice, o valor de y vai diminuindo até atingir um valor mínimo que é a ordenada do vértice ouf(xv).
Como xv = 2, então f(2) = 1 é o valor mínimo da função f e 2 é o ponto de mínimo da função f.
Para a > 0 o conjunto imagem da função polinomial do 2° grau é:
Valor Máximo e Ponto de Máximo da Função Quadrática
Vamos analisar agora este outro gráfico da função f(x) = -x2 + 4x + 2:
Os coeficientes da regra de associação desta função são:
Esta função é côncava para baixo já que o seu coeficiente a < 0.
O ponto (2, 6) é o vértice da parábola.
2 é a abscissa do vértice, ou seja xv, que calculamos assim:
6 é a ordenada do vértice, isto é yv, que agora vamos obter calculando f(xv) diretamente, em vez calcularmos primeiro o discriminante e a partir dele calcularmos yv, como fizemos no caso do valor mínimo:
Neste caso veja que para valores de x menores que a abscissa do vértice, o valor de y vai aumentando até atingir um valor máximo que é a ordenada do vértice, que como sabemos é f(xv).
Visto que xv = 2, então f(2) = 6 é o valor máximo da função f e 2 é o ponto de máximo da função f.
Para a < 0 o conjunto imagem da função quadrática é:
Para a entender a Função de 2º Grau - importante tema para o Enem -, acompanhe o seguinte raciocínio: na física, sabe-se que a trajetória de um projétil lançado obliquamente em relação ao solo horizontal é um arco de parábola com a concavidade voltada para baixo. 
 
Função Quadrática (Foto: Colégio Qi)
Adotando a origem O do sistema de eixos coordenados no ponto de lançamento, pode-se demonstrar que a altura atingida, num determinado instante, por esse projétil (ordenada y) e a distância alcançada, nesse mesmo instante, na horizontal (abscissa x) relacionam-se de acordo com a função definida pela sentença y = A.x2 + B.x, na qual A é uma constante que depende do ângulo de tiro, da velocidade vo de lançamento e da aceleração local da gravidade, e B é um valor constante que depende do ângulo do tiro. Tal função descrita acima é uma função polinomial do 2º grau ou também conhecida como função quadrática. Esta função tem aplicação em diversos cálculos.
Definição 
Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática é a função real definida por:
f(x) = ax2 + bx + c, 
onde a, b e c são coeficientes reais, sendo a ≠ 0. 
Vejamos alguns exemplos de função quadrática:
a) y = x2 – 5x + 6, na qual a = 1, b = -5 e c = 6
b) y = - x2 + x + 4, na qual a = - 1, b = 1 e c = 4 
c) y = 3x2 – 4x, na qual a = 3, b = -4 e c = 0 
d) y = 2x2 – 1, na qual a = 2, b = 0 e c = -1
PROPRIEDADES GRÁFICAS 
O gráfico da Função Polinomial do 2º Grau y = ax2 + bx + c é uma parábola cujo eixo de simetria é uma reta vertical, paralela ao eixo y ou até mesmo o próprio eixo y, passando pelo vértice da parábola. 
Função Quadrática (Foto: Colégio Qi)
Observe que o eixo de simetria intercepta o eixo x (eixo das abscissas) num ponto equidistante das raízes, além de interceptar a parábola em seu ponto de máximo ou em seu ponto de mínimo. A parábola terá ponto de máximo ou de mínimo de acordo com a sua concavidade. Observe isso atentamente agora.
Concavidade da parábola
A parábola pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. A parábola tem a concavidade voltada para cima quando a > 0 enquanto tem a concavidade voltada para baixo quando a < 0. Observe:
a > 0   a < 0
Interseção da parábola com o eixo x (eixo das abscissas):
A parábola intercepta o eixo x (eixo das abscissas) no ponto (x,0), ou seja, sempre que y for igual a zero. Logo, temos que ax2 + bx + c = 0. As raízes da função são raízes da equação do 2º grau, ou seja, x = -b ± b2-4ac2a 
Repare que, sendo ∆ = b2 – 4ac, podemos ter: 
Δ < 0 =  a parábola não intercepta o eixo Ox.
Δ = 0 =  a parábola é tangente ao eixo Ox.
Δ > 0 =  a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos.
Observe as possibilidades descritas abaixo:
Figura (Foto: Colégio Qi)
INTERSEÇÃO DA PARÁBOLA COM O EIXO Y (EIXO DAS ORDENADAS):
A parábola intercepta o eixo das ordenadas sempre quando temos o valor de x igual a zero, ou seja, y = a.02 + b.0 + c = 0 + 0 + c = c. Logo, a parábola intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0,c).
VÉRTICE DA PARÁBOLA:
O vértice da parábola determina o ponto de mínimo ou de máximo da função. Tal vértice será o par ordenado (xv,yv). Vamos determinar o xv:
Como o eixo de simetria passa pelo vértice e é equidistante as raízes, temos que o xv é a média aritmética das raízes. Para calcularmos a média aritmética entre duas raízes, basta somarmos os valores e, em seguida, dividir o resultado da soma por dois. Então, o xv será: 
xv = −
Exercício 
1 - (ENEM 2000) Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhece o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a rapidez e propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhece o boato, tem-se: R(x) = kx(P – x), em que k é uma constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a:
a) 11000
b) 22000
c) 33000
d) 38000
e) 44000
Solução: Sendo P = 44 000 temos R(x) = kx(44 000 – x)
R(x) = -kx2 + 44 000kx
Para se obter o número de pessoas onde teremos a máxima rapidez de propagação, basta utilizar o xv = - b/2a = -44 000/-2 = 22 000
Letra B. 
Toda expressão na forma y = ax² + bx + c ou f(x) = ax² + bx + c com a, b e c números reais, sendo a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. A representação gráfica de uma função do 2º grau é dada através de uma parábola, que pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. Veja:
Para determinarmos o ponto máximo e o ponto mínimo de uma função do 2º grau basta calcular o vértice da parábola utilizando as seguintes expressões matemáticas:
O ponto máximo e o ponto mínimo podem ser atribuídos a várias situações presentes em outras ciências, como Física, Biologia, Administração, Contabilidade entre outras.
Física: movimento uniformemente variado, lançamento de projéteis.
Biologia: na análise do processo de fotossíntese.
Administração: Estabelecendo pontos de nivelamento, lucros e prejuízos.
Exemplos
1 – Na função y = x² - 2x +1, temos que a = 1, b = -2 e c = 1. Podemos verificar que
a > 0, então a parábola possui concavidade voltada para cima possuindo ponto mínimo. Vamos calcular as coordenadas do vértice da parábola.
As coordenadas do vértice são (1, 0).
2 – Dada a função y = -x² -x + 3, temos que a = -1, b = -1 e c = 3. Temos a < 0, então a parábola possui concavidade voltada para baixo tendo um ponto máximo. Os vértices da parábola podem ser calculados da seguinte maneira:
As coordenadas do vértice são (-0,5; 3,25).
Concluímos que o vértice da parábola deve ser considerado um ponto notável, em razão da sua importância na construção do gráfico de uma função do 2º grau e sua relação com os pontos de valor máximo e mínimo.
No estudo da função do 2º grau percebemos que seu gráfico é uma parábola e que esse gráfico apresenta pontos notáveis e de bastante aplicação na vida cotidiana e no estudo de outras ciências. Esses pontos são: as raízes da função e o vértice da parábola. As raízes determinam quais os pontos onde o gráfico intercepta o eixo das abscissas (eixo x); o vértice pode ser o ponto de máximo absoluto ou de mínimo absoluto da função, ou seja, o maior ou o menor valor que a função pode assumir em todo o seu domínio. 
Iremos fazer um estudo dos pontos de máximo e mínimo absolutos da função do 2º grau e compreender sua utilidade nos contextos mais diversos. 
Considere uma função do 2º grau qualquer, do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0. Sabemos que seu gráfico é uma parábola e que a concavidade da parábola varia de acordo com o coeficiente a. Ou seja, 
Se a < 0 → a concavidade da parábola é voltada para baixo; 
Se a > 0 → a concavidade da parábola é voltada para cima; 
Sabemostambém que o valor de Δ = b2 – 4ac determina quantos pontos a parábola intercepta o eixo x. Ou seja, 
Δ > 0 → a função tem duas raízes reais, logo intercepta o eixo x em dois pontos; 
Δ < 0 → a função não possui raízes reais, logo não intercepta o eixo x; 
Δ = 0 → a função possui apenas uma raiz real, logo intercepta o eixo x em apenas um ponto; 
Vimos anteriormente que o vértice da parábola pode ser um ponto de mínimo absoluto ou de máximo absoluto, e o que determina um caso ou outro é a concavidade da parábola. 
Se a concavidade for voltada para baixo, a função apresenta ponto de máximo absoluto. 
Se a concavidade for voltada para cima, a função apresenta ponto de mínimo absoluto. 
As coordenadas do vértice da parábola são dadas por: 
Exemplo 1: Dadas as funções abaixo, determine se elas possuem ponto de máximo ou mínimo absoluto e as coordenadas desses pontos. 
a) f(x) = 3x2 – 4x + 1 
Solução: Observando a função, podemos afirmar que a = 3 > 0. Portanto, o gráfico da função é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Isso implica que a função apresenta um ponto de mínimo absoluto. Vimos que esse ponto é o vértice da parábola e para determinar suas coordenadas utilizamos as fórmulas: 
 Dessa forma, o ponto de máximo absoluto, que é o vértice da parábola, tem coordenadas:
Exemplo 2. O lucro de uma fábrica na venda de determinado produto é dado pela função 
L(x) = – 5x2 + 100x – 80, onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) é o lucro em reais. Determine: 
a) O lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos. 
Solução: Como a função que determina o lucro da fábrica, L(x) = – 5x2 + 100x – 80, é uma função do 2º grau, percebemos que        a = – 5 < 0. Isso implica que a parábola que representa essa função tem a concavidade voltada para baixo, tendo, portanto, um ponto de máximo absoluto, que é o vértice da parábola. O lucro máximo da empresa será dado pelo Yv (coordenada y do vértice). Assim, teremos: 
Portanto, o lucro máximo da fábrica será de R$ 420,00. 
b) Quantos produtos precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo. 
Solução: O número de produtos a serem vendidos para obtenção do lucro máximo será dado pelo Xv (coordenada x do vértice). Teremos: 
Concluímos que a fábrica precisa vender 10 produtos para obter o lucro máximo desejado.
Variação de Sinal da Função Polinomial do 2° Grau
Neste tópico vamos fazer o estudo do sinal da função quadrática e como fizemos no estudo da função afim, primeiramente vamos ver como calcular os zeros da função.
Zero ou Raiz da Função Polinomial do 2° Grau
Dada uma função quadrática definida por , com , e , temos que o zero ou raiz desta função é o valor de x que a anula, isto é, é o valor de x para o qual f(x) = 0, ou em outras palavras, é o valor de x que resulta em y = 0.
Vamos analisar o gráfico da função que pode ser visto ao lado:
Notamos que nos pontos (1, 0) e (3, 0), pertencente ao gráfico da função, temos o valor de x, que é 1 no primeiro ponto e 3 no segundo, anulando a função, isto é, cuja ordenada (y) é igual a zero. Então x = 1 e x = 3 são raízes da função.
No caso da função analisada vimos que a mesma possui duas raízes reais distintas, mas como veremos a seguir, uma função quadrática também pode possuir apenas uma raiz real, ou ainda não possuir qualquer raiz real.
Quando o elemento 0 não pertence ao conjunto imagem da função, esta não possui qualquer raiz, graficamente a parábola na corta o eixo das abscissas.
Quando o elemento 0 pertence ao conjunto imagem da função e todos os demais elementos da imagem são positivos ou todos os demais elementos são negativos, então a parábola apenas tangencia o eixo das abscissas e por isto a função tem somente uma raiz real.
Determinando as Raízes de uma Função Polinomial do 2° Grau
Vamos determinar algebricamente a raiz da função cujo gráfico temos acima.
Para que um valor x seja raiz da função, é necessário que f(x) = 0.
Realizando tal substituição na lei de formação da função temos:
Como a equação encontrada é uma equação do segundo grau, para determinarmos os valores de x que são raízes da função, basta encontrarmos as raízes desta equação:
Como era previsto, 3 e 1 são os valores de x que tornam y = 0. No gráfico os pontos (1, 0) e (3, 0) são os pontos representantes das raízes desta função.
Em resumo para encontrarmos as raízes de uma função quadrática basta substituirmos o f(x) ou y da lei de formação da função, por 0 e solucionarmos a equação do segundo grau encontrada, chegando assim às raízes da função, obviamente se existirem.
Estudo do Sinal de uma Função Quadrática
Estudar a variação do sinal de uma função polinomial do 2° grau é identificar para quais valores de x temos f(x) com valor negativo, nulo ou positivo.
Vamos analisar novamente o gráfico da função :
Para x < 1 ou x > 3, vemos no gráfico que f(x) > 0, já que estes pontos estão acima do eixo das abscissas.
Para x = 1 ou x = 3 temos que a função é nula, isto é, f(x) = 0.
Para x > 1 e x < 3 vemos no gráfico que f(x) < 0, visto que estes pontos estão abaixo do eixo das abscissas.
Então para a função temos que:
A função é negativa para .
A função é nula para .
A função é positiva para .
A representação também pode ser assim realizada:
Generalizando o Estudo da Variação do Sinal de uma Função Quadrática
Como vimos acima para realizarmos o estudo da variação do sinal de uma função quadrática precisamos conhecer as suas raízes e também se a parábola tem a sua concavidade voltada para cima ou para baixo.
Ao iniciarmos os estudos das funções polinomiais do 2° grau vimos que a direção da concavidade da parábola depende diretamente do coeficiente a da sua regra de associação.
Em função das raízes da função e da direção da concavidade da parábola temos seis possíveis situações distintas:
Função com Duas Raízes Reais e Concavidade Voltada para Cima
Neste caso temos duas raízes reais distintas x1 e x2, sendo x1 < x2.
A parábola corta o eixo das abscissas em dois pontos.
Temos o seguinte estudo da variação do sinal da função:
A função é negativa para .
A função é nula para .
A função é positiva para .
Função com Duas Raízes Reais e Concavidade Voltada para Baixo
Neste caso também temos duas raízes reais distintas x1 e x2, sendo x1 < x2.
A parábola igualmente corta o eixo das abscissas em dois pontos distintos.
Neste e no caso anterior temos que Δ > 0.
Estudando a variação do sinal da função temos:
A função é negativa para .
A função é nula para .
A função é positiva para .
Função com Uma Raiz Real e Concavidade Voltada para Cima
Nesta situação temos apenas uma raiz real xv que é a abscissa do vértice da parábola.
A parábola apenas tangencia o eixo das abscissas.
Temos o seguinte estudo da variação do sinal da função:
A função é nula para .
A função é positiva para .
Função com Uma Raiz Real e Concavidade Voltada para Baixo
Nesta outra situação também temos apenas uma raiz real xv correspondente a abscissa do vértice da parábola.
A parábola novamente apenas tangencia o eixo das abscissas.
Neste e no caso acima temos que Δ = 0.
O estudo da variação do sinal da função é o seguinte:
A função é nula para .
A função é negativa para .
Função sem Raízes Reais e Concavidade Voltada para Cima
Agora não temos qualquer raiz real.
A parábola não corta nem tangencia o eixo das abscissas em nenhum ponto.
O estudo da variação do sinal da função é então:
A função é positiva para .
Função sem Raízes Reais e Concavidade Voltada para Baixo
No sexto e último caso também não temos nenhuma raiz real.
A parábola igualmente não corta nem tangencia o eixo das abscissas em nenhum ponto.
Neste e no caso anterior temos que Δ < 0, além disto nestes casos o sinal a função é sempre igual ao sinal do coeficiente a.
O estudo da variação do sinal da função é:
A função é negativa para .
Estudar o sinal de uma função é determinar para quais valores reais de x a função é positiva,negativa ou nula. A melhor maneira de analisar o sinal de uma função é pelo gráfico, pois nos permite uma avaliação mais ampla da situação. Vamos analisar os gráficos das funções a seguir, de acordo com a sua lei de formação.
Observação: para construir o gráfico de uma função do 2º grau, precisamos determinar o número de raízes da função, e se a parábola possui concavidade voltada para cima ou para baixo.
∆ = 0, uma raiz real.
∆ > 0, duas raízes reais e distintas
∆ < 0, nenhuma raiz real.
Para determinar o valor de ∆ e os valores das raízes, utilize o método de Bháskara:
Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima
Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo 
1º Exemplo:
y = x² – 3x + 2
x² – 3x + 2 = 0
Aplicando Bháskara:
∆ = (−3)² – 4 * 1 * 2
∆ = 9 – 8
∆ = 1
 
 
 
A parábola possui concavidade voltada para cima em virtude de a > 0 e ter duas raízes reais e distintas.
Análise do gráfico
 x < 1 ou x > 2, y > 0
 Valores entre 1 e 2, y < 0
 x = 1 e x = 2, y = 0
2º Exemplo:
y = x² + 8x + 16
x² + 8x + 16 = 0
Aplicando Bháskara:
∆ = 8² – 4 * 1 * 16
∆ = 64 – 64
∆ = 0
 
 
A parábola possui concavidade voltada para cima, em virtude de a > 0 e uma única raiz real.
Análise do gráfico:
 x = –4, y = 0
 x ≠ –4, y > 0
3º Exemplo:
y = 3x² – 2x + 1
3x² – 2x + 1 = 0
Aplicando Bháskara:
∆ = (–2)² – 4 * 3 * 1
∆ = 4 – 12
∆ = – 8
A parábola possui concavidade voltada para cima em decorrência de a > 0, mas não possui raízes reais, pois ∆ < 0.
 
Análise do gráfico
 A função será positiva para qualquer valor real de x.
4º Exemplo:
y = – 2x² – 5x + 3
– 2x² – 5x + 3 = 0
Aplicando Bháskara:
∆ = (–5)² – 4 * (–2) * 3
∆ = 25 + 24
∆ = 49
 
 
 
 
A parábola possui concavidade voltada para baixo em face de a< 0 e duas raízes reais e distintas.
Análise do gráfico:
 x < –3 ou x > 1/2, y < 0
 Valores entre – 3 e 1/2, y > 0
 x = –3 e x = 1/2, y = 0
5º Exemplo:
y = –x² + 12x – 36
–x² + 12x – 36 = 0
Aplicando Bháskara:
∆ = 12² – 4 * (–1) * (–36)
∆ = 144 – 144
∆ = 0
A parábola possui concavidade voltada para baixo em decorrência de a < 0 e uma única raiz real.
Análise do gráfico:
 x = 6, y = 0
 x ≠ 6, y < 0
Sempre que estamos resolvendo uma equação do 2° grau, é possível que esta possua duas raízes, uma raiz ou não possua raízes reais. Resolvendo uma equação da forma ax2 + bx + c = 0, utilizando a Fórmula de Bhaskara, podemos visualizar as situações em que cada uma ocorre. A fórmula de Bhaskara é definida por:
x = – b ± √? , onde ? = b2 – 4.a.c
2.a                        
Então, se ? < 0, isto é, se ? for um número negativo, será impossível encontrar √?. Dizemos então que, se ? > 0, logo a equação não possui raízes reais. 
Caso tenhamos ? = 0, isto é, se ? for nulo, então √? = 0. Dizemos então que, se ? = 0, a equação possui apenas uma raiz real ou ainda podemos dizer que possui duas raízes idênticas.
Caso tenhamos ? > 0, isto é, se ? for um número positivo, então √? terá um valor real. Dizemos então que, se ? > 0, logo a equação possui duas raízes reais distintas.
Vale lembrar que em uma função do 2° grau, o gráfico terá o formato de uma parábola. Essa parábola terá concavidade para cima (U) se o coeficiente a que acompanha o x2 for positivo. Mas terá concavidade para baixo (∩) se esse coeficiente for negativo.
Tome uma função do 2° grau qualquer do tipo f(x) = ax2 + bx + c. Vejamos como essas relações podem interferir no sinal de uma função do 2° grau.
1°) ? < 0
Caso o ? da função do 2° grau resulte em um valor negativo, não há um valor de x, tal que f(x) = 0. Portanto, a parábola não toca o eixo x.
Quando o delta for negativo, a parábola não tocará o eixo x
2°) ? = 0
Caso o ? da função do 2° grau resulte em zero, então há apenas um valor de x, tal que f(x) = 0. Portanto, a parábola toca o eixo x em um único ponto.
Quando o delta for zero, a parábola tocará o eixo x em um único ponto
3°) ? > 0
Caso o ? da função do 2° grau resulte em um valor positivo, então há dois valores de x, tal que f(x) = 0. Portanto, a parábola toca o eixo x em dois pontos.
Quando o delta for positivo, a parábola tocará o eixo x em dois pontos
Vejamos alguns exemplos em que deveremos determinar o sinal de uma função do 2° grau em cada item:
	1) f(x) = x2 – 1
? = b2 – 4 . a . c
? = 02 – 4 . 1 . (– 1)
? = 4
?x1 = 1; x2 = – 1
	
A parábola toca o eixo x nos pontos x = 1 e x = – 1
	Essa é uma parábola com concavidade para cima e
que toca o eixo x nos pontos – 1 e 1.
f(x) > 0 para x < – 1 ou x > 1
f(x) = 0 para x = – 1 ou x = 1
?f(x) < 0 para 1 < x < 1
	
	2) f(x) = – x2 + 2x – 1
? = b2 – 4 . a . c
? = 22 – 4 . (– 1) . (– 1)
? = 4 – 4 = 0
?x1 = x2 = – 1
	
A parábola toca o eixo x apenas no ponto x = – 1
	 
Essa é uma parábola com concavidade para baixo e
que toca o eixo x no ponto – 1.
f(x) = 0 para x = – 1
f(x) < 0 para x ≠ – 1
	
	3) f(x) = x2 – 2x + 3
? = b2 – 4 . a . c
? = (–2)2 – 4 . 1 . 3
? = 4 – 12 = – 8
?Não existe raiz real.
	
A parábola não toca o eixo x
	Essa é uma parábola com concavidade para cima e
que não toca o eixo x.
f(x) > 0 para todo x real
	
Toda expressão matemática no formato: f(x) = ax² + bx + c é considerada uma função do 2º grau. O sinal de uma função depende dos valores de x, os quais determinam: 
f(x) > 0, função positiva 
f(x) < 0, função negativa 
f(x) = 0, função nula 
No caso de uma função do 2º grau, temos que o valor do discriminante (∆) e do coeficiente a determinam os seus sinais. 
∆ > 0, a função possui duas raízes reais e diferentes 
∆ = 0, a função possui uma única raiz 
∆ < 0, a função não possui nenhuma raiz 
a > 0, o gráfico da parábola possui concavidade voltada para cima 
a < 0, o gráfico da parábola possui concavidade voltada para baixo 
∆ > 0 
 
∆ = 0 
 
∆ < 0 
Estudo dos sinais da função quadrática: exercícios, exemplos e teoria 
Estudar o sinal de uma função, é determinar para quais valores reais de x a função é positiva, negativa ou nula. A melhor maneira de analisar o sinal de uma função é através do gráfico, pois permite-nos uma avaliação mais ampla da situação. Vamos analisar os gráficos das funções a seguir, de acordo com a sua lei de formação.
Observação: para construirmos o gráfico de uma função do 2º grau precisamos determinar o número de raízes da função, e se a parábola possui concavidade voltada para cima ou para baixo.
∆ = 0, uma raiz real.
∆ > 0, duas raízes reais e distintas
∆ < 0, nenhuma raiz real.
Para determinar o valor de ∆ e os valores das raízes, utilize o método de Bháskara.
Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima
Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo 
Exemplo 1
y = x² – 3x + 2
x² – 3x + 2 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = (−3)² – 4 * 1 * 2
∆ = 9 – 8
∆ = 1
A parábola possui concavidade voltada para cima em virtude de a > 0 e duas raízes reais e distintas.
Estudo dos sinais
 x < 1 ou x > 2, y > 0
 Valores entre 1 e 2, y < 0
 x = 1 e x = 2, y = 0
Exemplo 2
y = x² + 8x + 16
x² + 8x + 16 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = 8² – 4 * 1 * 16
∆ = 64 – 64
∆ = 0
A parábola possui concavidade voltada para cima, em virtude de a > 0 e uma única raiz real.
Estudo dos sinais
 x = –4, y = 0
 x ≠ –4, y > 0
Exemplo 3
y = 3x² – 2x + 1
3x² – 2x + 1 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = (–2)² – 4 * 3 * 1
∆ = 4 – 12
∆ = – 8
A parábola possui concavidade voltada para cima em decorrência de a > 0, mas não possui raízes reais, pois ∆ < 0.
 
Estudo dos sinais
 A função será positiva para qualquer valor real de x.
Exemplo 4
y = – 2x² – 5x + 3
– 2x² – 5x + 3 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = (–5)² – 4 * (–2) * 3
∆ = 25 + 24
∆ = 49
A parábola possui concavidade voltada para baixo em face de a< 0 e duas raízes reais e distintas.Estudo dos sinais:
 x < –3 ou x > 1/2, y < 0
 Valores entre – 3 e 1/2, y > 0
 x = –3 e x = 1/2, y = 0
Exemplo 5
y = –x² + 12x – 36
–x² + 12x – 36 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = 12² – 4 * (–1) * (–36)
∆ = 144 – 144
∆ = 0
A parábola possui concavidade voltada para baixo em decorrência de a < 0 e uma única raiz real.
Estudo dos sinais
 x = 6, y = 0
 x ≠ 6, y < 0
É definida por y = f (x) = ax² + bx + c, sendo a ≠ 0. 
Gráfico da função 
É uma curva aberta chamada parábola que possui os seguintes elementos: 
Concavidade: para cima (a > 0) e para baixo (a < 0). 
Ponto (0,c): onde a parábola intercepta o eixo y (eixo das ordenadas) 
Eixo de Simetria e: divide a parábola a partir do vérti-ce em pontos equidistantes. 
Raízes (X1 e X2): a parábola intercepta o eixo x (eixo das abscissas) 
Vértice (V): Ponto Máximo (a 0)
As coordenadas do vértice são dadas iguais pelas fórmulas:
 
 
(UFF) A equação da parábola que passa por (-2,0) e cujo vértice situa-se no ponto (1,3) é: 
 
 
Problemas de Máximos e Mínimos 
Devem ser tomadas duas providências: 
1º) Montar a função quadrática; 
2º) Calcular as coordenadas do vértice (Xv ou Yv)
 
 
(FUVEST) Uma caixa d`água tem a forma de paralele-pípedo reto-retângulo , cujas medidas internas são, em m, “x”, ” 20 – x” e “2”. O maior volume, em m³, que ela poderá conter é igual a: 
a) 150 
b) 200 
c) 220 
d) 250 
Solução: Valor do Volume: V = 2x.(20 – x)= – 2x² + 40x 
Letra b) 
Estudo do Sinal da Função Quadrática: 
 
 
(UFF) Determine o domínio da função real de variável real f, definida por: 
 
Trabalhar com funções compostas não apresenta grandes segredos, mas requer muita atenção e cuidado. Quando lidamos com uma composição de três ou mais funções, sejam elas do 1º grau ou do 2º grau, maior deve ser a preocupação. Antes de analisar alguns exemplos, vamos compreender a ideia central da composição de funções.
Imagine que você pretende fazer uma viagem de avião saindo do Rio Grande do Sul com destino ao Amazonas. Uma empresa aérea oferece uma passagem de voo direto e outra opção mais econômica, com três pontes aéreas, conforme o esquema a seguir:
Rio Grande do Sul → São Paulo → Goiás → Amazonas
Qualquer uma das opções de viagem levará ao destino pretendido, e assim também ocorre com a função composta. Veja a imagem a seguir:
Exemplo de como funciona uma composição de três funções
Que tal utilizarmos esse esquema para aplicar um exemplo? Considere então as seguintes funções: f(x) = x + 1, g(x) = 2x – 3 e h(x) = x². A composição f o g o h (lê-se: f composta com g composta com h) pode ser mais facilmente interpretada ao ser expressa como f(g(h(x))). Para resolver essa composição de funções, devemos começar pela função composta mais interna ou pela última composição, portanto, g(h(x)). Na função g(x) = 2x – 3, onde houver x, substituiremos por h(x):
g(x) = 2x – 3
g(h(x)) = 2.h(x) – 3
g(h(x)) = 2.(x²) – 3
g(h(x)) = 2.x² – 3
Agora faremos a última composição f(g(h(x))). Na função f(x) = x + 1, onde houver x, substituiremos por g(h(x)) = 2.x² – 3:
f(x) = x + 1
f(g(h(x))) = (2.x² – 3) + 1
f(g(h(x))) = 2.x² – 3 + 1
f(g(h(x))) = 2.x² – 2
Vejamos um exemplo para comprovar que, assim como aconteceu no caso do voo citado no início deste artigo, se escolhermos um valor para aplicar em f(g(h(x))), obteremos o mesmo resultado que ao aplicar separadamente nas composições. Se x = 1, temos que h(1) é igual a:
h(x) = x²
h(1) = 1²
h(1) = 1
Sabendo que h(1) = 1, vamos agora encontrar o valor de g(h(1)):
g(x) = 2x – 3
g(h(1)) = 2.h(1) – 3
g(h(1)) = 2.1 – 3
g(h(1)) = – 1
Por fim, vamos calcular o valor de f(g(h(1))), sabendo que g(h(1)) = – 1:
f(x) = x + 1
f(g(h(1))) = g(h(1)) + 1
f(g(h(1))) = – 1 + 1
f(g(h(1))) = 0
Encontramos que f(g(h(1))) = 0. Dessa forma, vamos ver se obtemos o mesmo resultado ao substituir x = 1 na fórmula da composição de funções que encontramos anteriormente: f(g(h(x))) = 2.x² – 2:
f(g(h(x))) = 2.x² – 2
f(g(h(1))) = 2.(1)² – 2
f(g(h(1))) = 2 – 2
f(g(h(1))) = 0
Portanto, realmente obtivemos o mesmo resultado como queríamos demonstrar. Vejamos ainda outro exemplo de composição de três ou mais funções:
Sejam as funções: f(x) = x² – 2x, g(x) = – 2 + 3x, h(x) = 5x³ e i(x) = – x, determine a lei da função composta f(g(h(i(x)))).
Começaremos a resolver essa composição pela função composta mais interna, h(i(x)):
i(x) = – x e h(x) = 5x³
h(x) = 5x³
h(i(x)) = 5.[i(x)]³
h(i(x)) = 5.[– x]³
h(i(x)) = – 5x³
Vamos agora resolver a composição g(h(i(x))):
h(i(x)) = – 5x³ e g(x) = – 2 + 3x
g(x) = – 2 + 3x
g(h(i(x))) = – 2 + 3.[h(i(x))]
g(h(i(x))) = – 2 + 3.[– 5x³]
g(h(i(x))) = – 2 – 15x³
Podemos agora determinar a lei da função composta f(g(h(i(x)))):
g(h(i(x))) = – 2 – 15x³ e f(x) = x² – 2x
f(x) = x² – 2x
f(g(h(i(x)))) = [g(h(i(x)))]² – 2[g(h(i(x)))]
f(g(h(i(x)))) = [– 2 – 15x³]² – 2[– 2 – 15x³]
f(g(h(i(x)))) = 4 – 60x³ + 225x6 + 4 + 30x³
f(g(h(i(x)))) = 225x6 – 30x³ + 8
Portanto, a lei da função composta f(g(h(i(x)))) é f(g(h(i(x)))) =  225x6 – 30x³ + 8
Para estudarmos o conteúdo relativo ao conceito de função identidade e suas propriedades, devemos relembrar um pouco sobre os principais conceitos de função do 1º grau (também chamada de função afim).Mas, por que há a necessidade de relembrarmos o estudo relativo a função afim? Veremos que a função identidade nada mais é que um  caso particular da função afim.
Uma função afim é definida em f: IR → IR por f(x) ax+b  para todo x ε IR, onde o coeficiente” a” é denominado de coeficiente angular da reta ou declividade, ao mesmo tempo o coeficiente ”b”  é denominado de coeficiente linear da reta, ou seja, onde a reta toca o eixo das ordenadas (eixo y). Devemos lembrar também que quando a > 0 temos o gráfico da função crescente (quanto maior o valor de “x” maior é o valor de “y”) e para  a < 0 o gráfico de uma função decrescente(quanto menor o valor de “x” maior o valor de “y” e vice-versa)
Agora passemos a falar do que realmente nos interessa que é o estudo da função identidade
A função identidade é definida por f(x) =x para todo x ε IR. Nesse caso temos a=1, b=0.
Relembrando um pouco da geometria analítica, temos que a declividade (a) de uma reta é definida por tg α, sendo assim  a declividade da função identidade é 45º,vejamos:
 a = tg α
1 = tg α
 α =45º
Sabendo disso podemos perceber que o gráfico de uma função identidade é nada mais que a bissetriz dos quadrantes ímpares(1º e 3º). Vejamos o seguinte;
Como o domínio de uma função identidade é definida em IR, podemos montar o gráfico dessa função para quaisquer valores contido no conjunto dos números reais.
F(x)=x
	Para x=-3
	 F(-3)=-3
	Para x=-2
	F(-2)=-2
	Para x=-1
	F(-1)=-1
	Para x=0
	F(0)=0
	Para x=1
	F(1)=1
	Para x=2
	F(2)=2
Podemos perceber que o conjunto domínio (x) terá sempre o mesmo valor que o conjunto imagem(y), a cada x associa-se um y de mesmo valor. A raiz dessa função é a origem do eixo cartesiano P(0,0).
Função Composta
Devemos entender que a função composta nada mais é que uma função “dentro” de outra. Usam-se duas notações para se representar uma composição de funções, ou seja: (1) F(g(x)) (2) Fog.
Cálculo de uma função composta
Para podermos calcular essa composição, devemos começar representando as funções de fora para dentro, ou seja, primeiro a função f(x) e logo em seguida a função g(x), “dentro” da primeira função. Quando por exemplo, calculamos f(1) na função f(x) = x + 2, basta substituirmos todas variáveis x pelo valor 1, então teríamos, pelo exemplo f(1) = 1 +2, então f(1) = 3. No caso da função composta é a mesma coisa, a mudança é apenas que ao invés de substituirmos o “x” por algum número, substituímos o “x” por uma função correspondente.
Função Inversa
Devemos entender que a função inversa “transforma” o que é domínio em imagem e “transforma” o que é imagem em domínio. Antes de fazermos essa transformação, devemos tomar cuidado para ver se a função é bijetora( injetora e sobrejetoraao mesmo tempo), pois se não for, não existirá função inversa.
Siga então os passos listados para encontrar a função inversa de dada função: (1) Verifique se a função dada é bijetora (2) Em caso afirmativo, substitua, onde existir “x” na função troque por “y” e vice-versa. (3) Isole o “y” Esses são os passos para se encontrar a função inversa.
A notação para a função inversa é dada a seguir: Função inversa= f-1 Ou seja, a notação da inversa é a função “elevada” a menos 1. Devemos lembrar que a notação f(x) é a mesma coisa que y.
Definição: Dada a função ƒ: A em B, chama-se função inversa de ƒ, indicada por ƒ -1(x), a função ƒ -1 : B em A que associa cada y de B ao elemento x de A, tal que y = ƒ(x).
 
OBS.: 
1) Apenas as funções bijetoras admitem função inversa.
Nota sobre Função Bijetora
Uma função ƒ: A em B é bijetora quando ƒ é sobrejetora e injetora.
Exemplo:
2) Regra Prática para obtenção de uma Função Inversa:
Trocar ƒ(x) ou a função que está representada por y.
Trocar x por y e y por x.
Isolar y para representá-lo como função de x.
Trocar y por ƒ -1 (x).
Exemplo:
1) Obter a função inversa da função ƒ(x) = 3x – 2.
ƒ(x) = 3x – 2
y = 3x – 2
x = 3y – 2
3y = x + 2
y = (x + 2)/3
ƒ -1 (x) = (x + 2)/3
Função Composta
Quando tratamos as porcentagens vimos como realizar um acréscimo percentual.
Vamos supor que uma pessoa, cujo salário mensal seja de R$ x, tenha obtido um reajuste salarial de 8,75%, então após este reajuste o salário desta pessoa passou a ser de R$ 1,0875x:
Na linguagem das funções se chamarmos de f a função que acrescenta o percentual de 8,75% ao salário, podemos assim defini-la:
Agora vamos dizer que após alguns meses esta pessoa obteve um outro aumento salarial, desta vez de 10%.
Se novamente atribuirmos a variável x ao valor do salário sem este novo reajuste, o novo salário será calculado por:
Que ao trabalharmos com funções, utilizando a letra g para representá-la, transcrevemos como:
Se a pessoa antes do primeiro reajuste salarial recebia R$ 1.000,00 por mês, utilizando tais funções, qual seria o novo salário após o segundo reajuste?
Vamos ao cálculo do primeiro reajuste salarial:
Então já que a pessoa passou a perceber R$ 1.087,50 mensais, então após o segundo reajuste o novo salário será:
Portanto a pessoa percebia R$ 1.000,00 inicialmente, quando após um reajuste de 8,75% passou a ter um salário de R$ 1.087,50 e com um novo reajuste de 10% chegou ao novo salário de R$ 1.196,25.
Como você pode perceber, partimos de um salário inicial e através de duas funções chegamos ao salário final.
Ainda utilizando tais funções, também podemos realizar os cálculos desta forma:
E como em nosso exemplo o salário inicial era de R$ 1.000,00, temos:
Fizemos uma composição de funções para, partindo de R$ 1.000,00, chegarmos aos R$ 1.196,25.
é uma função composta.
também pode ser representada por .
Então a função composta de g em f seria:
Generalizando a Composição de Funções
De uma forma geral, para duas funções definidas por e , denominamos de função composta de g em f a função definida por , sendo , com .
Representando a Composição de Funções no Diagrama de Flechas
Voltando ao nosso exemplo dos reajustes salariais, vamos dizer que tenhamos as seguintes definições de função:
Agora vamos observar o diagrama de flechas à direita.
O conjunto A contém os valores iniciais dos salários e é o domínio das funções e .
O conjunto B contém os salários após o primeiro reajuste. É também o contradomínio da função e é o domínio da função .
O conjunto C contém os valores finais dos salários e é o contradomínio das funções e .
No caso da função , note que o elemento R$ 1.141,88, do conjunto B, não está relacionado a nenhum elemento do conjunto A. Incluímos esta situação apenas para que você recorde que segundo o conceito de função, podem sobrar elementos não associados no conjunto de chegada, mas nunca no conjunto de partida. Veja que no conjunto A todos os elementos estão relacionados a um, e somente um, elemento do respectivo conjunto de chegada.
Os valores do conjunto A foram escolhidos aleatoriamente como exemplo.
Os valores do conjunto B, com exceção do elemento R$ 1.141,88, que também foi escolhido aleatoriamente, foram obtidos através de :
Os valores do conjunto C foram obtidos através :
Os valores do conjunto C também podem ser obtidos através de , mas neste caso o elemento R$ 1.256,07 não é imagem de nenhum elemento de A:
Normalmente f o g ≠ g o f
No começo deste artigo obtivemos a função g composta com f:
Mas também podemos obter a função composta f de g:
Note que neste caso , mas normalmente isto não ocorre.
Ocorreu neste caso, visto que ambas são funções lineares e como tais funções apenas multiplicam a incógnita x por um coeficiente real não nulo, a composição de f com g ou de g com f, não altera o resultado, pois como sabemos, a ordem dos fatores não altera um produto.
Outro Exemplo de Obtenção da Função Composta
Para encerrar este artigo vamos utilizar outras funções f e g e obter a composição de f com g e de g com f.
Utilizaremos as funções e .
Primeiramente vamos obter :
Agora vamos obter :
Neste caso você pode constatar que , pois:
Para demonstrar que as composições equivalem a aplicação consecutiva de duas ou mais funções, vamos calcular f(10) e g(10), depois iremos calcular f(g(10)) e g(f(10) para finalmente confrontarmos estes dois últimos resultados com as composições acima e constatarmos que elas simplificam a aplicação das duas funções.
Agora vamos calcular as composições:
Substituindo x por 10 temos:
Como podemos observar, se calcularmos g(10) e sobre o valor obtido aplicarmos a função f, teremos o mesmo resultado que aplicarmos a função composta (f o g)(10), ou seja, 1.203.
Com a aplicação inversa das funções, se calcularmos f(10) e sobre o valor obtido aplicarmos a função g, vamos obter o mesmo resultado que a aplicação da função composta (g o f)(10), que vem a ser 3.677.
Dado um conjunto X = {a, b, c, d ,e} e Y = { A, B, C , D , E}, definida como a função (f) que associa cada letra minúscula ao seu correspondente em maiúsculo.
Assim temos uma função bijetora do tipo:
f = { (a,A) , (b,B) , (c,C) , (d,D) , (e,E) }
Onde o domínio de f é: Dom(f) = X e
Imagem de f é: Im(f) = Y.
Agora iremos definir uma função f -1 como sendo a função que associa cada letra maiúscula ao seu correspondente em minúsculo.
Assim temos uma função bijetora do tipo:
f = { (A.a) , (B,b) , (C,c) , (D,d) , (E,e) }
Onde o domínio de f é: Dom(f-1) = Y e
Imagem de f é: Im(f-1) = X.
Definindo função inversa, se f é uma função bijetora assim para cada x tem-se um y correspondente, assim a inversa de f é a função f-1 que define que para cada y teremos um correspondente x.
Assim sempre teremos que o domínio de f será a imagem de f-1 , e a imagem de f será o domínio de f-1.
Regra prática: Sendo uma função bijetora f(x) = y teremos que a inversa de f, que será representada por f-1, será f(y) = x, ou seja f-1(x) = y.
Exemplo prático:
Seja uma função bijetora f(x) = 3x + 6, teremos que a inversa de f(x), ou seja f-1(x), será , pois y = 3x + 6 → para a inversa x = 3y + 6 , então .
Calcular f(3) temos f(3) = 3.3 + 6 = 15.
Agora ao calcularmos f-1(15) = (15-6)/3 = 3 . Assim percebe-se a relação entre a função e a sua inversa.
Conseqüência gráfica para este exemplo. (que pode ser generalizada)
Função Inversa
A função inversa ou invertível é um tipo de função bijetora, ou seja, ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo.
Recebe esse nome pois a partir de uma dada função, é possível inverter os elementos correspondentes de outra. Em outros termos, a função inversa cria funções a partir de outras.
Sendo assim, os elementos de uma função A possuem correspondentes em outra função B.
Portanto, se identificamos que uma função é bijetora, ela terá sempre uma função inversa, a qual é representada por f -1.
Dada uma função bijetora f: A → B com domínio A e imagemB, ela apresenta a função inversa f-1: B → A, com domínio B e imagem A.
Logo, a função inversa pode ser definida:
x = f-1 (y) ↔ y = f (x)
Exemplo
Dadas as funções: A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {-16, -2, 0, 2, 16} observe a imagem abaixo:
Assim, podemos compreender que o domínio de f corresponde a imagem de f-1. Já a imagem de f é igual ao domínio de f-1.
Gráfico da Função Inversa
O gráfico de determinada função e de sua inversa é representado pela simetria em relação à reta, onde y = x.
Função Composta
A função composta é um tipo de função que envolve o conceito de proporcionalidade entre duas grandezas.
Sejam as funções:
f (f: A → B)
g (g: B → C)
A função composta de g com f é representada por gof. Já a função composta de f com g é representada por fog.
fog (x) = f(g(x))
gof (x) = g(f(x))
Para determinar se uma função possui inversa é preciso verificar se ela é bijetora, pois os pares ordenados da função f devem pertencer à função inversa f–1 da seguinte maneira: (x,y) ? f -1 ↔ (y,x) ? f.
Dados os conjuntos A = {-2,-1,0,1,2} e B = {-5,-3,-1,1,3} e a função A→B definida pela fórmula y = 2x – 1, veja o diagrama dessa função abaixo:
Então: f = { (-2,-5); (-1,-3); (0,-1) ; (1,1) ; (2,3)}
Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está associado a um elemento diferente no conjunto da imagem. Por ser bijetora essa função admite inversa.
A sua função inversa será indicada por f -1: B→A definida pela fórmula x = (y+1)/2. Veja o diagrama abaixo:
Então: f -1 = {(-5,-2); (-3,-1) ; (-1,0); (1,1) ; (3,2)}
O que é domínio na função f vira imagem na f -1 e vice-versa.
Dada uma sentença de uma função y = f(x), para encontrar a sua inversa é preciso seguir alguns passos.
Dada a função y = 3x – 5 determinaremos a sua inversa da seguinte maneira:
1º passo: isolar x.
y = 3x – 5
y + 5 = 3x
x = (y + 5)/3
2º passo: troca-se x por y e y por x, pois é mais usual termos como variável independente a letra x.
y = (x + 5)/3
Portanto, a função f(x) = 3x – 5 terá inversa igual a f –1 (x) = (x + 5)/3
Exemplos 1
Dada a função f(x) = x²
Para que essa função seja bijetora, é necessário que seu domínio seja o conjunto dos reais positivos. Assumindo esse domínio para essa função, a sua inversa será:
Isolando x:
y = x²
√y = x
Invertendo x por y e y por x:
y = √x
Portanto, f –1(x) = √x
Exemplo 2
Dada a função , a sua inversa será:
Nessa resolução iremos seguir o processo contrário, veja:
Trocando x por y e y por x:
Isolando y:
x (3y – 5) = 2y +3
3xy – 5x = 2y + 3
3xy – 2y = 3 + 5x
y (3x – 2) = 3 + 5x
Portanto, a função inversa da função  será f -1(x) =  
O objetivo de uma função inversa é criar funções a partir de outras. Uma função somente será inversa se for bijetora, isto é, os pares ordenados da função f deverão pertencer à função inversa f –1 da seguinte maneira: (x,y) Є f –1 (y,x) Є f. 
Dado os conjuntos A = {–2,–1,0,1,2} e B = {3, 4, 5, 6, 7} e a função A→B definida pela fórmula f(x) = x + 5, veja o diagrama dessa função abaixo: 
Então: f = { (–2, 3) ; (–1, 4) ; (0, 5) ; (1, 6) ; (2, 7)} 
Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está ligado com um elemento diferente no conjunto imagem. Assim, podemos dizer que essa função, por ser bijetora, admite inversa. 
A sua função inversa será indicada por f –1: B→A, e será preciso realizar a troca entre x e y na função y = x + 5, dessa forma temos: x = y + 5 → –y = –x + 5 → y = x – 5, portanto f –1(x) = x – 5. 
Veja o diagrama abaixo:
Então: f –1(x)= {(3, –2); (4, –1) ; (5, 0); (6, 1) ; (7, 2)} 
O que é domínio na função f vira imagem na f –1(x)e vice e versa. 
Dada uma sentença de uma função y = f(x), para encontrar a sua inversa é preciso seguir alguns passos. Observe: 
Exemplo 1 
Dada a função f(x) = 3x -5, para determinarmos a sua inversa f –1(x) precisamos fazer uma troca x e y na expressão y = 3x – 5. Assim teremos x = 3y – 5, logo: 
x = 3y – 5 
–3y = –x –5 (multiplicar por –1) 
3y = x + 5 
y = (x + 5)/3 
Portanto, a função f(x) = 3x -5 terá inversa igual a f –1(x) = (x + 5)/3. 
Exemplo 2 
Dada a função f(x) = x² a sua inversa será: 
Realizando a troca entre x e y na expressão y = x² → x = y², logo: 
x = y² 
√x = √y² 
√x = y 
y = √x 
A função f(x) = x² terá inversa f –1(x) = √x 
Exemplo 3 
Determine a inversa da função f(x) = (2x+3)/(3x–5), para x ≠ 5/3. 
Realizando a troca entre x e y na expressão y = (2x+3)/(3x–5) → x = (2y+3)/(3y–5), logo: 
x = (2y+3)/(3y–5) 
x*(3y–5) = 2y + 3 
3yx – 5x = 2y + 3 
3yx – 2y = 5x + 3 
y(3x – 2) = 5x + 3 
y = (5x+3)/(3x–2), para x ≠ 2/3. 
Função é a relação do conjunto de chegada com o conjunto de partida, a forma que assumir essa relação poderá definir uma função como sendo par ou ímpar. 
Função par 
Será uma função par a relação onde o elemento simétrico do conjunto do domínio tiver a mesma imagem no conjunto de chegada. Ou seja, uma função será par se f(x) = f(-x). 
Por exemplo: a função A→B, com A = {-2,-1,0,1,2} e B = {1,2,5} definida pela fórmula f(x) = x2 + 1, obedece o seguinte diagrama: 
Veja nesse diagrama que os elementos simétricos do domínio, como o 2 e -2, possuem a mesma imagem. Por isso, essa função é uma função par. 
Outra forma de verificar se uma função é par é a seguinte: para que uma função seja par é preciso que f(x) = f(-x), então, se for dada a seguinte função f(x) = x2 + 1, basta substituir. 
Como f(x) = f(-x), então f(-x) = (-x)2 – 1 → f (-x) = x2 – 1. A função continuou a mesma depois da substituição, portanto, ela é uma função par. 
Função ímpar 
Será uma função ímpar a relação onde os elementos simétricos do conjunto do domínio terão imagens simétricas no conjunto de chegada. Ou seja, uma função será ímpar se 
f(-x) = -f(x). 
Por exemplo: a função A→B, com A = {-2,-1,0,1,2} e B = {-10,-5,0,5,10} definida pela fórmula f(x) = 5x, obedece o seguinte diagrama: 
Veja que os elementos simétricos do conjunto A como -2 e 2 possuem imagens simétricas. Por isso, essa função é uma função ímpar. 
Outra forma de verificar se uma função é ímpar é a seguinte: para que uma função seja ímpar é preciso que f(-x) = -f(x), então se for dada a seguinte função f(x) = 5x, basta testar se ela seria par. 
Como f(x) = f(-x), então f(-x) = 5 . (-x) → f (-x) = -5x. Como a função f(x) ≠ f(-x) e 
f(-x) = -f(x), dizemos que essa função é uma função ímpar. 
Função Par 
Estudaremos a forma pela qual se constitui a função f(x) = x² – 1, representada no gráfico cartesiano. Note que na função, temos: 
f(1) = 0; f(–1) = 0 e f(2) = 3 e f(–2) = 3. 
f(–1) = (–1)² – 1 = 1 – 1 = 0 
f(1) = 1² – 1 = 1 – 1 = 0 
f(–2) = (–2)² –1 = 4 – 1 = 3 
f(2) = 2² – 1 = 4 – 1 = 3 
Observe pelo gráfico que existe uma simetria em relação ao eixo y. As imagens dos domínios x = – 1 e x = 1 são correspondentes com y = 0 e os domínios x = –2 e x = 2 formam pares ordenados com a mesma imagem y = 3. Para valores simétricos do domínio, a imagem assume o mesmo valor. A esse tipo de ocorrência damos a classificação de função par. 
Uma função f é considerada par quando f(–x) = f(x), qualquer que seja o valor de x Є D(f). 
Função ímpar 
Analisaremos a função f(x) = 2x, de acordo com o gráfico. Nessa função, temos que: f(–2) = – 4; f(2) = 4. 
f(–2) = 2 * (–2) = – 4 
f(2) = 2 * 2 = 4 
Observe o gráfico e visualize que existe uma simetria em relação ao ponto das origens. No eixo das abcissas (x), temos os pontos simétricos (2;0) e (–2;0), e no eixo das ordenadas (y), temos os pontos simétricos (0;4) e (0;–4). Nessa situação, a função é classificada como ímpar. 
Uma função f é considerada ímpar quando f(–x) = – f(x), qualquer que seja o valor de x Є D(f). 
Relações de Girard nas equações do 3º e do 4º grau
As fundamentações de Girard são responsáveis pela relação existente entre os coeficientes de uma equação algébrica e suas raízes. Na equação do 2º grau, as relações são obtidaspor meio das fórmulas da soma e do produto: – b/a e c/a, respectivamente. 
As equações do 3º grau possuem como lei de formação a equação algébrica: ax³ + bx² + cx + d = 0, com a ≠ 0 e raízes x1, x2 e x3. A decomposição dessa equação permite a determinação de expressões matemáticas capazes de relacionar as raízes da equação. Observe: 
ax³ + bx² + cx + d = a[x³ – (x1+x2+x3)x² + (x1*x2 + x1*x3 + x2*x3) – x1*x2*x3 
Dividindo a equação por a, temos:
 
Realizando a igualdade entre os polinômios: 
x1 + x2 + x3 = – b/a 
x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a 
x1 * x2 * x3 = – d/a 
Os polinômios do 4º grau possuem a seguinte lei de formação: ax4 + bx³ + cx² + dx + e = 0. Nessa equação polinomial temos, no máximo, a existência de quatro possíveis raízes, as quais quando relacionadas, formam as seguintes expressões: 
x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a 
x1 * x2 + x1 * x3 + x1 * x4 + x2 * x3 + x2 * x4 + x3 * x4 = c/a 
x1 * x2 * x3 + x1 * x2 * x4 + x1 * x3 * x4 + x2 * x3 * x4 = – d/a 
x1 * x2 * x3 * x4 = e/a 
Exemplo 
Determine as relações de Girard para a equação algébrica: x³ + 7x² – 6x + 1 = 0, considerando x1, x2 e x3, as raízes da equação. 
Na equação, temos que: a = 1, b = 7, c = – 6 e d = 1. 
x1 + x2 + x3 = – b/a = –7/1 = –7 
x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a = –6/1 = – 6 
x1 * x2 * x3 = – d/a = –1/1 = –1 
Função Polinomial
Uma Função Polinomial é uma função dada por um polinômio, ou seja, para todo x pertencente ao domínio da função, encontramos o valor de y na imagem da função calculando o valor de  um polinômio no valor de x do domínio.
Exemplos:
3+2" width="500" height="500" />
y=(3x^3)+2
f(x)=2x-1
g(x)=(4x^5)+(πx^2)-3
y=9
f(x)=0
O grau de um polinômio é o maior expoente da variável x. Nos casos acima, os graus são respectivamente: 3, 1, 5, 0 e para o último caso (polinômio nulo) não definimos grau.
Quando multiplicamos dois polinômios f(x) e g(x), o resultado é um polinômio que tem grau igual à soma do grau de ambos.
A soma de dois polinômios f(x) e g(x) tem grau menor ou igual ao maior do grau de ambos.
A divisão de dois polinômios f(x) e g(x) em geral não é um polinômio. No caso de ser polinômio, dizemos que g(x) divide f(x).
Quando dizemos que um polinômio p(x) pertence a Z[x],R[x] ou C[x] significa que seus coeficientes são números inteiros, reais ou complexos respectivamente.
Se p(x) é um polinômio de grau n, então  pelo Teorema Fundamental da Álgebra ele possui n raízes complexas, ou seja, existem n valores,repetidos ou não, tal que o polinômio se a nula (p(x)=0 ) neles
Os exemplos mais importantes de funcões polinomiais são:
A função constante , que é uma função polinomial de grau 0,
f(x)=k, k constante, e  que assume o mesmo valor k para todo x no domínio de f.
A função afim, f(x)=ax+b, a≠0, é uma função polinomial de grau 1 com b≠0.
No caso de b=0 então f(x)=ax ,e a função é dita linear, exemplo importantíssimo pois nesse caso, vale:
f(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f(x)+f(y) → f(x+y)=f(x)+f(y), aditividade. e
f(kx)=a(kx)=k(ax)=k.f(x) → f(kx)=k.f(x) xDom f, homogeneidade.
Se a>0, então a função afim é crescente e se a<0 ela é decrescente.Vamos dar um exemplo:
Seja  f(x)=2x-4 , função afim crescente. Para fazer seu gráfico basta obter dois pontos. Podemos escolher os pontos, vamos tomar x=0 e x=2. Então f(0)=-4 e f(2)=0,assim o gráfico  de f representa uma reta que passa pelos pontos (0; -4) e (2; 0) no plano cartesiano, como abaixo:
Outro exemplo de grande utilidade e importância de função polinomial é  a função quadrática f(x)=ax^2+b^x+c, a≠0, que tem grau 2, cujo gráfico é uma parábola.
Toda função na forma P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 é considerada uma função polinomial, onde p(x) está em função do valor de x. A cada valor atribuído a x existe um valor em y, pois x: domínio da função e y: imagem.
O grau de um polinômio é expresso através do maior expoente natural entre os monômios que o formam. Veja:
g(x) = 4x4 + 10x2 – 5x + 2: polinômio grau 4.
f(x) = -9x6 + 12x3 - 23x2 + 9x – 6: polinômio grau 6.
h(x) = -3x3 + 9x2 – 5x + 6: polinômio grau 3.
Em uma função polinomial, à medida que os valores de x são atribuídos descobrimos os respectivos valores em y [p(x)], construindo o par ordenado (x,y) usado nas representações gráficas no plano cartesiano. Observe:
Dada a função polinomial p(x) = 2x3 + 2x2 – 5x + 1. Determine os pares ordenados quando:
x = 0
p(x) = 2x3 + 2x2 – 5x + 1
p(0) = 2*03 + 2*02 – 5*0 + 1
p(0) = 0 + 0 – 0 + 1
p(0) = 1
par ordenado (0,1)
x = 1
p(1) = 2*13 + 2*12 – 5*1 + 1
p(1) = 2 + 2 – 5 + 1
p(1) = 0
par ordenado (1,0)
x = 2
p(2) = 2*23 + 2*22 – 5*2 + 1
p(2) = 2*8 + 2*4 – 10 + 1
p(2) = 16 + 8 – 10 + 1
p(2) = 15
par ordenado (2,15)
Polinômio nulo
Dizemos que um polinômio é nulo quando todos os seus coeficientes forem iguais a zero. P(x) = 0.
Identidade entre polinômios
Dois polinômios são idênticos quando todos os seus coeficientes são números iguais. Observe:
ax2 + (b+3)x +(c–7) ≡ –2x2 + 6x – 9
Para que esses polinômios sejam idênticos os coeficientes de mesmo grau precisam ser iguais, então:
a = – 2
b + 3 = 6 b = 6 – 3 b = 3
c – 7 = – 9 c = – 9 + 7 c = – 2
(a+2)x3 + (b-26)x2 + (c+6)x +(d-7) ≡ 2x3 + 5x2 + 2x - 9
a+2 = 2               a = 2-2                a = 0
b-26 = 5              b = 5+26            b = 31
c+6 = 2                c = 2-6               c = -4
d-7 = - 9              d = -9+7             d = -2
Considere dois polinômios: A(x) denominado dividendo e B(x) denominado divisor, com B(x) ≠ 0. 
Na divisão de A por B obtemos a função polinomial Q, denominada quociente, e a função polinomial R denominada resto, onde A(x) ≡ B(x) . Q(x) + R(x) e o grau do resto é menor que o grau do divisor. 
Veja a representação:
Veja no exemplo abaixo que se o grau do divisor for maior que o grau do dividendo, conseqüentemente o quociente será nulo e o resto será igual ao dividendo.
Exemplo: 
Dividindo A(x) = x2 + 3x + 3 por B(x) x3 + 4x4 + 5 obtemos Q(x) = 0 e R(x) x2 + 3x + 3 
Veja: 
Agora veja um exemplo em que gr(A) ≥ gr(B): 
Dividindo A(x) = x3 + 3x + 4 por B(x) = x2 – 1, obtemos Q(x) = x e R(x) = 4x + 4 
Veja: 
Cálculo de Q e R 
A existência e a unicidade do quociente (Q) e do resto (R) da divisão de A por B, sendo B ≠ 0, é garantida. Ambos podem ser calculados através do Método da Chave. 
Método da chave 
Considerando os polinômios A e B já reduzidos e ordenados, podemos dizer que o Método da Chave é mecanismo prático que tem a função de obter o quociente (Q) e o resto (R), em diversas etapas, de uma forma semelhante a que fazemos na divisão euclidiana de números naturais. 
Exemplo: 
Na divisão A(x) = 2x3 + 7x2 + 4x – 4 por B(x) = x2 + 2x – 3 através do Método da Chave, temos: 
1) Primeiro grupo de operações: 
Dividimos o primeiro fragmento do dividendo pelo primeiro fragmento do divisor, obtendo assim a primeira parcela do quociente, e logo depois o primeiro resto parcial. 
Lembre-se que: R = A – B . Q 
Conclusões: 
►Como há o cancelamento do primeiro fragmento, o grau do dividendo é maior que o grau do resto parcial. 
►2x3 + 7x2 + 4x – 4 ≡ (x2 + 2x – 3) . (2x) + (3x2 + 10 – 4) 
►Como o grau do resto parcial não é menor que o grau do divisor, podemos dizer que a divisão ainda não foi concluída. 
2) Segundo grupo de operações 
Dividimos o primeiro fragmento do primeiro resto parcial pelo primeiro fragmento do divisor, obtendo assim o próximo fragmento do quociente, e logo depois o segundo resto parcial. 
Lembre-se que: R = A – B . Q 
Conclusões: 
►Como há o cancelamento do primeiro fragmento, o grau do primeiro resto parcial é maior do que o grau do segundo resto parcial. 
►2x3 + 7x2 + 4x – 4 ≡ (x2 + 2x – 3) . (2x + 3) + (4x + 5) 
►Como o grau do divisor é maior do que o grau do segundo resto parcial, podemos dizer que a divisão foi concluída. 
Portanto: 
Da divisão 2x3 + 7x2 + 4x – 4 por x2 + 2x – 3 obtemos: 
Q(x) = 2x + 3 
R(x) = 4x + 5 
Método de Descartes 
É um método também conhecidocomo Método dos Coeficientes a Determinar, que tem como funções 
– formar o quociente Q, em função de coeficientes a serem determinados, sendo que gr(Q) = gr(A) – gr(B). 
– formar o resto R, em função de coeficientes a serem determinados, sendo que gr(R) < gr(B) ou R(x) ≡ 0. 
– aproveitar a definição da divisão. 
– através da identificação dos polinômios, obter os coeficientes Q e R.
Como encontrar raízes de polinómios de terceiro grau
Este é de facto um tema não debatido ao longo da nossa formação em Matemática, mas definitivamente muito útil nas mais diversas tarefas com que alguém se pode deparar, desde a simples análise da expressão de uma função até ao cálculo de limites, integrais, etc. Note-se que existe sempre pelo menos uma raiz real de um polinómio de terceiro grau, pelo que este problema tem sempre, pelo menos, uma solução real.
Antes de mais, devemos recordar o teorema fundamental da álgebra e as implicações naturais que derivam deste. O resultado mais relevante que daqui se pode retirar é:
Dado um polinómio complexo de ordem n,
este terá n raízes complexas
(excluindo multiplicidades) e podemos escrever:
Num contexto real, devemos ter em conta que poderão não existir as n raízes, mas nunca poderá dar-se o caso de nenhuma raiz existir. A minha sugestão é proceder-se sempre ao cálculo das raízes complexas e, se o exercício apenas tomar uma dimensão real, desconsiderar as raízes em que a parte imaginária é diferente de zero. Tendo em conta o uso da fórmula resolvente, o facto de se considerar números complexos não obrigada a um vasto conhecimento desta área, mas antes da igualdade fundamental desta dimensão
Portanto o problema de encontrar raízes de terceiro grau é resumido ao problema de encontrar uma raiz em um polinómio de terceiro grau. Muito honestamente, isto usualmente faz-se por um processo tentativa erro, apesar de existir uma "fórmula resolvente" para polinómios do terceiro grau (com uma expressão geral pouco prática)
Posto tudo isto, então como se procede para encontrar as raízes de um polinómio de terceiro grau? De uma forma geral, podemos definir este polinómio como:
onde a, b, c, d são os coeficientes, constantes, do polinómio de terceiro grau. Ora, d não depende de x, portanto faz sentido tentar igualar tudo o que depende da nossa variável a este valor independente. Para isso, tomamos os divisores de d, isto é, os números que permitam que a divisão de d por eles dê resto nulo. Um desses divisores será uma raiz do polinómio e, através desta, podemos fatorizar o polinómio de terceiro grau num produto de um polinómio de primeiro grau com um de segundo. 
Finalmente, podemos aplicar a fórmula resolvente ao polinómio que obtemos como coeficiente desta divisão de polinómios e encontrar as restantes raízes do polinómio de terceiro grau. Note-se que esta não é uma técnica infalível mas apenas uma muito útil na grande maioria dos casos. Para além desta, costuma ser útil colocar x em evidência, ou expressões de primeiro grau, dado que assim já determinámos uma raiz para o problema. 
Nota: A divisão supra referida pode ser simplesmente feita através da chamada regra de Ruffini; um exemplo explicado pode ser encontrado em http://mathworld.wolfram.com/SyntheticDivision.html.
Por exemplo, tomemos o polinómio
Os divisores de 1 são 1 e -1. Substituindo x por -1 na expressão percebemos que este é de facto uma raiz do polinómio. Assim, temos que
Claramente que
e realizando a divisão dos polinómios chegamos a
e este último terá como raízes i e -i. Assim, as raízes de P(x) são -1, i e -i.
Este mesmo processo pode ser aplicado a polinómios com coeficientes diferentes da unidade. Seja
os divisores de 18 são 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 9, -9. Claro que o processo parece moroso, tendo em conta o número de divisores de 18 tem, mas à priori podemos, fazendo aquilo a que se chama uma análise "a olho", excluir 9, -9, 6, -6 dado queeque são números demasiado elevados para conseguirmos anular com o remanescente da expressão) e (por um motivo contrário) 1 e -1. Testando chegaríamos mesmo a que -3 é raiz do polinómio e assim ficávamos com:
e de uma forma natural seríamos capazes de determinar que as raízes do polinómio serão:
Quando nenhuma manipulação ou teste permitir chegar a qualquer raiz do polinómio (que não deverá acontecer em qualquer cadeira/disciplina de matemática que tomem ao longo da formação académica) sobram os processos numéricos, como o método da bissecção ou o método de Newton-Raphson, ou a "fórmula resolvente" para grau 3.
Polinômio
Um polinômio qualquer pode ser representado pela expressão:
a0 xn  +  a1 xn – 1 +  a2 xn -2  + ... +  an – 1 x + an
A função polinomial será definida por:
P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn -2 + ... + an – 1x + an
Com:
a0 , a1 , a2, … , an – 1 e an são números complexos e n  N. 
• Valor numérico de um polinômio 
Se observarmos um polinômio qualquer P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 – x + 2, para acharmos o seu valor numérico que é o valor de P(x), temos que ter um valor para a incógnita x.
Então, se dissermos que x = 2 o valor que encontrarmos para P(2) quando substituirmos x por 2 será o valor numérico do polinômio.
P(2) = 5 . 24 – 3 . 23 + 22 – 2 + 2
P(2) = 5 . 16 – 3 . 8 + 4 – 2 + 2
P(2) = 80 – 24 + 4
P(2) = 56 + 4
P(2) = 60
Concluímos que o valor numérico do polinômio P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 – x + 2, quando
x = 2 será P(2) = 60.
• Raiz ou zero do polinômio
Se pegarmos um polinômio qualquer P(x) = - 2x3 + 5x2 – x + 1 = 0, a raiz dele será um número qualquer b se, somente se, o valor numérico do polinômio for zero quando
x = b.
Exemplo:
P(x) = x2 - 1, para calcularmos o zero da função, devemos colocar P(x) = 0, então:
x2 - 1 = 0
x2 = 1
x = + 1 ou - 1
Concluímos que -1 e +1 é raiz do polinômio P(x) = x2 - 1.
• Grau de um polinômio
Um polinômio é formado por vários monômios separados por operações, então o grau de um polinômio corresponde ao monômio de maior grau. O único polinômio que não possui grau é o polinômio nulo P(x) = 0, por exemplo:
• P(x) = x3 - x2 + 2x -3   →   temos 3 monômios que possuem grau, o que tem maior grau é x3, então o polinômio tem o mesmo grau que ele.
P(x) = x3 - x2 + 2x -3 é do 3º grau.
• P(x) = 5x0 = 5 → grau zero.
Resolução da equação do 3.º grau (ou cúbica)
A forma canónica da equação cúbica ou do 3.º grau é
com 
O método de resolução usual começa por transformá-la noutra, fazendo a substituição :
Dividindo por e ordenando o polinómio do lado esquerdo pelas potências decrescente de , obtemos — se escolhermos 
— uma nova equação cúbica (em ) à qual falta o termo do 2.º grau:
cujos coeficientes são:
e
Se exprimirmos a variável na soma de duas outras 
a equação transforma-se em
(Sobre outro método de resolução ver adenda que basicamente transcreve o meu post Resolução da equação do 3.º grau (ou cúbica) II)
Uma solução de é a dada pelo sistema em e 
Somos assim conduzidos ao problema de achar dois números e dos quais se sabe a soma e o produto . Como é bem sabido esses números são as duas soluções e da equação auxiliar do 2.º grau:
De facto
e
Resolvendo-a determinamos
Nesta notação o discriminante é igual a
.
Consideremos, sem perda de generalidade, e . Introduzindo e em , obtemos a solução :
    
ou seja
e uma solução da equação inicial
Conhecida a solução , podemos determinar as duas restantes e decompondo o polinómio do primeiro membro de num produto de factores lineares:
ou
Os dois polinómios são equivantes se tiverem iguais coeficientes homólogos:
Novamente temos de determinar dois números e dos quais se conhece a soma () e o produto (). Para esse fim formamos a equação do 2.º grau:
que resolvida dá as soluções
As três soluções da equação em são então:
No caso do discriminante ser negativo, , convertemos os complexos conjugados e à forma trigonométrica
Os módulos são iguais:
e os argumentossão simétricos, sendo o de :
As três raízes cúbicas de e são ()
Obtemos, respectivamente, para , e as três soluções da equação :
e as da equação original :
 Exemplos
1. Determine as soluções da equação
  
 Os coeficientes são:
Pondo
a equação transforma-se em
uma vez que os seus coeficientes são
e
As suas soluções são , a que correspondem as da equação na forma canónica 
2. Resolva
Agora temos
Como era de esperar a substituição é
e os coeficientes da equação em 
são simplesmente os da equação inicial divididos por :
e
O discriminante é negativo
Assim, como :
Tentando diminuir os erros de cálculo, reparemos que o inteiro é uma solução. Se recalcularmos as outras duas, obtemos as soluções exactas:
e
3. Resolva a equação
Os coeficientes são:
Fazendo a substituição
obtém-se a equação
em que
e
Uma solução da equação em é dada pela fórmula resolvente
a que corresponde a solução da equação em :
As restantes soluções da equação em são
e, portanto, as da equação em são
Adenda: a equação seguinte aparece nesta questão de Rajesh K Singh no MSE
As três soluções são
* * *
ADENDA (do meu post Resolução da equação do 3.º grau (ou cúbica) II):
Além do método indicado acima para resolver a equação cúbica reduzida em 
que consiste em exprimir a variável na forma , tomei recentemente conhecimento, nesta resposta de user 170039, à questão Derivation of Cubic Formula de MathNoob, no Mathematics Stack Exchange, da substituição , em que a constante .
Através dela obtém-se a equação em 
ou seja, para , a equação do 6.º grau seguinte — do 2.º grau em 
O leitor poderá verificar que os dois métodos conduzem à mesma fórmula resolvente; por exemplo, escolhendo a solução , tem-se
No estudo do valor numérico de um polinômio, notamos que para cada valor que atribuímos à variável x, encontramos um valor numérico para o polinômio.
A raiz de um polinômio é denotada pelo valor que a variável assume de modo que o valor numérico do polinômio seja igual a zero. Na linguagem matemática, seria assim:
Antes de compreendermos o conceito de raiz, vamos relembrar a forma geral de um polinômio de grau n.
O termo “raiz” é visto pela primeira vez como a solução de uma equação, entretanto você deve lembrar que aquela equação estava igual a zero, sendo o zero o valor numérico da equação.
As raízes polinomiais possuem grande importância para a construção de gráficos dos polinômios, afinal, com essas raízes podemos encontrar os pontos onde a função intersecta o eixo das abscissas (eixo x).
Problemas envolvendo raízes polinomiais podem aparecer, normalmente, de duas maneiras. Em uma verifica-se se o valor informado para a variável levará ao valor numérico zero, ou seja, se este valor é a raiz do polinômio; e na outra maneira deverá ser encontrada a raiz do polinômio.
Um fato importante a ser ressaltado é que a quantidade de raízes de um polinômio está diretamente relacionada ao grau deste polinômio. Por exemplo, um polinômio de grau 2 poderá ter no máximo duas raízes, sendo estes números complexos ou não. Por sua vez, o polinômio de grau 3 terá no máximo 3 raízes.
Exemplos:
Verifique se 1 é a raiz do polinômio: p(x)=x³+2x²-2x-1.
Caso 1 seja raiz, teremos que p(1)=0. Vamos verificar se isso é verdade.
Portanto, o valor x=1 é uma das raízes do polinômio p(x)=x³+2x²-2x-1. Existem outras raízes, mas este é um assunto para outro artigo.
Sabendo que 1 é raiz do polinômio p(x)=(x-3)²+m (m ϵ R), determine o valor de m.
Como 1 é raiz do polinômio, temos que 
Polinômio em uma variável
Um polinômio em uma variável x é a soma de termos (expressões) da forma axn, onde a é um número real e n é um número natural.
Por exemplo, as expressões
4x2 - 3x, x4 - 2x3 + x, 4x - 12x5 são polinômios na variável x.
As expressões
, - 1, x-2 + x3
não são polinômios em x
Note que a primeira expressão é um quociente de dois polinômios, e as duas outras têm expoentes que não são naturais.
Um polinômio com um único termo chama-se monômio, com dois termos chama-se binômio e, com três termos, trinômio.
	Monômios
	Binômios
	Trinômios
	(um termo)
	(dois termos)
	(três termos)
	4x3
	2x2 + 4x
	x2 + 2x + 3
	
	- 7x5 + 2
	- x4 + 7x2 + x
2. Grau
Grau de um Monômio
Se a 0, o grau de axn é n
Por exemplo, -7x5 tem grau 5; 3 é um monômio de grau zero: 3 = 3x0.
Para o monômio axn = 0, onde a = 0, não se define grau.
Grau de um polinômio
O grau de um polinômio é o mesmo grau do termo do polinômio com maior grau.
Por exemplo, o polinômio 12x5 - 2x2 + 4x + 7 tem grau 5.
3. Função polinomial
Polinômios em uma variável x são denotados por expressões como
	P(x)
	
	Lê-se: “P de x”
onde a letra dentro do parênteses representa a variável do polinômio.
Expressões como:
P(x) = x5 - 3x4 + 2x - 2
são chamadas funções polinomiais
De um modo geral, damos a definição que segue.
Função Polinomial é uma função da forma
P(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0
onde an 0, chama-se função polinomial de grau n. Os números a0, a1, a2, ........ , an são os coeficientes do polinômio. O número a0 é o termo independente; o número an é o coeficiente dominante.
4. Raiz de um polinômio
Seja a função polinomial
P(x) = x3 - 3x2 + 4
Para calcular o valor dessa função para um dado valor de sua variável, usamos o mesmo procedimento usado para calcular valores de uma função. Por exemplo, para calcular o valor da função polinomial P(x) para x = 1, substituímos x por 1 e efetuamos as operações indicadas.
P(x) = x3 - 3x2 + 4
P(1) = (1)3 - 3(1)2 + 4
= 1 - 3 + 4
= 2
Raiz da Função Polinomial
Seja P(x) uma função polinomial; se c é um número tal que P(c) = 0, dizemos que c é uma raiz de P(x).
As afirmações seguintes se equivalem, isto é, significam a mesma coisa:
1. c é uma raiz de P(x)
2. x = c é uma raiz da equação P(x) = 0
3. (c; 0) é um intercepto - x do gráfico de P(x).
Exemplo
Para x = 2, o valor da função P(x) = x2 - 5x + 6 é
P(2) = 22 - 5 . 2 + 6
= 4 - 10 + 6
= 0
Então, 2 é uma raiz de P(x) = x2 - 5x + 6; também, 2 é uma raiz da equação
P(x) = x2 - 5x + 6 = 0.s
5. Dividindo polinômio
Sabemos resolver equações do 1º e 2º graus. Para resolvermos equações polinomiais de ordem superior (3º, 4º, ..... graus) é útil poder fatorar os polinômios. Ampliar nossos conhecimentos de fatoração é nosso objetivo; com isso aumentamos nossa capacidade para resolver equações.
Vamos, então, descrever como se efetua a divisão de polinômios.
Por exemplo, para dividir 4x2 - 16x + 4 (divisor) por x - 2 (dividendo), dispomos os polinômios da seguinte forma:
	
	
	Do dividendo substituímos 4x2 –8x, obtendo o polinômio R1
	
	Dividimos o termo de maior grau de R1
pelo termo de maior grau do divisor
	
	
	Multiplicamos os divisores por  -8
	 
	
	Do polinômio R1 substituímos
–8x + 16, obtendo R
	
	
	A divisão termina quando o polinômio obtido na última linha tem grau menor que o divisor (ou é nulo).
O resultado obtido pode ser interpretado da seguinte forma:
	Divisão
Se A(x) e B(x) são polinômios, com B(x) 0, dividir A(x) por B(x) é determinar o par de polinômios Q(x) e R(x) tais que
A(x) = B(x) . Q(x) + R(x)
onde R(x) é 0 ou tem grau menor que B(x). Os polinômios A(x) e B(x) denominam-se dividendo e divisor, respectivamente; Q(x) é o quociente e R(x) é o resto.
Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio: 
p(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 de grau n, com n ≥ 1. Veja alguns exemplos: 
x4 + 9x2 – 10x + 3 = 0 
10x6 – 2x5 + 6x4 + 12x3 – x2 + x + 7 = 0 
x8 – x6 – 6x + 2 = 0 
x10 – 6x2 + 9 = 0 
As raízes de uma equação polinomial constituem o conjunto solução da equação. Para as equações em que o grau é 1 ou 2, o método de resolução é simples e prático. Nos casos em que o grau dos polinômios é 3 ou 4, existem expressões para a obtenção da solução. 
Teorema Fundamentalda Álgebra (TFA) 
Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa. 
Exemplo 1 
Determine o valor do coeficiente K, sabendo que 2 é a raiz da equação: 
2x4 + kx3 – 5x2 + x – 15 = 0 
Se 2 é raiz da equação, então temos: 
2(2)4 + k(2)3 – 5(2)2 + 2 – 15 = 0 
2*16 + k*8 – 5*4 + 2 – 15 = 0 
32 + 8k – 20 + 2 – 15 = 0 
8k + 34 – 35 = 0 
8k – 1 = 0 
8k = 1
k = 1/8 
Temos que o valor do coeficiente k é 1/8.
Exemplo 2 
Determine o valor de m, sabendo que –3 é raiz da equação: mx3 + (m + 2)x2 – 3x – m – 8 = 0. 
Temos que: 
m(–3)3 + (m + 2)( –3)2 – 3(–3) – m – 8 = 0 
m(–27) + (m + 2)(9) + 9 – m – 8 = 0 
–27m + 9m + 18 + 9 – m – 8 = 0 
–27m + 9m – m = 8 – 18 – 9 
– 19m = –19 
m = 1 
O valor de m é 1. 
Um polinômio qualquer pode ser representado pela expressão:
a0 xn  +  a1 xn – 1 +  a2 xn -2  + ... +  an – 1 x + an
A função polinomial será definida por:
P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn -2 + ... + an – 1x + an
Com:
a0 , a1 , a2, … , an – 1 e an são números complexos e n  N. 
• Valor numérico de um polinômio 
Se observarmos um polinômio qualquer P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 – x + 2, para acharmos o seu valor numérico que é o valor de P(x), temos que ter um valor para a incógnita x.
Então, se dissermos que x = 2 o valor que encontrarmos para P(2) quando substituirmos x por 2 será o valor numérico do polinômio.
P(2) = 5 . 24 – 3 . 23 + 22 – 2 + 2
P(2) = 5 . 16 – 3 . 8 + 4 – 2 + 2
P(2) = 80 – 24 + 4
P(2) = 56 + 4
P(2) = 60
Concluímos que o valor numérico do polinômio P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 – x + 2, quando
x = 2 será P(2) = 60.
• Raiz ou zero do polinômio
Se pegarmos um polinômio qualquer P(x) = - 2x3 + 5x2 – x + 1 = 0, a raiz dele será um número qualquer b se, somente se, o valor numérico do polinômio for zero quando
x = b.
Exemplo:
P(x) = x2 - 1, para calcularmos o zero da função, devemos colocar P(x) = 0, então:
x2 - 1 = 0
x2 = 1
x = + 1 ou - 1
Concluímos que -1 e +1 é raiz do polinômio P(x) = x2 - 1.
• Grau de um polinômio
Um polinômio é formado por vários monômios separados por operações, então o grau de um polinômio corresponde ao monômio de maior grau. O único polinômio que não possui grau é o polinômio nulo P(x) = 0, por exemplo:
• P(x) = x3 - x2 + 2x -3   →   temos 3 monômios que possuem grau, o que tem maior grau é x3, então o polinômio tem o mesmo grau que ele.
P(x) = x3 - x2 + 2x -3 é do 3º grau.
• P(x) = 5x0 = 5 → grau zero.
Função Modular
Inicialmente definimos módulo de um número real como |x| , ou valor absoluto de x.
Entende-se módulo como: , assim o significado destas sentenças é:
i) o módulo de um número real não negativo é o próprio número.
ii) o módulo de um número real negativo é o oposto do número.
Exemplo:
|1| = 1 , |–3| = 3 , |+5| = 5, – | – 1| = –1.
Conseqüências importantes:
Função Modular é aquela que associa a cada elemento x real um elemento |x| 
Para que o conceito de função fique claro adotamos a notação de uma função f(x) = |x|, como sendo:
Sendo que o gráfico de f(x) = |x| é semelhante ao gráfico de f(x) = x, sendo que a parte negativa do gráfico será “refletida” sempre para um f(x) positivo.
Um outro exemplo para uma função modular seria a função modular do 2º grau ,
sendo f(x) = |x2 – 4| , assim : , assim temos o gráfico:
Estabelecemos uma função através da relação entre duas grandezas (duas incógnitas), sendo que uma incógnita será dependente e essa terá que estar relacionada com apenas um valor que será a incógnita independente.
Seguindo essa definição, será considerada função modular toda função onde essa incógnita independente estiver dentro de módulos. Veja exemplos de funções modulares:
f(x) = |x| ou y = |x|, onde y incógnita dependente e x incógnita independente.
f(x) = |x -1|
f(x) = |x – 3| + 2
f(x) =  x2
          |x|
Considerando a definição de módulo de um número real, podemos definir função modular como sendo:
Função modular é toda função dos reais para os reais, escrita pela lei f(x) = |x|, sendo caracterizada da seguinte forma:
f(x) =  x, se x ≥ 0
         -x, se x < 0
Exemplo 1:
Construa o gráfico de função modular f(x) = |2x2 – 4x|. Aplicando a definição de módulo, teremos:
f(x) = 2x2 – 4x se 2x2 – 4x ≥ 0 
      -(2x2 – 4x) se -2x2 + 4x < 0
2x2 – 4x ≥ 0
2x2 – 4x = 0
x’ = 0
x” = 2
-2x2 + 4x < 0
-2x2 + 4x =0
x’ = 0
x” = 2
A união dos dois gráficos, considerando a definição de módulo, formará o gráfico da função f(x) = |2x2 – 4x|.
Função modular é a função (lei ou regra) que associa elementos de um conjunto em módulos.
O módulo é representado entre barras e seus números são sempre positivos, ou seja, mesmo que um módulo seja negativo seu número será positivo:
1) |x| é = x se x ≥ 0, ou seja, |0| = 0, |2| = 2
Exemplos:
4 + |5| = 4 + 5 = 9
|5| - 4 = 5 - 4 = 1
2) |-x| é = x se x < 0, ou seja, |-1| = 1, |-2| = 2
Exemplos:
|-2| . |-6| = -(-2) . -(-6) = 2. 6 = 12
|-8 + 6| = |-2| = 2
Gráfico
Ao representar um módulo negativo, o gráfico para na intersecção e volta a fazer o sentido ascendente.
Isso porque tudo o que fica abaixo tem valor negativo e os módulos negativos sempre tornam-se números positivos:
Exemplo:
	x (domínio)
	y (contradomínio)
	-2
	|-2| = 2
	-1
	|-1| = 1
	0
	|0| = 0
	1
	|1| = 1
	2
	|2| = 2
Propriedades
Todo x ∊ R, temos |x| = |-x|
Todo x ∊ R, temos |x2| = |x|2= x2
Todo x e y ∊ R, temos |x.y| = |x| . |y|
Todo x e y ∊ R, temos |x + y| ≤ |x| + |y|
Repare que os números reais são o domínio de cada uma das funções acima.
Função Quadrática
A função quadrática, também chamada de função polinomial de 2º grau, é uma função representada pela seguinte expressão:
f(x) = ax2 + bx + c
Donde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Exemplo: f(x) = 4x2 + 6x + 10,
sendo,
a = 2
b = 3
c = 5
Nesse caso, o polinômio da função quadrática é de grau 2.
Como Resolver a Função Quadrática?
Confira abaixo o passo-a-passo por meio um exemplo de resolução de função quadrática:
Exemplo:
Determine a, b e c na função quadrática dada por: f(x) = ax2 + bx + c, sendo:
f (–1) = 8
f (0) = 4
f (2) = 2
Primeiramente, vamos substituir o x pelos valores de cada função e assim teremos:
f (–1) = 8
a (–1)2 + b (–1) + c = 8
a – b + c = 8 (equação I)
f (0) = 4
a . 02 + b . 0 + c = 4
c = 4 (equação II)
f (2) = 2
a . 22 + b . 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (equação III)
Pela segunda função f (0) = 4, já temos o valor de c = 4. Assim, vamos substituir o valor obtido para c nas equações I e III para determinar as outras incógnitas (a e b):
(Equação I)
a – b + 4 = 8
a – b = 4
a = b + 4
Já que temos a equação de a pela Equação I, vamos substituir na III para determinar o valor de b:
(Equação III)
4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = – 2
4 (b + a) + 2b = – 2
4b + 16 + 2b = – 2
6b = – 18
b = – 3
Por fim, para encontrar o valor de a substituímos os valores de b e c que já foram encontrados. Logo:
(Equação I)
a – b + c = 8
a – (– 3) + 4 = 8
a = – 3 + 4
a = 1
Sendo assim, os valores das incógnitas da função quadrática dada são:
a = 1
b = – 3
c = 4
Gráficos
Os gráficos das funções polinomiais são representados por curvas, chamadas de parábolas.
Dependendo do valor de a na expressão y = ax2 + bx + c, a parábola pode ser:
a > 0: a parábola apresenta uma concavidade voltada para cima.
a < 0: a parábola apresenta uma concavidade voltada para baixo.
Sendo assim, o valor de a vai definir a concavidade da parábola.
A partir dos pares ordenados dados (x; y), podemos construir a parábola num plano cartesiano, por meio da ligação entre os pontos encontrados.
Obs: os gráficos de funções de 1º grau são representados por retas e não parábolas.
Zero da Função
O chamado zero da função ou raiz da função, faz referência aos valores de x tais que f(x) = 0.
As raízes da função são determinadas pela resolução da equação de segundo grau igualada a zero:
ax2 +bx + c = 0
Nesse caso, ela é dada pela Fórmula deBhaskara.
Exemplo: Encontre os zeros da função:
f(x) = x2 – 5x + 6
a = 1
b = – 5
c = 6
x = 3 e x = 2
Portanto, as raízes são 2 e 3.
Observe que a quantidade de raízes de uma função quadrática vai depender do valor obtido pela expressão: Δ = b2 – 4. ac, o qual é chamado de discriminantes.
Assim,
Se Δ > 0, a função terá duas raízes reais e distintas (x1 ≠ x2);
Se Δ < 0, a função não terá uma raiz real;
Se Δ = 0, a função terá somente uma raiz real, ou ainda, uma raiz dupla (x1 = x2).
Função Exponencial
Função Exponencial é aquela que a variável está no expoente e cuja base é sempre maior do que zero e diferente de um. Ou seja, a base nunca terá valor negativo, nem iguais a zero ou um.
Isso porque 1 elevado a qualquer número resulta em 1. Assim, em vez de exponencial, estaríamos diante de uma função constante.
Exemplos:
f(x) = 4x
f(x) = (0,1)x
f(x) = (⅔)x
Nos exemplos acima 4, 0,1 e ⅔ são as bases, enquanto x é o expoente.
Gráfico
Para entender melhor, vamos construir um gráfico que representa a função exponencial localizando os seus respectivos valores:
	x
	y = 2x
	Gráfico
	2
	y = 22 = 4
	1
	-2
	y = 2-2 = (1/2)-2 = 1/4
	2
	0
	y = 20 = 2
	3
Função Crescente ou Decrescente
A função exponencial pode ser classificada em função crescente ou função decrescente.
Na representação gráfica da função, as bases cujos valores são maiores do que 1 assumem o sentido crescente.
Gráfico representativo da função exponencial em sentido crescente
Por sua vez, as bases cujos valores são menores do que 1 assumem o sentido decrescente.
Gráfico representativo da função exponencial em sentido decrescente
A função exponencial relaciona-se com a função logarítmica na medida em que uma corresponde ao inverso da outra.
Função Composta
A função composta, também chamada de função de função, é um tipo de função matemática que combina duas ou mais variáveis.
Sendo assim, ela envolve o conceito de proporcionalidade entre duas grandezas, e que ocorre por meio de uma só função.
Dada uma função f (f: A → B) e uma função g (g: B → C), a função composta de g com f é representada por gof. Já a função composta de f com g é representada por fog.
fog (x) = f(g(x))
gof (x) = g(f(x))
Note que nas funções compostas as operações entre as funções não são comutativas. Ou seja, fog ≠ gof.
Assim, para resolver uma função composta aplica-se uma função no domínio de outra função. E, substitui-se a variável x por uma função.
Exemplo
Determine o gof(x) e fog(x) das funções f(x) = 2x + 2 e g(x) = 5x.
gof(x) = g[f(x)] = g(2x+2) = 5(2x+2) = 10x + 10
fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 2 = 10x + 2
Função Inversa
A função inversa é um tipo de função bijetora (sobrejetora e injetora). Isso porque os elementos de uma função A possui um elemento correspondente de uma função B.
Sendo assim, é possível trocar os conjuntos e associar cada elemento de B com os de A.
A função inversa é representada por: f -1
Exemplo:
Dada as funções A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5, 7} e definida pela lei y = 2x – 1, temos:
Logo,
A função inversa f -1 é dada pela lei:
y = 2x – 1
y +1 = 2x
x = y + ½
Função Inversa
A função inversa ou invertível é um tipo de função bijetora, ou seja, ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo.
Recebe esse nome pois a partir de uma dada função, é possível inverter os elementos correspondentes de outra. Em outros termos, a função inversa cria funções a partir de outras.
Sendo assim, os elementos de uma função A possuem correspondentes em outra função B.
Portanto, se identificamos que uma função é bijetora, ela terá sempre uma função inversa, a qual é representada por f -1.
Dada uma função bijetora f: A → B com domínio A e imagem B, ela apresenta a função inversa f-1: B → A, com domínio B e imagem A.
Logo, a função inversa pode ser definida:
x = f-1 (y) ↔ y = f (x)
Exemplo
Dadas as funções: A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {-16, -2, 0, 2, 16} observe a imagem abaixo:
Assim, podemos compreender que o domínio de f corresponde a imagem de f-1. Já a imagem de f é igual ao domínio de f-1.
Gráfico da Função Inversa
O gráfico de determinada função e de sua inversa é representado pela simetria em relação à reta, onde y = x.
Função Composta
A função composta é um tipo de função que envolve o conceito de proporcionalidade entre duas grandezas.
Sejam as funções:
f (f: A → B)
g (g: B → C)
A função composta de g com f é representada por gof. Já a função composta de f com g é representada por fog.
fog (x) = f(g(x))
gof (x) = g(f(x))
Função Injetora
A função injetora, também chamada de injetiva, é um tipo de função que apresenta elementos correspondentes em outra.
Assim, dada uma função f (f: A → B), todos os elementos da primeira têm como imagem elementos distintos de B. No entanto, não há dois elementos distintos de A com a mesma imagem de B.
Além da função injetora, temos:
Função Sobrejetora: todo elemento do contradomínio de uma função é imagem de pelo menos um elemento do domínio de outra.
Função Bijetora: é uma função injetora e sobrejetora, onde todos os elementos de uma função são correspondentes de todos os elementos de outra.
Exemplo
Dada funções: f de A = {0, 1, 2, 3} em B = {1, 3, 5, 7, 9} definida pela lei f(x) = 2x + 1. No diagrama temos:
Observe que todos os elementos da função A possui correspondentes em B, no entanto, um deles não está correspondido (9).
Gráfico
Na função injetora, o gráfico pode ser crescente ou decrescente. Ele é determinado por uma reta horizontal que passa por um único ponto. Isso porque um elemento da primeira função possui um correspondente na outra.
Exercícios de Vestibular com Gabarito
1. (Unifesp) Há funções y = f(x) que possuem a seguinte propriedade: “a valores distintos de x correspondem valores distintos de y”. Tais funções são chamadas injetoras. Qual, dentre as funções cujos gráficos aparecem abaixo, é injetora?
Alternativa e
Função Bijetora
A função bijetora, também chamada de bijetiva, é um tipo de função matemática que relaciona elementos de duas funções.
Desse modo, os elementos de uma função A possuem correspondentes em uma função B. Importante notar que elas apresentam o mesmo número de elementos em seus conjuntos.
A partir desse diagrama, podemos concluir que:
O domínio dessa função é o conjunto {-1, 0, 1, 2}. O contradomínio reúne os elementos: {4, 0, -4, -8}. Já o conjunto imagem da função é definido por: Im(f) = {4, 0, -4, -8}.
A função bijetora recebe esse nome pois ela é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Em outras palavras, uma função f: A → B é bijetora quando f é injetora e sobrejetora.
Na função injetora, todos os elementos da primeira têm como imagem elementos distintos da outra.
Já na função sobrejetora, todo elemento do contradomínio de uma função é imagem de pelo menos um elemento do domínio de outra.
Exemplos de Funções Bijetoras
Dada as funções A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5, 7} e definida pela lei y = 2x – 1, temos:
Vale notar que a função bijetora sempre admite uma função inversa (f -1). Ou seja, é possível inverter e relacionar os elementos de ambas:
Outros exemplos de funções bijetoras:
f: R → R tal que f(x) = 2x
f: R → R tal que f(x) = x3
f: R+ → R+ tal que f(x) = x2
f: R* → R* tal que f(x) = 1/x
Gráfico Função Bijetora
Confira abaixo o gráfico de uma função bijetora f(x) = x + 2, onde f: [1; 3] → [3; 5]:
Função Sobrejetora
A função sobrejetora, também chamada de sobrejetiva é um tipo de função matemática que relaciona elementos de duas funções.
Na função sobrejetora, todo elemento do contradomínio de uma é imagem de pelo menos um elemento do domínio de outra.
Em outras palavras, numa função sobrejetora o contradomínio é sempre igual ao conjunto imagem.
f: A → B, ocorre a Im(f) = B
No diagrama acima temos que o domínio dessa função sobrejetora reúne os elementos {-2, -1, 1, 3}. Já o contradomínio é o conjunto representado por {12, 3, 27} e o conjunto imagem é {12, 3, 27}.
Além da funçãosobrejetora, há mais dois tipos:
Função Injetora: trata-se de uma função onde todos os elementos da primeira possuem como imagem elementos distintos da segunda.
Função Bijetora: corresponde a uma função que ao mesmo tempo é injetora e sobrejetora. Dessa forma, todos os elementos de uma função são correspondentes de todos os elementos de outra.
Gráfico da Função Sobrejetora
No gráfico de uma função sobrejetora notamos que a imagem da função é igual a B: Im(f) = B.
Exercícios de Vestibular com Gabarito
1. (UFMG-MG) Seja f a função de IR em IR, dada pelo gráfico a seguir. É correto afirmar que:
a) f é sobrejetora e não injetora.
b) f é bijetora.
c) f(x) = f(-x) para todo x real.
d) f(x) > 0 para todo x real.
e) o conjunto imagem de f é ] - ∞; 2 ]
Alternativa a: f é sobrejetora e não injetora.
2. (UFT) Seja a um número real e f : ]–∞, ∞[→[a , ∞[ uma função definida por f(x) = m2x2 + 4mx + 1, com m ≠ 0. O valor de a para que a função f seja sobrejetora é:
a) –4
b) –3
c) 3
d) 0
e) 2
Alternativa b: –3
Números Reais
Chamamos de Números Reais o conjunto de elementos, representado pela letra maiúscula R, que inclui os:
Números Naturais (N): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Números Inteiros (Z): Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Números Racionais (Q): Q = {...,1/2, 3/4, –5/4...}
Números Irracionais (I): I = {...,√2, √3,√7, 3,141592....}
Conjunto dos Números Reais
Para representar a união dos conjuntos, utiliza-se a expressão:
R = N U Z U Q U I ou R = Q U I
Onde:
R: Números Reais
N: Números Naturais
U: União
Z: Números Inteiros
Q: Números Racionais
I: Números Irracionais
Diagrama dos conjuntos numéricos
Ao observar a figura acima, podemos concluir que:
O conjunto dos números Reais (R) engloba 4 conjuntos de números: Naturais (N), Inteiros (Z), Racionais (Q) e Irracionais (I)
O conjunto dos números Racionais (Q) é formado pelo conjuntos dos Números Naturais (N) e dos Números Inteiros (Z). Por isso, todo Número Inteiro (Z) é Racional (Q), ou seja, Z está contido em Q.
O Conjunto dos Números Inteiros (Z) inclui os Números Naturais (N); em outras palavras, todo número natural é um número inteiro, ou seja, N está contido em Z.
Função modular 
Função é uma lei ou regra que associa cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B de contradomínio. A função modular é uma função que apresenta o módulo na sua lei de formação.
De maneira mais formal, podemos definir função modular como:
f(x) = |x| ou y = |x|
A função f(x) = |x| apresenta as seguintes características:
f(x) = x, se x≥ 0
ou
f(x) = – x, se x < 0
Essas características decorrem da definição de módulo.
Exemplo 1. Construa o gráfico da função f(x) = | –x|
Solução: primeiro vamos analisar o gráfico da função acima sem a utilização do módulo na sua lei de formação, ou seja, vamos fazer o gráfico de g(x) = – x 
O módulo presente na lei da função faz com que a parte do gráfico que se localiza abaixo do eixo x “reflita” no momento em que toca o eixo x. Mas por quê? Simples, a parte do gráfico abaixo do eixo x representa os valores negativos de y e, como o módulo de um número é sempre um valor positivo, o gráfico de f(x) = |– x| fica:
A parte do gráfico que está azul é parte que sofreu ação do módulo.
Exemplo 2. Construa o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x|
Solução: pela definição de módulo, temos que:
f(x) = x2 – 3x, se x≥ 0
e
f(x) = – (x2 – 3x), se x<0 
Daí, segue que:
x2 – 3x = 0
x = 0 ou x = 3, logo :
Temos também que:
– (x2 – 3x) = 0
x = 0 ou x = 3
Daí, segue que:
Unindo as partes dos dois gráficos que se encontram acima do eixo x teremos o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x|
Para entender função modular - tema que cai nos vestibulares e no Enem - devemos compreender o que é módulo. Em seguida, através de exercícios, resolveremos algumas equações modulares e falaremos sobre a função modular: o que muda ao inserirmos um módulo à função?
Módulo
Antes de falar da função modular, vamos relembrar a definição e como calcular o módulo de um número. O módulo é a distância de um determinado número até o zero. Por exemplo, o módulo de 13 é a distância entre o 13 e o 0. Para nos deslocarmos do 13 ao 0, andaremos 13 unidades. Portanto, o módulo de 13 é igual a 13. Ou ainda: |13| = 13. Sendo assim, qual será o módulo de -13? Bem, a distância do -13 ao zero é também de 13 unidades. Então, |-13| = 13. 
Vejamos alguns outros exemplos:
|-4| = 4
|690| = 690
|23,41| = 23,41
|-log2| = log2
|78| = 78
|-π| = π
Você já deve perceber que existe uma certa regra para calcularmos: todos os números que são positivos, continuam positivos; e todos da forma negativa, tornam-se positivos. Ou seja:
|x| = x, se x for positivo. 
|-x|, se x for negativo ou usando a linguagem matemática: 
|x| = x, se x>0 
|x| = -x, se x<0
Exemplos 
Resolva a equação |x² - 6x| = 9.
Para que o módulo dê resultado 9, é porque o valor dentro do módulo é igual a 9 ou -9. Assim, 
x² - 6x = 9 ou x² - 6x = -9
Resolvendo cada uma das equações:
x² - 6x - 9 = 0
x = −(−6)±(−6)2−4(1)(−9)√2(1)
x = 6±36+36√2
x = 6±72√2
x = 6±62√2
x = 3±32√
ou
x² - 6x + 9 = 0
(x-3)² = 0
x = 3
Portanto, nossa resposta é: S = {3±32√, 3}.
Vamos esboçar o gráfico da função f(x) = |2x + 6|:
Sabemos que:
→ |2x + 6| = 2x + 6, se 2x + 6 > 0
→ |2x + 6| = -(2x + 6), se 2x + 6 < 0
Então: 
→ |2x + 6| = 2x + 6, se 2x > -6
→ |2x + 6| = -2x - 6, se 2x < -6
E por fim,
→ |2x + 6| = 2x + 6, se x > 3 (gráfico I)
→ |2x + 6| = -2x - 6, se x < -3 (gráfico II)
Gráfico I (Foto: Colégio Qi)
Gráfico II (Foto: Colégio Qi)
Com isso, o gráfico da função f(x) ficará da seguinte forma:
(Foto: Colégio Qi)
Comparação entre o gráfico de f e a função 2x + 6:
(Foto: Colégio Qi)
Repare que ao colocarmos o módulo na função 2x + 6, a parte negativa (x < -3) transformou-se em positiva. É essa a principal mudança quando inserimos o módulo na função: toda a parte negativa torna-se positiva.
Vamos esboçar o gráfico de g(x) = | x² - 5x + 4|:
De início, o esboço do gráfico sem o módulo: h(x) = x² - 5x + 4:
(Foto: Colégio Qi)
Como já vimos, ao inserir o módulo a parte negativa ficará positiva, então o gráfico de f(x) será:
(Foto: Colégio Qi)
Exercícios 
(UFJF) O número de soluções negativas da equação | 5x-6 | = x² é:
a) 0    
b) 1    
c) 2    
d) 3    
e) 4
Solução:
Temos então que 5x-6 = x² ou 5x-6 = -x². Assim, temos que resolver cada uma dessas equações:
5x – 6 = x²
x² - 5x + 6 = 0
S = -5 , P = 6
(x-2)(x-3) = 0
x = 2 ou x = 3
5x – 6 = -x²
x² + 5x – 6 = 0
S = 5, P = -6
(x+6)(x-1) = 0
x = -6 ou x = 1
Assim, teremos uma solução negativa: -6. 
Resposta: letra B.
(UTP) As raízes reais da equação |xl² + |x| - 6 = 0 são tais que:
a) a soma delas é – 1.
b) o produto delas é – 6.
c) ambas são positivas.
d) o produto delas é – 4.
e) n.d.a.
Aqui, usamos um recurso muito comum na Matemática, chame |x| de y. Então a equação ficará   y² + y – 6 = 0. Resolvendo-a:
y² + y – 6 = 0
S = 1, P = -6
(y+3)(y-2) = 0
y = -3 ou y = 2
Assim, |x| = -3 ou |x| = 2. Como não existe módulo negativo, |x| = 2. Então, x = -2 ou x = 2. Portanto, seu produto (2 multiplicado por -2) é igual a 4. 
Resposta: letra D.
(UFCE) Sendo f(x) = |x²-2x|, o gráfico que melhor representa f é:
a)
b)
c)
d)
Repare que a função, sem o módulo, é do segundo grau. Portanto, as letras c e d não podem ser. A diferença entre as alternativas a e b são as raízes, com isso, basta calcularmos:
|x²-2x| = 0 
x² - 2x = 0
x (x-2) = 0
x = 0 ou x = 2
Assim, o único gráfico possível é o a. Resposta letra A.
Inequação, Equação, Função 
O módulo de um número é igual a sua distância até zero. Sendo a grandeza distância sempre positiva, conclui-se que o módulo de um número é sempre positivo. Para encontrar o módulo de um número x, por exemplo, siga essa regra prática:
Por exemplo:|6| = 6, pois 6 > 0. Já |– 6| = – (– 6) = 6.
Agora que já relembramos o conceito de módulo, vamos ingressar nas inequações modulares.
Equação modular
De maneira mais formal, podemos definir função modular como:
f(x) = |x| ou y = |x|
A função f(x) = |x| apresenta as seguintes características:
f(x) = x, se x≥ 0
ou
f(x) = – x, se x < 0
Essas características decorrem da definição de módulo.
Exemplo 1. Construa o gráfico da função f(x) = | –x|
Solução: primeiro vamos analisar o gráfico da função acima sem a utilização do módulo na sua lei de formação, ou seja, vamos fazer o gráfico de g(x) = – x 
O módulo presente na lei da função faz com que a parte do gráfico que se localiza abaixo do eixo x “reflita” no momento em que toca o eixo x. Mas por quê? Simples, a parte do gráfico abaixo do eixo x representa os valores negativos de y e, como o módulo de um número é sempre um valor positivo, o gráfico de f(x) = |– x| fica:
A parte do gráfico que está azul é parte que sofreu ação do módulo.
Inequação modular
Inequação modular é toda inequação cuja incógnita aparece em módulo. Veja alguns exemplos:
|x| > 6
|x| ≤ 4
|x + 3| > 7
|4x + 1| ≥ 3
Podemos utilizar as propriedades a seguir para resolver esse tipo de inequação:
|x| > a        →     x < – a ou x > a.
|x| < a        →     – a < x < a.
|x| ≤ a        →     – a ≤ x ≤ a.
|x| ≥ a        →     x ≤ – a ou x ≥ a.
|x – a| ≤ b →    – b ≤ x – a ≤ b       →      a – b ≤ x ≤ a + b
Resolução de inequações modulares
Agora que você já conhece o conceito sobre inequações modulares e suas propriedades resolutivas, é hora de colocar a mão na massa. Antes de analisar as resoluções, tente resolver, utilizando as propriedades explanadas anteriormente, os modelos de inequações modulares acima. Veja as resoluções a seguir:
|x| > 6
x < – 6 ou x > 6
S = {x ∈ R | x < – 6 ou x > 6}
Equação modular
Definição: Equação modular é toda equação cuja incógnita se apresenta em módulo.
Dessa forma, são equações modulares:
|– 2x + 5| = x
|3x – 1| = 4
|10 – 2x| = 2x – 5
Resolução de equações modulares
A resolução de equações modulares baseia-se na definição de módulo, mostrada no início deste texto. 
Inequações modulares
Uma inequação será identificada como modular se dentro do módulo tiver uma expressão com uma ou mais incógnitas, veja alguns exemplos de inequações modulares:
|x| > 5
|x| < 5
|x – 3| ≥ 2
Ao resolvermos uma inequação modular buscamos encontrar os possíveis valores que a incógnita deverá assumir, obedecendo às regras resolutivas de uma inequação e as condições de existência de um módulo.
Condição de existência de um módulo, considerando k um número real positivo:
Se |x| < k então, – k < x < k
Se |x| > k então, x < – k ou x > k
Para compreender melhor a resolução de inequações modulares veja os exemplos abaixo:
Exemplo 1
|x| ≤ 6
Utilizando a seguinte definição: se |x| < k então, – k < x < k, temos que:
– 6 ≤ x ≤ 6
S = {x Є R / – 6 ≤ x ≤ 6}
Exemplo 2
|x – 7| < 2
Utilizando a seguinte definição: se |x| < k então, – k < x < k, temos que:
– 2 < x – 7 < 2
– 2 + 7 < x < 2 + 7
5 < x < 9 
S = {x Є R / 5 < x < 9}
Exemplo 3 
|x² – 5x | > 6 
Precisamos verificar as duas condições:
|x| > k então, x < – k ou x > k
|x| < k então, – k < x < k 
Fazendo |x| > k então, x < – k ou x > k
x² – 5x > 6
x² – 5x – 6 > 0
Aplicando Bháskara temos:
x’ = 6
x” = –1 
Pela propriedade:
x > 6
x < –1
Fazendo |x| < k então, – k < x < k
x² – 5x < – 6
x² – 5x + 6 < 0
Aplicando Bháskara temos:
x’ = 3
x” = 2 
Pela propriedade:
x > 2
x < 3 
S = {x Є R / x < –1 ou 2 < x < 3 ou x > 6}.
O módulo de um número é igual a sua distância até zero. Sendo a grandeza distância sempre positiva, conclui-se que o módulo de um número é sempre positivo. Para encontrar o módulo de um número x, por exemplo, siga essa regra prática:
Por exemplo: |6| = 6, pois 6 > 0. Já |– 6| = – (– 6) = 6.
Agora que já relembramos o conceito de módulo, vamos ingressar nas inequações modulares.
Inequação modular
Inequação modular é toda inequação cuja incógnita aparece em módulo. Veja alguns exemplos:
|x| > 6
|x| ≤ 4
|x + 3| > 7
|4x + 1| ≥ 3
Podemos utilizar as propriedades a seguir para resolver esse tipo de inequação:
|x| > a        →     x < – a ou x > a.
|x| < a        →     – a < x < a.
|x| ≤ a        →     – a ≤ x ≤ a.
|x| ≥ a        →     x ≤ – a ou x ≥ a.
|x – a| ≤ b →    – b ≤ x – a ≤ b       →      a – b ≤ x ≤ a + b
Resolução de inequações modulares
Agora que você já conhece o conceito sobre inequações modulares e suas propriedades resolutivas, é hora de colocar a mão na massa. Antes de analisar as resoluções, tente resolver, utilizando as propriedades explanadas anteriormente, os modelos de inequações modulares acima. Veja as resoluções a seguir:
|x| > 6
x < – 6 ou x > 6
S = {x ∈ R | x < – 6 ou x > 6}
|x| ≤ 4
– 4 ≤ x ≤ 4
S = {x ∈ R | – 4 ≤ x ≤ 4}
|x + 3| > 7
x + 3 < – 7 ou x + 3 > 7
Se x + 3 < – 7, então:
x < – 7 – 3
x < – 10
Se x + 3 > 7, então:
x > 7 – 3
x > 4
S = {x ∈ R | x < – 10 ou x > 4}
|4x + 1| ≥ 3
4x + 1 ≤ – 3 ou 4x + 1 ≥ 3
Se 4x + 1 ≤ – 3, então:
4x ≤ – 3 – 1
4x ≤ – 4
x ≤ – 1
Se 4x + 1 ≥ 3, então:
4x ≥ 3 – 1
4x ≥ 2
x ≥ ½
S = {x ∈ R | x ≤ – 1 ou x ≥ ½}
Equação Modular
Para que se possa compreender o conceito de equação modular, antes será necessário entender o conceito de módulo.
Módulo é a distância entre um número e zero. Como a grandeza distância é sempre positiva, o módulo de um número é sempre positivo.
Veja que |a| = a e que |-a| = a. Portanto, um número e o seu oposto, em módulo, têm o mesmo valor.
Definição de módulo
Dado um número real x, o módulo de x, representado por |x|, é igual a x, se x ≥ 0, e igual a -x, se x < 0.
Em termos gerais, temos:
Exemplo: Encontre o módulo de 4 e de – 4.
De acordo com a definição, |x| = x, se x ≥ 0. Como 4 > 0, fazemos: |4| = 4.
No segundo caso, ainda de acordo com a definição, |x| = – x, se x < 0. Sendo – 4 < 0, fazemos: |– 4| = – (– 4) = 4. 
Veja que, a partir da análise do gráfico divulgado anteriormente, percebe-se que |a| = a e que |– a| = – (– a) = a.
Equação modular
Definição: Equação modular é toda equação cuja incógnita se apresenta em módulo.
Dessa forma, são equações modulares:
|– 2x + 5| = x
|3x – 1| = 4
|10 – 2x| = 2x – 5
Resolução de equações modulares
A resolução de equações modulares baseia-se na definição de módulo, mostrada no início deste texto. Para fins de aprendizado e fixação, vamos resolver as equações exemplificadas anteriormente.
Equações são expressões matemáticas algébricas que possuem uma ou mais incógnitas, sempre apresentadas com o sinal de igualdade. Equação modular se enquadra neste conceito geral, mas no caso das modulares, as incógnitas se encontram dentro do módulo; dessa forma, devemos respeitar as condições do módulo de um número, que é a seguinte:
|x| = x, se x ≥ 0
-x, se x < 0
Veja alguns exemplos de equações que são modulares:
|x + 3| = 5
|x| – 9 = 8
– |2x| = 10
3*|x|2 – 8*|x| + 5 = 0
|x2 – 2x + 8| = 32
Para uma melhor compreensão da resolução de uma equação modular, acompanhe as demonstrações a seguir:
Exemplo 1
|x| = 6
Para descobrir o valor de x devemos pensar da seguinte forma: um número real terá sempre um valor positivo como resultado do seu módulo, e 6 é positivo, mas o valor de x poderá ser +6 ou –6, pois |+6| = 6 e |–6| = 6, portanto, x = 6 ou x = –6
Exemplo 2 
|x| = 0
Como zero tem valor nulo (não possui sinal) dizemos que o único valor que x poderá assumir será 0, portanto, x = 0.
Exemplo 3
|x| = –12
Como um número real terá sempre um valor positivo ou nulo, no caso em que o módulo é –12 não irá existir valor real para x, portanto, a solução dessa equação será conjunto vazio.
Exemplo 4
|x + 3| = 5
x + 3 = 5 → x = 5 – 3 → x = 2
x + 3 = –5 → x = –5 –3 → x = – 8
Exemplo 5
|x + 5| = x + 5
Condição: x + 5 ≥ 0, a equação só é possível se x + 6 ≥0, ou seja, x ≥ – 6.
x + 5 = x + 5 → x – x = 5 – 5 → 0x = 0 (indeterminado)
x + 5 = –(x+5) → x + 5 = –x –5 → x + x = –5 –5 → 2x = –10 → x = –5
S = {x ? R / x = –5}
Exemplo 6
|x – 3| + 4x = 8
|x – 3| = 8 – 4x
Condição: x – 3 ≥ 0, se 8 – 4x ≥ 0, ou seja, –4x ≥ –8 → 4x ≤ 8 → x ≤ 2.
x – 3 = 8 – 4x → x + 4x = 8 + 3 → 5x = 11 → x = 11/5 (não satisfaz a condição x ≤ 2)
x – 3 = – (8 – 4x) → x – 3 = – 8 +4x → x – 4x = – 8 + 3 → –3x = –5 → x = 5/3 (satisfaz a condição x ≤ 2)
S = {x ? R / x = 5/3}
Módulo ou valor absoluto de um número estão associados a sua distância do ponto de origem, observe a representação a seguir: 
 
Percebemos que a distância entre os números é a mesma, dessa forma dizemos que o valor absoluto dos números – 4 e + 4, indicados por |– 4| e |+ 4|, será 4. 
O módulo ou valor absoluto de um número x pode ser indicado pelo próprio x, se x é positivo ou nulo, e o simétrico de x, se x é negativo. Observe a conclusão geral: 
 
Exemplos 
a) |+3| = 3 e |–3| = –(–3) = 3 
b) |10| = 10 e |–10| = –(–10) = 10 
c) |x – 4| = 
x – 4, se x – 4 ≥ 0, ou seja, x ≥ 4 
– (x – 4), se x – 4 < 0, ou seja, x < 4 
Equações Modulares 
Chamamos de equações modulares as equações em que aparecem módulos de expressões que contêm incógnita. 
Exemplos de equações modulares: 
|x| = 7 
|x + 6| = x + 6 
|x – 3| + 4x = 7 
|x + 2| = 4 
Formas de resolução 
Exemplo 1 
|x + 2| = 4 
Condições: 
x + 2 = 4 ou x + 2 = – 4 
Resolução: 
x + 2 = 4 → x = 4 – 2 → x = 2 
x + 2 = – 4 → x = – 4 – 2 → x = – 6 
S = {–6; 2} 
Exemplo 2
 
|4x – 8| = x + 1 
Condições: 
|4x – 8| ≥ 0, dessa forma a equação só é possível se x + 1 ≥ 0, x ≥ –1. 
|4x – 8| = x + 1 
4x – 8 = x + 1 ou 4x – 8 = – (x + 1) 
Resolução: 
4x – 8 = x + 1 → 4x – x = 1 + 8 → 3x = 9 → x = 9/3 → x = 3 
4x – 8 = – (x + 1) → 4x – 8 = – x – 1 → 4x + x = – 1 + 8 → 5x = 7 → x = 7/5 
Verifique que x = 3 e x = 7/5, satisfazem a condição x ≥ – 1, portanto o conjunto solução é {7/5; 3} 
Exemplo 3
|x + 1| = |x – 3| 
x + 1 = x – 3 → x – x = – 3 – 1 → 0x = – 4 (impossível) 
x + 1 = – (x – 3) → x + 1 = – x +3 → x + x = 3 – 1 → 2x = 2 → x = 1 
Solução: {1} 
Exemplo 4
|x² – 5x + 6| = 2 
x² – 5x + 6 = 2 → x² – 5x + 6 – 2 = 0 → x² – 5x + 4 = 0 (Bháskara: possui duas raízes reais) 
x’ = 1 e x” = 4 
x² – 5x + 6 = – 2 → x² – 5x + 6 + 2 = 0 → x² – 5x + 8 = 0 (Bháskara: não possui raízes reais) 
Solução: {1,4}