Cristalografia

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CristalografiaCristalografia
IntroduçãoIntrodução
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Localização numa esferaLocalização numa esfera
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Montagem da rede de Montagem da rede de WulfWulf
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Rede estereográficaRede estereográfica
Rede de Wulf
Nova Iorque
740 W’ 400 45’ N
Campinas
470 05’ W 220 55’ S
Tóquio
1390 44’ W 350 41’ N
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O ângulo entre dois planos é o suplemento do ângulo entre as respectivas perpendiculares!
Logo, podemos utilizar os pólos dos planos para representá-los inequivocamente.
Para um plano que 
tangencia uma 
esfera, existe 
apenas uma reta 
perpendicular ao 
plano, que passa 
pelo centro da 
esfera. Essa reta 
intercepta a 
superfície da 
esfera em um 
único ponto, que 
chamamos de pólo 
do plano.
p
p
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Projeção de cristaisProjeção de cristais
Exercício: dados os ângulos entre as faces, abaixo, qual a localização do 
polo da face “m” em unidades de φ e ρ ????
36 0
b ^ n = 32,50
b ^ m = 520
c ^ o = 520
c ^ d = 39,50
b ^ y = 500
c ^ y = 570
m ^ y = 360
φm = ?
ρm = ?
φ
ρ
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RespostaResposta
ρ =
φ =
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SIMETRIASIMETRIA
Operações fundamentais
1. Rotação em torno de um eixo
2. Reflexão sobre um plano
3. Inversão
4. Rotação em torno de um eixo, 
combinada com inversão = inversão 
rotatória 
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Elementos de simetriaElementos de simetria
Eixo de simetria A:
Uma linha imaginária, através de um 
cristal, em torno da qual se pode 
girar o cristal, que repete a si mesmo 
na aparência 2, 3 ou mais vezes 
durante uma rotação completa.
A2 – binários
A3 – ternários ou trigonais
A4 – quaternários ou tetragonais
A6 – senários ou hexagonais
A4
X
4 x em 360o
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Elementos de simetriaElementos de simetria
Plano de simetria P:
Um plano imaginário (“P”) que divide o cristal em 2 
metades simétricas. Uma imagem é o espelho da 
outra nos cristais perfeitamente terminados.
Para cada vértice, aresta ou face há um simétrico na 
outra metade.
P
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Elementos de simetriaElementos de simetria
Centro de simetria C:
Somente existe quando:
uma linha imaginária pode 
ser passada de 1 vértice da 
superfície de um cristal, 
através de seu centro, 
achando-se sobre essa linha 
e a uma distância igual além 
do centro, 1 vértice 
semelhante, mas invertido.
A operação é uma inversão.
c
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Elementos de simetriaElementos de simetria
c ≠
P
O centro de simetria “c” é o único 
elemento de simetria nesta figura. 
Corresponde a um eixo unitário de 
inversão rotatória AP1.
Nesta figura, temos apenas 1 plano de 
simetria, entre 2 formas 
enantiomorfas. As mãos humanas são 
formas enantiomórfas.
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Elementos de simetriaElementos de simetria
Eixo de simetria de inversão 
rotatória AP:
É 1 elemento composto, que combina 
rotação em torno de 1 eixo, com 
inversão através do centro.
As duas operações devem ser 
completadas antes que se obtenha a 
nova posição.
Se a única simetria existente for 1 
centro, este seria um eixo unitário de 
inversão rotatória.
Podem ser, ainda, AP2, AP3, AP4, 
AP6.
c-
c-
c-rotação + inversão
90o 180o
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Eixo Eixo AAPP44 de inversão rotatóriade inversão rotatória
c-
c-
c-rotação + inversão
90o 180o
Biesfenóide tetragonal: 1 AP4 é o único elemento de simetria.
Observe atentamente: “c” não é um centro de simetria!-
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Notação cristalográficaNotação cristalográfica
Eixos cristalográficos:
Linhas imaginárias que passam pelo centro dos 
cristais.
São tomados // às arestas de intersecção das faces 
principais do cristal.
São +/- fixados pela simetria dos cristais.
Na maior parte dos casos correspondem a eixos de 
simetria ou são perpendiculares a planos de simetria.
Com exceção do sistema hexagonal, que tem 4 
eixos, todos os sistemas tem 3 eixos cristalográficos.
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Notação cristalográficaNotação cristalográfica
Eixo “a” é horizontal – de frente (+) para 
traz (-)
Eixo “b” é horizontal - da direita (+) para a 
esquerda (-)
Eixo “c” é vertical – de cima (+) para baixo 
(-)
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Sistemas cristalinos:Sistemas cristalinos:
simetria mínima e orientação dos simetria mínima e orientação dos 
eixos cristalográficoseixos cristalográficos
Sistema isométrico:
Simetria mínima: 
4 eixos A3
Orientação: 
Os eixos cristalográficos 
(a, b, c) são iguais em 
comprimento (a1=a2=a3)
Situam-se ao longo dos 3 
eixos A4.
Sistema Cúbico
a1 = a2 = a3
Ortogonais
Nos eixos A4
a1
- a1
- a2 a2
a3
- a3
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Sistemas cristalinos:Sistemas cristalinos:
simetria mínima e orientação dos simetria mínima e orientação dos 
eixos cristalográficoseixos cristalográficos
Sistema tetragonal:
S.m.: 1 A4 + 2 eixos de 
comprimento igual, todos 
perpendiculares entre si.
O.: São os eixos 
cristalográficos (c, a1 e a2).
O eixo “c” pode ser maior 
ou menor que os eixos “a”. 
Nunca igual.
Sistema Tetragonal
a1 = a2 > ou < c
Ortogonais
c no eixo A4
“a” nos A2
a1
- a1
a2- a2
c
- c
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Sistemas cristalinos:Sistemas cristalinos:
simetria mínima e orientação dos simetria mínima e orientação dos 
eixos cristalográficoseixos cristalográficos
Sistema Ortorrômbico
S.m.: 3 elementos de 
simetria binária (planos 
e/ou eixos).
O.: os 3 eixos desiguais 
(a, b, c) são 
perpendiculares entre si.
O eixo “c” é sempre o 
maior, “b” intermediário 
e “a” o menor.
Sistema Ortorrômbico
a < b < c
Ortogonais
Nos eixos A2
a
- a
c
- c
- b b
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Sistemas cristalinos:Sistemas cristalinos:
simetria mínima e orientação dos simetria mínima e orientação dos 
eixos cristalográficoseixos cristalográficos
Sistema Hexagonal:
S.m.: 1 A6 ou 1 A3
perpendicular a 3 eixos 
horizontais. 
Os horizontais fazem entre si 
ângulos de 1200
O.: Os quatro são os eixos 
cristalográficos (c, a1, a2, a3). 
O eixo “c” pode ser igual aos 
eixos “a” ou, ainda, maior ou 
menor que eles.
Sistema Hexagonal
a1= a2= a3= ou > ou < c
c nos eixos A3ou A6
- a1
a1
a2- a2
- a3
a3
c
- c
Nota: Alguns autores consideram o “sistema 
trigonal” como uma divisão do sistema hexagonal. 
Outros, consideram o “sistema hexagonal” um 
caso particular do sistema trigonal. 
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Sistema monoclínico
S.m.:1 A2 ou 1 P
O.: 3 eixos cristalográficos 
desiguais (a, b, c).
O eixo “a” está sobre o eixo 
binário e é orientado para a 
frente e para baixo.
Este eixo “a” somente é 
oblíquo a “c”.
β
Sistema Monoclínico
a ≠ b ≠ c
Ortogonais: a ^ b e b ^ c
β(obtuso) p/frente
“a” no eixo A2
a
- a
c
- c
- b b
Sistemas cristalinos:Sistemas cristalinos:
simetria mínima e orientação dos simetria mínima e orientação dos 
eixos cristalográficoseixos cristalográficos
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Sistemas cristalinos:Sistemas cristalinos:
simetria mínima e orientação dos simetria mínima e orientação dos 
eixos cristalográficoseixos cristalográficos
Sistema Triclínico:
S.m.:1 eixo unitário é a única 
simetria
Pode ser 1 eixo rotatório ou 1 
centro de inversão rotatória
O.:Os eixos cristalográficos são 
de comprimentos desiguais 
(b>a>c) e oblíquos entre si.
O ângulo obtuso (β) é orientado 
para a frente e para a direita.
γ
αβ
Sistema Triclínico
b > a > c
β p/frente e direita
a
- a c
- c
- b
b
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Eixos cristalográficosEixos cristalográficos
Sistema Cúbico
a1 = a2 = a3
Ortogonais
Nos eixos A4
a1
- a1
- a2 a2
a3
- a3
Sistema Tetragonal
a1 = a2 > ou < c
Ortogonais
c no eixo A4
“a” nos eixos A2
a1
- a1
a2- a2
c
- c
Sistema Ortorrômbico
a < b < c
Ortogonais
Nos eixos A2
a
- a
c
- c
- b b
β
Sistema Monoclínico
a ≠ b ≠ c
Ortogonais: a ^ b e b ^ c
β(obtuso) p/frente
“a” no eixo A2
a
- a
c
- c
- b b
γ
αβ
Sistema Triclínico
b > a > c
β p/frente e direita
a
- a c
- c
- b
b
Sistema Hexagonal
a1= a2= a3= ou > ou < c
“c” nos eixos A3 ou A6
- a1
a1
a2- a2
- a3
a3
c
- c
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