1184250 EST PDF 12 Variáveis aleatórias discretas

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Estatística básica
Zootecnia S2
Prof. Jefté Silva
INTRODUÇÃO
Variáveis aleatórias discretas
Introdução
 Definição:
 Uma variável aleatória discreta assume valores que podem ser contados. 
 Em outras palavras, os valores consecutivos de uma variável aleatória discreta são 
separados por uma determinada lacuna.
 Por exemplo  O número de carros vendidos em uma concessionária durante um 
determinado mês
 O número de carros podem ser contados (1, 2, ... n)
Introdução
 Outros exemplos:
 O número de peixes capturados em uma pescaria;
 O número de reclamações recebidas no balcão de uma companhia aérea em um 
determinado dia;
 O número de clientes que visitam um banco durante qualquer hora específica;
 O número de caras obtidas em três lançamentos de uma moeda.
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DE UMA 
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
Variáveis aleatórias discretas
Distribuição de probabilidades de uma variável discreta
 Seja x uma variável aleatória discreta. A distribuição de probabilidades de x descreve 
como as probabilidades estão distribuídas ao longo de todos os valores possíveis de x.
 Vimos em probabilidade que as frequências relativas obtidas a partir de um 
experimento ou de uma amostra podem ser utilizadas como probabilidades 
aproximadas.
 Exemplo a distribuição de frequências para o número de veículos possuídos por 
todas as 2000 famílias que vivem em uma pequena cidade.
Distribuição de probabilidades de uma variável discreta
Tabela 1 – Distribuição de frequências e de frequências relativas para o 
número de veículos possuídos por famílias
Número de veículos possuídos Frequência Frequência relativa
0 30 0,015
1 470 0,235
2 850 0,425
3 490 0,245
4 160 0,080
Total 2000 1,00
Distribuição de probabilidades de uma variável discreta
 Em probabilidade aprendemos que as frequências relativas obtidas a partir de um 
experimento ou de uma amostra podem ser utilizadas como probabilidades 
aproximadas.
 Entretanto, quando as frequências relativas representam a população, como é o caso 
na Tabela 1, elas fornecem as probabilidades efetivas (teóricas) dos resultados.
 Utilizando as frequências relativas da Tabela 1, podemos descrever a distribuição de 
probabilidades da variável aleatória discreta, x, na Tabela 2.
Distribuição de probabilidades de uma variável discreta
Tabela 2 – Distribuição de probabilidades para o número de veículos 
possuídos por famílias
Número de veículos possuídos
(x)
Probabilidades
P(x)
0 0,015
1 0,235
2 0,425
3 0,245
4 0,080
Total 1,00
Distribuição de probabilidades de uma variável discreta
 A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta tem as duas 
características a seguir:
1. A probabilidade atribuída a cada valor de uma variável aleatória x se posiciona no 
intervalo entre 0 e 1; ou seja, 0 ≤P(x) ≤ 1 para cada x.
2. A soma das probabilidades atribuídas a todos os valores possíveis de x é igual a 1,0; 
ou seja, ∑P(x) = 1. (Lembre-se de que, caso as probabilidades sejam arredondadas, 
a soma pode não ser exatamente 1,0.)
 Essas duas características são também conhecidas como as duas condições que uma 
distribuição de probabilidades deve satisfazer.
Distribuição de probabilidades de uma variável discreta
 Com base na Tabela 2, podemos ler a probabilidade para qualquer valor de x.
 Por exemplo, a probabilidade de que uma família aleatoriamente selecionada nesta 
cidade possua dois veículos é de 0,425. 
 Essa probabilidade é escrita como:
P(x = 2) = 0,425 ou P(2) = 0,425
 A Probabilidade de que a família selecionada possua mais de dois veículos é fornecida 
pela soma das probabilidades de se possuir três ou quatro veículos.
 Essa probabilidade é 0,245 + 0,080 = 0,325
 Pode ser escrita como:
P(x > 2) = P(x = 3) + P(x = 4) = P(3) +P(4) = 0,245 + 0,080 = 0,325
Distribuição de probabilidades de uma variável discreta
 A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória discreta pode ser 
apresentada em forma fórmula matemática, de uma tabela ou de um gráfico.
 A Figura 1, mostra a apresentação gráfica da distribuição de probabilidades da Tabela 
2.
Distribuição de probabilidades de uma variável discreta
Figura 1 – apresentação gráfica da distribuição de probabilidade da tabela 2.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0 1 2 3 4
P(
x)
x
Distribuição de probabilidades de uma variável discreta
 Exemplo:
 De acordo com uma pesquisas, 60% de todos os alunos em uma grande universidade 
sofrem de ansiedade em relação à matemática. Dois alunos são aleatoriamente 
selecionados nessa universidade. Seja x o número de alunos dessa amostra que sofrem 
de ansiedade relativa a matemática. Desenvolva a distribuição de probabilidade de x.
 Primeiro deve-se criar os eventos:
 N = o aluno selecionado não sofre de ansiedade relativa à matemática.
 M = o aluno selecionado sofre de ansiedade relativa à matemática.
 Qual a probabilidade de M e de N:
 M = 60% ou 0,6
 N = 1 – 0,6 = 0,4  um é complementar do outro
Distribuição de probabilidades de uma variável discreta
 Quantos resultados são possíveis?
 2 x 2 = 4  (pode ser pelo diagrama de árvores)
 Quais seriam eles?
 NN (nenhum dos alunos sofre de ansiedade relativa à matemática);
 NM (o primeiro aluno não sofre de ansiedade relativa à matemática, enquanto o 
segundo sofre
 MN (o primeiro aluno sofre de ansiedade relativa à matemática, enquanto o 
segundo não sofre).
 MM (ambos os alunos sofrem de ansiedade relativa à matemática). 
Distribuição de probabilidades de uma variável discreta
 Logo, em uma amostra de dois alunos, o número de alunos que sofrem de ansiedade 
relativa à matemática pode ser:
 0 (NN); 
 1 (NMou MN);
 2 (MM). 
 Por conseguinte, x pode assumir qualquer um dos três dores possíveis: 0, 1 ou 2. 
 As probabilidades desses três resultados são calculadas da seguinte maneira:
P(x = 0) = P(NN) = 0,4 x 0,4 = 0,16
P(x = 1) = P(NM ou MN) = P(NM) + P(MN) = 0,24 + 0,24 = 0,48
P(x = 2) = P(MM) = 0,6 x 0,6 = 0,36
Distribuição de probabilidades de uma variável discreta
Tabela 3 – Distribuição de probabilidades para o número alunos com 
ansiedade relativa à matemática em uma amostra de dois alunos.
Número de alunos
(x)
Probabilidades
P(x)
0 0,16
1 0,48
2 0,36
Total 1,00
MÉDIA ARITMÉTICA DE UMA VARIÁVEL 
ALEATÓRIA DISCRETA
Variáveis aleatórias discretas
Média aritmética de uma variável aleatória discreta
 A média aritmética de uma variável aleatória discreta, representada por µ, é 
efetivamente a média aritmética da sua distribuição de probabilidades.
 A média aritmética de uma variável aleatória discreta, x é também chamada de valor 
esperado, e é representada por E(x).
 A média aritmética (ou valor esperado) de uma variável aleatória discreta corresponde 
ao valor que esperamos observar por repetição, em média, caso realizemos um 
experimento um grande número de vezes. 
 Por exemplo, podemos esperar que vendedor de automóveis venda, em média, 2,4 
automóveis por semana.
 Isso não significa que toda a semana esse vendedor venderá exatamente 2,4 carros (Até 
porque não é possível vender 2,4 carros)
 Isso significa que, caso observemos por muitas semanas, o vendedor venderá um número 
diferente de carros durante diferentes semanas  a médias para todas essas semanas será de 
2,4 carros.
Média aritmética de uma variável aleatória discreta
 Para calcular a média aritmética de uma variável aleatória discreta, x, multiplicamos 
cada valor de x pela probabilidade correspondente, e somamos os produtos 
resultantes.
 Ou seja:
𝜇 = ෍ 𝑥𝑃(𝑥)
 A média aritmética de uma variável aleatória discreta, x, é também chamada de valoresperado, e é representada por E(x).
Média aritmética de uma variável aleatória discreta
 Exemplo:
 Utilizando a tabela 4, caule a média aritmética do número de defeitos apresentados por semana 
por esses equipamentos.
Tabela 4 – Distribuição de probabilidades do número de defeitos
Número de defeitos por 
semana
(x)
Probabilidades
P(x) xP(x)
0 0,15 0
1 0,20 0,20
2 0,35 0,7
3 0,30 0,90
Total 1,00 ∑ 𝑥𝑃(𝑥)=1,80
Média aritmética de uma variável aleatória discreta
 Então a média aritmética é 1,80
𝜇 = ෍ 𝑥𝑃 𝑥 = 𝟏, 𝟖𝟎
𝐸 𝑥 = 1,8 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑥
 Portanto, em média, espera-se que esse equipamento apresente defeito 1,8 vez por semana ao 
longo de um período de tempo.
 Em outras palavras, caso esse equipamento seja utilizado durante muitas semanas:
 Para determinadas semanas vamos observar defeito;
 Para outras semanas observar um defeito por semana;
 E para outras ainda, vamos observar dois ou três defeitos;
 Espera-se que a média aritmética do número de defeitos seja 1,80 por semana para o período.
DESVIO PADRÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA 
DISCRETA
Variáveis aleatórias discretas
Desvio padrão de uma variável aleatória discreta
 O desvio padrão de uma variável aleatória discreta, representado por σ mede a 
dispersão de distribuição de probabilidades.
 Um valor mais elevado para o desvio-padrão de uma variável aleatória discreta indica 
que x pode assumir valores ao longo de um intervalo maior em torno da média 
aritmética.
 Em contrapartida, um valor menor para o desvio padrão indica que a maior parte 
valores que x pode assumir está concentrada bem próximo da média aritmética.
 A fórmula básica para se calcular o de uma variável aleatória discreta é:
ଶ
Desvio padrão de uma variável aleatória discreta
 Exemplo:
 A Loraine Corporation está planejando comercializar um novo produto de maquiagem. 
De acordo com a análise feita pelo departamento financeiro, a empresa obterá um 
lucro anual de $4,5 milhões se esse produto tiver vendas elevadas; Um lucro anual de 
$ 1,2 milhões, se as vendas forem razoáveis e perderá $2,3 milhões por ano es as 
vendas forem baixas. As probabilidades desses três cenários são 0,32; 0,51 e 0,17 
respectivamente.
a) Seja x o lucro (em milhões de dólares) obtidos pela empresa, por ano, com base 
nesses produto. Apresente a distribuição de probabilidade de x.
b) Calcule a média e o desvio padrão.
Desvio padrão de uma variável aleatória discreta
a) Seja x o lucro (em milhões de dólares) obtidos pela empresa, por ano, com base 
nesses produto. Apresente a distribuição de probabilidade de x.
Lucro
(x) P(x)
4,5 0,32
1,2 0,51
-2,3 0,17
Tabela 5 – Distribuição de probabilidades do lucro da Loraine Corporation 
de um novo produto de maquiagem
Desvio padrão de uma variável aleatória discreta
b) Calcule a média e o desvio padrão.
Lucro
(x) P(x) xP(x) x² x²P(x)
4,5 0,32 1,440 20,25 6,4800
1,2 0,51 0,612 1,44 0,7344
-2,3 0,17 -0,391 5,29 0,8993
=1,661 ଶ =8,1137
Tabela 6 – Cálculo para encontrar a média e o desvio padrão da distribuição de 
probabilidades do lucro da Loraine Corporation de um novo produto de maquiagem
Desvio padrão de uma variável aleatória discreta
 Assim:
 A média aritmética de x é:
𝜇 = ෍ 𝑥𝑃 𝑥 = $𝟏, 𝟔𝟏𝟏 𝒎𝒊𝒍𝒉ã𝒐
 O desvio padrão de x é:
𝜎 = ෍ 𝑥ଶ𝑃 𝑥 − 𝜇² =
8,1137 − 1,661 ଶ =
$𝟐, 𝟑𝟏𝟒 𝒎𝒊𝒍𝒉õ𝒆𝒔
 Conclusão: espera-se que a Loraine Corporation venha a ganhar uma média de $1,611 
milhão em lucros por ano com base no novo produto, com um desvio padrão de 
$2,314 milhões.