Resistência dos materiais aplicada FLAMBAGEM 1 1

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Fundamentos de
Resistência dos Materiais 
aplicada
Professor: MSc. Everton Ruggeri
E-mail: everton.araujo@unama.br
Flambagem
Bibliografia para estudo
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. Editora Peardon, 7ª ed. 2010
POPOV, E. P. Resistência Dos Materiais. Editora Prentice Hall. 1988 
BEER, F.; JOHNSTON, E.; DEWOLF; MAZUREK. Mecânica dos materiais. Editora Bookman, 7ª edição. 2015. 
Introdução à flambagem
A flambagem é um fenômeno de curvatura lateral que ocorre em componentes estruturais esbeltos que sofrem ação de esforços de compressão.
Introdução à flambagem
A ação da flambagem leva ao colapso muitos componentes estruturais, levando o engenheiro a sérios problemas tal como os mostrados
Colapso de pilares que sofreram flambagem
Introdução à flambagem
A flambagem se junta então as falhas causadas pelos esforços atuantes, tal como
Flambagem
A avaliação da curvatura lateral pode ser feita através de um modelo simplificado de duas barras CB e BA conectadas no ponto B por um pino e uma mola de torção com constante de rigidez K.
Constante k
Flambagem
A força de compressão aplicada provocará um afastamento do ponto B com a linha central vertical do componente, formando um ângulo θ. Aplicando uma análise de diagrama de corpo livre visualiza-se duas forças P e P’ atuando no trecho BC e dois momentos sendo criados, um pela força e outro pela mola.
´
L / 2
O momento pela força é dado por:
e tendem a afastar a barra do equilíbrio: 
O momento encontrado no ponto B dado pela mola:
k
e tende a trazer a barra para o equilíbrio: 
Flambagem
O valor da carga para o qual os dois momentos se igualam, é chamado de carga critica Pcr, e se considerado pequenas deformações para este problema pode-se adotar sen(θ) ~= θ, tal que:
Flambagem
Assim, tem-se:
Equilíbrio estável
Equilíbrio instável
Neutralidade
A carga Pcr demonstrada é calculada para condições dentro da estabilidade
Flambagem em componentes com
 extremidades articuladas
A partir das formas criticas proporcionadas pela flambagem anterior pode-se determinar também os carregamentos críticos de uma coluna real apoiada por pinos através de equações diferenciais de curvas de deflexão segundo a fórmula de Euler.
Para este caso particular, deve-se considerar:
O valor de Pcr é calculado para condições fora de estabilidade
O pilar se comportará como uma viga que sofre deflexão
O eixo x será vertical e voltado para baixo
O eixo y será horizontal e voltado para a direita
A carga é aplicada no centroide da seção
O material é elástico linear, obedecendo a lei de Hooke
Para este tipo de problema, adota-se a solução pela equação da linha elástica da análise de deformação de vigas por equações diferencias. Tal como:
Do problema de flambagem em questão pode-se considerar que o momento é dado por MB= -P y. Assim tem –se: 
Flambagem em componentes com
 extremidades articuladas
Como se analisa uma equação diferencial homogênea de segunda ordem pode-se transpor o termo –P/EI por: 	
Resultando em:
Flambagem em componentes com
 extremidades articuladas
Assim nota-se que y representa a equação diferencial que descreve o movimento harmônico simples, exceto pela variável independente, no qual se é x e não o tempo t. Portanto:
Os coeficientes C1 e C2 da equação diferencial são calculados em função das condições de contorno nas extremidades A e B do componente
A primeira condição de contorno de acordo com as extremidades A e B é:
x=0
y=0
Flambagem em componentes com
 extremidades articuladas
Para estas condições, substituindo na equação diferencial tem-se, C2=0. 
A segundo condição de contorno é dada com x=L e y=0 obtendo-se:
Essa equação é satisfeita para C1=0 ou para sen(pL) = 0. Se a primeira destas condições é satisfeita a equação diferencial se reduz à y=0 e a coluna possuirá eixo reto.
[x=0, y=0]
A
B
[x=L, y=0]
Para que a segunda condição seja satisfeita deve-se ter pL = n π logo:
Flambagem em componentes com
 extremidades articuladas
x=L e y=0 
Condição de contorno
Como:
Assim,
Resultando em:
[x=0, y=0]
A
B
[x=L, y=0]
Flambagem em componentes com
 extremidades articuladas
Onde:
Pcr = Carga critica [N] ou [kg.F]
E= Módulo de elasticidade longitudinal [N/m²]
I = Momento de inércia [m^4]
L = Comprimento do componente sem os apoios.
O menor valor de P é obtido quando n=1,resultando na carga crítica para o componente, portanto:
A expressão encontrada é a fórmula de Euler para componentes que possuem extremidades articuladas sob flambagem. Levando tal expressão à equação diferencial apresentada e com C2=0 obtem-se:
Que representa a equação da linha elástica depois que a coluna flamba
Flambagem em componentes com
 extremidades articuladas
A partir da carga crítica pode-se determinar os seguintes itens:
A tensão crítica de flambagem
Para este caso, deve-se adotar que se analisado uma seção transversal quadrada ou circular, o momento de inércia é o mesmo em qualquer eixo baricêntrico, ou seja, a coluna pode flambar em qualquer plano. Caso não seja, por exemplo para a seção transversal retangular deve-se adotar o momento de inércia mínimo, calculado por:
Com r = raio de giração do componente
Onde: EI = Rigidez Flexional [N . m²]
Flambagem em componentes com
 extremidades articuladas
A tensão crítica de flambagem
A relação L/r é denominada índice de esbeltez (λ) do componente flambado
Assim, a tensão crítica para flambagem fica:
Índice de esbeltez
De uma maneira mais precisa, o índice de esbeltez é a razão entre o chamado comprimento de flambagem (Lf) e o raio de giração nas direções a serem consideradas. Já que o efeito de flambagem pode não ocorrer em todo o comprimento do componente (L=Lf), Assim, pode-se denotar este índice por:
Onde: λ = índice de esbeltez [-]
rmin = raio de giração mínimo da seção geométrica da peça não se considerando a presença de armadura [m]
I = Momento de inercia [m^4]
A = área do componente [m²]
Comprimento de Flambagem
O valor de k proporciona características distintas sobre a linha de curvatura gerada. Desta forma pode-se analisar o comprimento de flambagem calculado através de:
Este valor k depende das condições da restrição de translações ou rotações dos apoios.
Índices de Flambagem
Os índices de flambagem (k) são:
Duas extremidades
 articuladas
k = 1
Lf
Lf
Uma extremidade articulada e a outra engastada
k = 0,7
k = 2
Duas extremidades
 engastadas
Uma extremidade livre e a outra engastada
Lf
k = 0,5
Equações para flambagem com diferentes apoios
A análise da estabilidade de um corpo sob este fenômeno se dá através da equação da carga critica Pcr, porém como visto é preciso verificar se o componente possui diferentes apoios que possam gerar comprimentos de flambagem diferentes. Assim pode-se ter:
Uma extremidade articulada e a outra engastada
Lf
Duas extremidades
 engastadas
Lf
Exemplo
Uma coluna de aço estrutural de seção transversal W8x31 com perfil laminado encontra-se biarticulada em suas extremidades. Determine o valor da carga P critica que a coluna pode suportar antes do escoamento. Considere E=200GPa, FS=2, A=5890 mm², Ix=45,5x10^6 mm^4 e Iy=15,3x10^6 mm^4 .
= 3657 mm
P
Ações para contornar flambagem
O problema de flambagem pode ser contornado pela implementação de estribos e aumento da seção transversal do componente.