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1 
 
 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 Prof. Me. Ayrton Barboni 
 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................. 2 
 
2. EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO) ....................................... 2 
 2.1. Ordem de uma Equação Diferencial Ordinária ...................................... 2 
 2.2. Grau de uma Equação Diferencial Ordinária ......................................... 3 
 2.3. Solução geral e particular de uma EDO .................................................. 3 
 
3. ALGUMAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS ....................... 4 
 3.1. Equações Diferenciais Imediatas .............................................................. 4 
 3.2. Equações Diferenciais Autônomas ........................................................... 4 
 3.3. Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis ...................................... 5 
 3.4. Equações Diferenciais Exatas ................................................................... 6 
 3.5. Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem .......................................... 7 
 3.5.1. Solução de uma EDO Linear de 1ª Ordem ........................................... 7 
 3.6. Equações Diferenciais de Bernoulli .......................................................... 9 
 3.7. Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem .......................................... 9 
 3.7.1. Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem com coeficientes 
 constantes .................................................................................................... 10 
 3.7.1.1. Solução de EDOL Homogêneas de 2ª Ordem com coeficientes 
 constantes .....................................................................................................10 
 3.7.1.2. Solução de EDOL não-Homogênea de 2ª Ordem com coeficientes 
 constantes ....................................................................................................11 
BIBLIOGRAFIA ..................................................................................................14 
 
2 
 
 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
1. INTRODUÇÃO 
Estamos apresentando apenas um resumo sobre algumas Equações Diferenciais. Deve-
se consultar, para maiores informações, o livro indicado na bibliografia desta apostila. 
 
Vamos introduzir o estudo das equações diferenciais apresentando o seguinte problema: 
 
Suponhamos que f seja uma função real de variável real x, onde y = f (x). Se conside- 
rarmos a equação 
1y x  
, queremos obter y que a satisfaça. 
 Solução: 
 Esta equação pode ser escrita na forma: 
1
dy
x
dx
 
 ou 
 1d y x dx 
. 
 Integrando, membro a membro, obtemos 2
2
x
y x c  
, 
c
. 
Observação: Podemos verificar que 2
2
x
y x c  
 é, de fato, solução da equação dada, pois 
substituindo 
2
2
1 0
x
y   
, tem-se a identidade: 
1 1x x  
, 
x 
. 
 
2. EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO) 
 
 
Chamamos de Equação Diferencial Ordinária a toda equação que envolve uma função
 y f x
 de uma variável, assim como também algumas de suas derivadas 
, , ,y y y  
 
Notação: 
( ) ( 1)
o uF( , , , , ..., )n ny x y y y y   ( 1) ( )F( , , , , ..., , ) 0n nx y y y y y  
 
Solução da equação diferencial é uma função incógnita, onde 
 y f x
, que 
substituída, juntamente com as suas derivadas, na equação diferencial, resulta em identidade. 
Exemplos de equações diferenciais: 
a) 
1
dy
x
dx
 
 b) 
2y y  
 c) 
2 " 7 21 0y xy   
 
d) 
5 1y x  
 e) 
2dy x dx
 f) 
   
3 52
1 4( ') '' 1y x y yy     
 
Nota: Uma equação diferencial que apresenta derivadas parciais de uma função incógnita é 
chamada de Equação Diferencial Parcial. 
Exemplo: 
y y
x t y
x t
 
  
 
, sendo 
 ,y f x t
. 
2.1 Ordem de uma Equação Diferencial Ordinária 
Ordem de uma equação diferencial é a maior ordem das derivadas de 
 y f x
 que 
comparecem na equação. 
Vemos, nos exemplos, que (a), (b) e (e) são equações diferenciais de primeira ordem e 
(c), (d) e (f) são de segunda ordem. 
 
 
3 
 
2.2. Grau de uma Equação Diferencial Ordinária 
O grau de uma equação diferencial é o maior expoente da derivada de maior ordem que 
aparece na equação. Vemos, nos exemplos, que (a), (b), (c), (d) e (e) são de primeiro grau e (f) 
é de terceiro grau. 
Nota: Os conceitos de Ordem ou Grau de uma equação diferencial devem ser 
entendidos diante de um conhecido intervalo de variáveis, pois, caso contrário, algumas 
situações desconfortáveis podem ocorrer. 
 Exemplificando: 
 Pede-se o Grau e a Ordem da equação diferencial 
2 3( ) '' ( ') 5x x y x y  
. 
Veja que: 
 a) Se 
]0, [x 
, então 
( ) 2x x x 
 e a equação 
2 3
2 '' ( ') 5x y x y 
 é de segunda 
ordem e primeiro grau. 
 b) Se 
] ,0[x 
, então 
( ) 0x x 
 e a equação 
2 3
0. '' ( ') 5y x y 
 é de primeira 
ordem e terceiro grau. 
 c) Se 
0x 
, então não teremos equação diferencial. 
2.3. Solução geral e particular de uma EDO. 
A sentença 
xy c e 
, 
c
, é chamada de solução geral da equação 
0y y  
 
(visto que [–ce–x] + [ce–x] = 0, é uma identidade, 
0 0xe 
, 
x
), pois representa o 
conjunto de todas as suas soluções. 
 Ao estabelecermos, por exemplo, os valores 
2c 
, 
1c 
 ou 
1c  
, na solução geral, 
teremos as soluções 
2 xy e
, 
xy e
 ou 
1 xy e 
, chamadas de soluções particulares da 
EDO. 
 
Se quisermos a solução particular que contenha, por exemplo, o ponto (0, ½), basta 
substituirmos 
0x 
 e y = 1/2 na solução geral, 1/2 = c.e
–0
, e obtermos a constante c = 1/2 
correspondente. Neste caso, a solução particular que tem o ponto (0, ½) é y = e
–x
/2. 
y = 0
2
x
1
-1
-2
y-x
-x
-x
-x
y = 2e
y = - 2e
y = ce , c > 0
y = ce , c < 0
y = e
-x
y = -e
-x
 
4 
 
Se pedirmos uma solução que atenda a condição y(0) = 1/2, então estaremos solicitando 
a mesma solução particular y = e
–x
/2. 
3. ALGUMAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
Uma equação diferencial de 1ª ordem e 1º grau 
 F ,y x y 
 pode ser escrita na forma 
diferencial 
   , , 0P x y dx Q x y dy 
, onde as funções de duas variáveis 
P
 e 
Q
 são 
contínuas numa mesma região do plano. 
 F ,y x y 
 

 
( , )
( , )
P x y
Q x y
dy
dx


 

 
   , , 0P x y dx Q x y dy 
 
Apresentaremos, agora, apenas as seguintes equações diferenciais: 
3.1. Equações Diferenciais Imediatas 
As equações diferenciais ordinárias que podem ser reduzidas à forma 
   ny g x
 são 
chamadas de equações diferenciais imediatas. 
Exemplo: 
A equação 
2 6 0y x   
 pode ser colocada na forma 
2 6y x  
, logo, é imediata. 
Solução: 
Integrando 
2 6y x  
, sucessivamente, em relação a x, obtemos y: 
  2
12 6 6y x dx x x c     
, 
1c 
. 
 
3
2 2
1 1 26 3
3
x
y x x c dx x c x c      
, 
2c 
. 
A função 3
2
1 23
3
x
y x c x c   
, 
1 2,c c 
 é a solução geral da equação diferencial.3.1.1. Exercícios Propostos 
Encontre a solução geral das EDO 
1) 
2
12 2y x  
 R. 
4 2
1 2y x x c x c   
, 
1 2,c c 
 
2) 
sen( ) 2y x  
 R. 
cos( ) 2y x x c   
, 
c
 
Encontre a solução particular das EDO 
3) 
xy e 
, sendo 
 0 4y 
 e 
 0 2y 
 R. 
3xy e x  
 
4) 
' 6y 
, sendo 
 0 1y 
 , 
 0 5y 
 e 
 " 0 2y 
 R. 
3 2 5 1y x x x   
 
 
3.2. Equações diferenciais Autônomas 
 As equações diferenciais autônomas podem ser colocadas na forma 
( )f y
dy
dx

. 
Exemplo: 
Pedro depositou R$20 000,00 na poupança que paga 6% de juros ao ano. Pede: 
 a) saldo ao final de 3 anos 
 b) tempo para duplicar a aplicação. 
 
5 
 
Solução: 
 Temos que a rapidez de crescimento do saldo é proporcional ao saldo presente: 
 ( )
( )
dS t
k S t
d t

 (no caso, k = 0,06) 
 Resolvendo a equação, tem-se que 
*0,06
( ) ,tS t ec c  
 
 No instante t = 0 o saldo da conta é S (0) = 20 000,00, daí, 
0,06
20000( )
t
S t e
. 
a) Ao final do terceiro ano, temos 0,06 (3)
(3) 20000 23944,35S e 
 reais. 
b) O valor aplicado é dobrado: 0,06 ( )
40000 20000
t
e
 

 t = 11,55 anos. 
 
3.2.1. Exercícios propostos: 
 
1) A taxa de crescimento da cultura de bactérias é proporcional ao número N(t) presente 
a cada instante. Se N(0) = 100 unidade e sua quantidade dobra a cada 3 horas, pede a 
estimativa da quantidade ao final de 9 horas. ( ln2 0,6932 ) R. 800 
 
2) A taxa de variação da quantidade Q(t) de uma substância radioativa é proporcional a 
quantidade presente da substância em cada instante. Pede determinar a constante de 
proporcionalidade, ao final de 1000 anos resta a metade da inicial. R. 
0,000693
 
 Qual é a porcentagem restante da substância inicial ao final de 2000 anos? R. 25% 
3.3. Equações Diferenciais Variáveis Separáveis (1ª ordem e 1º grau: 
( , )y f x y 
) 
Uma EDO separável pode ser escrita na forma: 
   , , 0P x y dx Q x y dy 
, onde se 
tem 
  1 2, ( ). ( )P x y P x P y
 e 
  1 2, ( ). ( )Q x y Q x Q y
. 
Vamos mostrar uma solução particular utilizando o exemplo: 
 Resolva a equação 
e( ) ( ) 0, 1 1x xy dx xy y dy x y       
, que satisfaça a 
condição 
 0 1y 
. 
Solução: 
Fatorando 
 ,P x y
 e 
 ,x yQ
 e separando as variáveis em cada membro da equação, 
temos: 
1 1
y x
dy dx
y x


 
. Integrando os termos: 
ln 1 ln 1y y x x c      
, 
.c
 
Aplicando a condição inicial na equação obtida, isto é, 
0x 
 e 
1y 
, obtemos 
1 ln 2 0 ln 0 1 c     
 e, daí, 
21 ln 2 ln ln 2 ln( / )c e e    
. 
Portanto, 
2ln 1 ln 1 ln( / )y y x x e      
 é a solução particular. 
 
3.3.1. Exercícios Propostos 
Encontre a solução geral das EDO 
 
6 
 
1) 
cos( ) sen( ) 0
x
x y dx e y dy 
, cosy

0 R. 
ln cos
x x
y xe e c     
, 
c
 
2) 2
21
x
y
y
 

, y
 
1 R. 3 3
3 3
y x
y c  
, 
c
 
3) (x – y2x) dx + e
-x 
(1– y) dy = 0 , y ≠ ±1 R. ln ǀ1 + y ǀ + e
x 
(x – 1) = c, 
c
 
 
Encontre a solução particular das EDO 
4) 
dydxyx 
, x>0, y>0 , onde 
 4 9y 
 R. 
3 1y x x 
 
5)
(1 ) 0ydx y x xy dy    
,x

1, y

0, onde 
 0y e
 R. 
ln ln 1 1y y x e    
 
 
6) Um recipiente contém 10kg de sal em 100 litros de água. Despeja-se no recipiente 
água pura na razão de 10 l/min e libera a mistura na mesma quantidade que entra no 
recipiente. Qual a quantidade de sal que escoa ao final de 30 min? 
 Observação: 
 S(t) é a quantidade de sal que sai ao final de t minutos. 
 10 – S(t) é quantidade de sal que permanece no recipiente com 100 litros de mistura 
 10 S( )
100
t é a concentração de sal no reservatório após t minutos. 
 [10 S( )].10
100
t = é a velocidade de variação de sal que sai por minuto = S( )d t
dt
. Isto é: 
 S( ) [10 S( )].10
100
d t t
dt


 
 R. S(30) = 10 
3(1 )e
 kg 9,5019 kg 
 
3.4. Equações Diferenciais Exatas 
 
 É conveniente lembrar que a diferencial total 
( , )dF x y
 de uma função de duas 
variáveis, com derivadas 
( , )F x y
x


 e 
( , )F x y
y


 contínuas numa região do plano xy, é 
( , ) ( , )
( , )
F x y F x y
dF x y dx dy
x y
 
 
 
. 
 Se 
( , ) , ,F x y k k 
 então 
( , ) 0dF x y 
. Daí, temos a equação diferencial: 
( , ) ( , )
0
F x y F x y
dx dy
x y
 
 
 
 ou, de outro modo, 
( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy 
. 
 
Clairaut: “ F(x,y) tem derivadas parciais contínuas até 2ª ordem, então Fxy(x,y) = Fyx(x,y)” . 
 
 Proposição: Se P e Q são funções contínuas com derivadas parciais contínuas numa 
região R, então 
 “
( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy 
 é exata 

 
( , ) ( , )P x y Q x y
y x
 
 

 ” 
Exemplo: 
 Resolver a equação 
2(2 1) ( ) 0xy y dx x x dy    
 
Solução: 
 
7 
 
 Temos que 
( , ) ( , )
2 1
P x y Q x y
x
y x
 
 
 

. Logo, a equação é exata. 
 Devemos obter 
F( , )x y
: 
 Temos que 
F ( , ) P( , ) 2 1x x y x y xy y   
 e, daí, 
 
2F( , ) P( , ) (2 1) ( )x y x y dx xy y dx x y xy x y         ( I ) 
 Por outro lado, 
F ( , ) Q( , )y x y x y
. 
 Logo, 
2 2 cte'( ) '( ) 0 ( ) 0 cx x y x x y y dx           ( II ) 
 Substituindo ( II ) em ( I ), tem-se 
2 cteF( , ) cx y kx y xy x   
 
 Portanto, 
2 C, Cx y xy x   
, é a solução geral. 
 
3.4.1. Exercícios Propostos 
 Encontre a solução geral das EDO 
1) 
22 ( 1) 0xy dx x dy  
 R. 
2
C C0,x y y   
 
2) 
2
'
x y
y
x y



 R. 
32
C C+ 0,
2 3
x y
xy   
 
3) 
0xy xyye dx xe dy 
 R. 
,xye k k 
 
4) 
2[2 sen( ) cos( )] [ cos( ) sen( )] 0x xx y e y dx x y e y dy   
 
 R 
2sen cosxx y e y k 
, 
k
 
5) 
2 2 3 33 (2 4 ) 0x y dx x y y dy  
, y(0) = 2. R. 
3 2 4 16x y y 
 
3.5. Equações Diferenciais Lineares de 1ª ordem 
 Uma equação diferencial que pode ser colocada na forma 
     
1 0
g x y g x y h x  
, com as funções 
0g
, 
1g
 e 
h
 contínuas num mesmo intervalo I, 
no qual 
1
( ) 0g x 
, é chamada de equação diferencial linear de primeira ordem. 
 Se 
  0h x 
, 
Ix 
, então 
   
1 0
0g x y g x y  
 é denominada equação 
diferencial linear de primeira ordem homogênea. 
Exemplo:a) 
2
0y y
x
  
, x > 0. (homogênea) 
 b) 3
3y xy x  
. (não homogênea) 
 
3.5.1. Solução de uma EDO linear de 1ª ordem 
 
 Temos que 
   
1 0' ( )g x y g x y h x 
, 
 
1 0g x 
 e 
Ix 
. 
 Dividindo os termos da equação por 
 
1 0g x 
, obtemos 
   y P x y Q x  
 (I) 
 Multiplicando ( I ) por ( )P x dxe , segue que: 
 
    ( ) ( ) ( )P x dx P x dx P x dxy P x y Q xe e e     
 
8 
 
logo, 
( ) ( )
( )
P x dx P x dx
Q x
d
y e e
dx
   
 
 e, daí, 
( ) ( )
( )
P x dx P x dx
Q x dx
d
dx
y e e
   
  
 
 Integrando, temos ( ) ( )
( )
P x dx P x dx
Q x dxy e e k  
, 
k
 
 Fazendo ( )
( )
P x dx
I x e
, segue que ( ). ( )
( )
,
I x Q x dx k
I x
ky

 
. 
Resumindo: 
A solução incógnita 
 y f x
, da equação diferencial 
   y P x y Q x  
 é 
obtida pelas sentenças: 
 a) 
 
 P x dx
I x e 
 
 b)    
 
I x Q x dx k
y
I x
 

 , k , é a solução geral da equação diferencial. 
 
Exemplo: 
Resolva a equação diferencial 
3
2 2y xy x  
. 
 
Solução: 
A equação é linear de 1ª ordem, sendo 
  2P x x
 e 
  32Q x x
. Logo, 
a) 
 
  22P x dx xdx xI x e e e   
 e, substituindo em (b), temos: 
b)    
  2 2
3 22 22 2
x x
x xI x Q x dx k e x dx k e x xdx k
y
I x e e
     
  
  , k . 
Daí, a solução geral  
2
22 1
x
xe x c
y
e
 

 ou, então, 
 2
2
1 xy x c e   
, 
c
. 
 
3.5.1.1 Exercícios Propostos 
Encontre a solução geral das EDO 
1) 
' 2 4y y x 
 R. 
2 2 1xy ce x  
, 
c
 
2) 
4
3' ( / ) , 0y x y x x  
 R. 
 23 / 2y x x c   
, 
c
 
3) 
2 2' , 0xy x y x x  
 R. 221
x
y ce

 
, 
c
 
4) 
2
(2 1)' , 0xx y y x x   
 R. 
 2 21
2
x x
x
y e e c 
, 
c
 
Encontre a solução particular das EDO 
5) 
2' 2 , 0, (1) 1/ 4x y y x x x y    
 R. 2
2
1
4 3 3
x x
y
x
  
 
6) 
' 2 sen , (0) 1y y x y  
 R. 
21 6
5 5
(2sen cos ) xy x x e

  
 
7) 
2
' 2 , (0) 2
x
y y e y  
 R. 
2
( 2)
x
y e x 
 
 
 
9 
 
8) Um circuito elétrico possui uma resistência R = 8 ohm e está sujeito a uma força 
eletro motriz E = 4 volts. Sendo o coeficiente de autoindução L = 0,2 henry, pede a 
intensidade da corrente i (em amperes) decorrido 0,01 segundos. 
 
 R Lembrar das leis: 
 Faraday 
L
d ( )
U L.
d
i t
t

 
 E 


 L Ohm 
RU R. ( )i t
 
 Kirchoff 
L RE = U U
 
 i 
 R. i = 0,167 amper 
3.6. Equações Diferenciais de Bernoulli 
 
 São equações do tipo 
    ny P x y Q x y  
, onde 
0n
 e 
1n 
 
Observação: É imediato ver que y = 0 é solução da equação de Bernoulli. 
 
Procedimento para solução: 
a) Dividir a equação dada por 
ny
: 
1
' 1
( ). ( ) (I)
n n
y
P x Q x
y y 
 
 
b) Considerar 
1
1
n
z
y 

 (II) e, daí, 
'
' (1 ) (III)
n
y
z n
y
 
 
c) Substituir 
(III)
 em 
(I)
: 
 
'
( ).
1
z
P x z Q x
n
 

 
 
' (1 ) ( ) (1 ) ( ) (IV)z n P x z n Q x   
 
d) Resolvendo 
(IV)
, obtemos z 
e) Substituindo z em (II), teremos 11 ny z  que é a solução geral da equação. 
 
Exemplo: 
1) 
5
y y x y  
 R. y = 0 e 
1
4 4
4
4
(4 1) 4
x
x
e
e x k
y
  
 
  
 
, 
,k
 
4 (4 1) 4xe x k  
 
2) 
2
4
1
y y y
x
  
 R. y = 0 e 
22
x
y
x k

 
 , 
,k
 22x k 
3) 
4
2y xy x y   
 R. y = 0 e 
2
1
3
3
2
2 1x
y
k e
 
  
  
, 
,k
 232 1xk e  
3.7. Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem 
Chamamos de equação diferencial ordinária de 2ª ordem a toda EDO que possa ser 
escrita na forma , onde 
P
, 
Q
 e f são funções definidas 
     y P x y Q x y f x   
 
10 
 
num mesmo intervalo (vamos nos restringir a intervalos onde sejam contínuas). 
As funções 
P e Q são chamadas de coeficientes da equação diferencial. 
Se , 
Ix 
, então a equação diferencial será chamada de homogênea. 
Se 
( ) 0f x 
,
Ix 
, a equação diferencial é chamada de não homogênea. 
 
Exemplo: 
 
 a) 
2 0y xy y   
, 
x
 (homogênea) 
 b) 
3
seny y x y x
x
   
, 
*x  
 (não homogênea) 
3.7.1. Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes 
 Suponhamos que os coeficientes 
( )P x
 e 
( )Q x 
sejam constantes e, 
respectivamente, iguais a p e q. Assim, 
'' ' + y = ( )y p y q f x 
 Apresentaremos a seguir modo prático de resolução destas equações nos casos 
que sejam homogêneas ou não-homogêneas. 
3.7.1.1. Solução de EDOL Homogêneas de 2ª ordem com coeficientes constantes 
 
Consideremos a equação diferencial homogênea 
'' ' + y = 0y p y q e sua 
equação característica 
2 r + = 0.r p q 
1º ) A equação característica possui duas raízes reais distintas: 1r
 e 
2r
. 
Neste caso, a solução da homogênea é 
1 2
1 2h
r x r x
y c e c e 
, 
1 2, .c c  
 
2º ) A equação característica possui duas raízes reais iguais: 1r
= 
2r
= r 
Neste caso, a solução da homogênea é 
1 2h
rx rx
y c e c xe 
, 
1 2, .c c  
Isto é, 
1 2[ ]h
rx
y c c x e 
, 
1 2, .c c  
 
O “reforço” x apresentado em 
hy
 é devido a igualdade das raízes. 
3º ) A equação característica possui raízes complexas: 1r i 
 e 
2r i 
 
Neste caso, a solução da homogênea é 
1 2[ cos( ) sen( )]h
xy e c x c x   
, 
1 2, ec c  , * .
 
 
3.7.1.1.1. Exercícios Propostos 
Encontre a solução geral das EDO 
 1) 
4 3 0y y y   
 R. 
1 2
3
h
x xy c e c e 
, 
1 2, .c c 
 
  0f x 
 
11 
 
 2) 
16 0y y  
 R. 
1 2
4 4
h
x xy c e c e 
, 
1 2, .c c 
 
 3) 
4 4 0y y y   
 R. 
1 2
2[ ]h
xy c c x e 
, 
1 2, .c c 
 
 4) 
6 9 0y y y   
 R. 
1 2
3[ ]h
xy c c x e 
, 
1 2, .c c 
 
 5) 
4 13 0y y y   
 R. 
1 2
2
3 3[ cos( ) sen( )]h
xy e c x c x 
, 
1 2, .c c 6) 
0y y  
 R. 
1 2cos( ) sen( )hy c x c x 
, 
1 2, .c c 
 
Encontre a solução particular das EDO 
7) 
7 6 0y y y   
, 
 0 2y 
 e 
 0 3y 
 R. 
6[ 9 ] / 5h
x xy e e 
 
8) 
8 9 0y y y   
, 
 1 1y 
 e 
 1 0y 
 R. 
9(1 ) 1[ 9 ] /10h
x xy e e  
 
3.7.1.2. Solução de EDOL não-Homogêneas de 2ª ordem com coeficientes constantes 
Consideremos a equação diferencial não homogênea 
'' ' + = ( )y p y q y f x
. 
A solução geral 
Gy
 desta equação é dada pela soma das soluções da homogênea
hy
 e uma solução particular 
py
 da equação não homogênea, considerando as raízes da 
característica e as formas de f (x): 
G h py y y 
 
Apresentamos, abaixo, algumas sugestões para obter 
py
: 
 
* Equação característica (EC): 
2 0r p r q  
. 
** 
 nP x
 e 
( )nQ x
 são polinômios de grau 
n
, 
n
. 
*** 
 nP x
 e 
 nQ x
 são polinômios completos de grau 
n
 com coeficientes a determinar. 
**** 
 m bi
, 
m
, 
*b 
 e 
i
 é a unidade imaginaria, são números complexos. 
***** 
1 2, ec k k  
. 
Obs: As sugestões para 
py
 nos modelos valem para EDOL não homogêneas de ordem 
2n 
. 
1Modelo: 
 
  m xf x ce
, 
ec m 
 
 Raízes da Equação característica Sugestão para 
py
 
-Se 
m
 não for raiz da EC 
P
m xy Ae
 
-Se 
m
 for raiz da EC uma só vez 
P
m xy Axe
 
 -Se 
m
 for raiz da EC duas vezes 
2
P
m xy Ax e
 
Nota : Se m = 0 recai no 2Modelo 
 Se c = 0 a equação é homogênea 
 
12 
 
2Modelo: 
 
  ( )nf x P x
, 
n
 
 Raízes da Equação característica Sugestão para 
py
 
-Se zero não for raiz da EC 
 P ny P x
 
-Se zero for raiz da EC uma só vez 
 P ny xP x
 
 -Se zero for raiz da EC duas vezes 
 2P ny x P x
 
 
3Modelo: 
 
   . mxnf x P x e
, 
n
 e 
m
 
 Raízes da Equação característica Sugestão para 
py
 
-Se 
m
 não for raiz da EC 
 .P n
m xy P x e
 
-Se 
m
 for raiz da EC uma só vez 
 .P n
m xy xP x e
 
 -Se 
m
 for raiz da EC duas vezes 
 2 .P n
m xy x P x e
 
Nota : Se n = 0 recai no 1Modelo 
 Se m = 0 recai no 2Modelo 
 
4Modelo: 
 
     sennf x P x bx
, 
     cosnf x P x bx
 ou 
        1 2sen cosnf x P x k bx k bx 
 
 Raízes da Equação característica Sugestão para 
py
 
- Se 
 0 bi
 não forem raízes da EC. 
       sen cosP n ny P x bx Q x bx 
 
- Se 
 0 bi
 forem raízes da EC. 
        sen cosP n ny x P x bx Q x bx 
 
 
5Modelo: 
 
   senmxf x e bx
, 
   cosmxf x e bx
 ou 
      1 2sen cos
mx
f x e k bx k bx 
. 
 Raízes da Equação característica Sugestão para 
py
 
- Se 
 m bi
 não forem raízes da EC. 
   sen cosP
mx mx
y Ae b x Be b x 
 
- Se 
 m bi
 forem raízes da EC. 
   sen cosmx mxPy x A bx B bxe e   
 
 
 
13 
 
6Modelo: 
     senn
mx
f x P x e bx
, 
     cosn
mx
f x P x e bx
 ou 
 
        1 2sen cos
m x
nf x P x e k bx k bx 
 
 Raízes da Equação característica Sugestão para 
py
 
- Se 
 m bi
 não forem raízes da EC. 
       sen cosP
mx mx
n ny P x e bx Q x e bx 
 
-Se 
 m bi
 forem raízes da EC 
       sen cosP n n
mx mx
y x P x e bx Q x e bx   
 
Nota: Se m = 0 recai no 4Modelo 
 
Nota: Se 
 f x
 é uma soma de 
n
 parcelas, 
       1 2 nf x f x f x f x   
, onde 
 if x
, 
1, 2, ,i n
, corresponde a um dos modelos apresentados acima, então uma 
sugestão para 
Py
 é que seja dado por 
1 2pP P P n
y y y y   
, onde, para cada 
 1,2, ,i n
, 
P i
y
 é uma solução particular da equação para 
 if x
. 
 
3.4.1.2.1. Exercícios Propostos 
Encontre a solução geral das EDO (ver soluções – Bibliografia - pág 337-346) 
1) 
53 2 2 xy y y e   
 R. 
2 5
1 2
1
6
x x x
G h py y y c e c e e    
, 
1 2, .c c 
 
 2) 
3 2 2 xy y y e   
 . R. 
2
1 2 2
x x x
G h py y y c e c e xe    
, 
1 2, .c c 
 
 3) 
24 4 8 xy y y e   
 .. R. 
2 2 2 2
1 2 4
x x x
G h py y y c e c xe x e    
, 
1 2, .c c 
 
 4) 
4 3 3 2y y y x    
 R. 
3
1 2 2
x x
G h py y y c e c e x     
, 
1 2, .c c 
 
 5) 
4 8 2y y x   
 . R. 
4 2
2 1
x
G h py y y c e x x c     
, 
1 2, .c c 
 
 6) 
26 8 8y y y x   
 R. 
2 4 2
1 2
3 7
2 8
x x
G h py y y c e c e x x      
, 
1 2, .c c  
 7) 
6 8 3 xy y y xe   
 R. 
2 4
1 2
4
3
x x x
G h py y y c e c e x e
 
      
 
, 
1 2, .c c  
 8) 
26 8 8 xy y y xe    
. R. 
 2 4 2 21 2 2 2x x xG h py y y c e c e x x e     
, 
1 2, .c c  
 9) 
510 25 12 xy y y xe    
.. R. 
5 5 3 5
1 2 2
x x x
G h py y y c e c xe x e    
, 
1 2, .c c  
 10) 
 2 3 85sen 2y y y x    
 R. 
   21 2 7sen 2 6cos 2
x
x
Gy c e c e x x    
11) 
 2 8 sen 3y y x x   
 R. 
       1 2
8 48
cos 2 sen 2 sen 3 cos 3
7 49
Gy c x c x x x x    
12) 
 9 24 sen 3y y x x   
. R. 
       21 2
2
cos 3 sen 3 sen 3 3 cos 3
3
G c x c x x x x xy    
13) 
 6 13 65 sen 2xy y y e x   
 
 
14 
 
 R. 
     3 1 2 1 2
13
4
cos 2 sen 2 (2 ) 2cos 2 , ,x xGy e c x c x e sen x x c c          
 
14) 
 36 13 8 sen 2xy y y e x   
 . R. 
      31 22 cos 2 sen 2
x
Gy c x x c x e     
15) 
   2 2 2sen 3cosxy y y xe x x      
 
 R. 
       2 21 2
1 1
2 2
sen cosx xGy c x x e x c x x e x
   
        
   
 
Encontre a solução particular das EDO 
16) 
22 4y y y x   
, 
 0 1y 
 e 
 0 4y 
 R. 
2 22 2 2 2 3x xGy e e x x
     
17) 
4 seny y x 
, 
 0 1y 
 e 
 0 1y 
 R. 
1/ 3cos(2 ) [sen( ) sen(2 )]Gy x x x   
 
 BIBLIOGRAFIA 
Barboni, Ayrton e Paulette, Walter – Fundamentos de Matemática – Cálculo e Análise – 
Cálculo Diferencial e Integral a Duas Variáveis – Rio de janeiro – LTC – 2009.