Lista 10 - funções generalizadas

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Func¸o˜es Generalizadas - Sec¸a˜o 7.4
1) Encontre uma forma fechada para a func¸a˜o generalizada de cada uma das sequeˆncias abaixo.
a) 1, 1, 1, 1, 1, 1
b)
(
m
0
)
,
(
m
1
)
, ...
(
m
m
)
c) 1, 1, 1, 1, 1, ...
d) 1, a, a2, a3, ...
e) 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
f) 0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,...
g) 0,1,0,0,1,0,0,1,...
h) an = 3
n
2) Encontre a sequeˆncia determinada pelas func¸o˜es generalizadas:
a) (3x− 4)3
b)
x2
(1− x)2
c) 2e2x
3) Encontre o nu´mero de soluc¸o˜es de x1 + x2 + x3 = 17, onde 2 ≤ x1 ≤ 5, 3 ≤ x2 ≤ 6, 4 ≤ x3 ≤ 7.
4) De quantas maneiras posso distribuir 8 biscoitos para 3 crianc¸as sendo que cada uma deve
receber de 2 a 4 biscoitos?
5) Encontre uma fo´rmula fechada para fn, o n-e´simo termo da sequeˆncia de Fibonacci, onde f0 = 1
e f1 = 1.
6) Resolva as relac¸o˜es de recorreˆncia usando func¸o˜es generalizadas:
a) ak = 3ak−1, com a0 = 2.
b) ak = 3ak−1 + 4k−1 com a0 = 1.
7) Calcule:
a)
∞∑
k=1
k
2k
b)
∞∑
k=1
k2
5k
c)
∞∑
k=1
k2
nk
8) Considere a sequeˆncia 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5... Note que a quantidade de termos iguais
vai aumentando. Sabendo que
n∑
k=0
xk =
1− xn+1
1− x ,
escreva um somato´rio que represente a func¸a˜o generalizada da sequeˆncia. Na˜o precisa ser na forma
∞∑
k=0
akx
k, mas na˜o pode ter mais do que um somato´rio na resposta (um dentro do outro, por exemplo).
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