Equacoes Diofantinas_LIVRO DE ALGEBRA_

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Equações Diofantinas 
Bom quem nunca se deparou com uma equação com mais de uma variável na hora da 
aula e o professor falou: 
“É gente chegamos em uma equação Diofantina” e na primeira vez, todos ficamos. AH! 
COMO? HEIN!? 
Equação diofantinas são equações normalmente tem mais de uma variável, levaram esse 
nome em Homenagem ao matemático grego Diofano, e que geralmente tem soluções 
inteiras. 
 
 FICA DE OLHOS ABERTOS NOS PROBLEMAS RESOLVIDOS 
Problema 1. 
Sejam os números formados de tal maneira que 3 2 10x y+ = , determine todas as 
soluções inteiras. 
Solução: 
10
2 log
3 2 10
3
.
veja é par
y é par o
x y
x deve também
ser par
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪
+ = ⇒ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
 
Com isso: 
( )21 48 6 ; 20 0x y se x y são soluções de I são soluções de+ =
( )
( ) ( )
2
2 10 6
3 2 2 10
5 3
, 2 ;5 3
x k
y k
k y
y k
assim nossa solução é x y k k
=
= −⎧
+ = ⎨
= −⎩
= −
 
Podemos então generalizar para problema do tipo ax by c+ = 
Vejamos então: 
Proposição: A equação ax by c+ = , com a, b e c inteiros tem uma solução nos inteiros 
( );x y se, e somente se, ( ),mdc a b d= e divide c 
Entretanto se ( );0 0x y é solução inteira 
,
0
,
0
bkx x
d
aky y
d
⎧
= +⎪⎪⎨⎪
= −⎪⎩
 
Observações importantes 
 
 Veja os casos particulares, depois generalize 
 Use sempre que possível as desigualdades 
 Observe as propriedades das constantes das equações 
Assim 
( )
( )
1 3 2
1 3 5 3
1 3 2 5
1 2 18 5 3 5
1 2 18 5 7
= −⎧⎪
= − −⎪⎪
= × −⎨⎪
= − × −⎪⎪ = × − ×⎩
 
Logo 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 18 2 5 7 48
:
48 18 96 5 336
; 96; 3360 0
temos
x y
⎧ = × + × − ×⎪⎨⎪
= × + × −⎩
= −
 
96 5 336 180x t e y t= + = − − 
Como queremos as positivas temos: 
( ) ( )
96 5 0 336 18 0
5 96 18 336
96 336
5 18
t e t
t t
t I t II
+ > − − >
> − < −
> − < −
 
Por I e II temos 19t = − 
Assim 
( )
( )
96 5 19 1
336 18 19 6
x
y
⎧ = + − =⎪⎨
= − − − =⎪⎩
 
Problema 2. 
Encontre todas as soluções inteiras da equação 21 48 6x y+ = 
Solução: 
( )21 48 6 ; 20 0x y se x y são soluções de I são soluções de+ = 
( )
( )( )
0 0 0 0
1 00 0 0 0
10 0
1 1 00 0
10 0
dm n d dm dn
d m n m n
dSe m m
nd m n
dSe n n
m
+ = +
− − + =
= → =
− − =
= → =
( ) ( )
( )
: 21 48 6 3
7 16 2
2 162 16 0; ;0 0 07 7
I x y
x y
yyx x y y
+ = ÷
+ =
−− ⎛ ⎞
= → = ⎜ ⎟⎝ ⎠
 
Problema 3. 
Resolva a equação Diofantina 39 26 105x y+ = 
Solução: 
( )39;26 13 13 105o mdc e não divide= 
 
Problema 4. 
(Rússia – 95)Sejam m e n inteiros positivos tais que [ ] [ ], ,mmc m n mdc m n m n+ = + . 
Prove que um deles divide o outro. 
Solução: 
Seja ( ) ( )0, , 10 0
0
m dm
d mdc m n então com m n
n dn
=⎧
= =⎨
=⎩
 
Então a equação dada corresponde a 
 ( )
( )( )
0 0 0 0
1 00 0 0 0
10 0
1 1 00 0
10 0
dm n d dm dn
d m n m n
dSe m m
nd m n
dSe n n
m
+ = +
− − + =
= → =
− − =
= → =
 
Aplicação de congruência a polinômios 
Bom todos os polinômios divisíveis ou redutíveis podem ser escrito na notação de 
módulo. 
 
 
por exemplo 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )
10 9 8 71 1 . ... 1
:
9 8 7( ) ... 1 1
9 8 71 . ( ) 1 ... 1
:
10 1 1 . ( )
10 1 mod ( )
999 888 777 111( ) ... 1
9 990 8 880 7( ) . .
x x x x x x
com isso
D x x x x x x
x D x x x x x x
temos
x x D x
assim
x D x
observamos que o polinômio
p x x x x x
p x x x x x x
− = − + + + + +
= + + + + + × −
− = − + + + + +
− = −
≡
= + + + + +
= + +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
770 110. ... . 1
99 88 77 119 10 8 10 7 10 10( ) . . . ... 1
9 8 7( ) ... 1 mod ( )
x x x
p x x x x x x x x x
p x x x x x D x
+ + +
= + + + + +
= + + + + +
( )( )
( )( )
( ) ( )
4 3 21 1 1
4 3 2( ) 1 1 1
4 4 3 21 0 mod 1 1 0 mod 1
x x x x x
assim teríamos
p x x x x x x
contudo
x x ou x x x x
− = − + + +
= − = − + + +
− ≡ − − ≡ + + +
 
 
 FICA DE OLHOS ABERTOS NOS PROBLEMAS RESOLVIDOS 
Problema 1. 
Calcular o reto da divisão de 5 3( ) 1 1p x x x por x= + + − . 
Solução: 
( )3 31 mod 1bom x x≡ − 
( ){
( ) ( )
3
5 2 3( ) 1 1
1mod 1
2 3( ) 1 mod 1
assim p x x x x x x
x
p x x x x
⎛ ⎞⎜ ⎟
= + + ≡ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟≡ −⎝ ⎠
≡ + + −
 
Problema 2. 
Calcular o resta da divisão de 10 8 7 3 2 3( ) 3 2 1p x x x x x x x por x x= + + − + + − + 
Solução: 
Bom do mesmo modo temos: 
 
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3 30 mod
3 3mod
3 2 23 2 3 3 3 2( ) 3 2 1
3 2 22 3 2( ) 3 2 1
2 3 3( ) 3 2 1
2 2 2( ) 3 2 1
2( ) 2 1
x x x x
x x x x
p x x x x x x x x x x
p x x x x x x x x x x
p x x x x x x x
p x x x x x
p x x x
+ ≡ +
≡ − +
= + + − + + −
≡ − + − + − − + + −
≡ + − + − + −
≡ − + + −
≡ − + −
 
 
Problema 3. 
(Ime)Provar que 999 888 777 111( ) ... 1p x x x x x= + + + + + é divisível pelo polinômio 
9 8 7( ) ... 1D x x x x x= + + + + + . 
Solução: 
De acordo com os artifícios matemáticos temos: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )
10 9 8 71 1 . ... 1
:
9 8 7( ) ... 1 1
9 8 71 . ( ) 1 ... 1
:
10 1 1 . ( )
10 1 mod ( )
999 888 777 111( ) ... 1
9 990 8 880 7( ) . .
x x x x x x
com isso
D x x x x x x
x D x x x x x x
temos
x x D x
assim
x D x
observamos que o polinômio
p x x x x x
p x x x x x x
− = − + + + + +
= + + + + + × −
− = − + + + + +
− = −
≡
= + + + + +
= + +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
770 110. ... . 1
99 88 77 119 10 8 10 7 10 10( ) . . . ... 1
9 8 7( ) ... 1 mod ( )
x x x
p x x x x x x x x x
p x x x x x D x
+ + +
= + + + + +
= + + + + + 
 
Calculo do resto e o algarismo das unidades por 
congruência 
Veja que as propriedades estudadas nas teoria das congruências tem como objetivo 
principal atender as necessidades dos bons alunos que não se interessam por olimpíadas 
de matemática (puro e simplesmente), mas querem descobrir novos métodos para tornar 
simples questões difíceis, que à priori exigiriam muito raciocínio e genialidade. 
Portanto, vamos desenvolver algumas técnicas para calcular o resto que vão ajudar 
muito na hora da resolução de questões mais elaboradas, pois a partir de agora será 
possível substituir números grandes, pelos seus restos na divisão em questão. 
 
 
 
 FICA DE OLHOS ABERTOS NOS PROBLEMAS RESOLVIDOS 
Problema 1. 
Calcular o resto da divisão de ( ) ( )2 21 1 1x y y x− + − = ( )20052006 20042006 2004+ por 5. 
Solução: 
Vejamos que: 
( )
2006 5
1resto =
 e ( )
2004 5
1resto = −
 
Portanto: 
( ) ( ) ( ) 20052005 2006 20062006 2004 20052006 2004 1 1 2⎛ ⎞+ ≡ + − ≡⎜ ⎟⎝ ⎠ . Mas ( )416 2 1 mod 5 ,= ≡ 
podemos escrever ( ) ( ) ( )501 5012005 2004 42 2 .2 2 .2 1 .2 2= = ≡ ≡ . 
Logo ( )20052006 20042006 2004+ deixa resto 2 na divisão por 5. 
Problema 2. 
Demonstre que 5555 22222222 5555+ é divisível por 7. 
Solução: 
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2222 3 mod 7
5555 4 mod 7
53 5 mod 7 ,
1111 11115555 2222 5555 2222 5 22222 5555 3 4 3 4
:
5555 2222 1111 11112222 5555 5 5 0 mod 7
e agora vejamos
com isso
≡
≡
≡
+ ≡ + ≡ +
+ ≡ − ≡
 
Problema 3. 
Mostre que 19876 31− é divisível por 37. 
Solução: 
Vejamos que: 
( )
( ) ( ) ( )
26 1 mod 37
,
993 9931987 1986 26 6.6 6. 6 6. 1 6 31 mod 37
então podemos escrever
≡ −
≡ ≡ ≡ − ≡ − ≡
 
Logo, ( )19876 31 0 mod 37− ≡ . 
Problema 4. 
Determinar qual é o algarismo das unidades na representação decimal do número 
( )20072007 20072006 2005.2007N = + . 
 
 
Solução: 
Determinar o algarismo das unidades de um número qualquer é o mesmo que 
determinar o resto da divisão por 10, pois qualquer número inteiro N podeser 
 
escrito sob a forma 10N k b= + , com k e b inteiros. Logo, fazendo a congruência 
módulo 10 temos: 
( )
( )
( )
06 1 mod 10
16 6 mod 10
26 36 6 mod 10 começa a repetir
⎧
≡⎪⎪
≡⎨⎪⎪ ≡ ≡⎩
 
Logo qualquer potência de 6 com expoente positivo e inteira deixa resto 6 na 
divisão por 10. 
Portanto: 
( ) {
2007100320072007 2007 2007 22006 2005.2007 6 5. 7 .7
1
N
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= + ≡ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟≡−⎝ ⎠⎝ ⎠
 
Assim: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2007 20072007 20076 35 6 5
2007 200720076 5 6 5 1 mod 10
N
N
≡ − ≡ −
≡ − ≡ − ≡
 
Logo o algarismo das unidades de N é 1. 
 
Problema 5. 
Determinar qual é o algarismo das unidades na representação decimal do número 
( ) ( )33333 4444455555 22222 77777 3333322222 55555 33333 77777N = + + + . 
Solução: 
Caro aluno para encontrarmos o algarismos das unidades basta fazermos 
congruência de módulo 10. 
Observamos que: 
{ { {
4444433333 3888 1666613888
4 3 22222 2 22 .2 5 3 .3 7 .7
1 1 15
N
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟≡ ≡− ≡−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠≡⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
142 43 
Com isso: 
( ) ( ) ( ) ( )33333 44444 33333 444448 5 3 7 3 10N ≡ + + + ≡ + 
 
Assim 
{
16666
23 .3 3
1
N
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟≡ ≡⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟≡−⎝ ⎠⎝ ⎠
. Logo o algarismo das unidades de N é 3. 
OBSERVAÇÃO: 
Veja que a grande vantagem de aprendermos teoria dos números é a 
possibilidade da substituição das bases pelos seus restos na divisão desejada 
que vai simplificar cada vez mais as nossas contas. 
 
 
 
 
 
 SESSÃO NÓ CEGO 
01)(RUSSIA - 1997) Se a e b são reais tais que a3 – 3a2 + 5a = 1 e b3 – 3b2 + 5b = 5, 
determine a + b 
RESP.: 02 
02)(CANADÁ - 98) Resolva a equação 3
)1( 2
2
2
=
+
+
x
xx 
RESP.: 1 5 3 3;
2 2
iS
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞± − ±⎪ ⎪
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
 
03)(O.M.ISRAEL – 1997)Determine as soluções reais da equação 3413 44 =−++ xx 
 
RESP.: { }12 ; 3S = − 
 
04)(O.M.AUSTRIA – 1997)Sabe-se que o número de soluções reais do sistema 
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=−+
+=−+
)1()1)(6(
)1()1)(6(
22
22
yxyx
xyxy
é finito. Prove que ele é par. 
 
05)(OMABCSP – 2004)Os números naturais não nulos a e b tais que a + ab + b = 322 
são: 
a) 15 e 17 b) 17 e 19 c) 18 e 20 d) 16 e 18 e) 20 e 22 
 
06)(OBM - 1997) Uma das soluções inteiras e positivas da equação 19x + 97y = 1997 é, 
evidentemente, ( x0 , y0) = (100, 1). Além desse, há apenas mais um par de números 
inteiros e positivos, (x1 ,y1), satisfazendo a equação. O valor de x1 + y1 é: 
 
a) 23 b) 52 c) 54 d) 101 e) 1997 
RESP.: A 
 
07)(OBM)Calcule o valor inteiro da equação x2 + x – 18 = 0 é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
RESP.: D 
 
08)(O.B.M – 1997)O número de pares (x, y) de inteiros que satisfazem a equação x + y 
+ xy = 120 é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 
RESP.: E 
09)(OBM – 2002) Qual é o dígito das unidades de , onde aparecem 2002 setes 
A) 7 B) 9 C) 3 D) 1 E) 5 
 
10)(OMSE – 1999) Calcular 99999992. 
11)(OMSE – 1999) Simplificar: 
 
12)(OMSE – 1999) Determine com quantos zeros consecutivos termina a representação 
decimal do número 
13)(OBM – 1999) Qual o 1999o algarismo após a vírgula na representação decimal de 
? 
a)0 b) 1 c) 2 d) 7 e) 8 
14)(OBM – 1999) Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que seja 
um número inteiro? 
a)5 b) 10 c) 20 d) 30 e) 40 
15)(OBM – 1999) O número N = 11111 . . . 11 possui 1999 dígitos, todos iguais a 1. O 
resto da divisão de N por 7 é: 
a)1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6 
16)(OBM – 1999) Quantos são os pares (x, y) de inteiros positivos que satisfazem a 
equação 2x +3y = 101 ? 
a)13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 
17)(OBM – 2000) Quantos números inteiros e positivos menores do que 1.000.000 
existem cujos cubos terminam em 1? 
A) 1.000 B) 10.000 C) 50.000 D) 100.000 E) 500.000 
18)(OBM - 1997) 
A soma das raízes de : 0133 23 éxxx =−++ 
a) – 3 b) 3 21− c) 1 d) 1 23 − e) 3 
 
19)(OBM-2001) Quantos dígitos tem o menor quadrado perfeito cujos quatro últimos 
dígitos são 2001? 
A) 9 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 
 
20)(EUA) Sabendo que a, b, c e d assume valores inteiros positivos na equação a5 = b4, 
c3 = d2 e c – a = 19. Determine d – b 
 
21)(CANADÁ) Sabendo que a expressão 
8
....2207
12207
12207
12207
12207
−
−
−
−
− 
tem sua resposta na forma 
d
cba + , quando a, b, c e d são inteiros. Calcule a + b + c + 
d. 
RESP.: 11 
 
22)(OMRJ – 2005) Encontre todas as soluções inteiras de 2 3 2 34 4x x x y y y+ − = + − . 
23)(OMRJ – 1998) 
a) Encontre todas as soluções inteiras e positivas de 
pyx
111
=+ , onde p é um número 
primo [cada solução é um par ordenado ( )yx; ]. 
b) Encontre pelo menos 5 soluções inteiras e positivas de .
1998
111
=+
yx
 
24)(OMRJ – 2000) De quantas maneiras se pode escrever 2000 como a diferença de 
dois quadrados perfeitos (isto é, quadrados de números inteiros)? 
25)(OMRJ – 2001) Achar o menor inteiro positivo que dividido por 29 deixa resto 5 e 
dividido por 31 deixa resto 28. 
 
26)(OMCAMPINENSE – 1999)Quantos pares (m,n) de inteiros satisfazem a 
equação 
m . n = m + n ? 
a)2 b)1 c)3 d)4 e)mais que 4 
27)(OMCAMPINENSE – 1999)Para quantos valores do coeficiente a as equações 
 
têm uma raiz real comum? 
a)1 b)2 c)3 d)4 e)infinitos valores 
28)(OMCAMPINENSE – 1999) Quantos pares (a,b) de números reais não nulos 
satisfazem a equação 1 1 1
a b a b
+ =
+
? 
a)1 b)2 c)um par para cada d)dois pares para cada e)nenhum 
 
29)(OMCAMPINENSE – 2001) Quantos pares ),( yx de números inteiros não 
negativos são soluções da equação 14=++ xyyx ? 
X) 4 B) 1 C) 8 D) 2 E) 3 
 
30)(OMCAMPINENSE – 2001) Seja P um número inteiro. Encontre todos os 
valores de P de modo que a equação 02 =+− PPxx tenha as duas raízes inteiras. 
31)(OMCAMPINENSE – 2002) A quantidade de inteiros positivos a tais que 
1−a
a 
também é inteiro positivo é igual a : 
A) 2 B) 3 C) 4 X) 1 E) 5 
 
32)(OMCAMPINENSE – 2004) Encontre todos os inteiros positivos n tal que 
4 55 5 5n− + + seja um quadrado perfeito (isto é, quadrado de números inteiros). 
 
33)(OMCAMPINENSE – 2004) Dada a equação do 2o grau 
2 ( 1) 2 1 0.x m x m+ + + − = Quantos são os valores inteiros de m para que as raízes 
desta equação sejam inteiros? 
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 
 
34)(OMCAMPINENSE – 2004) Dada a expressão 3 3 ,a b ab c− = onde e a b são 
números inteiros quaisquer. Então, o número c é sempredivisível por: 
A) 4 B) 2 C) 5 D) 7 E) 8 
 
35)(OMCAMPINENSE – 2004) O número de pares de inteiros ( , )x y que satisfazem a 
equação 2 210x x y y+ + = + é igual a: 
A) 4 B) 5 C) 1 D) 8 E) 3 
36)(OMCAMPINENSE – 2004) Dada a equação do 2o grau 2 ( 4) 0.x m x m+ − + = 
Determine os valores de m para que as duas raízes da equação sejam números inteiros. 
 
37)(OBM – 2005) 
(a) Fatore a expressão 22 89 yxyx +− . 
(b) Determine todos os pares de inteiros (x; y) tais que 200589 22 =−− yxxy .
 
 
38)(OMRN – 1997) Os números 1, 2, 3, ...., 19, 20 são escritos no quadro negro. 
Apague quaisquer dois desses números e escreva o novo número a + b + ab. Que 
número aparecerá no quadro negro depois de 19 dessas operações? 
(a) 199.964 (b) 210 (c) 198.876 (d) 105 (e) Nenhuma correta 
 
39)(OMRN – 1996)Dado f(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1, o resto da divisão de f(x5) por f(x) 
é: 
a) 1 b) x4 + 1 c) 3 d) x5 + 1 e) 5 
 
40)(OMCAMPINENSE – 2005)Mostre que 
3
142005 − é um número inteiro. 
 
41)(OMMG – 2004)Seja x um número que satisfaz a equação x2 + x – 1 = 0, determine 
o valor da expressão x8 – 7x4 + 1. 
 
42)(EUA) Calcule o valor de 3x2y2 tal que x e y são inteiros satisfazendo a equação y2 + 
3x2y2 = 30x2 + 517 
 
43)(O.M.IRLANDA – 1997)) Quantas pares ordenados (x;y) com x e y inteiros 
positivos, são soluções da equação 1 + 1996x + 1998y = xy 
 
44)(OMRJ - 1998) Quantas pares ordenados (x;y) com x e y inteiros positivos, são 
soluções da equação 124 =+
yx
 
 
45)(EUA – 1983) Sabendo que g(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1. Calcule o resto da 
divisão entre os polinômios g(x12) por g(x) 
 
46)(OMSP – 2002)Mostre que 4647 + 4847 é divisível por 472 
 
47)(AIME – 87)Calcule : 
)32452)(32440)(32428)(32416)(3244(
)32458)(32446).(32434).(32422).(32410(
44444
44444
+++++
+++++ 
 
48)(PERU/2000)O resto da divisão 
1
1
1
5
199
−
−
++
x
x
xx é igual a: 
a) x2(x – 1) b) x3(x – 1) c) x(x + 1) d) –x2(x + 1) e) x4(x + 1) 
RESP.: D 
 
49)(EUA - 1989)Achar a se a e b são inteiros tais que x2 – x – 1 é fator de ax17 + bx16 + 
1. 
 
50)(PERU-2002)Achar o resto da divisão: 
1
12
2
119
+−
+
xx
x 
a) x – 3 b) 4 -2x c) 3 – 2x d) 2x – 3 e) 3 – x 
 
51)(OBM – 1998)Para quantos valores reais de p a equação x3 – px2 + px – 1 = 0 tem 
todas as raízes reais e inteiras? 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 ou mais 
 
52)(HONG KONG – 1990)O resto da divisão 13 + 23 + 33 + ...... + 19903 por 7 é igual a: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
53)(HONG KONG – 1990)Se a n = 6n + 8n . Então o resto da divisão de a1989 por 49 é 
igual a: 
a) 1 b) 7 c) 14 d) 21 e) 35 
 
54)(OMPARA – 2003) 
a) Determine dentre os 100 primeiros termos da seqüência an = n n, 1 n 100, quantos 
são quadrados perfeitos. 
b) Determine o algarismo das unidades de 11 + 22 + 33 + 44 + 55 + 66 + 77 + 88 + 99. 
c) Determine o algarismo das unidades de 11 + 22 + 33 + 44 + 55 + ... + 9898 + 9999. 
 
55)(HONG KONG – 1992)O numero de soluções inteiras positivas que satisfaz a 
equação 1992=
+ yx
xy é igual a: 
a) 36 b) 48 c) 54 d) 63 e) 72 
 
56)(HONG KONG – 1995)Calcule o valor real de x que satisfaz a equação 
xx =+++ 111 
 
57)(ESTÔNIA)Sejam a e b inteiros positivos primos entre si tais que a b
a b
+
−
 também seja 
um numero inteiro positivo. Prove que pelo menos um dos números ab+ 1 e 4ab + 1 é 
um quadrado perfeito. 
 
58)(TORNEIO DAS CIDADES)Sejam a e b inteiros positivos. Se 2 2a b+ é divisível 
por ab, prove que a = b. 
 
59)(INDIA)Determine todas as soluções inteiras e não – negativas ( );x y que satisfaz a 
equação ( )2 2 27xy x y− = + 
 
60)(POLISH MATHEMATICAL OLYMPIAD)Encontre todas as soluções inteiras 
( );x y que satisfaz a equação ( ) ( )2 21 1 1x y y x− + − = .